Харилцааны чиг үүрэг, төрөл, түвшин. Функциональ харилцаа Функц. Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт

1. Лекц No 1. Олонлогууд ба тэдгээрт хийх үйлдлүүд.
2. Лекц No 2. Захидал, чиг үүрэг.
3. Лекц No3. Харилцаа, тэдгээрийн шинж чанар.
4. Лекц No 4. Харилцааны үндсэн төрлүүд.
5. Лекц No5. Ерөнхий алгебрийн элементүүд.
6. Лекц No 6. Төрөл бүрийн алгебрийн бүтэц.
7. Лекц No7. Математик логикийн элементүүд.
8. Лекц No8. Логик функцууд.
9. Лекц No 9. Булийн алгебр.
10. Лекц No10. Булийн алгебр ба олонлогын онол.
11. Лекц No 11. Бүрэн байдал, хаалт.
12. Лекц No12. Предикатын логикийн хэл.
13. Лекц No 13. Комбинаторик.
14. Лекц No 14. График: үндсэн ойлголт, үйлдлүүд.
15. Лекц No 15. Маршрут, гинж, гогцоо.
16. Лекц No 16. Графикийн зарим анги, тэдгээрийн хэсгүүд.

I БҮЛЭГ. БАГЦ, ФУНКЦ, ХАРИЛЦАА.

Лекц No 2. Захидал, чиг үүрэг.

1. Тоглолт.

Тодорхойлолт. А ба В олонлогуудын хоорондын захидал харилцаа нь тэдгээрийн декарт үржвэрийн тодорхой G дэд олонлог юм: .

Хэрэв , дараа нь тэд харгалзахдаа энэ нь тохирно гэж хэлдэг. Энэ тохиолдолд эдгээр бүх утгуудын багцыг захидал харилцааны тодорхойлолтын домэйн гэж нэрлэдэг бөгөөд харгалзах утгуудын багцыг захидал харилцааны утгын домэйн гэж нэрлэдэг.

Хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээнд өгөгдсөн элементэд тохирох элемент бүрийг дууддаг арга замхаргалзах үед эсрэгээр элементийг дууддаг прототипӨгөгдсөн захидал харилцааны элемент.

Дагаж мөрдөх гэж нэрлэдэг бүрэн тодорхойлсон, хэрэв , өөрөөр хэлбэл олонлогийн элемент бүр багцад дор хаяж нэг зурагтай байна; эс бөгөөс тоглолтыг дуудна хэсэгчилсэн.

Дагаж мөрдөх гэж нэрлэдэг сурьектив, хэрэв, өөрөөр хэлбэл, багцын элемент бүр багц дахь дор хаяж нэг урьдчилсан зурагтай тохирч байвал.

Дагаж мөрдөх гэж нэрлэдэг функциональ (хоёрдмол утгагүй),олонлогийн аль нэг элемент нь олонлогийн нэг элементтэй тохирч байвал.

Дагаж мөрдөх гэж нэрлэдэг тарилга, хэрэв энэ нь функциональ бөгөөд олонлогийн элемент бүр хамгийн ихдээ нэг урвуу дүрстэй байвал.

Дагаж мөрдөх гэж нэрлэдэг нэгээс нэг (хоёр тал),олонлогийн аль нэг элемент нь олонлогийн нэг элементтэй тохирч байвал эсрэгээр. Хэрэв захидал харилцаа нь бүрэн тодорхойлогдсон, шинж чанартай, функциональ, багцын элемент бүр нэг загвартай байвал бид нэгийг харьцдаг гэж хэлж болно.

Жишээ 1.

a) Англи-Орос толь бичиг нь орос, англи хэл дээрх үгсийн багц хоорондын захидал харилцааг тогтоодог. Бараг орос үг бүр хэд хэдэн англи орчуулгатай байдаг тул энэ нь ажиллахгүй байна; Энэ нь дүрмээр бол бүрэн тодорхойлогдсон тохирох зүйл биш юм, учир нь тухайн толь бичигт ороогүй англи үгс үргэлж байдаг. Тэгэхээр энэ бол хэсэгчилсэн тоглолт юм.

б) Функцийн аргументууд ба тухайн функцийн утгуудын хоорондын уялдаа холбоо нь функциональ байна. Гэсэн хэдий ч функцийн утга бүр нь хоёр урвуу дүрстэй тохирч байгаа тул энэ нь нэгээс нэг биш юм.

в) Шатрын тавцан дээр байрлах хэсгүүд болон тэдгээрийн эзэлсэн талбайн хоорондох захидал харилцаа нь нэг нэгээр байна.

г) Вязьма хотын утаснууд болон тэдгээрийн таван оронтой тоонуудын хоорондох захидал харилцаа нь эхлээд харахад нэг нэгээр нь захидал харилцааны бүх шинж чанартай байдаг. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, ямар ч утастай тохирохгүй таван оронтой тоо байдаг тул энэ нь тодорхой биш юм.

2. Ганцаарчилсан захидал харилцаа, багцын эрх мэдэл.

Хэрэв хоёр төгсгөлтэй А ба В олонлогуудын хооронд нэгээс нэг харгалзах зүйл байвал эдгээр олонлогууд ижил үндсэн шинж чанартай байна. Энэхүү илэрхий баримт нь нэгдүгээрт, эдгээр багцуудын үндсэн байдлын тэгш байдлыг тооцоолохгүйгээр тогтоох боломжийг олгодог. Хоёрдугаарт, үндсэн чанар нь мэдэгдэж байгаа эсвэл амархан тооцоолж болох олонлогтой нэг нэгээр нь харгалзах замаар олонлогийн үндсэн байдлыг тооцоолох боломжтой байдаг.

Теорем 2.1.Хэрэв хязгаарлагдмал олонлогийн кардинал байдал А-тэй тэнцүү бол бүх дэд олонлогийн тоо Атэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

М олонлогийн бүх дэд олонлогуудыг нэрлэнэ Булийнболон томилогдсон. Хязгаарлагдмал олонлогуудын хувьд дараах зүйлсийг баримтална: .

Тодорхойлолт. Багцууд АТэгээд INтэдгээрийн элементүүдийн хооронд нэг нэгээр нь захидал харилцаа тогтоох боломжтой бол эквивалент гэж нэрлэдэг.

Хязгаарлагдмал олонлогуудын хувьд энэ мэдэгдлийг батлахад хялбар гэдгийг анхаарна уу. Хязгааргүй олонлогийн хувьд энэ нь тэгш хэмийн тухай ойлголтыг тодорхойлох болно.

Тодорхойлолт. Олон Анатурал тооны олонлогтой тэнцүү бол тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг: .

