Анги: 9
Хичээлийн зорилго:
- оюутнуудын мэдлэг, чадварыг нэгтгэх, өргөжүүлэх, системчлэх; нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд мэдлэгийг хэрхэн ашиглахыг заах;
- асуудлыг шийдвэрлэхдээ мэдлэгээ бие даан ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;
- оюутнуудын логик сэтгэлгээ, математик яриаг хөгжүүлэх, дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, нэгтгэх чадварыг хөгжүүлэх;
- оюутнуудад өөртөө итгэх итгэл, шаргуу хөдөлмөрийг бий болгох; багаар ажиллах чадвар.
Хичээлийн зорилго:
- Боловсролын:Менелаус ба Чевагийн теоремуудыг давтах; асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг хэрэглээрэй.
- Хөгжлийн:таамаглал дэвшүүлж, үзэл бодлоо нотлох баримтаар чадварлаг хамгаалж сурах; мэдлэгээ нэгтгэх, системчлэх чадварыг шалгах.
- Боловсролын:сэдвийн сонирхлыг нэмэгдүүлэх, илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд бэлтгэх.
Хичээлийн төрөл:мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх хичээл.
Тоног төхөөрөмж:Энэ сэдвээр хичээл дээр хамтын ажилд зориулсан картууд, бие даасан ажилд зориулсан картууд, компьютер, мультимедиа проектор, дэлгэц.
Хичээлийн үеэр
I шат. Зохион байгуулалтын үе (1 мин.)
Багш хичээлийн сэдэв, зорилгыг зарлана.
II шат. Үндсэн мэдлэг, ур чадварыг шинэчлэх (10 мин.)
Багш:Хичээлийн үеэр бид асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилттай шилжихийн тулд Менелаус, Чева нарын теоремуудыг санах болно. Үүнийг танилцуулсан дэлгэцийг харцгаая. Энэ дүрсийг аль теоремын хувьд өгсөн бэ? (Менелаусын теорем). Теоремыг тодорхой томъёолохыг хичээ.
Зураг 1
A 1 цэг нь АВС гурвалжны В талд, С 1 цэг AB тал дээр, В 1 цэг нь С цэгээс цааш АС талын үргэлжлэл дээр байрлана. A 1, B 1, C 1 цэгүүд зөвхөн нэг шулуун дээр хэвтэнэ. хэрэв тэгш байдал хангагдсан бол 
Багш:Дараах зургийг хамтдаа харцгаая. Энэ зургийн теоремыг хэл.
Зураг 2
AD шугам нь IUD гурвалжны хоёр тал ба гурав дахь талын өргөтгөлийг огтолж байна.
Менелаусын теоремын дагуу 
MB шулуун шугам нь ADC гурвалжны хоёр тал ба гурав дахь талын өргөтгөлтэй огтлолцоно.
Менелаусын теоремын дагуу 
Багш:Зураг ямар теоремтой тохирч байна вэ? (Севагийн теорем). Теоремыг хэл.
Зураг 3
ABC гурвалжны А 1 цэгийг ВС талд, В 1 цэгийг AC талд, С 1 цэгийг AB талд тусгая. AA 1, BB 1 ба CC 1 сегментүүд нь тэгш байдал хангагдсан тохиолдолд нэг цэгт огтлолцоно. 
III шат. Асуудал шийдэх. (22 мин.)
Анги нь 3 багт хуваагддаг бөгөөд тус бүр нь хоёр өөр даалгавар бүхий картыг хүлээн авдаг. Шийдвэр гаргах хугацаа өгсний дараа дэлгэцэн дээр дараах зүйл гарч ирнэ.<Рисунки 4-9>. Даалгавруудын гүйцэтгэсэн зураг дээр үндэслэн багийн төлөөлөгчид ээлжлэн шийдлээ тайлбарладаг. Тайлбар болгоны дараа хэлэлцүүлэг, асуултад хариулж, шийдлийн зөв эсэхийг дэлгэцэн дээр шалгана. Хэлэлцүүлэгт багийн бүх гишүүд оролцоно. Баг илүү идэвхтэй байх тусам үр дүнг нэгтгэн дүгнэхэд өндөр үнэлгээ авдаг.
Карт 1.
1. ABC гурвалжинд BC тал дээр N цэгийг авснаар NC = 3BN; АС талын үргэлжлэл дээр M цэгийг А цэг гэж авснаар MA = AC болно. MN шулуун AB талыг F цэгээр огтолж байна.Харьцааг ол
2. Гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцдогийг батал.
Шийдэл 1
Зураг 4
Асуудлын нөхцлийн дагуу MA = AC, NC = 3BN. MA = AC =b, BN = k, NC = 3k гэж үзье. MN шугам нь ABC гурвалжны хоёр тал ба гурав дахь хэсгийн үргэлжлэлийг огтолж байна.
Менелаусын теоремын дагуу 
Хариулт:
Нотлох баримт 2
Зураг 5
ABC гурвалжны медиануудыг AM 1, BM 2, CM 3 гэж үзье. Эдгээр сегментүүд нэг цэг дээр огтлолцдог гэдгийг батлахын тулд үүнийг харуулахад хангалттай 
Дараа нь Ceva-ийн (урвуу) теоремоор AM 1, BM 2, CM 3 хэрчмүүд нэг цэгт огтлолцоно.
Бидэнд байгаа: 
Тэгэхээр гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцдог нь батлагдсан.
Карт 2.
1. PQR гурвалжны PQ тал дээр N цэгийг, PR тал дээр L цэгийг авч NQ = LR. QL ба NR сегментүүдийн огтлолцлын цэг нь QL-ийг Q цэгээс эхлэн тоолох m:n харьцаагаар хуваана.
2. Гурвалжны биссектриссүүд нэг цэгт огтлолцдогийг батал.
Шийдэл 1
Зураг 6
Нөхцөлөөр NQ = LR, NA = LR =a, QF = км, LF = kn байг. NR шугам нь PQL гурвалжны хоёр тал ба гурав дахь хэсгийн үргэлжлэлийг огтолж байна.
Менелаусын теоремын дагуу 
Хариулт:
Нотлох баримт 2
Зураг 7
Үүнийг харуулъя 
Дараа нь Ceva-ийн (эсвэл) теоремоор AL 1, BL 2, CL 3 нэг цэгт огтлолцоно. Гурвалжны биссектрисын шинж чанараар
Хүлээн авсан тэгшитгэлийг нэр томъёогоор үржүүлснээр бид олж авна 
Гурвалжны биссектрисын хувьд Чевагийн тэгш байдал хангагдсан тул нэг цэг дээр огтлолцдог.
Карт 3.
1. ABC гурвалжинд AD нь медиан, О цэг нь медианы дунд байна. BO шулуун шугам нь АС талыг K цэгээр огтолж байна. А цэгээс тоолоход К цэг нь АС-ийг ямар харьцаагаар хуваах вэ?
2. Хэрэв гурвалжинд тойрог сийлсэн бол гурвалжны оройг эсрэг талуудын хүрэлцэх цэгүүдтэй холбосон хэрчмүүд нэг цэгт огтлолцдогийг батал.
Шийдэл 1
Зураг 8
BD = DC = a, AO = OD = m гэж үзье. BK шулуун нь ADC гурвалжны хоёр тал ба гурав дахь талын өргөтгөлтэй огтлолцоно.
Менелаусын теоремын дагуу 
Хариулт:
Нотлох баримт 2
Зураг 9
A 1, B 1 ба C 1 нь ABC гурвалжны бичээстэй тойргийн шүргэгч цэгүүд байг. AA 1, BB 1 ба CC 1 сегментүүд нэг цэгт огтлолцож байгааг батлахын тулд Cheva-ийн тэгш байдал хангагдсаныг харуулахад хангалттай. 
Нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгчийн шинж чанарыг ашиглан бид дараах тэмдэглэгээг оруулав: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.
