Энэ материал нь хоёр огтлолцох шугамын хоорондох өнцөг гэх мэт ойлголтод зориулагдсан болно. Эхний догол мөрөнд бид энэ нь юу болохыг тайлбарлаж, чимэглэлээр харуулах болно. Дараа нь бид энэ өнцгийн синус, косинус ба өнцгийг өөрөө олох аргуудыг авч үзэх болно (бид хавтгай ба гурван хэмжээст орон зайтай тохиолдлыг тусад нь авч үзэх болно), бид шаардлагатай томьёог өгч, яг жишээгээр харуулах болно. тэдгээрийг практикт хэрхэн ашигладаг.
Хоёр шугам огтлолцох үед үүссэн өнцөг гэж юу болохыг ойлгохын тулд өнцөг, перпендикуляр байдал, огтлолцлын цэгийн тодорхойлолтыг санах хэрэгтэй.
Тодорхойлолт 1
Нэг нийтлэг цэгтэй бол бид огтлолцсон хоёр шулуун гэж нэрлэдэг. Энэ цэгийг хоёр шулууны огтлолцлын цэг гэж нэрлэдэг.
Шулуун шугам бүр огтлолцох цэгээр туяанд хуваагдана. Шулуун шугамууд хоёулаа 4 өнцөг үүсгэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь босоо, хоёр нь зэргэлдээ байна. Хэрэв бид тэдгээрийн аль нэгнийх нь хэмжүүрийг мэддэг бол үлдсэнийг нь тодорхойлж болно.
Нэг өнцөг нь α-тай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ гэж бодъё. Энэ тохиолдолд түүнтэй харьцуулахад босоо өнцөг нь α-тай тэнцүү байх болно. Үлдсэн өнцгийг олохын тулд бид 180 ° - α ялгааг тооцоолох хэрэгтэй. Хэрэв α нь 90 градустай тэнцүү бол бүх өнцөг нь зөв өнцөг болно. Зөв өнцгөөр огтлолцсон шугамыг перпендикуляр гэж нэрлэдэг (перпендикуляр байдлын тухай ойлголтод тусдаа өгүүлэл зориулагдсан).
Зургийг харна уу:
Үндсэн тодорхойлолтыг томъёолох руу шилжье.
Тодорхойлолт 2
Хоёр огтлолцсон шулуунаас үүссэн өнцөг нь эдгээр хоёр шулууныг үүсгэсэн 4 өнцгийн жижиг хэсгийн хэмжүүр юм.
Тодорхойлолтоос чухал дүгнэлт хийх ёстой: энэ тохиолдолд өнцгийн хэмжээг интервал дахь аливаа бодит тоогоор илэрхийлнэ (0, 90). Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал тэдгээрийн хоорондох өнцөг ямар ч тохиолдолд байх болно. 90 градустай тэнцүү.
Хоёр огтлолцсон шугамын өнцгийн хэмжигдэхүүнийг олох чадвар нь олон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд тустай. Шийдлийн аргыг хэд хэдэн сонголтоос сонгож болно.
Эхлэхийн тулд бид геометрийн аргуудыг авч болно. Хэрэв бид нэмэлт өнцгүүдийн талаар ямар нэг зүйлийг мэддэг бол тэнцүү эсвэл ижил төстэй дүрсүүдийн шинж чанарыг ашиглан тэдгээрийг шаардлагатай өнцөгтэй холбож болно. Жишээлбэл, хэрэв бид гурвалжны талуудыг мэддэг бөгөөд эдгээр талууд байрлах шулуунуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох шаардлагатай бол косинусын теорем нь бидний шийдэлд тохиромжтой. Хэрэв бидний нөхцөлд тэгш өнцөгт гурвалжин байгаа бол тооцооллын хувьд бид өнцгийн синус, косинус, тангенсыг мэдэх шаардлагатай болно.
Координатын арга нь энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой. Үүнийг хэрхэн зөв ашиглах талаар тайлбарлая.
Бид тэгш өнцөгт (декарт) координатын системтэй O x y бөгөөд үүнд хоёр шулуун шугам өгөгдсөн. Тэдгээрийг a, b үсгээр тэмдэглэе. Шулуун шугамыг зарим тэгшитгэл ашиглан дүрсэлж болно. Анхны шугамууд нь M огтлолцох цэгтэй байна. Эдгээр шулуун шугамын хоорондох шаардлагатай өнцгийг (үүнийг α гэж тэмдэглэе) хэрхэн тодорхойлох вэ?
Өгөгдсөн нөхцөлд өнцгийг олох үндсэн зарчмыг томъёолж эхэлье.
Шулуун шугамын тухай ойлголт нь чиглэлийн вектор, хэвийн вектор гэх мэт ойлголтуудтай нягт холбоотой гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв бид тодорхой шулууны тэгшитгэлтэй бол тэдгээр векторуудын координатыг түүнээс авч болно. Бид үүнийг хоёр огтлолцсон шугамын хувьд нэгэн зэрэг хийж болно.
Хоёр огтлолцсон шугамаар тусгаарлагдсан өнцгийг дараах байдлаар олж болно.
- чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг;
- хэвийн векторуудын хоорондох өнцөг;
- нэг шугамын хэвийн вектор ба нөгөө шугамын чиглэлийн вектор хоорондын өнцөг.
Одоо арга тус бүрийг тусад нь авч үзье.
1. Бид a → = (a x, a y) чиглэлтэй вектор бүхий a шулуун ба b → (b x, b y) чиглэлтэй вектортой b шулуун байна гэж үзье. Одоо уулзварын цэгээс a → ба b → хоёр векторыг зуръя. Үүний дараа бид тэдгээр нь тус бүр өөрийн шулуун шугам дээр байрлана гэдгийг харах болно. Дараа нь бид тэдгээрийн харьцангуй зохицуулалтын дөрвөн сонголт байна. Дүрслэлийг үзнэ үү:
Хэрэв хоёр векторын хоорондох өнцөг нь мохоо биш бол энэ нь огтлолцох a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөг болно. Хэрэв энэ нь мохоо байвал хүссэн өнцөг нь a →, b → ^ өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс α = a → , b → ^ хэрэв a → , b → ^ ≤ 90 ° , α = 180 ° - a → , b → ^ хэрэв a →, b → ^ > 90 ° .
Тэнцүү өнцгүүдийн косинусууд тэнцүү байгааг үндэслэн бид үүссэн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: cos α = cos a →, b → ^, хэрэв a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, хэрэв a →, b → ^ > 90 °.
Хоёр дахь тохиолдолд багасгах томъёог ашигласан. Тиймээс,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Сүүлийн томъёог үгээр бичье.
Тодорхойлолт 3
Хоёр огтлолцсон шулуун шугамаас үүссэн өнцгийн косинус нь түүний чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын модультай тэнцүү байна.
a → = (a x, a y) ба b → = (b x, b y) гэсэн хоёр векторын хоорондох өнцгийн косинусын томъёоны ерөнхий хэлбэр дараах байдалтай байна.