Маш хялбаршуулсан байдлаар, өгөгдсөн хязгааргүй олонлогийн элементүүдийг натурал тоогоор дугаарлаж чадвал тоолох боломжтой гэж хэлж болно.

Нотолгоогүйгээр хэд хэдэн чухал баримтыг хүлээн зөвшөөрье:

1. Натурал тооны олонлогийн ямар ч хязгааргүй дэд олонлогийг тоолж болно.

2. Олонлогийг тоолох боломжтой.

3. Рационал тоонуудын багцыг тоолох боломжтой (өмнөх мэдэгдлийн үр дагавар).

4. Хязгаарлагдмал тооны тоолж болох олонлогуудын нэгдэл нь тоолж болно.

5. Тоолж болох тооны төгсгөлтэй олонлогуудын нэгдэл нь тоолж болно.

6. Тоолж болох олонлогийн нэгдэл нь тоолж болно.

Эдгээр бүх мэдэгдлүүд нь энэ багцыг тоолж болохуйц гэдгийг нэлээд амжилттай тогтоох боломжийг бидэнд олгож байна. Гэсэн хэдий ч, одоо хязгааргүй олонлог бүрийг тоолж болохгүй гэдгийг харуулах болно; илүү их хүч чадлын багц байдаг.

Теорем 2.2 (Канторын теорем). Хэсэг дэх бүх бодит тоонуудын багцыг тоолох боломжгүй.

Баталгаа. Энэ олонлогийг тоолж болох ба дугаарлалт байгаа гэж үзье. Аливаа бодит тоог эцэс төгсгөлгүй аравтын бутархай (үечилсэн эсвэл үечилсэн бус) хэлбэрээр дүрсэлж болох тул бид үүнийг энэ олонлогийн тоогоор хийх болно. Эдгээрийг дугаарлах дарааллаар байрлуулцгаая.

Одоо маягтын төгсгөлгүй аравтын бутархайг авч үзье, ийм байдлаар зохион байгуулагдсан гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, энэ бутархай нь эхний тооноос эхний аравтын бутархай, хоёр дахь цифрээс хоёр дахь цифр гэх мэт ялгаатай тул авч үзэж буй дараалалд ороогүй болно. Үүний үр дүнд бид энэ интервалаас дугаарлагдаагүй тоог хүлээн авсан бөгөөд ингэснээр олонлогийг тоолох боломжгүй болно. Түүний хүчийг нэрлэдэг тасралтгүй, мөн ийм кардинал байдлын багц гэж нэрлэдэг тасралтгүй. Дээрх нотлох аргыг нэрлэдэг Канторын диагональ арга.

Дүгнэлт 1. Бодит тооны олонлог тасралтгүй байна.

Дүгнэлт 2. Тоолж болох олонлогийн бүх дэд олонлогийн олонлог тасралтгүй байна.

Олонлогийн онолд үзүүлснээр (дээр өгөгдсөн аргатай төстэй аргыг ашиглан) дурын кардинал байдлын олонлогийн хувьд түүний бүх дэд олонлогийн багц (Боолийн) илүү их кардиналтай байна. Тиймээс хамгийн их кардинал байдлын багц байдаггүй. Жишээлбэл, Канторын дүрсэлсэн орчлон ертөнц нь бүх төсөөлж болох олонлогуудыг агуулсан байх ёстой, гэхдээ энэ нь өөрөө дэд олонлогийн олонлогт элемент хэлбэрээр агуулагддаг (Канторын парадокс). Энэ багц нь хамгийн их кардинал байдлын багц биш юм.

3. Дэлгэц ба функцууд.

Чиг үүрэгнь хоёр багцын хоорондох ямар нэгэн функциональ захидал харилцаа юм. Хэрэв функц нь А ба В олонлогуудын хооронд захидал харилцааг тогтоовол функцийг хэлбэр (тэмдэглэгээ) гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолтын домэйны элемент бүрт функц нь утгын домэйноос нэг элементийг оноодог. Үүнийг уламжлалт хэлбэрээр бичдэг. Элемент гэж нэрлэдэг маргаанфункц, элемент - энэ утга учир.

Бүрэн тодорхойлогдсон функцийг дуудна харуулахА-аас Б хүртэл; харуулах үед А олонлогийн дүрсийг -ээр тэмдэглэнэ. Хэрэв үүнтэй зэрэгцэн, өөрөөр хэлбэл захидал харилцаа нь surjective байвал А-аас В хүртэлх зураглал байна гэж бид хэлдэг.

Хэрэв энэ нь нэг элементээс тогтсон бол түүнийг тогтмол функц гэнэ.

Төрөл зураглалыг А олонлогийн хувиргалт гэж нэрлэдэг.

Жишээ 2.

a) функц нь натурал тоонуудын багцыг өөртөө буулгасан зураглал юм (тарилгын функц). Бүгдэд зориулсан ижил функц нь бүхэл тооны олонлогоос рационал тооны олонлог хүртэлх зураглал юм.

б) функц бүхэл тоонуудын олонлогоос (0-ээс бусад) натурал тоонуудын олонлог хүртэлх зураглал юм. Түүнээс гадна, энэ тохиолдолд захидал харилцаа нь нэг нэгээр нь биш юм.

в) функц гэдэг нь бодит тоонуудын багцыг өөртөө нэг нэгээр нь буулгах явдал юм.

d) Хэрэв функц нь төрөл бол бүрэн тодорхойлогдоогүй, харин төрөл нь эсвэл байвал бүрэн тодорхойлогддог.

Тодорхойлолт. Функцийн төрөл локал функц гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд функц нь аргументтай гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. , Хаана.

Жишээлбэл, нэмэх, үржүүлэх, хасах, хуваах нь дээр хоёр оронтой функцууд, өөрөөр хэлбэл, төрлийн функцууд юм.

Тодорхойлолт. Захидал бичгийг өгөөч. Хэрэв захидал харилцаа нь хэрэв зөвхөн, хэрэв байвал гэсэн утгатай байвал захидал харилцааг урвуу гэж нэрлээд, -ээр тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт. Хэрэв функцийн урвуу хамаарал нь функциональ байвал түүнийг урвуу функц гэнэ.

Мэдээжийн хэрэг, урвуу захидал харилцааны хувьд зураг, прототипүүд байраа өөрчилдөг тул урвуу функц байхын тулд утгын хүрээний элемент бүр нэг прототиптэй байх шаардлагатай. Энэ нь функцийн хувьд урвуу функц нь түүний тодорхойлолтын муж болон утгын муж хоёрын хооронд хоёр талтай харгалзах тохиолдолд л оршино гэсэн үг юм.