Чевагийн тэгш байдал хангагдсан бөгөөд энэ нь гурвалжны биссектриссүүд нэг цэгт огтлолцдог гэсэн үг юм.
IV шат. Асуудал шийдвэрлэх (бие даасан ажил) (8 мин.)
Багш: Багуудын ажил дуусч, одоо бид 2 хувилбарын картууд дээр бие даасан ажлыг эхлүүлнэ.
Оюутнуудын бие даасан ажилд зориулсан хичээлийн материал
Сонголт 1.Талбай нь 6 байх ABC гурвалжинд AB тал дээр К цэг байгаа бөгөөд энэ талыг AK:BK = 2:3 харьцаагаар хуваадаг ба AC тал дээр АС-ийг хуваах L цэг байна. AL:LC = 5:3 харьцаагаар. СК ба BL шулуунуудын огтлолцлын Q цэгийг AB шулуунаас хол зайд арилгана. AB талын уртыг ол. (Хариулт: 4.)
Сонголт 2. ABC гурвалжны АС талд К цэгийг авав.AK = 1, KS = 3. AB талд L цэгийг авав.AL:LB = 2:3, Q нь BK ба CL шулуунуудын огтлолцлын цэг. B оройноос унасан ABC гурвалжны өндрийн уртыг ол. (Хариулт: 1.5.)
Бүтээлийг багшид шалгуулахаар өгнө.
V шат. Хичээлийн хураангуй (2 мин)
Алдаа гарсан тохиолдолд дүн шинжилгээ хийж, анхны хариулт, тайлбарыг тэмдэглэнэ. Баг бүрийн ажлын үр дүнг нэгтгэн дүгнэж, үнэлгээ өгдөг.
VI шат. Гэрийн даалгавар (1 мин.)
Гэрийн даалгавар No11, 12 х 289-290, No10 х 301 бодлогуудаас бүрдэнэ.
Багшийн эцсийн үгс (1 мин).
Өнөөдөр та бие биенийхээ математикийн яриаг гаднаас нь сонсож, чадвараа үнэлэв. Ирээдүйд бид сэдвийг илүү сайн ойлгохын тулд ийм хэлэлцүүлгийг ашиглах болно. Хичээл дэх маргаан нь баримттай, онол нь практиктай нөхөрлөдөг байв. Та бүхэнд баярлалаа.
Уран зохиол:
- Ткачук В.В. Өргөдөл гаргагчдад зориулсан математик. - М.: МТСНМО, 2005 он.
А.В. Шевкин
FMS дугаар 2007
Улсын нэгдсэн шалгалтын талаархи Чева, Менелаусын теоремууд
Манай сайтын ARTICLES буланд “Ceva and Menelaus-ийн теоремуудын эргэн тойронд” дэлгэрэнгүй нийтлэл нийтлэгдсэн. Математикийн мэдлэгтэй болох хүсэл эрмэлзэлтэй математикийн багш, ахлах ангийн сурагчдад зориулагдсан болно. Хэрэв та асуудлыг илүү нарийвчлан ойлгохыг хүсвэл үүн рүү буцаж болно. Энэхүү тэмдэглэлд бид дурдсан нийтлэлээс товч мэдээлэл өгч, 2016 оны Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх цуглуулгаас гарсан асуудлын шийдлийг шинжлэх болно.
Цевагийн теорем
Гурвалжин өгье ABCба түүний хажуу талд AB, МЭӨТэгээд А.С.цэгүүдийг тэмдэглэсэн C 1 , А 1 Тэгээд Б 1 дагуу (Зураг 1).
a) Хэрэв сегментүүд АА 1 , Б.Б 1 ба CC 1 нэг цэг дээр огтлолцоно, тэгвэл
b) Хэрэв тэгш байдал (1) үнэн бол хэрчмүүд АА 1 , Б.Б 1 ба CC 1 нь нэг цэг дээр огтлолцдог.
1-р зурагт сегментүүдийн тохиолдлыг харуулав АА 1 , Б.Б 1 ба CC 1 гурвалжин доторх нэг цэг дээр огтлолцоно. Энэ бол дотоод цэг гэж нэрлэгддэг тохиолдол юм. Цевагийн теорем нь гадаад цэгийн аль нэг цэгийн хувьд мөн хүчинтэй байна А 1 , Б 1 эсвэл ХАМТ 1 нь гурвалжны талд, нөгөө хоёр нь гурвалжны талуудын өргөтгөлүүдэд хамаарна. Энэ тохиолдолд сегментүүдийн огтлолцлын цэг АА 1 , Б.Б 1 ба CC 1 гурвалжны гадна байрладаг (Зураг 2).
|
|
|
Чевагийн тэгш байдлыг хэрхэн санах вэ?
Тэгш байдлыг санах техникт анхаарлаа хандуулцгаая (1). Харилцаа тус бүрийн гурвалжны оройнууд болон харилцаанууд нь гурвалжны оройг хөндлөн гарах чиглэлд бичигдсэн байдаг. ABC, цэгээс эхлэн А. Нэг цэгээс Агол руугаа орцгооё Б, бид зорилгодоо хүрч байна ХАМТ 1, бутархайг бич 
. Цаашид цэгээс INгол руугаа орцгооё ХАМТ, бид зорилгодоо хүрч байна А 1, бутархайг бич 
. Эцэст нь, цэгээс ХАМТгол руугаа орцгооё А, бид зорилгодоо хүрч байна IN 1, бутархайг бич 
. Гаднах цэгийн хувьд сегментийн хоёр "хуваах цэг" нь сегментийнхээ гадна байрладаг хэдий ч бутархай бичих дараалал хадгалагдана. Ийм тохиолдолд цэг нь сегментийг гаднаас нь хуваадаг гэж тэд хэлдэг.
Гурвалжны эсрэг талыг агуулсан шулууны дурын цэгтэй гурвалжны оройг холбосон хэрчмийг хэлнэ гэдгийг анхаарна уу. ceviana.
Дотоод цэгийн тохиолдлын хувьд Ceva теоремын а) мэдэгдлийг батлах хэд хэдэн аргыг авч үзье. Ceva-ийн теоремыг батлахын тулд та a) мэдэгдлийг доор санал болгож буй аргуудын аль нэгээр батлах, мөн b) мэдэгдлийг батлах хэрэгтэй. Б) мэдэгдлийн нотлох баримтыг a) нотлох эхний аргын дараа өгнө. Гадны цэгийн тохиолдлын хувьд Ceva-ийн теоремыг нотлох ажлыг мөн адил гүйцэтгэнэ.
Пропорционал сегментийн теоремыг ашиглан Ceva-ийн теоремын а) мэдэгдлийн баталгаа
Гурван цэвиан байг АА 1 , ББ 1 ба CC 1 цэг дээр огтлолцдог Згурвалжин дотор ABC.
Нотлох санаа нь тэгш байдлын (1) сегментүүдийн хамаарлыг нэг мөрөнд байрлах сегментүүдийн харьцаагаар солих явдал юм.
Цэгээр дамжуулан INЦэвиантай параллель шулуун шугам зуръя SS 1 . Чигээрээ АА 1 цэг дээр баригдсан шугамыг огтолж байна М, ба цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам Cба зэрэгцээ АА 1 , - цэг дээр Т. Цэгүүдээр дамжуулан АТэгээд ХАМТЦэвиануудтай параллель шулуун шугамуудыг татъя Б.Б 1 . Тэд шугамыг давах болно VMцэгүүдэд НТэгээд Рдагуу (Зураг 3).
П 
Бид пропорциональ сегментүүдийн теоремын талаар:
,
Тэгээд 
.
Дараа нь тэгш байдал үнэн болно
.
Параллелограмм хэлбэрээр ZСTMТэгээд ZCRBсегментүүд TM, СЗТэгээд BRпараллелограммын эсрэг талуудтай тэнцүү. Тиймээс, 
мөн тэгш байдал нь үнэн юм
.