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Үүнээс бид өгөгдсөн хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог гаргаж болно.
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Дараа нь дараах томъёог ашиглан өнцгийг өөрөө олж болно.
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Энд a → = (a x , a y) ба b → = (b x , b y) нь өгөгдсөн шулуунуудын чиглэлийн векторууд юм.
Асуудлыг шийдэх жишээг хэлье.
Жишээ 1
Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд a ба b огтлолцох хоёр шулуун өгөгдсөн. Тэдгээрийг x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ба x 5 = y - 6 - 3 параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно. Эдгээр шугамын хоорондох өнцгийг тооцоол.
Шийдэл
Бидний нөхцөл байдалд параметрийн тэгшитгэл байгаа бөгөөд энэ нь энэ шугамын хувьд бид түүний чиглэлийн векторын координатыг шууд бичиж болно гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид параметрийн коэффициентүүдийн утгыг авах хэрэгтэй, жишээлбэл. x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R шулуун шугам нь a → = (4, 1) чиглэлтэй вектортой байна.
Хоёрдахь мөрийг x 5 = y - 6 - 3 каноник тэгшитгэлийг ашиглан тайлбарлав. Энд бид хуваагчаас координатыг авч болно. Иймээс энэ шугам нь b → = (5 , - 3) чиглэлийн вектортой байна.
Дараа нь бид өнцгийг олоход шууд шилждэг. Үүнийг хийхийн тулд дээрх хоёр векторын одоо байгаа координатыг α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 томъёонд орлуулахад л болно. Бид дараахь зүйлийг авна.
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Хариулах: Эдгээр шулуун шугамууд нь 45 градусын өнцөг үүсгэдэг.
Бид ердийн векторуудын хоорондох өнцгийг олох замаар ижил төстэй асуудлыг шийдэж чадна. Хэрэв n a → = (n a x, n a y) хэвийн вектортой a шулуун ба n b → = (n b x , n b y) хэвийн вектортой b шулуун байвал тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь n a → ба хоёрын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байх болно. n b → эсвэл n a →, n b → ^-тэй зэргэлдээ байх өнцөг. Энэ аргыг зурагт үзүүлэв:
Энгийн векторуудын координатыг ашиглан огтлолцсон шугам ба энэ өнцгийн косинусыг тооцоолох томъёо дараах байдалтай байна.
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n a xy + n a y + n a xy + y 2
Энд n a → ба n b → өгөгдсөн хоёр шулууны хэвийн векторуудыг тэмдэглэнэ.
Жишээ 2
Тэгш өнцөгт координатын системд 3 x + 5 y - 30 = 0 ба x + 4 y - 17 = 0 тэгшитгэлийг ашиглан хоёр шулуун шугамыг өгдөг. Тэдний хоорондох өнцгийн синус ба косинус болон энэ өнцгийн өөрийнх нь хэмжээг ол.
Шийдэл
Анхны мөрүүдийг A x + B y + C = 0 хэлбэрийн ердийн шугамын тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлно. Бид хэвийн векторыг n → = (A, B) гэж тэмдэглэнэ. Нэг шулууны эхний хэвийн векторын координатыг олоод бичье: n a → = (3, 5) . Хоёр дахь шугамын хувьд x + 4 y - 17 = 0, хэвийн вектор нь координат n b → = (1, 4) байна. Одоо олж авсан утгыг томъёонд нэмж, нийт дүнг тооцоолъё.
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Хэрэв бид өнцгийн косинусыг мэддэг бол тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ашиглан түүний синусыг тооцоолж болно. Шулуун шугамаар үүссэн α өнцөг нь мохоо биш тул sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 болно.
Энэ тохиолдолд α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Хариулт: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Нэг шулуун шугамын чиглэлийн векторын координат ба нөгөөгийн хэвийн векторын координатыг мэдэж байгаа бол шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох гэсэн сүүлчийн тохиолдлыг шинжлэх болно.
Шулуун а шулуун нь a → = (a x , a y) чиглэлийн вектортой, b шулуун нь хэвийн вектор n b → = (n b x , n b y) байна гэж үзье. Бид эдгээр векторуудыг огтлолцох цэгээс хойш тавьж, тэдгээрийн харьцангуй байрлалын бүх хувилбаруудыг авч үзэх хэрэгтэй. Зураг дээр харна уу:
Хэрэв өгөгдсөн векторуудын хоорондох өнцөг 90 градусаас ихгүй байвал энэ нь a ба b хоорондох өнцгийг тэгш өнцөгт нөхөх болно.
a → , n b → ^ = 90 ° - α хэрэв a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Хэрэв энэ нь 90 градусаас бага байвал бид дараахь зүйлийг авна.
a → , n b → ^ > 90 ° , дараа нь a → , n b → ^ = 90 ° + α
Ижил өнцгийн косинусын тэгш байдлын дүрмийг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичнэ.
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = a → , n b → ^ ≤ 90 ° -ийн хувьд sin α.
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - a → , n b → ^ > 90 ° -ийн хувьд sin α.
Тиймээс,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Дүгнэлтийг томъёолъё.
Тодорхойлолт 4
Хавтгай дээр огтлолцсон хоёр шулууны хоорондох өнцгийн синусыг олохын тулд эхний шугамын чиглэлийн вектор ба хоёр дахь хэвийн векторын хоорондох өнцгийн косинусын модулийг тооцоолох хэрэгтэй.
Шаардлагатай томьёо бичье. Өнцгийн синусыг олох:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Өнцгийг өөрөө олох нь:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Энд a → эхний мөрийн чиглэлийн вектор, n b → хоёр дахь шугамын хэвийн вектор байна.
Жишээ 3
Хоёр огтлолцох шулууныг x - 5 = y - 6 3 ба x + 4 y - 17 = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Уулзварын өнцгийг ол.
Шийдэл
Өгөгдсөн тэгшитгэлээс чиглүүлэгч ба нормаль векторын координатыг авна. Энэ нь a → = (- 5, 3) ба n → b = (1, 4) болж хувирна. Бид α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 томъёог авч тооцоолно.
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Бид өмнөх бодлогын тэгшитгэлийг авч, яг ижил үр дүнг авсан боловч өөр аргаар авсан гэдгийг анхаарна уу.
Хариулт:α = a r c sin 7 2 34
Өгөгдсөн шулуун шугамын өнцгийн коэффициентийг ашиглан хүссэн өнцгийг олох өөр аргыг танилцуулъя.
Бидэнд тэгш өнцөгт координатын системд y = k 1 x + b 1 тэгшитгэлээр тодорхойлогддог a шугам, y = k 2 x + b 2 гэж тодорхойлогдсон b шулуун байна. Эдгээр нь налуутай шугамын тэгшитгэл юм. Уулзварын өнцгийг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, энд k 1 ба k 2 нь өгөгдсөн шулуунуудын налуу юм. Энэ бичлэгийг авахын тулд хэвийн векторуудын координатаар өнцгийг тодорхойлох томъёог ашигласан.