Жишээ 3. Функц нь төрөлтэй. Энэ нь сегментийг нэг нэгээр нь сегмент рүү буулгадаг. Тиймээс сегмент дээр түүний урвуу функц байдаг. Таны мэдэж байгаагаар энэ бол.

Тодорхойлолт. Функцууд болон өгөгдсөн байг. Функцийг функцүүдийн бүрдэл гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв тэгш байдал хангагдсан бол (-ээр тэмдэглэнэ). , Хаана.

Функцийн найрлага нь эдгээр функцүүдийн дараалсан хэрэглээ юм; үр дүнд хэрэглэсэн нь ихэвчлэн функцийг олж авсан гэж хэлдэг орлуулахВ .

Олон газартай функцүүдийн хувьд орлуулах янз бүрийн хувилбарууд боломжтой бөгөөд янз бүрийн төрлийн функцүүдийг өгдөг. Энэ төрлийн олон функцууд онцгой анхаарал татаж байна: . Энэ тохиолдолд нэгдүгээрт, функцуудыг бие биендээ орлуулах боломжтой, хоёрдугаарт, аргументуудын нэрийг өөрчлөх боломжтой. Эдгээр функцийг бие биедээ орлуулах, аргументуудын нэрийг өөрчлөх замаар олж авсан функцийг тэдгээрийн суперпозиция гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, математикийн шинжилгээнд тогтмол (аргументын утгаас үл хамааран) тооны арифметик үйлдлүүд, түүнчлэн энгийн функцүүдийн (гэх мэт) суперпозиция болох энгийн функцийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн.

А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд хувьсагчийн тасралтгүй функц бүрийг хоёр хувьсагчийн тасралтгүй функцүүдийн суперпозиция хэлбэрээр төлөөлж болохыг нотолсон.

Сэтгэгдэл. Функцийн тухай ойлголт нь математик анализд өргөн хэрэглэгддэг бөгөөд энэ нь түүний үндсэн ойлголт юм. Ерөнхийдөө математикийн шинжилгээнд "функц" гэсэн нэр томъёог ойлгох хандлага нь дискрет математикийнхаас арай нарийссан байдаг. Дүрмээр бол энэ нь гэж нэрлэгддэг гэж үздэг тооцоолох боломжтойфункцууд. Хэрэв аргументийн өгөгдсөн утгын хувьд функцийн утгыг олох боломжтой процедур өгөгдсөн бол функцийг тооцоолох боломжтой гэж нэрлэдэг.

Товчлолын эхэнд буцах.

Жишээ 1.

a) Аливаа олонлог дээрх тэгш байдлын хамаарал (ихэвчлэн -ээр тэмдэглэгддэг) нь эквивалент харьцаа юм. Тэгш байдал гэдэг нь аль ч хосыг энэ хамаарлаас (өөрөөр хэлбэл матрицын үндсэн диагональ дээрх аль нэг нэгж) хасвал рефлекс байхаа больж, эквивалент байхаа больдог утгаараа хамгийн бага эквивалент харьцаа юм.

b) Төрөл бүрийн мэдэгдэл эсвэл , тэнцүү тэмдгээр холбосон томьёоуудаас бүрдэх ба энгийн функцүүдийн хэт байрлалыг тодорхойлсон томъёоны багц дээр хоёртын хамаарлыг тодорхойлно. Энэ хамаарлыг ихэвчлэн эквивалент хамаарал гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдлаар тодорхойлогддог: хоёр томьёо нь ижил функцийг тодорхойлсон тохиолдолд тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд эквивалент нь "=" тэмдгээр тэмдэглэгдсэн боловч өөр өөр томъёонд хангагдах боломжтой тул тэгш байдлын харьцаатай ижил утгатай биш юм. Гэсэн хэдий ч, ийм харилцаанд байгаа тэгш тэмдэг нь томьёо өөрөө биш, харин тэдгээрийн тодорхойлсон функцүүдэд хамаарна гэж бид үзэж болно. Томъёоны хувьд тэгш байдлын хамаарал нь зөв бичгийн дүрэмд томъёоны давхцал юм. гэж нэрлэдэг график тэгш байдал.Дашрамд хэлэхэд, ийм нөхцөлд зөрүү гарахаас зайлсхийхийн тулд " " тэмдгийг ихэвчлэн эквивалентын хамаарлыг заадаг.

в) Хэрэв оройнуудын координат нь өгөгдсөн бол гурвалжин өгөгдсөн гэж үзвэл координатын хавтгай дээрх гурвалжны багцыг авч үзье. Хэрэв давхардсан үед давхцаж, өөрөөр хэлбэл зарим хөдөлгөөнийг ашиглан бие биедээ хөрвүүлбэл бид хоёр гурвалжинг тэнцүү (конгруент) гэж үзнэ. Тэгш байдал нь гурвалжны багц дээрх эквивалент харьцаа юм.

г) Натурал тоонуудын олонлог дээрх “ижил үлдэгдэл натурал тоотой байх” хамаарал нь эквивалент харьцаа юм.

е) “Хуваагч байх” хамаарал нь олонлог дээрх эквивалент хамаарал биш юм. Энэ нь рефлекс ба шилжилтийн шинж чанартай боловч тэгш хэмийн эсрэг (доороос харна уу).

Олонлог дээр эквивалентийн хамаарлыг зааж өгье. Дараахь бүтээн байгуулалтыг хийцгээе. Элемент сонгоод өгөгдсөн хамаарлын хүрээнд элемент болон түүнтэй тэнцэх бүх элементүүдээс бүрдсэн класс (дэд олонлог) үүсгэе. Дараа нь элементийг сонгоно уу ба түүнтэй адилтгах элементүүдээс бүрдсэн анги үүсгэнэ. Эдгээр үйлдлүүдийг үргэлжлүүлснээр бид олонлогийн аль ч элемент дор хаяж нэг ангилалд багтах ангиллын системийг (хязгааргүй байж болно) олж авдаг.

Энэ систем нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1) үүсдэг хуваалтбагц, өөрөөр хэлбэл ангиуд хосоороо огтлолцдоггүй;

2) нэг ангид хамаарах дурын хоёр элемент тэнцүү байна;

3) өөр өөр ангиллын аль ч хоёр элемент тэнцүү биш байна.

Эдгээр бүх шинж чанарууд нь эквивалент харилцааны тодорхойлолтоос шууд гардаг. Үнэн хэрэгтээ, жишээлбэл, ангиудыг дарах юм бол тэд дор хаяж нэг нийтлэг элементтэй байх болно. Энэ элемент нь ба -тай тэнцүү байх нь ойлгомжтой. Дараа нь харилцааны шилжилтийн улмаас, . Гэсэн хэдий ч ангиудыг барьж байгуулах арга барилаас шалтгаалан үүнийг хийх боломжгүй юм. Бусад хоёр шинж чанарыг ижил төстэй байдлаар баталж болно.