Б) мэдэгдлийг батлахын тулд бид дараах мэдэгдлийг ашигладаг. Цагаан будаа. 3
Лемма 1.Хэрэв оноо ХАМТ 1 ба ХАМТ 2 сегментийг хуваа ABдотооддоо (эсвэл гадна талаас) ижил харьцаатай, нэг цэгээс тоолоход эдгээр цэгүүд давхцдаг.
Оноо байх үед тохиолдлын лемма-г баталъя ХАМТ 1 ба ХАМТ 2 сегментийг хуваа ABдотооддоо ижил хамааралтай: 
.
Баталгаа.Тэгш эрхээс 
тэгш байдал дагадаг 
Тэгээд 
. Тэдний сүүлчийнх нь зөвхөн ийм нөхцөлд л сэтгэл хангалуун байдаг ХАМТ 1 БТэгээд ХАМТ 2 Бтэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, оноо авсан тохиолдолд ХАМТ 1 ба ХАМТ 2 тоглолт.
Тохиолдолд зориулсан леммагийн нотлох баримт ХАМТ 1 ба ХАМТ 2 сегментийг хуваа ABГаднах байдлаар үүнийг ижил төстэй байдлаар гүйцэтгэдэг.
Б) Ceva-ийн теоремын мэдэгдлийн баталгаа
Одоо тэгш байдал (1) үнэн байг. Хэсгүүд гэдгийг баталцгаая АА 1 , Б.Б 1 ба CC 1 нь нэг цэг дээр огтлолцдог.
Чевичүүдийг зөвшөөр АА 1 ба Б.Б 1 цэг дээр огтлолцдог З, энэ цэгээр дамжуулан хэрчмийг зур CC 2 (ХАМТ 2 нь сегмент дээр байрладаг AB). Дараа нь a) мэдэгдэлд үндэслэн бид зөв тэгш байдлыг олж авна
.
(2)
БА 
(1) ба (2) тэгш байдлын харьцуулалтаас бид дүгнэж байна 
, өөрөөр хэлбэл оноо ХАМТ 1 ба ХАМТ 2 сегментийг хуваа ABижил харьцаатай, нэг цэгээс тоолох. Лемма 1-ээс энэ нь оноо гэсэн үг ХАМТ 1 ба ХАМТ 2 тоглолт. Энэ нь сегментүүд гэсэн үг юм АА 1 , Б.Б 1 ба CC 1 нь нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.
Тэгш тэгш байдлыг (1) бичих журам нь гурвалжны оройг аль цэгээс, аль чиглэлд гатлахаас хамаарахгүй гэдгийг баталж болно.
Дасгал 1.Хэсгийн уртыг ол АНБусад сегментүүдийн уртыг харуулсан зураг 4-т.
Хариулт. 8.
Даалгавар 2.Чевичууд А.М.,
Б.Н, CKгурвалжин доторх нэг цэг дээр огтлолцоно ABC. Хандлагаа олох 
, Хэрэв 
,
. Цагаан будаа. 4
Хариулт.
.
П 
Бид нийтлэлээс Ceva-ийн теоремын нотолгоог танилцуулж байна. Баталгаажуулах санаа нь тэгш байдлын (1) сегментүүдийн хамаарлыг параллель шулуун дээр байрлах сегментүүдийн харьцаагаар солих явдал юм.
Шулуун бай АА 1 , ББ 1 , CC 1 цэг дээр огтлолцдог Огурвалжин дотор ABC(Зураг 5). Дээд талаас ХАМТгурвалжин ABCЗэрэгцээ шулуун шугам татъя AB, ба түүний шугамтай огтлолцох цэгүүд АА 1 , ББ 1-ийг бид үүний дагуу тэмдэглэнэ А 2 , Б 2 .
Хоёр хос гурвалжны ижил төстэй байдлаас C.B. 2 Б 1 Тэгээд АББ 1 , БАА 1 Тэгээд C.A. 2 А 1, Зураг. 5
Бид тэгш эрхтэй
,
.
(3)
Гурвалжингийн ижил төстэй байдлаас МЭӨ 1 ОТэгээд Б 2 CO, АХАМТ 1 ОТэгээд А 2 COБид тэгш эрхтэй 
, үүнээс үүдэн гарч ирдэг
.
(4)
П 
Тэгш (3) ба (4)-ийг үржүүлснээр бид (1) тэгш байдлыг олж авна.
Ceva-ийн теоремын а) мэдэгдэл батлагдсан.
Цевагийн теоремын а) мэдэгдлийн баталгааг дотоод цэгийн талбайг ашиглан авч үзье. Үүнийг A.G-ийн номонд толилуулж байна. Мякишев бөгөөд бидний даалгавар хэлбэрээр томъёолсон мэдэгдэлд тулгуурладаг 3 Тэгээд 4 .
Даалгавар 3.Нэг шулуун дээр байрлах нийтлэг оройтой хоёр гурвалжны талбайн харьцаа нь эдгээр суурийн уртын харьцаатай тэнцүү байна. Энэ мэдэгдлийг нотлох.
Даалгавар 4.Үүнийг нотлох 
, Тэр 
Тэгээд 
. Цагаан будаа. 6
Сегментүүдийг оруулъя АА 1 , Б.Б 1 ба CC 1 цэг дээр огтлолцдог З(Зураг 6), дараа нь
,
.
(5)
БА 
тэгшитгэлээс (5) болон даалгаврын хоёр дахь мэдэгдэл 4
үүнийг дагадаг 
эсвэл 
. Үүнтэй адилаар бид үүнийг олж авдаг 
Тэгээд 
. Сүүлийн гурван тэгшитгэлийг үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.
,
өөрөөр хэлбэл, тэгш байдал (1) нь үнэн бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.
Ceva-ийн теоремын а) мэдэгдэл батлагдсан.
Даалгавар 15.Гурвалжин доторх нэг цэгт хөхөө огтлолцоод талбайнууд нь тэнцүү 6 гурвалжинд хуваа. С 1 , С 2 , С 3 , С 4 , С 5 , С 6 (Зураг 7). Үүнийг батлах. Цагаан будаа. 7
Даалгавар 6.Талбайг ол Сгурвалжин CNZ(бусад гурвалжны талбайг 8-р зурагт үзүүлэв).
Хариулт. 15.
Даалгавар 7.Талбайг ол Сгурвалжин CNO, хэрэв гурвалжны талбай бол АҮГҮЙтэнцүү 10 ба 
,
(Зураг 9).
Хариулт. 30.
Даалгавар 8.Талбайг ол Сгурвалжин CNO, хэрэв гурвалжны талбай бол АМЭӨ 88 ба ,
(Зураг 9).
|
|
|
Р 
шийдвэр.оноос хойш, бид тэмдэглэж байна 
,
. Учир нь
, дараа нь бид тэмдэглэнэ 
,
. Цевагийн теоремоос ийм зүйл гарч байна 
, Тэгээд 
. Хэрэв 
, Тэр 
(Зураг 10). Бидэнд үл мэдэгдэх гурван хэмжигдэхүүн байна ( x, y
Тэгээд С), олохын тулд СГурван тэгшитгэл хийцгээе.
Учир нь 
, Тэр 
= 88. оноос хойш 
, Тэр 
, хаана 
. Учир нь 
, Тэр 
.
Тэгэхээр, 
, хаана 
. Цагаан будаа. 10
Даалгавар 9.
Гурвалжинд ABCоноо КТэгээд Лталуудад тус тус хамаарна AB
Тэгээд БC.
,
.
П ALТэгээд CK. Гурвалжны талбай PBC 1-тэй тэнцүү. Гурвалжны талбайг ол ABC.
Хариулт. 1,75.
Т 
Менелаусын теорем
Гурвалжин өгье ABCба түүний хажуу талд А.С.Тэгээд CBцэгүүдийг тэмдэглэсэн Б 1 ба А 1 үүний дагуу, мөн үргэлжлэл талд ABцэгийг тэмдэглэсэн C 1 (Зураг 11).
a) Хэрэв оноо А 1 , Б 1 ба ХАМТ 1 ижил шулуун шугам дээр хэвтэж, тэгвэл
.