Жишээ 4
y = - 3 5 x + 6 ба y = - 1 4 x + 17 4 тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгайд огтлолцсон хоёр шулуун байна. Уулзварын өнцгийн утгыг тооцоол.
Шийдэл
Манай шугамын өнцгийн коэффициентүүд нь k 1 = - 3 5 ба k 2 = - 1 4-тэй тэнцүү байна. Тэдгээрийг α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 томъёонд нэмж тооцоолъё.
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Хариулт:α = a r c cos 23 2 34
Энэ догол мөрийн дүгнэлтэд энд өгөгдсөн өнцгийг олох томъёог цээжээр сурах шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн шугамын чиглүүлэгч ба/эсвэл хэвийн векторуудын координатыг мэдэж, янз бүрийн төрлийн тэгшитгэл ашиглан тэдгээрийг тодорхойлох чадвартай байхад хангалттай. Гэхдээ өнцгийн косинусыг тооцоолох томъёог санаж эсвэл бичих нь дээр.
Орон зайд огтлолцох шугамуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолох вэ
Ийм өнцгийн тооцоог чиглэлийн векторуудын координатыг тооцоолох, эдгээр векторуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээг тодорхойлох хүртэл багасгаж болно. Ийм жишээнүүдийн хувьд бидний өмнө нь хэлсэн үндэслэлийг ашигласан болно.
Гурван хэмжээст орон зайд байрлах тэгш өнцөгт координатын систем байна гэж бодъё. Энэ нь M огтлолцох цэгтэй a ба b хоёр шулуун шугамыг агуулна. Чиглэлийн векторуудын координатыг тооцоолохын тулд бид эдгээр шулуунуудын тэгшитгэлийг мэдэх хэрэгтэй. a → = (a x , a y , a z) ба b → = (b x , b y , b z) чиглэлийн векторуудыг тэмдэглэе. Тэдний хоорондох өнцгийн косинусыг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Өнцгийг өөрөө олохын тулд бидэнд дараах томъёо хэрэгтэй.
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Жишээ 5
Бид x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 тэгшитгэлийг ашиглан гурван хэмжээст орон зайд тодорхойлогдсон шугамтай. Энэ нь O z тэнхлэгтэй огтлолцдог нь мэдэгдэж байна. Таслах өнцөг ба тэр өнцгийн косинусыг тооцоол.
Шийдэл
Тооцоолох шаардлагатай өнцгийг α үсгээр тэмдэглэе. Эхний шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг бичье – a → = (1, - 3, - 2) . Хэрэглээний тэнхлэгийн хувьд бид k → = (0, 0, 1) координатын векторыг хөтөч болгон авч болно. Бид шаардлагатай өгөгдлийг хүлээн авсан бөгөөд үүнийг хүссэн томъёонд нэмж болно:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Үүний үр дүнд бидэнд хэрэгтэй өнцөг нь r c cos 1 2 = 45 ° -тай тэнцүү болохыг олж мэдсэн.
Хариулт: cos α = 1 2, α = 45 ° .
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Булан φ ерөнхий тэгшитгэл A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, дараах томъёогоор тооцоолно.
Булан φ өгсөн хоёр мөрийн хооронд каноник тэгшитгэл(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 ба (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, дараах томъёогоор тооцоолно.
Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай
Орон зай дахь хавтгай бүрийг шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэж болно ерөнхий тэгшитгэлонгоц
Онцгой тохиолдлууд.
o Хэрэв тэгшитгэл (8) -д байвал онгоц эхийг дайран өнгөрнө.
o (,) хавтгай нь тэнхлэгтэй (тэнхлэг, тэнхлэг) параллель байх үед.
o (,) хавтгай нь хавтгайтай параллель байх үед (хавтгай, хавтгай).
Шийдэл: ашиглах (7)
Хариулт: ерөнхий хавтгай тэгшитгэл.
Жишээ.
Тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгайг Oxyz-ийн ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно. 
. Энэ хавтгайн бүх хэвийн векторуудын координатыг бич.
Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийн x, y, z хувьсагчдын коэффициентүүд нь энэ хавтгайн хэвийн векторын харгалзах координатууд гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс өгөгдсөн хавтгайн хэвийн вектор 
координаттай. Бүх хэвийн векторуудын багцыг дараах байдлаар тодорхойлж болно.
Тэгш өнцөгт координатын систем дэх Oxyz орон зайд тухайн цэгийг дайран өнгөрдөг бол хавтгайн тэгшитгэлийг бич. 
, А 
нь энэ хавтгайн хэвийн вектор юм.
Бид энэ асуудлыг шийдэх хоёр аргыг санал болгож байна.
Бидэнд байгаа нөхцөл байдлаас. Бид энэ өгөгдлийг цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны ерөнхий тэгшитгэлд орлуулна.
Ойз координатын хавтгайтай параллель, цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг бич. 
.
Ойз координатын хавтгайтай параллель байх хавтгайг хэлбэрийн ерөнхий бүрэн бус хавтгай тэгшитгэлээр өгч болно. Гол цэгээс хойш 
нөхцөлөөр хавтгайд хамаарах бол энэ цэгийн координатууд нь хавтгайн тэгшитгэлийг хангах ёстой, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал нь үнэн байх ёстой. Эндээс бид олдог. Тиймээс шаардлагатай тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.
Шийдэл. 10.26-д заасан хөндлөн үржвэр нь p ба q векторуудад ортогональ байна. Иймээс энэ нь хүссэн хавтгайдаа ортогональ байх ба векторыг түүний хэвийн вектор болгон авч болно. n векторын координатыг олъё:
тэр бол 
. (11.1) томъёог ашиглан бид олж авна
Энэ тэгшитгэлийн хаалтуудыг нээснээр бид эцсийн хариултанд хүрнэ.
Хариулт: 
.
Норматив векторыг дахин бичээд уртыг нь олъё.
Дээр дурдсанчлан:
Хариулах: 
Зэрэгцээ хавтгайд ижил хэвийн вектор байдаг. 1) Тэгшитгэлээс бид хавтгайн хэвийн векторыг олно:.
2) Цэг ба хэвийн векторыг ашиглан хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулъя. 
Хариулах:
Орон зай дахь хавтгайн вектор тэгшитгэл
Орон зай дахь хавтгайн параметрийн тэгшитгэл
Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл
Гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт декартын координатын системийг өгье. Дараах асуудлыг томъёолъё.
Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич М(x 0, y 0, z 0) өгөгдсөн векторт перпендикуляр n = ( А, Б, C} .
Шийдэл. Болъё П(x, y, z) нь огторгуйн дурын цэг юм. Цэг Пзөвхөн вектор байвал хавтгайд хамаарна УИХ-ын гишүүн = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) векторт ортогональ n = {А, Б, C) (Зураг 1).