Бүтээсэн хуваалт, өөрөөр хэлбэл олонлогийн дэд олонлогуудын ангиллын системийг систем гэж нэрлэдэг эквивалент ангиуд-тай холбоотой. Энэ системийн хүчийг гэж нэрлэдэг хуваалтын индекс. Нөгөөтэйгүүр, олонлогийг ангиудад хуваах нь өөрөө ямар нэгэн эквивалент хамаарлыг, тухайлбал "өгөгдсөн хуваалтын нэг ангилалд багтах" харьцааг тодорхойлдог.

Жишээ 2.

a) Тэгш байдлын харилцааны бүх эквивалент ангиуд нэг элементээс бүрдэнэ.

б) Ижил энгийн функцийг дүрсэлсэн томьёо нь эквивалент харьцааны хувьд ижил эквивалентын ангилалд багтдаг. Энэ тохиолдолд томъёоны багц өөрөө, эквивалент ангиллын багц (өөрөөр хэлбэл хуваалтын индекс) болон эквивалент анги бүрийг тоолж болно.

в) Гурвалжны багцыг тэгш байдлын хувьд хуваах нь үргэлжилсэн индекстэй бөгөөд анги тус бүр нь тасралтгүй байдлын кардиналтай байдаг.

d) Натурал тооны олонлогийг "7-д хуваахад нийтлэг үлдэгдэлтэй байна" гэсэн хамаарлаар хуваах нь эцсийн индекс 7 бөгөөд тоолох боломжтой долоон ангиас бүрдэнэ.

1. Захиалгын харилцаа.

Тодорхойлолт 1. харилцаа гэж нэрлэдэг хатуу бус харилцаа, хэрэв энэ нь рефлекс, тэгш хэмийн эсрэг, шилжилт хөдөлгөөнтэй бол.

Тодорхойлолт 2. харилцаа гэж нэрлэдэг хатуу дэг журмын харилцаа, хэрэв энэ нь рефлексийн эсрэг, тэгш хэмийн эсрэг, шилжилт хөдөлгөөнтэй бол.

Хоёр төрлийн харилцааг хамтад нь нэрлэдэг захиалгын харилцаа. Хоёр харилцааны аль нэг нь хангагдсан тохиолдолд элементүүдийг эрэмбийн харьцаатай харьцуулж болно. Аль нэг хоёр элемент нь харьцуулж болохуйц байвал дарааллын хамаарлыг тодорхойлсон олонлогийг бүрэн эрэмбэлэгдсэн гэж нэрлэдэг. Үгүй бол багцыг хэсэгчлэн захиалгат гэж нэрлэдэг.

Жишээ 3.

a) “ ” ба “ ” харилцаа нь хатуу бус дэг журмын харилцаа, харилцаа “<” и “>” – хатуу дарааллын харилцаа (бүх үндсэн тоон багц дээр). Хоёр харилцаа нь багцуудыг бүрэн захиалж, .

б) “ ” ба “ хамаарлыг тодорхойлно уу<” на множестве следующим образом:

1) хэрэв ;

2) хэрэв нэгэн зэрэг нэг координатын дагуу алхаж байгаа бол.

Дараа нь, жишээ нь, , гэхдээ бас юутай ч зүйрлэшгүй. Тиймээс эдгээр харилцаа нь хэсэгчлэн эмх цэгцтэй байдаг.

в) Олонлогийн дэд олонлогуудын системд оруулах харьцаа “ ” нь хатуу бус хэсэгчилсэн дарааллыг, “ ” хатуу хамаарал нь хэсэгчилсэн хатуу дарааллыг заана. Жишээ нь, , гэхдээ харьцуулах боломжгүй.

г) Ажлын хамт олонд захирагдах харилцаа нь хатуу хэсэгчилсэн дэг журмыг бий болгодог. Үүнд, жишээлбэл, янз бүрийн бүтцийн хэлтсийн ажилтнууд (газар гэх мэт) харьцуулашгүй юм.

д) Орос цагаан толгойн үсгийн дараалал тогтмол байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь үргэлж ижил байдаг. Дараа нь энэ жагсаалт нь үсгүүдийн бүрэн дарааллыг тодорхойлдог бөгөөд үүнийг тэргүүн зэргийн хамаарал гэж нэрлэдэг. (өмнөх) гэж заасан. Үсгүүдийн дарааллын хамаарал дээр үндэслэн үгсийн дарааллын харьцааг байгуулж, хоёр аравтын бутархайг харьцуулахтай ижил аргаар тодорхойлно. Энэ хамаарал нь орос цагаан толгойн үгсийн бүрэн дарааллыг тодорхойлдог бөгөөд үүнийг лексикографийн дараалал гэж нэрлэдэг.

Жишээ 4.

a) Үгсийн лексикографийн дарааллын хамгийн алдартай жишээ бол толь бичигт үгсийн дараалал юм. Жишээлбэл, (түүнээс хойш), тиймээс үг ойтоль бичигт үгийн өмнө байрлана зун.

б) Хэрэв бид байрлалын тооллын систем дэх тоог (жишээлбэл, аравтын системд) тоонуудын цагаан толгойн үг гэж үзвэл, харьцуулж буй бүх тоонууд ижил тооны цифртэй байвал тэдгээрийн толь бичгийн дараалал нь ердийнхтэй давхцдаг. Ерөнхийдөө эдгээр хоёр төрөл нь давхцахгүй байж магадгүй юм. Жишээлбэл, ба, гэхдээ, a. Тэдгээрийг давхцуулахын тулд та харьцуулсан бүх тоонуудын цифрүүдийн тоог тэнцүүлэх хэрэгтэй. зүүнтэг. Энэ жишээнд бид . Компьютерт бүхэл тоо бичих үед энэ тохируулга автоматаар хийгдэнэ.

в) 2004 оны 07-р сарын 19-ний өдөр (2004 оны 7-р сарын 19-ний хоёр мянга, дөрөв) гэх мэт огнооны тоон дүрслэлийн лексикографийн дараалал нь эртнээс хойшхи огнооны байгалийн дараалалтай давхцдаггүй. Жишээлбэл, 2004 оны 07-р сарын 19-ний өдөр нь аль ч жилийн арван найм дахь өдрөөс "тайлбар зүйн хувьд" хуучин байна. Өсөн нэмэгдэж буй огноог толь бичгийн дараалалтай давхцуулахын тулд ердийн дүрслэлийг "урвуу", өөрөөр хэлбэл 2004.07.19 хэлбэрээр бичсэн байх ёстой. Энэ нь ихэвчлэн компьютерийн санах ойд огноог илэрхийлэх үед хийгддэг.