(6)
b) Хэрэв тэгш байдал (7) үнэн бол оноо А 1 , Б 1 ба ХАМТ 1 нь нэг шулуун шугам дээр хэвтэж байна. Цагаан будаа. арван нэгэн
Менелаусын тэгш байдлыг хэрхэн санах вэ?
Тэгш байдлыг санах арга (6) нь тэгш байдлын (1)-тэй адил байна. Харилцаа тус бүрийн гурвалжны оройнууд болон харилцаанууд нь гурвалжны оройг хөндлөн гарах чиглэлд бичигдсэн байдаг. ABC- оройноос орой хүртэл хуваагдах цэгүүдээр дамжин өнгөрөх (дотоод эсвэл гадаад).
Даалгавар 10.Гурвалжны аль ч оройгоос аль ч чиглэлд тэгш байдлыг (6) бичвэл ижил үр дүн гарна гэдгийг батал.
Менелаусын теоремыг батлахын тулд та a) мэдэгдлийг доор санал болгож буй аргуудын аль нэгээр батлах, мөн b) мэдэгдлийг батлах хэрэгтэй. Б) мэдэгдлийн нотлох баримтыг a) нотлох эхний аргын дараа өгнө.
Мэдэгдэлийн баталгаа а) пропорционал сегментийн теорем ашиглан
Iарга зам. a) Нотолгооны санаа нь тэгш байдал дахь сегментүүдийн уртын харьцааг (6) ижил шулуун дээр байрлах сегментүүдийн уртын харьцаагаар солих явдал юм.
Оноо өгье А 1 , Б 1 ба ХАМТ 1 нь нэг шулуун шугам дээр хэвтэж байна. Цэгээр дамжуулан Cшууд хийцгээе л, шугамтай зэрэгцээ А 1 Б 1, энэ нь шугамыг огтолж байна ABцэг дээр М(Зураг 12).
Р 
байна. 12
Пропорционал сегментүүдийн теоремоор бид дараах байдалтай байна. 
Тэгээд 
.
Дараа нь тэгш байдал үнэн болно 
.
Мэдэгдэлийн баталгаа b) Менелаусын теорем
Одоо (6) тэгш байдал үнэн байг, оноог баталъя А 1 , Б 1 ба ХАМТ 1 нь нэг шулуун шугам дээр хэвтэж байна. Шулуун бай ABТэгээд А 1 Б 1 цэг дээр огтлолцдог ХАМТ 2 (Зураг 13).
Онооноос хойш А 1 Б 1 ба ХАМТ 2 нь ижил шулуун дээр хэвтэж, дараа нь Менелаусын теоремын а) заалтын дагуу
. (7)
(6) ба (7) тэнцүү байдлын харьцуулалтаас бид байна 
, үүнээс тэгшитгэлүүд үнэн гэсэн үг
,
,
.
Сүүлчийн тэгш байдал нь зөвхөн үнэн юм 
, өөрөөр хэлбэл, хэрэв оноо ХАМТ 1 ба ХАМТ 2 тоглолт.
Менелаусын теоремын b) мэдэгдэл батлагдсан. Цагаан будаа. 13
Мэдэгдэлийн баталгаа а) гурвалжны ижил төстэй байдлыг ашиглан
Баталгаажуулах санаа нь тэгш байдлаас (6) сегментүүдийн уртын харьцааг параллель шулуун дээр байрлах сегментүүдийн уртын харьцаагаар солих явдал юм.
Оноо өгье А 1 , Б 1 ба ХАМТ 1 нь нэг шулуун шугам дээр хэвтэж байна. Онооноос А, БТэгээд Cперпендикуляр зурцгаая АА 0 , ББ 0 ба SSЭнэ шулуун шугам руу 0 (Зураг 14).
Р 
байна. 14
Гурван хос гурвалжны ижил төстэй байдлаас А.А. 0 Б 1 Тэгээд CC 0 Б 1 , CC 0 А 1 Тэгээд Б.Б 0 А 1 , C 1 Б 0 БТэгээд C 1 А 0 А(хоёр өнцгөөр) бид зөв тэнцүү байна
,
,
,
тэдгээрийг үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.
.
Менелаусын теоремын а) мэдэгдэл батлагдсан.
Мэдэгдэлийн баталгаа a) ашиглах газар
Нотолгооны санаа нь тэгш байдлаас (7) сегментүүдийн уртын харьцааг гурвалжны талбайн харьцаагаар солих явдал юм.
Оноо өгье А 1 , Б 1 ба ХАМТ 1 нь нэг шулуун шугам дээр хэвтэж байна. Цэгүүдийг холбоно CТэгээд C 1 . Гурвалжны талбайг тэмдэглэе С 1 , С 2 , С 3 , С 4 , С 5 (Зураг 15).
Дараа нь тэгш байдал үнэн болно
,
,
. (8)
Тэнцвэрийг (8) үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.
Менелаусын теоремын а) мэдэгдэл батлагдсан.
Р 
байна. 15
Севиануудын огтлолцох цэг нь гурвалжны гадна байгаа тохиолдолд Севагийн теорем хүчинтэй байдгийн адил хэрвээ секант гурвалжны зөвхөн талуудын өргөтгөлүүдийг огтолж байвал Менелаусын теорем хүчинтэй хэвээр байна. Энэ тохиолдолд бид гурвалжны талуудын хөндлөн огтлолцлын талаар ярьж болно.
Мэдэгдэлийн нотолгоо a) гадаад цэгүүдийн хувьд
П 
секант нь гурвалжны талуудыг огтолж байна ABCгаднах цэгүүдэд, өөрөөр хэлбэл талуудын өргөтгөлүүдийг огтолно AB,МЭӨТэгээд А.С.цэгүүдэд C 1 , А 1 ба Б 1, эдгээр цэгүүд нь нэг шулуун дээр байрладаг (Зураг 16).
Пропорционал сегментүүдийн теоремоор бид дараах байдалтай байна.
Мөн .
Дараа нь тэгш байдал үнэн болно
Менелаусын теоремын а) мэдэгдэл батлагдсан. Цагаан будаа. 16
Дээрх нотолгоо нь гурвалжны хоёр талыг дотоод цэгээр, нэг гадна тал дээр огтлолцох тохиолдолд Менелаусын теоремын нотолгоотой давхцаж байгааг анхаарна уу.
Гадны цэгийн тохиолдлын хувьд Менелаусын теоремын b) мэдэгдлийн баталгаа нь дээр дурдсан нотолгоотой төстэй.
З 
даалгавар11.
Гурвалжинд ABCоноо А 1 , IN 1 тус тус талдаа хэвтэнэ НарТэгээд АХАМТ.
П- сегментүүдийн огтлолцох цэг АА 1
Тэгээд Б.Б 1 .
,
. Хандлагаа олох 
.
Шийдэл.гэж тэмдэглэе 
,
,
,
(Зураг 17). Гурвалжны Менелаусын теоремын дагуу МЭӨIN 1 ба секант PA 1 бид зөв тэгш байдлыг бичнэ:
,
үүнээс үүдэн үүнийг дагадаг
. Цагаан будаа. 17
Хариулт.
.
З 
даалгавар12
(МУБИС, захидал харилцааны бэлтгэл курс).
Гурвалжинд ABC,
Талбай нь 6, хажуу талдаа ABцэг авсан TO,
холбоотой энэ талыг хуваалцаж байна 
, ба хажуу талд АС- цэг Л,
хуваах АСхарилцаанд байгаа 
. Цэг П
шугамын уулзварууд SKТэгээд INЛ
шулуун шугамаас хол AB 1.5 зайд. Хажуугийн уртыг ол AB.