Эдгээр векторуудын ортогональ байх нөхцөлийг бичээд (n, УИХ-ын гишүүн) = 0 координат хэлбэрээр бид дараахь зүйлийг авна.
|
А(x − x 0) + Б(y − y 0) + C(z − z 0) = 0 |
Гурван цэгийг ашиглан хавтгайн тэгшитгэл
Вектор хэлбэрээр
Координатаар
Сансарт нисэх онгоцуудын харилцан зохион байгуулалт
– хоёр хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл. Дараа нь:
1) хэрэв 
, дараа нь онгоцууд давхцдаг;
2) хэрэв 
, дараа нь онгоцууд зэрэгцээ байна;
3) хэрэв эсвэл байвал хавтгайнууд огтлолцох ба тэгшитгэлийн систем
(6)
Эдгээр хавтгайн огтлолцох шулуун шугамын тэгшитгэлүүд юм.
|
Шийдэл: Бид дараах томъёог ашиглан шугамын каноник тэгшитгэлийг бүтээдэг. Хариулах: |
Бид үүссэн тэгшитгэлийг аваад оюун санааны хувьд "чимхэж", жишээлбэл, зүүн хэсгийг: . Одоо энэ хэсгийг тэнцүүлж үзье дурын дугаар руу(аль хэдийн тэг байсан гэдгийг санаарай), жишээлбэл, нэг рүү: . -ээс хойш бусад хоёр "хэсэг" нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой. Үндсэндээ та системийг шийдэх хэрэгтэй: |
Дараах шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг зохио. 
Шийдэл: Шулууныг каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд эхний шатанд та шугамд хамаарах зарим цэг ба түүний чиглэлийн векторыг олох хэрэгтэй.
a) тэгшитгэлээс 
цэг ба чиглэлийн векторыг хас: . Та өөр нэг цэгийг сонгож болно (үүнийг хэрхэн хийх талаар дээр дурдсан), гэхдээ хамгийн тодорхой нэгийг нь авах нь дээр. Дашрамд хэлэхэд алдаа гаргахгүйн тулд түүний координатыг тэгшитгэлд байнга орлуулж байгаарай.
Энэ мөрөнд параметрийн тэгшитгэлийг байгуулъя: 
Параметр тэгшитгэлийн тав тухтай байдал нь шулуун дээрх бусад цэгүүдийг олоход маш хялбар байдаг. Жишээлбэл, координат нь параметрийн утгатай тохирч байх цэгийг олъё. 
Иймд: б) Каноник тэгшитгэлүүдийг авч үзье 
. Энд цэг сонгох нь хэцүү биш, харин урвах явдал юм: (координатыг төөрөгдүүлэхээс болгоомжил!!!). Хөтөч векторыг хэрхэн арилгах вэ? Та энэ шугам юутай зэрэгцэж байгаа талаар таамаглаж болно, эсвэл энгийн албан ёсны аргыг ашиглаж болно: пропорц нь "Y" ба "Z" -ийг агуулж байгаа тул бид чиглэлийн векторыг бичиж, үлдсэн зайд тэг тавина: .
Шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг байгуулъя: 
в) Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье, өөрөөр хэлбэл "zet" нь юу ч байж болно. Хэрэв ямар нэгэн байвал, жишээ нь, . Тиймээс цэг нь энэ мөрөнд хамаарна. Чиглэлийн векторыг олохын тулд бид дараах албан ёсны аргыг ашигладаг: анхны тэгшитгэлд "x" ба "y" байдаг бөгөөд эдгээр газруудад чиглэлийн векторыг бичдэг. тэг: . Үлдсэн зайд бид тавьдаг нэгж: . Нэгийн оронд тэгээс бусад бүх тоо ажиллана.
Шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бичье. 
Өө-өө-өө-өө-өө... за, тэр өөрөө нэг өгүүлбэр уншиж байгаа юм шиг хэцүү байна =) Гэсэн хэдий ч тайвшрах нь дараа нь туслах болно, ялангуяа өнөөдөр би тохирох дагалдах хэрэгслийг худалдаж авсан. Тиймээс, эхний хэсэгт орцгооё, нийтлэлийн төгсгөлд би хөгжилтэй байх болно гэж найдаж байна.
Хоёр шулуун шугамын харьцангуй байрлал
Үзэгчид найрал дуугаар дуулж байхад ийм л байдаг. Хоёр шулуун шугам байж болно:
1) тохирох;
2) зэрэгцээ байх: ;
3) эсвэл нэг цэгээр огтлолцоно: .
Дамми нарт туслах : Математик уулзварын тэмдгийг санаарай, энэ нь маш олон удаа гарч ирэх болно. Тэмдэглэгээ нь шугам нь цэг дээрх шугамтай огтлолцдог гэсэн үг юм.
Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?
Эхний тохиолдлоос эхэлье:
Харгалзах коэффициентүүд нь пропорциональ байвал хоёр шугам давхцдаг, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда" гэсэн тоо байдаг
Шулуун шугамуудыг авч үзээд харгалзах коэффициентуудаас гурван тэгшитгэл байгуулъя: . Тэгшитгэл бүрээс харахад эдгээр шугамууд давхцаж байна.
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентууд 
-1-ээр үржүүлж (тэмдэг өөрчлөх), тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг 2-оор бууруулснаар та ижил тэгшитгэлийг авна: .
Хоёр дахь тохиолдол, шугамууд зэрэгцээ байх үед:
Хоёр шугам нь зөвхөн хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ байвал зэрэгцээ байна. 
, Гэхдээ.
Жишээ болгон хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Бид хувьсагчдын харгалзах коэффициентүүдийн пропорциональ байдлыг шалгана. 
Гэсэн хэдий ч энэ нь маш тодорхой юм.
Гурав дахь тохиолдол, шугамууд огтлолцох үед:
Хэрэв хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ БИШ бол хоёр шугам огтлолцоно, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда"-н тийм утга байхгүй 
Тиймээс шулуун шугамын хувьд бид дараахь системийг бий болгоно. 
Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс: , гэсэн утгатай систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс хувьсагчдын коэффициентүүд нь пропорциональ биш юм.
Дүгнэлт: шугамууд огтлолцдог
Практик асуудлуудад та саяхан хэлэлцсэн шийдлийн схемийг ашиглаж болно. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь бидний ангид үзсэн векторуудын уялдаа холбоог шалгах алгоритмыг санагдуулдаг. Векторуудын шугаман хамаарлын тухай ойлголт. Векторуудын үндэс. Гэхдээ илүү соёлтой савлагаа байдаг:
Жишээ 1
Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол: 
Шийдэлшулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын судалгаанд үндэслэн:
a) Тэгшитгэлээс бид шугамын чиглэлийн векторуудыг олно. 
.
, энэ нь векторууд нь коллинеар биш, шугамууд огтлолцдог гэсэн үг юм.