2 жагсаалт эсвэл хосоос бүрдсэн аливаа багцыг хамаарал гэж нэрлэдэг. Хөтөлбөрийн утгыг хэлэлцэх үед харилцаа нь ялангуяа тустай байх болно.

"Харилцаа" гэдэг үг нь харьцуулах дүрэм, "тэнцүү байдал" эсвэл "дэд олонлог" гэх мэтийг илэрхийлж болно. Албан ёсоор, 2 жагсаалтаас бүрдсэн харилцаа нь элементүүд нь бие биентэйгээ хүссэн харилцаатай байгаа хосуудыг оруулснаар эдгээр албан бус дүрмийг нарийн тодорхойлж чадна. Жишээлбэл, тэмдэгтүүд болон эдгээр тэмдэгтүүдийг агуулсан 1-мөр хоорондын хамаарлыг дараах харьцаагаар өгөгдөнө.

C = ( : x - тэмдэг) = ( , , …}

Харилцаа нь олонлог учраас хоосон харилцаа ч байж болно. Жишээлбэл, тэгш натурал тоо ба тэдгээрийн сондгой квадратуудын хоорондын захидал харилцаа байхгүй. Түүнчлэн тогтоосон үйлдлүүд харилцаанд хамаарна. Хэрэв s ба r нь харилцаа юм бол тэнд байна

s È r, s – r, s Ç r

Учир нь эдгээр нь дараалсан хос элементүүдийн багц юм.

Харилцааны онцгой тохиолдол бол функц, онцгой шинж чанартай харилцаа бөгөөд эхний элемент бүр нь өвөрмөц хоёр дахь элементтэй хосолсон байдаг. r хамаарал нь хэрэв байгаа бол зөвхөн функц юм

О r ба О r, тэгвэл y = z.

Энэ тохиолдолд эхний элемент бүр нь харилцааны хүрээнд хоёр дахь элементийн нэр болж чадна. Жишээ нь, дээр дурдсан тэмдэгтүүд болон 1-мөртүүдийн хоорондын С хамаарал нь функц юм.

Тохируулах үйлдлүүд нь функцүүдэд мөн хамаарна. Хэдийгээр функц болох эрэмбэлэгдсэн хосуудын олонлог дээр хийсэн үйлдлийн үр дүн нь заавал өөр нэг эрэмбэлэгдсэн хосуудын багц, тиймээс хамаарал байх боловч энэ нь үргэлж функц биш юм.

Хэрэв f, g нь функц бол f Ç g, f – g нь мөн функцууд боловч f È g нь функц байж болно, үгүй ​​ч байж болно. Жишээлбэл, харилцааны толгойг тодорхойлъё

H = (< Θ y, y>: y - мөр) = ( , , …}

Дээр дурдсан C хамаарлыг авна. Дараа нь C Í H гэсэн баримтаас:

функц юм

H - C = (< Θ y, y>: y – дор хаяж 2 тэмдэгттэй мөр)

хамаарал боловч функц биш,

нь хоосон функц бөгөөд

харилцаа юм.

Харилцаа эсвэл функцийн хосуудын эхний элементүүдийн олонлогийг тодорхойлолтын муж, хосуудын хоёр дахь элементийн олонлогийг муж гэнэ. Харилцааны элементүүдийн хувьд гэвэл О r, x гэж нэрлэдэг маргаан r, мөн y гэж нэрлэдэг утга учир r.

Хэзээ Î r ба ба y нь x-ийн цорын ганц утга, утгын тэмдэглэгээ:

"y нь x-ийн r утга" эсвэл товчхондоо "y нь x-ийн r утга" (функциональ хэлбэр) гэж уншдаг.

Дурын хамаарал r ба аргумент x-ийг тогтооё, тэгвэл тэдгээрийн захидал харилцааны гурван сонголт байна.

1. x Р домэйн(r), энэ тохиолдолд r тодорхойлогдоогүйх
2. x О домэйн(r) ба y, z өөр өөр байдаг О r ба О р. Энэ тохиолдолд r нь x дээр онцгой тодорхойлогддоггүй
3. x О домэйн(r) ба өвөрмөц хос байна О р. Энэ тохиолдолд r нь x ба y=r(x) дээр өвөрмөц тодорхойлогддог.

Тиймээс функц гэдэг нь түүний тодорхойлолтын хүрээний бүх элементүүдийн хувьд өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдсон харилцаа юм.

Гурван тусгай функц байдаг:

Хоосон функц(), ямар ч аргумент эсвэл үнэ цэнэгүй, өөрөөр хэлбэл

домэйн(()) = (), муж(()) = ()

Таних функц, функц I бол,

Хэрэв x О домэйн(r) бол I(x) = x.

Тогтмол функц, утгын мужийг 1 багцаар тодорхойлсон, өөрөөр хэлбэл бүх аргументууд ижил утгатай тохирч байна.

Харилцаа ба функцууд нь олонлог байдаг тул тэдгээрийг жагсаасан элементүүд эсвэл дүрмүүдээр тодорхойлж болно. Жишээ нь:

r = (<†ball†, †bat†>, <†ball†, †game†>, <†game†, †ball†>}

бүх элементүүд нь 2 жагсаалттай учир хамаарал юм

домэйн(r) = (†бөмбөг†, †тоглоом†)

хүрээ (r) = (†бөмбөг†, †тоглоом†, †сарьсан багваахай†)

Гэсэн хэдий ч r нь функц биш, учир нь хоёр өөр утгыг ижил †бөмбөг† аргументтай хослуулсан.

Дүрмийг ашиглан тодорхойлсон харилцааны жишээ:

s = ( : x гэдэг үг y үгийн өмнө шууд ордог

мөрөнд †энэ бол функц биш хамаарал†)

Энэ харилцааг мөн тооллогоор тодорхойлж болно:

s = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>, <†relation†, †that†>,

<†that†, †is†>, <†is†, †not†>, <†not†, †a†>, <†a†, †function†>}

Дараах дүрэм нь функцийг тодорхойлдог.

f = ( : y үгийн өмнөх үгийн эхний тохиолдол

мөрөнд †энэ нь мөн функц болох хамаарал†)

Үүнийг мөн тооллогоор тодорхойлж болно:

f = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>,

<†relation†, †that†>, <†that†, †is†>, <†also†, †a†>}

Програмын утга учир.

Хөтөлбөрийн утгыг тайлбарлахын тулд харилцаа холбоо, функцууд нь тайлбарт амин чухал юм. Эдгээр ойлголтуудыг ашиглан програмын утгыг тайлбарлах тэмдэглэгээг боловсруулдаг. Энгийн програмуудын хувьд утга нь ойлгомжтой байх боловч эдгээр энгийн жишээнүүд нь онолыг бүхэлд нь эзэмшихэд туслах болно.