Шийдэл.Онооноос РТэгээд ХАМТперпендикуляруудыг хаяцгаая PRТэгээд CMшууд AB. гэж тэмдэглэе 
,
,
,
(Зураг 18). Гурвалжны Менелаусын теоремын дагуу A.K.C.ба секант П.Л.Зөв тэгш байдлыг бичье: 
, бид үүнийг хаанаас авдаг 
,
. Цагаан будаа. 18
Гурвалжингийн ижил төстэй байдлаас TOМ.С.Тэгээд TOР.П.(хоёр өнцгөөр) бид үүнийг олж авдаг 
, үүнээс үүдэн гарч ирдэг 
.
Одоо хажуу тийш зурсан өндрийн уртыг мэдэж байна ABгурвалжин ABC, мөн энэ гурвалжны талбайг бид хажуугийн уртыг тооцоолно. 
.
Хариулт. 4.
З 
даалгавар13.
Төвтэй гурван тойрог А,IN,ХАМТ,
радиусууд нь хамааралтай байна 
, бие биенээ гаднаас нь цэгүүдэд хүрнэ X, Ю, З 19-р зурагт үзүүлснээр сегмент AXТэгээд BYцэг дээр огтлолцоно О.
Ямар талаас нь, цэгээс нь тоолж байна Б, шугамын хэсэг CZсегментийг хуваадаг BY?
Шийдэл.гэж тэмдэглэе 
,
,
(Зураг 19). Учир нь 
, дараа нь Ceva-ийн теоремын b) мэдэгдлийн дагуу сегментүүд АX, BYТэгээд ХАМТЗнэг цэг дээр огтлолцох - цэг О. Дараа нь сегмент CZсегментийг хуваадаг BYхарилцаанд байгаа 
. Энэ харилцааг олъё. Цагаан будаа. 19
Гурвалжны Менелаусын теоремын дагуу B.C.Y.ба секант ҮХЭРбидэнд байгаа: 
, үүнээс үүдэн гарч ирдэг 
.
Хариулт.
.
Даалгавар 14 (Улсын нэгдсэн шалгалт 2016).
Оноо IN 1 ба ХАМТ АСТэгээд ABгурвалжин ABC, ба AB 1:Б 1 ХАМТ
=
= АС 1:ХАМТ 1 Б. Шууд Б.Б 1
Тэгээд SS 1
цэг дээр огтлолцоно ТУХАЙ.
А 
) Мөр гэдгийг батал ХКталыг хоёр хуваасан Нар.
AB 1 О.Ч. 1 гурвалжны талбай руу ABC, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол AB 1:Б 1 ХАМТ = 1:4.
Шийдэл. a) Энэ нь шулуун шугам байх болтугай А.О. талыг гаталж байна МЭӨ цэг дээр А 1 (Зураг 20). Цевагийн теоремоор бид:
.
(9)
Учир нь AB 1:Б 1 ХАМТ
= АС 1:ХАМТ 1 Б, тэгвэл (9) тэгшитгэлээс ингэж гарна 
, тэр бол C.A. 1 = А 1 Б, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм. Цагаан будаа. 20
б) Гурвалжны талбайг үзье AB 1 О тэнцүү С. Учир нь AB 1:Б 1 ХАМТ C.B. 1 О 4-тэй тэнцүү С, гурвалжны талбай AOC 5-тай тэнцүү С. Дараа нь гурвалжны талбай AOB мөн 5-тай тэнцүү байна С, гурвалжингаас хойш AOB Тэгээд AOCнийтлэг үндэслэлтэй А.О., ба тэдгээрийн оройнууд БТэгээд Cшугамаас ижил зайд А.О.. Түүнээс гадна гурвалжны талбай AOC 1 тэнцүү байна С, учир нь АС 1:ХАМТ 1 Б = 1:4. Дараа нь гурвалжны талбай АББ 1 нь 6-тай тэнцүү С. Учир нь AB 1:Б 1 ХАМТ= 1:4, дараа нь гурвалжны талбай C.B. 1 О 24-тэй тэнцүү С, гурвалжны талбай ABC 30-тай тэнцүү С. Одоо дөрвөлжингийн талбайн харьцааг олъё AB 1 О.Ч. 1 (2С) гурвалжны талбай руу ABC (30С), энэ нь 1:15-тай тэнцүү байна.
Хариулт. 1:15.
Даалгавар 15 (Улсын нэгдсэн шалгалт 2016).
Оноо IN 1 ба ХАМТ 1 тус тус талдаа хэвтэнэ АСТэгээд ABгурвалжин ABC, ба AB 1:Б 1 ХАМТ
=
= АС 1:ХАМТ 1 Б. Шууд Б.Б 1
Тэгээд SS 1
цэг дээр огтлолцоно ТУХАЙ.
a) шугам гэдгийг нотол ХКталыг хоёр хуваасан Нар.
б) Дөрвөн өнцөгтийн талбайн харьцааг ол AB 1 О.Ч. 1 гурвалжны талбай руу ABC, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол AB 1:Б 1 ХАМТ = 1:3.
Хариулт. 1:10.
З 
даалгавар 16 (АШИГЛАЛТ-2016).Сегмент дээр Б.Дцэг авсан ХАМТ. Биссектрис Б.Л. ABCсуурьтай Нар BLDсуурьтай Б.Д.
a) Гурвалжин гэдгийг батал DCLтэгш өнцөгт.
б) Энэ нь мэдэгдэж байна cos 
ABC DL, өөрөөр хэлбэл гурвалжин BDцэг авсан ХАМТ. Биссектрис Б.Л.тэгш өнцөгт гурвалжин ABCсуурьтай Нарнь тэгш өнцөгт гурвалжны хажуу тал юм BLDсуурьтай Б.Д.
a) Гурвалжин гэдгийг батал DCLтэгш өнцөгт.
б) Энэ нь мэдэгдэж байна cos ABC= . Шулуун шугам нь ямар талаараа байна Д.Л. талыг хуваадаг AB?
Хариулт. 4:21.
Уран зохиол
1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Гурвалжны гайхалтай цэгүүд ба шугамууд. М.: Математик, 2006, №17.
2. Мякишев А.Г. Гурвалжингийн геометрийн элементүүд. ("Математикийн боловсрол" номын сан" цуврал). М.: MTsNMO, 2002. - 32 х.
3. Геометр. 8-р ангийн сурах бичгийн нэмэлт бүлгүүд: Гүнзгийрүүлсэн сургалттай сургууль, ангийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / Л. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев нар - М.: Вита-Пресс, 2005. - 208 х.
4. Эрдниев П., Манцаев Н. Чева, Менелаусын теоремууд. М.: Квант, 1990, №3, 56-59-р тал.
5. Шарыгин И.Ф. Чева ба Менелаусын теоремууд. М.: Квант, 1976, №11, 22-30-р тал.
6. Вавилов В.В. Гурвалжны гол ба дунд шугамууд. М.: Математик, 2006, №1.
7. Ефремов Дм. Шинэ гурвалжны геометр. Одесса, 1902. - 334 х.
8. Математик. Ердийн тестийн даалгаврын 50 хувилбар / I.V. Ященко, М.А. Волкевич, I.R. Высоцкий болон бусад; засварласан I.V. Ященко. - М .: "Шалгалт" хэвлэлийн газар, 2016. - 247 х.
ЧЕВА, МЕНЕЛАУСЫН ТЕОРЕМ
Цевагийн теорем
Гайхамшигтай гурвалжингийн ихэнх цэгүүдийг дараах процедурыг ашиглан олж авч болно. Бид тодорхой А цэгийг сонгох боломжтой зарим дүрэм байг 1 , ABC гурвалжны BC тал (эсвэл түүний өргөтгөл) дээр (жишээлбэл, энэ талын дунд цэгийг сонгоно уу). Дараа нь бид ижил төстэй B цэгүүдийг байгуулна 1, C 1 гурвалжны нөгөө хоёр талд (бидний жишээнд талуудын хоёр дунд цэг байна). Сонгох дүрэм амжилттай бол шууд АА 1, BB 1, CC 1 аль нэг Z цэг дээр огтлолцох болно (гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцдог тул энэ утгаараа талуудын дундын цэгийг сонгох нь мэдээж амжилттай хэрэг болно).