Ямар ч тохиолдолд би уулзвар дээр тэмдэг бүхий чулуу тавина:
Үлдсэн хэсэг нь чулуун дээгүүр үсэрч, цаашаа шууд үхэшгүй мөнх Кащей руу явна =)
б) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол: 
Шугамууд нь ижил чиглэлийн вектортой бөгөөд энэ нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна гэсэн үг юм. Энд тодорхойлогчийг тоолох шаардлагагүй.
Үл мэдэгдэхийн коэффициентүүд нь пропорциональ байх нь тодорхой бөгөөд .
Тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье: 
Тиймээс,
в) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол: 
Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё. 
, тиймээс чиглэлийн векторууд нь коллинеар байна. Шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.
"lambda" пропорциональ коэффициентийг коллинеар чиглэлийн векторуудын харьцаанаас шууд харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дамжуулан олж болно. 
.
Одоо тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье. Үнэгүй нөхцөл хоёулаа тэг тул:
Үүссэн утга нь энэ тэгшитгэлийг хангана (ерөнхийдөө дурын тоо үүнийг хангана).
Тиймээс шугамууд давхцдаг.
Хариулах:
Удалгүй та амаар хэлэлцсэн асуудлыг хэдхэн секундын дотор шийдэж сурах болно (эсвэл бүр аль хэдийн сурсан). Үүнтэй холбогдуулан би бие даасан шийдлийг санал болгох ямар ч утгагүй гэж би олж харахгүй байна, геометрийн сууринд өөр нэг чухал тоосго тавих нь дээр.
Өгөгдсөн шугамтай параллель шугамыг хэрхэн барих вэ?
Энэхүү энгийн даалгаврыг үл тоомсорлосоны улмаас Nightingale the Nightingale нь хатуу шийтгэдэг.
Жишээ 2
Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Цэгээр дамжин өнгөрөх параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл: Үл мэдэгдэх мөрийг үсгээр тэмдэглэе. Нөхцөл байдал нь түүний талаар юу хэлэх вэ? Шулуун шугам нь цэгээр дамждаг. Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал "tse" шулуун шугамын чиглэлийн вектор нь "de" шулуун шугамыг барихад тохиромжтой байх нь ойлгомжтой.
Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.
Хариулах:
Жишээ геометр нь энгийн харагдаж байна: 
Аналитик туршилт нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ.
1) Шугамууд ижил чиглэлтэй вектор байгаа эсэхийг шалгана (хэрэв шулууны тэгшитгэлийг зөв хялбарчлаагүй бол векторууд нь коллинеар байх болно).
2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.
Ихэнх тохиолдолд аналитик туршилтыг амаар хялбархан хийж болно. Хоёр тэгшитгэлийг хар, тэгвэл та нарын олонхи нь ямар ч зураглалгүйгээр шугамын параллель байдлыг хурдан тодорхойлох болно.
Өнөөдөр бие даасан шийдлүүдийн жишээ нь бүтээлч байх болно. Учир нь та Баба Ягатай өрсөлдөх шаардлагатай хэвээр байх болно, тэр бол бүх төрлийн оньсогоонд дуртай нэгэн.
Жишээ 3
Хэрэв шулуунтай параллель цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич
Үүнийг шийдэх оновчтой, тийм ч оновчтой бус арга бий. Хамгийн богино зам бол хичээлийн төгсгөлд байдаг.
Бид зэрэгцээ шугамуудтай бага зэрэг ажилласан бөгөөд дараа нь тэдгээрт буцаж очих болно. Мөрүүд давхцах нь сонирхол багатай тул сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс танд маш сайн танил болсон асуудлыг авч үзье.
Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг хэрхэн олох вэ?
Хэрэв шулуун бол 
цэг дээр огтлолцвол координатууд нь шийдэл болно шугаман тэгшитгэлийн системүүд 
Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ? Системийг шийд.
Энд байна хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн геометрийн утга- эдгээр нь хавтгай дээрх хоёр огтлолцсон (ихэнхдээ) шугам юм.
Жишээ 4
Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол
Шийдэл: График болон аналитик гэсэн хоёр аргаар шийдвэрлэх боломжтой.
График арга нь зүгээр л өгөгдсөн шугамуудыг зурж, огтлолцлын цэгийг зургаас шууд олох явдал юм. 
Бидний санаа энд байна: . Шалгахын тулд та түүний координатыг шугамын тэгшитгэл бүрт орлуулах хэрэгтэй бөгөөд тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь тохирох ёстой. Өөрөөр хэлбэл цэгийн координат нь системийн шийдэл юм. Үндсэндээ бид график шийдлийг авч үзсэн шугаман тэгшитгэлийн системүүдхоёр тэгшитгэлтэй, хоёр үл мэдэгдэх.
График арга нь мэдээжийн хэрэг муу биш, гэхдээ мэдэгдэхүйц сул талууд байдаг. Үгүй ээ, гол нь долдугаар ангийн хүүхдүүд ингэж шийдээд байгаа юм биш, гол нь зөв, ЗӨВ зураг бүтээхэд цаг хугацаа хэрэгтэй. Нэмж дурдахад зарим шулуун шугамыг барихад тийм ч хялбар биш бөгөөд огтлолцох цэг нь өөрөө гуч дахь хаант улсын хаа нэгтээ дэвтрийн хуудасны гадна байрладаг байж болно.
Тиймээс огтлолцох цэгийг аналитик аргаар хайх нь илүү тохиромжтой. Системийг шийдье: 
Системийг шийдвэрлэхийн тулд тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх аргыг ашигласан. Холбогдох чадварыг хөгжүүлэхийн тулд хичээлд хамрагдаарай Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?
Хариулах:
Шалгалт нь өчүүхэн юм - огтлолцлын цэгийн координатууд нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангах ёстой.
Жишээ 5
Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол тэдгээрийн огтлолцох цэгийг ол.
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Даалгаврыг хэд хэдэн үе шатанд хуваахад тохиромжтой. Нөхцөл байдлын шинжилгээ нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.
1) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
2) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
3) Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол.
4) Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийг ол.
Үйлдлийн алгоритмыг боловсруулах нь геометрийн олон асуудлуудын хувьд ердийн зүйл бөгөөд би үүн дээр дахин дахин анхаарлаа хандуулах болно.
Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл ба хариулт:
Хичээлийн 2-р хэсэгт орохоос өмнө ганц ч гутал элэгдсэнгүй.
Перпендикуляр шугамууд. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.
Шулуун шугамын хоорондох өнцөг
Ердийн бөгөөд маш чухал ажлаас эхэлцгээе. Эхний хэсэгт бид үүнтэй зэрэгцэн шулуун шугам барихыг сурсан бөгөөд одоо тахианы хөл дээрх овоохой 90 градус эргэх болно.
Өгөгдсөн шугамд перпендикуляр шугамыг хэрхэн барих вэ?
Жишээ 6
Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Тухайн цэгийг дайран өнгөрөх шулуунд перпендикуляр тэгшитгэл бич.