Шинэ санаанууд: хайрцагны тэмдэглэгээ, программ ба программын утга.

Програмын бүх боломжит хэвийн гүйцэтгэлд зориулсан оролт гаралтын хосуудын багцыг программын утга гэнэ. Үзэл баримтлалыг бас ашиглаж болно програмын функцТэгээд хөтөлбөрийн хандлага. Хөтөлбөрийн утга санаа, утгын элементүүдийг ялгах нь чухал юм. Тодорхой оролтын хувьд Паскал програмаар удирддаг Паскал машин нь тодорхой гаралтыг гаргаж чаддаг. Гэхдээ програмын утга нь нэг гүйцэтгэлийн үр дүнг илэрхийлэх аргаас хамаагүй илүү юм. Энэ нь илэрхийлдэг бүх боломжтойПаскаль хэл дээрх программыг Паскаль машин дээр гүйцэтгэх.

Програм нь мөр болгон хуваасан оролтыг авч, шугам болгон хуваасан гаралтыг гаргах боломжтой. Тиймээс програмын утга дахь хосууд нь тэмдэгтийн мөрүүдийн жагсаалтын хос байж болно.

Хайрцагны тэмдэглэгээ.

Паскаль хэл дээрх аливаа программ нь Паскаль хэл дээрх машинд боловсруулагдах тэмдэгтүүдийн цуваа юм. Жишээ нь:

P = †PROGRAM PrintHello(INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN('Сайн уу') Төгсгөл.†

I хэсгийн эхэнд яригдсан анхны хөтөлбөрүүдийн нэгийг мөр болгон төлөөлдөг.

Та мөн адил мөрийн тэмдэглэгээг орхиж энэ мөрийг бичиж болно

P = PROGRAM PrintHello(INPUT, OUTPUT);

WRITELN('Сайн уу')

P тэмдэгт мөр нь программын синтаксийг илэрхийлэх ба түүний утгыг бид P гэж бичих болно. P-ийн утга нь тэмдэгтийн мөрүүдийн жагсаалтын 2 жагсаалт (захиалгат хос) бөгөөд аргументууд нь програмын оролт болон утгууд нь програмын гаралтыг илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл

P = ( : L, P мөрүүдийн оролтын жагсаалтын хувьд зөв ажиллаж байна

мөн M мөрүүдийн жагсаалтыг буцаана)

Хөтөлбөрийн утгыг илэрхийлэх хайрцагны тэмдэглэгээ нь програмын синтакс болон утгыг хадгалсан боловч нэгийг нь нөгөөгөөсөө тодорхой ялгаж өгдөг. Дээрх PrintHello програмын хувьд:

P = ( } =

{>: L - мөрүүдийн дурын жагсаалт)

Програмын текстийг хайрцагт оруулах:

P = PROGRAM PrintHello(INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN('Сайн байна уу') Төгсгөл

P нь функц учраас

ХӨТӨЛБӨР PrintHello(ОРУУЛАЛТ, ГАРАЛТ); BEGIN WRITELN('Сайн уу') Төгсгөл (L) =<†HELLO†>

ямар ч мөрийн жагсаалтын хувьд L.

Хайрцагны тэмдэглэгээ нь програм нь Паскаль машиныг хэрхэн удирдаж байгааг нууж, зөвхөн гүйцэтгэлийг дагалддаг зүйлийг харуулдаг. "Хар хайрцаг" гэсэн нэр томъёог ихэвчлэн гаднаас нь харж буй механизмыг оролт, гаралтын талаас нь тодорхойлоход ашигладаг. Тиймээс энэ тэмдэглэгээ нь оролт-гаралтын хувьд програмын утгад тохирсон байдаг. Жишээлбэл, R програм

ХӨТӨЛБӨР PrintHelloInSteps(INPUT, OUTPUT);

WRITE('HE');

WRITE('L');

WRITELN('LO')

P-тэй ижил утгатай, өөрөөр хэлбэл R = P.

R программ нь мөн PrintHelloInSteps CFPascal нэртэй. Гэхдээ †PrintHelloInSteps† мөр нь R мөрийн нэг хэсэг учраас PrintHelloInSteps-ийг R программын нэр болгон хайрцагны тэмдэглэгээнд ашиглахгүй байх нь дээр.

Дэлгэц X олонлогийн Y олонлогийн f нь X-ийн x элемент бүр Y-ийн яг нэг у элементтэй холбоотой байвал f(x) гэж тэмдэглэсэн бол өгөгдсөн гэж үзнэ.

X олонлогийг дууддаг тодорхойлолтын домэйн f-ийн зураглал ба Y олонлог байна утгын хүрээ. Захиалсан хосуудын багц

Г f = ((x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x))

дуудсан дэлгэцийн графике. f-ийн график нь декартын үржвэрийн X×Y-ийн дэд олонлог юм гэсэн тодорхойлолтоос шууд гарч байна.

Хатуухан хэлэхэд газрын зураг нь G⊂ X×Y байхаар гурвалсан олонлог (X, Y, G) бөгөөд X-ийн х элемент бүр нь G-ийн яг нэг хосын (x, y) эхний элемент юм. Ийм хосын элементийг f(x)-ээр хийвэл бид X олонлогийн f-ийг Y олонлогт буулгана. Түүнээс гадна G=Г f. Хэрэв y=f(x) бол бид f:x→y гэж бичээд, x элементийг y элемент рүү чиглүүлдэг гэж хэлнэ; f(x) элементийг f зураглалтай холбоотой х элементийн дүрс гэж нэрлэдэг. Зураглалыг тэмдэглэхийн тулд бид f: X→Y хэлбэрийн тэмдэглэгээг ашиглана.

f: X→Y нь X олонлогоос Y олонлогийн зураглал байх ба A ба B нь X ба Y олонлогуудын дэд олонлогууд байна. Зарим x∈A)-ийн f(A)=(y| y=f(x) олонлогийг нэрлэнэ арга замолонлог A. Олонлог f − 1 (B)=(x| f(x) ∈B)

дуудсан прототиполонлог B. Бүх x∈A-ийн хувьд x→f(x) гэж нэрлэгддэг f: A→Y зураглал. нарийсалт f-г А олонлогт буулгах; нарийсалтыг f|-ээр тэмдэглэнэ А.

f: X→Y ба g: Y→Z зураглал байна. X нь g(f(x)) руу шилжих X→Z зураглалыг гэнэ найрлага f ба g зураглалыг fg гэж тэмдэглэнэ.