Би гурвалжны талуудын цэгүүдийн байрлалаас харгалзах гурвалсан шугам нь нэг цэгт огтлолцож байгаа эсэхийг тодорхойлох ерөнхий аргыг ашиглахыг хүсч байна.
Энэ асуудлыг "хаагдсан" бүх нийтийн нөхцлийг 1678 онд Италийн инженер олсонЖованни Чева .
Тодорхойлолт. Эсрэг талдаа (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөл) цэгүүдтэй гурвалжны оройг холбосон хэсгүүдийг нэг цэгт огтлолцсон бол цевиан гэж нэрлэдэг.
Хөвөн шувууны хоёр байршил бий. Нэг хувилбараар бол гол зүйл
уулзварууд нь дотоод, цэвийн төгсгөлүүд нь гурвалжингийн хажуу тал дээр байрладаг. Хоёрдахь хувилбарт огтлолцох цэг нь гаднах, нэг цэвийн төгсгөл нь хажуу талдаа, нөгөө хоёр хөхний төгсгөл нь хажуугийн өргөтгөл дээр байрладаг (зураг харна уу).
Теорем 3. (Ceva-ийн шууд теорем) Дурын ABC гурвалжинд А цэгүүдийг BC, CA, AB талууд эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүдийг тус тус авдаг. 1 , IN 1 , ХАМТ 1 , ийм шулуун АА 1 , Б.Б 1 , SS 1 ямар нэг нийтлэг цэг дээр огтлолцох, тэгвэл
.
Нотолгоо: Цевагийн теоремын хэд хэдэн анхны нотолгоонууд мэдэгдэж байгаа ч бид Менелаусын теоремыг давхар хэрэглэсэн нотолгоог авч үзэх болно. Гурвалжинд анх удаа Менелаусын теоремын хамаарлыг бичьеАББ 1 ба секант CC 1 (бид хөвөнгийн огтлолцох цэгийг тэмдэглэдэгЗ):
,
гурвалжингийн хувьд хоёр дахь удаагааБ 1 МЭӨба секант А.А. 1 :
.
Эдгээр хоёр харьцааг үржүүлж, шаардлагатай бууруулалтыг хийснээр бид теоремын мэдэгдэлд агуулагдсан харьцааг олж авна.
Теорем 4. (Севагийн урвуу теорем) . Хэрэв гурвалжингийн талууд дээр сонгосон хүмүүсийн хувьд ABC эсвэл тэдгээрийн цэгүүдийн өргөтгөлүүд А 1 , IN 1 Тэгээд C 1 Чевагийн нөхцөл байдал сэтгэл хангалуун байна:
,
дараа нь шулуун А.А. 1 , Б.Б 1 Тэгээд CC 1 нэг цэг дээр огтлолцоно .
Энэ теоремын баталгаа нь Менелаусын теоремын нотолгоотой адил зөрчилдөөнөөр хэрэгждэг.
Цевагийн шууд ба урвуу теоремуудын хэрэглээний жишээг авч үзье.
Жишээ 3. Гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцдогийг батал.
Шийдэл. Харилцааг авч үзье
гурвалжны орой ба түүний талуудын дунд цэгүүдийн хувьд. Мэдээжийн хэрэг, бутархай бүрт тоологч ба хуваагч нь тэнцүү сегменттэй тул эдгээр бүх бутархай нь нэгтэй тэнцүү байна. Үүний үр дүнд Чевагийн хамаарал хангагдсан тул урвуу теоремоор медианууд нэг цэгт огтлолцдог.
Теорем (Севагийн теорем) . Оноо өгье хажуу тал дээр хэвтэхба гурвалжин тус тус. Сегментүүдийг оруулъяТэгээд нэг цэг дээр огтлолцоно. Дараа нь
(бид гурвалжинг цагийн зүүний дагуу тойрон явдаг).
Баталгаа.-ээр тэмдэглэе сегментүүдийн огтлолцох цэгТэгээд . Цэгээс хасъяТэгээд шулууны перпендикулярцэгүүдээр огтлолцохоос өмнөТэгээд Үүний дагуу (зураг харна уу).
Учир нь гурвалжинТэгээд нийтлэг талтай, дараа нь тэдгээрийн талбайнууд нь энэ тал руу татсан өндөртэй холбоотой, i.e.Мөн:
Сүүлчийн тэгш байдал нь зөв, учир нь тэгш өнцөгт гурвалжин байдагТэгээд хурц өнцгөөр төстэй.
Үүнтэй адил бид авдаг
Тэгээд 
Эдгээр гурван тэгшитгэлийг үржүүлье:
Q.E.D.
Медиануудын тухай:
1. Нэгж массыг ABC гурвалжны орой дээр байрлуул.
2. А ба В цэгүүдийн массын төв нь AB цэгийн дунд байна. ABC гурвалжны массын төв нь А ба В цэгүүдийн массын төв ба С цэгийн массын төв учраас бүхэл системийн массын төв нь AB тал руу чиглэсэн байх ёстой.
(төөрөгдүүлсэн)
3. Үүнтэй адилаар - CM нь АС ба ВС талуудын дунд хэсэгт хэвтэх ёстой
4. CM нь нэг цэг тул эдгээр гурван медиан бүгд түүн дээр огтлолцох ёстой.
Дашрамд хэлэхэд, уулзвараар тэд 2: 1 харьцаагаар хуваагдана. А ба В цэгүүдийн массын төвийн масс 2, С цэгийн масс 1 тул пропорциональ теоремын дагуу массын нийтлэг төв нь медианыг 2/1 харьцаагаар хуваана. .
Маш их баярлалаа, үүнийг хүртээмжтэй байдлаар танилцуулсан тул масс геометрийн аргыг ашиглан нотлох баримтыг танилцуулах нь буруу биш гэж бодож байна, жишээлбэл:
AA1 ба CC1 шугамууд О цэг дээр огтлолцоно; AC1: C1B = p ба BA1: A1C = q. CB1: B1A = 1: pq тохиолдолд л BB1 шугам нь О цэгээр дамждаг гэдгийг батлах хэрэгтэй.
1, p ба pq массуудыг A, B, C цэгүүдэд тус тус байрлуулцгаая. Дараа нь С1 цэг нь А ба В цэгүүдийн массын төв, А1 цэг нь В ба С цэгүүдийн массын төв юм. Иймд эдгээр масстай A, B, C цэгүүдийн массын төв нь О цэгийн огтлолцол юм. CC1 ба AA1 шугамууд. Нөгөөтэйгүүр, О цэг нь В цэгийг А ба С цэгүүдийн массын төвтэй холбосон сегмент дээр байрладаг. Хэрэв B1 нь 1 ба pq масстай А ба С цэгүүдийн массын төв бол AB1: B1C = pq: 1. АС сегмент дээр түүнийг өгөгдсөн AB1: B1C харьцаагаар хуваах нэг цэг байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй.
2. Цевагийн теорем
Гурвалжны оройг эсрэг талдаа цэгтэй холбосон хэрчмийг гэнэceviana . Тиймээс, хэрэв гурвалжинд байвалABC X , Ю болон З - хажуу тал дээр байрлах цэгүүдМЭӨ , C.A. , AB үүний дагуу, дараа нь сегментүүдAX , BY , CZ Чевичууд юм. Энэ нэр томъёо нь 1678 онд дараах маш хэрэгтэй теоремыг нийтэлсэн Италийн математикч Жованни Цевагаас гаралтай.