Шийдэл: Нөхцөлөөр энэ нь мэдэгдэж байна. Шугамын чиглүүлэх векторыг олох нь сайхан байх болно. Шугамууд перпендикуляр байдаг тул заль мэх нь энгийн:
Тэгшитгэлээс бид хэвийн векторыг "арилгаж": , энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх вектор болно.
Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя.
Хариулах: 
Геометрийн тоймыг өргөжүүлье.
Ммм... Улбар шар тэнгэр, улбар шар тэнгис, улбар шар тэмээ.
Шийдлийн аналитик баталгаажуулалт:
1) Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторуудыг гаргаж авдаг 
мөн тусламжтайгаар векторуудын скаляр үржвэрШулуун нь үнэхээр перпендикуляр байна гэсэн дүгнэлтэд бид хүрч байна: .
Дашрамд хэлэхэд та ердийн векторуудыг ашиглаж болно, энэ нь бүр ч хялбар юм.
2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу 
.
Дахин хэлэхэд туршилтыг амаар хийхэд хялбар байдаг.
Жишээ 7
Тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол перпендикуляр шулуунуудын огтлолцлын цэгийг ол 
ба хугацаа.
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Асуудалд хэд хэдэн арга хэмжээ байдаг тул шийдлийг цэг болгон томъёолох нь тохиромжтой.
Бидний сэтгэл хөдөлгөм аялал үргэлжилсээр байна:
Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай
Бидний өмнө голын шулуун зурвас байгаа бөгөөд бидний даалгавар бол хамгийн богино замаар хүрэх явдал юм. Ямар ч саад тотгор байхгүй, хамгийн оновчтой зам нь перпендикулярын дагуу шилжих болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикуляр сегментийн урт юм.
Геометрийн зайг уламжлалт ёсоор Грекийн "rho" үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: - "em" цэгээс "de" шулуун шугам хүртэлх зай.
Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай 
томъёогоор илэрхийлнэ
Жишээ 8
Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол 
Шийдэл: таны хийх ёстой зүйл бол тоонуудыг томъёонд анхааралтай орлуулж, тооцооллыг хийх явдал юм.
Хариулах: 
Зураг зурцгаая: 
Цэгээс шугам хүртэлх олсон зай нь улаан сегментийн урттай яг тэнцүү байна. Хэрэв та алаг цаасан дээр 1 нэгжийн масштабаар зураг зурвал. = 1 см (2 нүд), дараа нь зайг энгийн захирагчаар хэмжиж болно.
Ижил зураг дээр үндэслэсэн өөр даалгаврыг авч үзье.
Даалгавар нь шулуун шугамтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг олох явдал юм 
. Би алхамуудыг өөрөө хийхийг санал болгож байна, гэхдээ би шийдлийн алгоритмыг завсрын үр дүнгээр тайлбарлах болно:
1) Шугаманд перпендикуляр шугамыг ол.
2) Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол: 
.
Энэ хоёр үйлдлийг энэ хичээлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.
3) Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Бид дунд болон нэг төгсгөлийн координатыг мэддэг. By сегментийн дунд цэгийн координатын томъёобид олдог.
Мөн зай нь 2.2 нэгж байгаа эсэхийг шалгах нь зүйтэй юм.
Энд тооцоолол хийхэд хүндрэл гарч болзошгүй ч микро тооцоолуур нь цамхагт маш сайн туслах бөгөөд энгийн бутархайг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Би танд олон удаа зөвлөсөн бөгөөд дахин санал болгох болно.
Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?
Жишээ 9
Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол
Энэ бол та өөрөө шийдэх бас нэг жишээ юм. Би танд бага зэрэг зөвлөгөө өгөх болно: үүнийг шийдэх хязгааргүй олон арга бий. Хичээлийн төгсгөлд дүгнэлт хийж байна, гэхдээ та өөрөө таах гэж оролдсон нь дээр, таны авъяас чадвар сайн хөгжсөн гэж бодож байна.
Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг
Булан бүр нь түгжрэл юм: 
Геометрийн хувьд хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ЖИЖИГ өнцөг гэж авдаг бөгөөд үүнээс автоматаар мохоо байж болохгүй гэсэн дүгнэлт гарна. Зураг дээр улаан нумаар заасан өнцгийг огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөг гэж үзэхгүй. Мөн түүний "ногоон" хөрш эсвэл эсрэг чиглэсэн"бөөрөлзгөнө" булан.
Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал 4 өнцгийн аль нэгийг нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг болгон авч болно.
Өнцөг ямар ялгаатай вэ? Баримтлал. Нэгдүгээрт, өнцгийг "гүйлгэх" чиглэл нь үндсэндээ чухал юм. Хоёрдугаарт, сөрөг чиглэлтэй өнцгийг хасах тэмдгээр бичнэ, жишээлбэл.
Би яагаад чамд үүнийг хэлсэн юм бэ? Өнцөг гэдэг жирийн нэг ойлголтоор л явж чадах юм шиг байна. Бидний өнцгийг олох томъёо нь сөрөг үр дүнд амархан хүргэж болзошгүй тул энэ нь таныг гайхшруулах ёсгүй. Хасах тэмдэгтэй өнцөг нь үүнээс муу зүйл биш бөгөөд маш тодорхой геометрийн утгатай. Зурган дээр сөрөг өнцгийн хувьд түүний чиглэлийг сумаар (цагийн зүүний дагуу) зааж өгөхөө мартуузай.
Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?Хоёр ажлын томъёо байдаг:
Жишээ 10
Шугамын хоорондох өнцгийг ол
ШийдэлТэгээд Нэгдүгээр арга
Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хоёр шулуун шугамыг ерөнхий хэлбэрээр авч үзье. 
Хэрэв шулуун бол перпендикуляр биш, Тэр чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно. 
Хуваарьт анхаарлаа хандуулцгаая - энэ нь яг тийм юм скаляр бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглүүлэх векторууд:
Хэрэв , тэгвэл томъёоны хуваагч тэг болж векторууд нь ортогональ, шулуунууд перпендикуляр байх болно. Тийм ч учраас томъёонд шулуун шугамын перпендикуляр бус байдлын талаар тайлбар хийсэн.
Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн шийдлийг хоёр үе шаттайгаар албан ёсны болгох нь тохиромжтой.
1) Шугамын чиглэлийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолъё.
, энэ нь шугамууд перпендикуляр биш гэсэн үг юм.
2) Дараах томъёог ашиглан шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол.
Урвуу функцийг ашигласнаар өнцгийг өөрөө олоход хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд бид арктангентын сондгой байдлыг ашигладаг (харна уу. График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд):
Хариулах: 
Таны хариултанд бид тооцоолуур ашиглан тооцоолсон тодорхой утгыг, мөн ойролцоо утгыг (градус ба радианаар аль алинд нь илүү тохиромжтой) зааж өгсөн болно.
За, хасах, хасах, том асуудал биш. Энд геометрийн дүрслэл байна: 
Өнцөг нь сөрөг чиглэлтэй болсон нь гайхах зүйл биш юм, учир нь асуудлын тайлбарт эхний тоо нь шулуун шугам бөгөөд өнцгийг "тайлах" нь яг түүгээр эхэлсэн юм.