Элемент бүр нь өөртөө ордог X олонлогийн X-ийн зураглалыг x→x гэж нэрлэдэг адилханба id X-ээр тэмдэглэгдсэн байна.

Дурын зураглалын хувьд f: X→Y бидэнд id X ⋅f = f⋅id Y байна.

f: X→Y зураглалыг дуудна тарилга, хэрэв -аас ямар нэг элементийн хувьд мөн үүнийг дагадаг. f: X→Y зураглалыг дуудна сурьектив, хэрэв Y-ийн y элемент бүр нь X-ийн зарим х элементийн дүрс байвал, өөрөөр хэлбэл f(x)=y. f: X→Y зураглалыг дуудна хоёрдмол утгатай, хэрэв энэ нь тарилга ба сурьектив аль аль нь байвал. Биектив зураг f: X→Y урвуу. Энэ нь g: Y→X гэж нэрлэгддэг зураглал байна гэсэн үг юм урвууямар ч x∈X, y∈Y хувьд g(f(x))=x ба f(g(y))=y байх f газрын зураг руу. f-ийн урвуу утгыг f − 1 гэж тэмдэглэнэ.

Урвуу зураглал f: X→Y олонлогууд ганцаарчилсан X ба Y олонлогийн элементүүдийн хоорондын захидал харилцаа. Тарилгын зураглал f: X→Y нь X олонлог ба f(X) олонлогуудын хооронд нэгийг харьцах харьцааг тогтооно.

Жишээ. 1) f:R→R >0, f (x)=e x функц нь бүх R бодит тоонуудын олонлог ба R >0 эерэг бодит тооны олонлогуудын хооронд нэг нэгээр харилцаж байна. f зураглалын урвуу нь g:R >0 →R, g(x)=ln x зураглал юм.

2) f:R→R ≥ 0, f(x)=x 2, бүх бодит R-ийн олонлогийг сөрөг бус тоонуудын R ≥ 0 олонлогт буулгах нь дагалдах шинж чанартай боловч инъекктив биш, тиймээс хоёрдмол утгатай биш юм.

Функцийн шинж чанарууд:

1. Хоёр функцийн найрлага нь функц, i.e. бол .

2. Хоёр биектив функцийн бүрэлдэхүүн нь биектив функц бөгөөд хэрэв , тэгвэл .

3. Зураглал нь урвуу зураглалтай бөгөөд дараа нь

хэрэв зөвхөн f нь хоёр үг бол, i.e. бол .

Тодорхойлолт. n – орон нутгийн хамаарал, эсвэл n – орон нутгийн предикат P, A 1 A 2 ;…, n нь декартын үржвэрийн аль нэг дэд олонлог;

Тэмдэглэгээ n - орон нутгийн хамаарал P(x 1 ;x 2 ;…;x n). n=1 үед P харьцааг дуудна нэгдмэлба А 1 олонлогийн дэд олонлог юм. Хоёртын(n=2 бол давхар) хамаарал нь эрэмбэлэгдсэн хосуудын багц юм.

Тодорхойлолт.Аливаа А олонлогийн хувьд хамаарлыг ижил хамаарал буюу диагональ, ба - бүрэн хамаарал буюу бүтэн квадрат гэж нэрлэдэг.

P ямар нэг хоёртын хамаарал байг. Дараа нь хоёртын харилцааны тодорхойлолтын домэйн P-г зарим у-ийн олонлог гэж нэрлэдэг) ба утгын хүрээ– зарим x-д зориулсан багц). Урвууолонлогийг P-ийн хамаарал гэж нэрлэдэг.

P харьцааг нэрлэдэг тусгал,хэрэв X-ийн дурын х-ийн хувьд (x,x) хэлбэрийн бүх хосыг агуулж байгаа бол Р хамаарлыг гэнэ тусгалын эсрэг, хэрэв энэ нь (x,x) хэлбэрийн ямар ч хосыг агуулаагүй бол. Жишээлбэл, x≤y хамаарал нь рефлекс, харин x хамаарал

P харьцааг нэрлэдэг тэгш хэмтэй, хэрэв (x,y) хос бүрийн хамт (y,x) хосыг агуулна. P харилцааны тэгш хэм нь P = P –1 гэсэн үг юм.

P харьцааг нэрлэдэг тэгш хэмийн эсрэг, хэрэв (x;y) ба (y;x) бол x=y.

R харьцааг нэрлэдэг шилжилт хөдөлгөөн,хэрэв (x,y) ба (y,z) хосуудын хамт (x,z) хосыг агуулна, өөрөөр хэлбэл xPy ба yPz-ээс xPz-ийг дагадаг.

Хоёртын харилцааны шинж чанарууд:

Жишээ. A=(x/x – Араб тоо); Р=((x;y)/x,yA,x-y=5). D;R;P -1 -ийг ол.

Шийдэл. P харьцааг P=((5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)) хэлбэрээр бичиж болно, тэгвэл бид D= байна. (5;6 ;7;8;9); E=(0;1;2;3;4); P -1 =((0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)).

Хоёр төгсгөлтэй олонлог болон хоёртын хамаарлыг авч үзье. Хоёртын P харьцааны матрицыг дараах байдлаар танилцуулъя: .

Аливаа хоёртын харилцааны матриц нь байна шинж чанарууд:

1. Хэрэв ба , тэгвэл , мөн матрицын элементүүдийг нэмэх 0+0=0 дүрмийн дагуу явагдана; 1+1=1; 1+0=0+1=1, үржүүлэх нь ердийн аргаар, өөрөөр хэлбэл. дүрмийн дагуу 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Хэрэв , тэгвэл , ба матрицуудыг матрицыг үржүүлэх ердийн дүрмийн дагуу үржүүлдэг боловч матрицыг үржүүлэх үед элементүүдийн үржвэр ба нийлбэрийг 1-р алхамын дүрмийн дагуу олно.

4. Хэрэв , тэгвэл ба

Жишээ.Хоёртын хамаарлыг 2-р зурагт үзүүлэв. Түүний матриц нь .

Шийдэл.За тэгвэл;

P нь А олонлог дээрх хоёртын хамаарал байг, . А олонлог дээрх P харьцааг нэрлэнэ тусгал,хэрэв , энд тэмдэгтүүд тэг эсвэл нэгийг заадаг. P харьцааг нэрлэдэг рефлексгүй,Хэрэв . А олонлог дээрх P харьцааг нэрлэнэ тэгш хэмтэй, for and for it гэсэн нөхцлөөс үүсвэл . Энэ нь гэсэн үг. P харьцааг нэрлэдэг тэгш хэмийн эсрэг, хэрэв энэ нь x=y гэсэн нөхцлөөс гарвал, i.e. эсвэл . Энэ шинж чанар нь үндсэн диагональаас гадна матрицын бүх элементүүд тэг байх болно (гол диагональ дээр тэг байж болно). P харьцааг нэрлэдэг шилжилт хөдөлгөөн, хэрэв -ээс болон үүнийг дагавал , i.e. .