Теорем 1.21. Хэрэв ABC гурвалжны AX, BY, CZ гурван цэв (орой тус бүрээс нэг) нь өрсөлдөх чадвартай бол
|BX||XC|· |CY||ЯА|· |AZ||ЗБ|=1 .
| Цагаан будаа. 3. |
Бид гурван мөр (эсвэл сегмент) гэж хэлэхэдөрсөлдөх чадвартай , тэгвэл бид бүгдээрээ нэг цэгээр дамждаг гэсэн үг бөгөөд үүнийг бид тэмдэглэдэгП . Цевагийн теоремыг батлахын тулд ижил өндөртэй гурвалжны талбайнууд нь гурвалжны суурьтай пропорциональ байдгийг санаарай. 3-р зурагт дурдсанаар бид:
|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.
Үүний нэгэн адил,
|CY||ЯА|= SBCPSABP, |AZ||ЗБ|= SCAPSBCP.
Одоо бид тэдгээрийг үржүүлбэл бид авна
|BX||XC|· |CY||ЯА|· |AZ||ЗБ|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .
Энэ теоремын эсрэг тал нь бас үнэн:
Теорем 1.22. Гурван цэвиан AX, BY, CZ харьцааг хангана
|BX||XC|· |CY||ЯА|· |AZ||ЗБ|=1 ,
тэгвэл тэд өрсөлдөх чадвартай .
Үүнийг харуулахын тулд эхний хоёр хөхөгч нь цэг дээр огтлолцдог гэж бодъёП , өмнөх шигээ, гурав дахь цэвиан нь цэгээр дамжин өнгөрдөгП , болноCZ′ . Дараа нь 1.21 теоремын дагуу,
|BX||XC|· |CY||ЯА|· |AZ'||З'Б|=1 .
Гэхдээ таамаглалаар
|BX||XC|· |CY||ЯА|· |AZ||ЗБ|=1 .
Тиймээс,
|AZ||ЗБ|= |AZ'||З'Б| ,
цэгZ' цэгтэй давхцаж байнаЗ , мөн бид сегментүүд гэдгийг нотолсонAX , BY ТэгээдCZ өрсөлдөх чадвартай (, х. 54 ба , х. 48, 317).
Математик - 10-р анги Алс Дорнодын Улсын Их Сургуулийн Байгалийн ухаан, Математик, Мэдээллийн Технологийн факультетийн декан Мендель Виктор Васильевич ЧЕВА-ЫН ТЕОРЕМ БА МЕНЕЛАЙН ТЕОРЕМ Планиметрийн шинжлэх ухаанд Цевагийн теорем ба Менела гэсэн хоёр гайхалтай теорем онцгой байр суурь эзэлдэг. Эдгээр теоремуудыг ахлах сургуулийн геометрийн үндсэн хичээлийн хөтөлбөрт оруулаагүй боловч математикийн хичээлийг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн хүрээнд боломжтой хэмжээнээс арай илүү сонирхдог хэн бүхэнд тэдгээрийг судлахыг (мөн хэрэглэхийг) зөвлөж байна. Эдгээр теоремууд яагаад сонирхолтой байдаг вэ? Нэгдүгээрт, геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ хоёр аргыг үр дүнтэй хослуулдаг болохыг бид тэмдэглэж байна: - нэг нь үндсэн бүтцийн тодорхойлолт дээр суурилдаг (жишээлбэл: гурвалжин - тойрог; гурвалжин - таслах шугам; гурвалжин - гурван шулуун шугам. түүний оройгуудыг дайран өнгөрөх ба нэг цэгт огтлолцох, хоёр зэрэгцээ талтай дөрвөлжин гэх мэт) - ба хоёр дахь нь тулгуур бодлого (нийлмэл асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц багассан энгийн геометрийн бодлого) юм. Тиймээс, Менелаус ба Чевагийн теоремууд нь хамгийн их тулгардаг барилга байгууламжуудын нэг юм: эхнийх нь талууд эсвэл талуудын өргөтгөлүүд нь ямар нэгэн шугамаар (секант) огтлолцсон гурвалжинг, хоёр дахь нь гурвалжин ба гурван шугамаар дамждаг гурвалжныг авч үздэг. түүний оройгоор дамжин нэг цэгт огтлолцоно. Менелаусын теорем Энэ теорем нь хэрчмүүдийн ажиглагдаж болох (урвуутай) хамаарлыг, гурвалжны орой ба секантын огтлолцох цэгүүдийг гурвалжны талуудтай (талуудын өргөтгөл) холбосон хэв маягийг харуулдаг. Зургууд нь гурвалжин ба секантын байршлын хоёр боломжит тохиолдлыг харуулж байна. Эхний тохиолдолд секант нь гурвалжны хоёр талыг огтолж, гурав дахь хэсгийн өргөтгөл, хоёр дахь нь гурвалжны бүх гурван талын үргэлжлэл юм. Теорем 1. (Менелаус) ABC-ийг АВ талтай параллель биш, түүний AC ба ВС хоёр талыг тус тус B1 ба A1 цэгээр, АВ шулуун шугамыг С1 цэг дээр, дараа нь AB1 CA1 гэж огтлолцъё. BC1 1. B1C A1B C1 A теорем 2. (Менелаусын теоремтой эсрэгээр) ABC гурвалжны A1, B1, C1 цэгүүд нь BC, AC, AB шулуунуудад тус тус хамаарагдах ба AB1 CA1 BC1 1 B1C A1B C1 A, тэгвэл A1, B1, C1 цэгүүд нэг шулуун дээр байна. Эхний теоремын нотолгоог дараах байдлаар хийж болно: гурвалжны бүх оройн перпендикуляруудыг тусгаарлах шугам руу буулгана. Үр дүн нь гурван хос ижил төстэй тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Теоремыг боловсруулахад гарч буй сегментүүдийн хамаарлыг ижил төстэй байдлаар харгалзах перпендикулярын харьцаагаар сольсон. Бутархай дахь перпендикуляр сегмент бүр хоёр удаа байх болно: нэг удаа тоологч дахь нэг бутархай, хоёр дахь удаагаа хуваагч дахь өөр бутархай. Тиймээс эдгээр бүх харьцааны үржвэр нь нэгтэй тэнцүү байх болно. Эсрэг теоремыг зөрчилдөөнөөр баталж болно. Теорем 2-ын нөхцөл хангагдсан тохиолдолд A1, B1, C1 цэгүүд нэг шулуун дээр хэвтэхгүй гэж үздэг. Дараа нь A1B1 шулуун шугам нь С1 цэгээс ялгаатай AB талыг C2 цэгээр огтолно. Энэ тохиолдолд 1-р теоремын дагуу A1, B1, C2 цэгүүдийн хувьд A1, B1, C1 цэгүүдийн адил хамаарал үүснэ. Үүнээс үзэхэд C1 ба C2 цэгүүд AB сегментийг ижил харьцаагаар хуваана. Дараа нь эдгээр цэгүүд давхцдаг - бид зөрчилддөг. Менелаусын теоремыг хэрэглэх жишээг авч үзье. Жишээ 1. Гурвалжны огтлолцох цэг дээрх медианууд оройноос эхлэн 2:1 харьцаатай хуваагдаж байгааг батал. Шийдэл. Менелаус ABMb гурвалжин ба McM(C) шулуун шугамын теоремоор олж авсан хамаарлыг бичье: AM c BM M bC 1. M c B MM b CA Энэ үржвэрийн эхний бутархай тэнцүү байх нь ойлгомжтой. 