Хэрэв та үнэхээр эерэг өнцөг авахыг хүсч байвал шугамуудыг солих хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авах хэрэгтэй. 
, эхний тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авна. Товчхондоо та шууд ярианаас эхлэх хэрэгтэй 
.
ОНГОЦ ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ
Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон α 1 ба α 2 гэсэн хоёр хавтгайг авч үзье.
Доод өнцөгХоёр хавтгайн хооронд бид эдгээр хавтгайнуудаас үүссэн хоёр талт өнцгүүдийн аль нэгийг ойлгох болно. Хэвийн векторууд ба α 1 ба α 2 хавтгайн хоорондох өнцөг нь заасан зэргэлдээ хоёр талт өнцгүүдийн аль нэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. 
. Тийм ч учраас 
. Учир нь 
Тэгээд 
, Тэр
.
Жишээ.Онгоц хоорондын өнцгийг тодорхойлно уу x+2y-3z+4=0 ба 2 x+3y+z+8=0.
Хоёр хавтгайн зэрэгцээ байх нөхцөл.
α 1 ба α 2 хоёр хавтгай нь тэдгээрийн хэвийн векторууд параллель байх тохиолдолд л зэрэгцээ байна 
.
Тиймээс, харгалзах координатын коэффициентүүд пропорциональ байвал хоёр хавтгай бие биетэйгээ параллель байна.
эсвэл
Хавтгайнуудын перпендикуляр байдлын нөхцөл.
Хоёр хавтгай перпендикуляр байх нь зөвхөн тэдгээрийн хэвийн векторууд нь перпендикуляр, тиймээс, эсвэл .
Ийнхүү, .
Жишээ.
САНСАР ШУУД.
Шугамын Вектор тэгшитгэл.
ПАРАМЕТРИЙН ШУУД ТЭГШИГЧИЛГЭЭ
Шугамын орон зай дахь байрлал нь түүний тогтмол цэгүүдийн аль нэгийг зааж өгснөөр бүрэн тодорхойлогддог М 1 ба энэ шулуунтай параллель вектор.
Шугамантай параллель векторыг нэрлэдэг хөтөчэнэ шугамын вектор.
Тиймээс шулуун шугамыг тавь лцэгээр дамждаг М 1 (x 1 , y 1 , z 1), вектортой параллель шугаман дээр хэвтэж байна.
Дурын цэгийг авч үзье М(x,y,z)шулуун шугам дээр. Зурагнаас харахад энэ нь тодорхой байна 
.
Векторууд ба коллинеар тул ийм тоо байна т, юу , үржүүлэгч хаана байна тцэгийн байрлалаас хамааран ямар ч тоон утгыг авч болно Мшулуун шугам дээр. Хүчин зүйл тпараметр гэж нэрлэдэг. Цэгүүдийн радиус векторуудыг тодорхойлсон М 1 ба Мболон -ээр дамжуулан бид . Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг векторшулуун шугамын тэгшитгэл. Энэ нь параметр бүрийн утгыг харуулж байна тзарим цэгийн радиус вектортой тохирч байна М, шулуун шугам дээр хэвтэж байна.
Энэ тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр бичье. Анхаарна уу, 
мөн эндээс
Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ параметрийншулуун шугамын тэгшитгэл.
Параметрийг өөрчлөх үед ткоординатууд өөрчлөгдөнө x, yТэгээд zба хугацаа Мшулуун шугамаар хөдөлдөг.
ШУУДЫН КАНОНИК тэгшитгэлүүд
Болъё М 1 (x 1 , y 1 , z 1) - шулуун шугам дээр байрлах цэг л, Мөн 
нь түүний чиглэлийн вектор юм. Шугаман дээрх дурын цэгийг дахин авч үзье М(x,y,z)ба векторыг авч үзье.
Векторууд нь бас коллинеар байх нь тодорхой тул тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байх ёстой.
– каноникшулуун шугамын тэгшитгэл.
Тайлбар 1.Шугамын каноник тэгшитгэлийг параметрийг хасах замаар параметрийн тэгшитгэлээс олж авч болохыг анхаарна уу. т. Үнэн хэрэгтээ бид параметрийн тэгшитгэлээс олж авдаг 
эсвэл .
Жишээ.Шугамын тэгшитгэлийг бичнэ үү 
параметрийн хэлбэрээр.
гэж тэмдэглэе 
, эндээс x = 2 + 3т, y = –1 + 2т, z = 1 –т.
Тайлбар 2.Шулуун шугамыг координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд, жишээлбэл тэнхлэгт перпендикуляр болго Үхэр. Дараа нь шугамын чиглэлийн вектор перпендикуляр байна Үхэр, тиймээс, м=0. Үүний үр дүнд шугамын параметрийн тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна
Тэгшитгэлээс параметрийг оруулаагүй болно т, бид шугамын тэгшитгэлийг хэлбэрээр олж авна
Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд бид шугамын каноник тэгшитгэлийг хэлбэрээр албан ёсоор бичихийг зөвшөөрч байна 
. Тиймээс аль нэг бутархайн хуваагч тэг байвал шулуун шугам нь харгалзах координатын тэнхлэгт перпендикуляр байна гэсэн үг юм.
Каноник тэгшитгэлтэй төстэй 
тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамтай тохирч байна ҮхэрТэгээд Өөэсвэл тэнхлэгтэй зэрэгцээ Оз.
Жишээ.
ХОЁР ХАТГАЛТЫН УУЛЗАЛТЫН ШУГАМ ГЭДЭГ Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлүүд
Сансар огторгуйн шулуун шугам бүрээр тоо томшгүй олон онгоц байдаг. Тэдгээрийн аль ч хоёр нь огтлолцож, түүнийг орон зайд тодорхойлдог. Иймээс аль нэг ийм хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг хамтад нь авч үзвэл энэ шугамын тэгшитгэлийг илэрхийлнэ.
Ерөнхийдөө ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн аль ч хоёр зэрэгцээ бус хавтгай
тэдгээрийн огтлолцлын шулуун шугамыг тодорхойлно. Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ.
Жишээ.
Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамыг байгуул 
Шулуун шугам барихын тулд түүний дурын хоёр цэгийг олоход хангалттай. Хамгийн хялбар арга бол координатын хавтгайтай шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг сонгох явдал юм. Жишээлбэл, онгоцтой огтлолцох цэг xOyбид шулуун шугамын тэгшитгэлээс олж авна z= 0:
Энэ системийг шийдсэний дараа бид цэгийг олдог М 1 (1;2;0).
Үүнтэй адилаар таамаглаж байна y= 0, бид шулууны хавтгайтай огтлолцох цэгийг авна xOz:
Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс түүний каноник эсвэл параметрийн тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Үүнийг хийхийн тулд та тодорхой цэгийг олох хэрэгтэй МШулуун шугам дээр 1 ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.
Цэгийн координат М 1-ийг бид энэ тэгшитгэлийн системээс олж, координатуудын аль нэгийг дурын утгыг өгдөг. Чиглэлийн векторыг олохын тулд энэ вектор хоёр хэвийн векторт перпендикуляр байх ёстойг анхаарна уу 
Тэгээд 
. Тиймээс шулуун шугамын чиглэлийн вектороос цааш лхэвийн векторуудын вектор үржвэрийг авч болно:
.
Жишээ.Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өг 
каноник хэлбэрт.
Шулуун дээр хэвтэж буй цэгийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид координатуудын аль нэгийг дур мэдэн сонгоно, жишээлбэл, y= 0 ба тэгшитгэлийн системийг шийд:
Шугамыг тодорхойлж буй хавтгайнуудын хэвийн векторууд нь координаттай байдаг 
Тиймээс чиглэлийн вектор шулуун байх болно
. Тиймээс, л: 
.
ШУУД ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ
ӨнцөгОрон зайн шулуун шугамуудын хооронд бид өгөгдөлтэй параллель дурын цэгээр татсан хоёр шулуун шугамаас үүссэн зэргэлдээх өнцгүүдийн аль нэгийг нэрлэх болно.
Орон зайд хоёр мөр өгье.
Шулуун шугамуудын хоорондох φ өнцгийг тэдгээрийн чиглэлийн векторууд ба -ын хоорондох өнцөг гэж авч болох нь ойлгомжтой. -ээс хойш векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог ашиглан бид олж авна
Би товчхон хэлье. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс, хэрэв та a = (x 1 ; y 1 ; z 1) ба b = (x 2 ; y 2; z 2) чиглэлийн векторуудын координатыг олж чадвал өнцгийг олох боломжтой. Илүү нарийвчлалтай, өнцгийн косинусыг томъёоны дагуу:
Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан энэ томъёо хэрхэн ажилладагийг харцгаая:
Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 шоо дээр E ба F цэгүүдийг тэмдэглэв - A 1 B 1 ба B 1 C 1 ирмэгүүдийн дунд цэгүүд. AE ба BF шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.
Шоогийн ирмэгийг заагаагүй тул AB = 1 гэж тохируулъя. Бид стандарт координатын системийг нэвтрүүлж байна: эх цэг нь А цэг дээр, x, y, z тэнхлэгүүд нь AB, AD, AA 1-ийн дагуу тус тус чиглэнэ. Нэгж сегмент нь AB = 1-тэй тэнцүү. Одоо шугамуудынхаа чиглэлийн векторуудын координатыг олъё.
AE векторын координатыг олъё. Үүний тулд бидэнд A = (0; 0; 0) ба E = (0.5; 0; 1) цэгүүд хэрэгтэй. E цэг нь A 1 B 1 сегментийн дунд байдаг тул координатууд нь төгсгөлүүдийн координатын арифметик дундажтай тэнцүү байна. AE векторын гарал үүсэл нь координатын эхтэй давхцаж байгаа тул AE = (0.5; 0; 1) болохыг анхаарна уу.
Одоо BF векторыг харцгаая. Үүний нэгэн адил бид B = (1; 0; 0) ба F = (1; 0.5; 1) цэгүүдэд дүн шинжилгээ хийдэг, учир нь F нь B 1 C 1 сегментийн дунд хэсэг юм. Бидэнд байгаа:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).
Тэгэхээр чиглэлийн векторууд бэлэн боллоо. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийн косинус нь чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийн косинус тул бид дараах байдалтай байна.
Даалгавар. Ердийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмд бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү, D ба E цэгүүдийг тэмдэглэв - ирмэгүүдийн дунд цэгүүд A 1 B 1 ба B 1 C 1 тус тус байна. AD ба BE шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.
Стандарт координатын системийг нэвтрүүлье: гарал үүсэл нь А цэг дээр, x тэнхлэг нь AB дагуу, z - AA 1 дагуу. OXY хавтгай нь ABC хавтгайтай давхцахаар y тэнхлэгийг чиглүүлье. Нэгж сегмент нь AB = 1-тэй тэнцүү. Шаардлагатай шулуунуудын чиглэлийн векторуудын координатыг олъё.
Эхлээд AD векторын координатыг олъё. Цэгүүдийг анхаарч үзээрэй: A = (0; 0; 0) ба D = (0.5; 0; 1), учир нь D - сегментийн дунд хэсэг A 1 B 1. AD векторын эхлэл нь координатын эхлэлтэй давхцаж байгаа тул бид AD = (0.5; 0; 1) авна.
Одоо BE векторын координатыг олъё. B цэг = (1; 0; 0) нь тооцоолоход хялбар байдаг. E цэгээр - сегментийн дунд хэсэг C 1 B 1 - энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Бидэнд байгаа:
Өнцгийн косинусыг олоход л үлддэг.
Даалгавар. Энгийн зургаан өнцөгт призм ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , бүх ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү, K ба L цэгүүдийг тэмдэглэсэн - ирмэгүүдийн дунд цэгүүд нь A 1 B 1 ба B 1 C 1 байна. . AK ба BL шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.
Призмийн стандарт координатын системийг танилцуулъя: бид координатын гарал үүслийг доод суурийн төвд байрлуулж, x тэнхлэг нь FC-ийн дагуу, у тэнхлэг нь AB ба DE сегментүүдийн дунд цэгүүдээр, z тэнхлэгүүдээр дамждаг. тэнхлэг нь босоо дээш чиглэсэн байна. Нэгж сегмент дахин AB = 1-тэй тэнцүү байна. Бидний сонирхсон цэгүүдийн координатыг бичье.
K ба L цэгүүд нь A 1 B 1 ба B 1 C 1 сегментүүдийн дунд цэгүүд тул тэдгээрийн координатыг арифметик дундажаар олно. Цэгүүдийг мэдсэнээр бид AK ба BL чиглэлийн векторуудын координатыг олно.
Одоо өнцгийн косинусыг олъё.
Даалгавар. Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү SABCD дөрвөлжин пирамид дээр E ба F цэгүүдийг тэмдэглэв - SB ба SC талуудын дунд цэгүүд. AE ба BF шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.
Стандарт координатын системийг нэвтрүүлье: гарал үүсэл нь А цэг дээр, x ба у тэнхлэгүүд AB ба AD дагуу тус тус, z тэнхлэг нь босоо дээшээ чиглэсэн байна. Нэгж сегмент нь AB = 1-тэй тэнцүү байна.
E ба F цэгүүд нь SB ба SC сегментүүдийн дунд цэгүүд тул тэдгээрийн координатуудыг төгсгөлүүдийн арифметик дундажаар олно. Бидний сонирхсон цэгүүдийн координатыг бичье.
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Цэгүүдийг мэдсэнээр бид AE ба BF чиглэлийн векторуудын координатыг олно.
А цэг нь эхлэл учраас AE векторын координатууд нь Е цэгийн координатуудтай давхцаж байна. Өнцгийн косинусыг олоход л үлддэг.