1 хүртэл, гурав дахь секундын харьцаа нь 1-тэй тэнцүү байна. Тиймээс 2 2:1, энэ нь нотлох ёстой зүйл юм. Жишээ 2. Секант нь ABC гурвалжны АС талын суналтыг B1 цэгээр огтолж, С цэг нь AB1 хэрчмийн дунд цэг болно. Энэ секант AB талыг хагасаар хуваана. ВС талыг ямар харьцаагаар хуваахыг олоорой? Шийдэл. Гурвалжин ба секантын хувьд Менелаусын теоремоос гурван харьцааны үржвэрийг бичье: AB1 CA1 BC1 1. B1C A1B C1 A Бодлогын нөхцлөөс харахад эхний харьцаа нэгтэй тэнцүү ба гурав дахь нь 1, 2, тэгэхээр хоёр дахь харьцаа нь 2-той тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, секант нь BC талыг 2: 1 харьцаагаар хуваана. Цевагийн теоремын баталгааг авч үзэхэд бид Менелаусын теоремыг хэрэглэх дараагийн жишээг харах болно. Цевагийн теорем Гурвалжны гайхалтай цэгүүдийн ихэнхийг дараах процедурыг ашиглан олж авч болно. Бид ABC гурвалжны BC тал (эсвэл түүний үргэлжлэл) дээр тодорхой A1 цэгийг сонгох боломжтой (жишээлбэл, энэ талын дунд цэгийг сонгох) зарим дүрэм байг. Дараа нь бид гурвалжны нөгөө хоёр тал дээр ижил төстэй B1, C1 цэгүүдийг барих болно (бидний жишээнд талуудын хоёр дунд цэг). Сонгох дүрэм амжилттай бол AA1, BB1, CC1 шугамууд Z цэг дээр огтлолцох болно (гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог тул энэ утгаараа талуудын дунд цэгийг сонгох нь мэдээж амжилттай болно. ). Би гурвалжны талуудын цэгүүдийн байрлалаас харгалзах гурвалсан шугам нь нэг цэгт огтлолцож байгаа эсэхийг тодорхойлох ерөнхий аргыг ашиглахыг хүсч байна. Энэ асуудлыг "хаагдсан" бүх нийтийн нөхцлийг 1678 онд Италийн инженер Жованни Цева олсон. Тодорхойлолт. Эсрэг талдаа (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөл) цэгүүдтэй гурвалжны оройг холбосон хэсгүүдийг нэг цэгт огтлолцсон бол цевиан гэж нэрлэдэг. Хөвөн шувууны хоёр байршил бий. Нэг хувилбарт огтлолцох цэг нь дотоод, цэвийн төгсгөлүүд нь гурвалжны хажуу тал дээр байрладаг. Хоёрдахь хувилбарт огтлолцох цэг нь гаднах, нэг цэвийн төгсгөл нь хажуу талдаа, нөгөө хоёр хөхний төгсгөл нь хажуугийн өргөтгөл дээр байрладаг (зураг харна уу). Теорем 3. (Чевагийн шууд теорем) дурын ABC гурвалжинд ВС, CA, AB талууд эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүдэд AA1, BB1, CC1 шулуунууд зарим нийтлэг цэгүүдээр огтлолцохоор A1, B1, C1 цэгүүдийг тус тус авдаг. цэг, дараа нь BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1 . Баталгаа: Цевагийн теоремын хэд хэдэн анхны нотолгоо байгаа бөгөөд бид Менелаусын теоремыг давхар хэрэглэсэн нотолгоог авч үзэх болно. ABB1 гурвалжин ба CC1 секантын хувьд Менелаусын теоремын хамаарлыг эхний удаад бичье (бид Цевиануудын огтлолцох цэгийг Z гэж тэмдэглэнэ): AC1 BZ B1C 1, C1B ZB1 CA, хоёр дахь удаагаа. B1BC гурвалжин ба АА1 секант: B1Z BA1 CA 1. ZB A1C AB1 Эдгээр хоёр харьцааг үржүүлж шаардлагатай бууруулалтыг хийснээр теоремын мэдэгдэлд агуулагдсан харьцааг олж авна. Теорем 4. (Севагийн урвуу теорем). Хэрэв A1, B1, C1 цэгүүдийн хувьд ABC гурвалжны талууд эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүдийн хувьд Чевагийн нөхцөл хангагдана: BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1, тэгвэл AA1, BB1, CC1 шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно. Энэ теоремын баталгаа нь Менелаусын теоремын нотолгоотой адил зөрчилдөөнөөр хэрэгждэг. Цевагийн шууд ба урвуу теоремуудын хэрэглээний жишээг авч үзье. Жишээ 3. Гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцдогийг батал. Шийдэл. Гурвалжны орой ба талуудын дунд цэгүүдийн хувьд AC1 BA1 CB1 C1B A1C B1 A хамаарлыг авч үзье. Мэдээжийн хэрэг, бутархай бүрт тоологч ба хуваагч нь тэнцүү сегменттэй тул эдгээр бүх бутархай нь нэгтэй тэнцүү байна. Үүний үр дүнд Чевагийн хамаарал хангагдсан тул урвуу теоремоор медианууд нэг цэгт огтлолцдог. Бие даан шийдвэрлэх асуудлууд Энд санал болгож буй бодлого нь 9-р ангийн сурагчдад зориулсан №1 тестийн ажил юм. Эдгээр асуудлыг шийдэж, шийдлүүдийг тусдаа дэвтэрт (физик, компьютерийн шинжлэх ухаанаас) бичээрэй. Хавтас дээр өөрийнхөө тухай дараах мэдээллийг бичнэ үү: 1. Овог, нэр, анги, ангийн танилцуулга (жишээлбэл: Василий Пупкин, 9-р анги, математик) 2. Зип код, оршин суугаа хаяг, имэйл (хэрэв байгаа бол), утас ( гэр эсвэл гар утас) 3. Сургуулийн тухай мэдээлэл (жишээ нь: MBOU No1, Бикин тосгон) 4. Математикийн багшийн овог, бүтэн нэр (жишээлбэл: математикийн багш Петрова М.И.) Дор хаяж дөрвөн асуудлыг шийдэхийг зөвлөж байна. М 9.1.1. Менелаусын теоремын таслагч шугам нь гурвалжны талуудыг (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүдийг) урттай хэрчмүүд болгон хувааж чадах уу: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Хэрэв ийм хувилбарууд боломжтой бол жишээн дээр бичнэ үү. Сегментүүд өөр өөр дарааллаар явж болно. М 9.1.2. Гурвалжны дотоод цэвианууд түүний талуудыг хэрчим болгон хувааж чадах уу: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Хэрэв ийм хувилбарууд боломжтой бол жишээн дээр бичнэ үү. Сегментүүд өөр өөр дарааллаар явж болно. Зөвлөмж: жишээ гаргахдаа гурвалжин ижил биш эсэхийг шалгахаа бүү мартаарай. М 9.1.3. Ceva-ийн урвуу теоремыг ашиглан батална уу: a) гурвалжны биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдог; б) гурвалжны оройг эсрэг талын цэгүүдтэй холбосон хэрчмүүд нь эдгээр талууд нь бичээстэй тойрогт хүрч, нэг цэг дээр огтлолцдог. Чиглэл: a) биссектрис эсрэг талыг ямар харьцаагаар хуваадагийг санаарай; б) нэг цэгээс тодорхой тойрог руу татсан хоёр шүргэгчийн сегментүүд тэнцүү байх шинж чанарыг ашиглана. М 9.1.4. Өгүүллийн эхний хэсэгт эхэлсэн Менелаусын теоремын нотолгоог гүйцээнэ үү. М 9.1.5. Гурвалжны өндөр нь нэг цэгт огтлолцож байгааг Ceva-ийн урвуу теоремоор батал. М 9.1.6. Симпсоны теоремыг батална уу: ABC гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог дээр авсан дурын M цэгээс гурвалжны талууд эсвэл талуудын суналтууд дээр перпендикуляруудыг буулгаж, эдгээр перпендикуляруудын суурь нь нэг шулуун дээр оршдогийг батал. Зөвлөгөө: Менелаусын теоремын эсрэг заалтыг ашигла. Харилцаанд ашигласан хэрчмүүдийн уртыг тэдгээрийн M цэгээс татсан перпендикуляруудын уртаар илэрхийлэхийг хичээгээрэй. Мөн бичээстэй дөрвөлжингийн өнцгийн шинж чанарыг эргэн санах нь зүйтэй.