Жишээ.Энд матрицын гол диагональ дээрх P ба харьцаа нь бүх нэгжүүд тул P нь рефлекс юм. Матриц нь тэгш бус, дараа нь P харьцаа тэгш бус байна

Учир нь Үндсэн диагональаас гадуур байрлах бүх элементүүд тэг биш, тэгвэл P харьцаа нь тэгш хэмтэй бус байна.

Тэдгээр. , тиймээс P хамаарал шилжилтгүй байна.

Рефлекс, тэгш хэмтэй, шилжилт хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг эквивалент харьцаа. Тэнцвэрийн харьцааг илэрхийлэхийн тулд ~ тэмдгийг ашиглах нь заншилтай байдаг. Рефлекс, тэгш хэм, шилжилтийн нөхцлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Жишээ. 1) X нь бүхэл тооны мөрөнд тодорхойлогдсон функцүүдийн багц байцгаая. Хэрэв f ба g функцууд нь 0 цэг дээр ижил утгыг авбал, өөрөөр хэлбэл f(x)~g(x), хэрэв f(0)=g(0) бол f ба g функцууд нь ~ харьцаагаар хамааралтай гэж үзнэ. . Жишээлбэл, sinx~x, e x ~cosx. ~ харьцаа нь рефлекстэй (ямар нэгэн f(x) функцийн хувьд f(0)=f(0)); тэгш хэмтэй (f(0)=g(0)-аас g(0)=f(0) гэж гарна); шилжилтийн (хэрэв f(0)=g(0) ба g(0)=h(0) бол f(0)=h(0)). Тиймээс ~ нь эквивалент харьцаа юм.

2) Натурал тоонуудын олонлог дээрх харьцааг ~ гэж үзье, хэрэв x ба y нь 5-д хуваагдвал ижил үлдэгдэл гарна. Жишээ нь: 6~11, 2~7, 1~6. Энэ хамаарал нь рефлекс, тэгш хэмтэй, шилжилт хөдөлгөөнтэй байдаг тул эквивалент харилцаа гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг.

Хэсэгчилсэн дарааллын хамааралОлонлог дээрх хоёртын харилцааг рефлекс, тэгш хэмийн эсрэг, шилжилт хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг.

1. - рефлекс чадвар;

2. - тэгш хэмийн эсрэг;

3. - шилжилт хөдөлгөөн.

Хатуу дэг журамтай харилцааОлонлог дээрх хоёртын хамаарлыг рефлексийн эсрэг, тэгш хэмийн эсрэг, шилжилт хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Эдгээр харилцааг хоёуланг нь нэрлэдэг захиалгын харилцаа. Захиалгын хамаарлыг тодорхойлсон багц, байж болно: бүрэн захиалгат багцэсвэл хэсэгчлэн захиалсан. Хэсэгчилсэн дараалал нь бид ямар нэгэн байдлаар давуу талыг тодорхойлохыг хүсч байгаа тохиолдолд чухал юм. ямар нөхцөлд олонлогийн нэг элементийг нөгөөгөөсөө давуу гэж үзэхийг шийднэ. Хэсэгчилсэн захиалгат багц гэж нэрлэдэг шугаман дараалалтай, хэрэв түүний дотор зүйрлэшгүй элементүүд байхгүй бол, i.e. нөхцөлүүдийн аль нэг нь буюу хангагдсан. Жишээлбэл, байгалийн дараалал бүхий багцууд нь шугаман дараалалтай байдаг.

Болъё r Í X X Ю.

Функциональ хамаарал- энэ бол ийм хоёртын харилцаа юм r,Үүнд элемент бүр тохирох болно яг нэгхос нь харилцаанд хамаарах юм уу тийм огт байхгүй: эсвэл.

Функциональ хамаарал -Энэ бол хоёртын харилцаа юм r,Үүний тулд дараахь зүйлийг гүйцэтгэнэ. .

Хаа сайгүй тодорхой хандлага- хоёртын хамаарал r, үүний төлөө D r =X("Ганцаардал гэж байдаггүй X").

Сурьектив харилцаа- хоёртын хамаарал r, үүний төлөө J r = Y("Ганцаардал гэж байдаггүй y").

Тарилгын хандлага– ялгаатай хоёртын хамаарал Xхарилцан адилгүй байна цагт.

Биеэлэлт– функциональ, хаа сайгүй тодорхойлогдсон, injective, surjective хамаарал нь олонлогуудын нэгийг харьцах харьцааг тодорхойлдог.

Жишээ нь:

Болъё r= ( (x, y) О R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 ).

Хандлага r-функциональ,

хаа сайгүй тодорхойлогдоогүй ("ганцаардсан хүмүүс байдаг X"),

тарилга биш (өөр өөр байдаг X, цагт),

Сурьектив биш ("ганцаардсан хүмүүс байдаг цагт"),

хошигнол биш.

Жишээ нь:

Ã= ((x,y) О R 2 | y = x+1) байг.

à хамаарал нь функциональ,

Ã- харьцаа нь хаа сайгүй тодорхойлогддог ("Ганцаардал гэж байдаггүй X"),

Ã- харьцаа нь тарилга юм (ялгаагүй X,ижил утгатай тохирч байна цагт),

Ã- харьцаа нь шинж чанартай ("Ганцаардал гэж байдаггүй цагт"),

à харьцаа нь хоёрдмол утгатай, харилцан нэгэн төрлийн захидал харилцаа юм.

Жишээ нь:

Олонлог дээр j=((1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)) гэж тодорхойлъё. N 4.

j хамаарал нь функциональ биш, x=1 нь гурван утай тохирч байна: (1,2), (1,3), (1,4)

j хамаарал хаа сайгүй тодорхой байдаггүй Д j =(1,2,3)¹ N 4

j харьцаа нь далд шинж биш юм I j =(1,2,3)¹ N 4

j хамаарал нь тарилга биш; өөр x нь ижил y-тэй тохирч байна, жишээлбэл (2.3) ба (1.3).

Лабораторийн даалгавар

1. Багцуудыг өгсөн N1Тэгээд N2. Багцуудыг тооцоолох:

(N1 X N2) Ç (N2 X N1);

(N1 X N2) È (N2 X N1);

(N1 Ç N2) x (N1 Ç N2);

(N1 È N2) x (N1 È N2),

Хаана N1 = (бүртгэлийн дэвтрийн дугаарын сүүлийн гурван цифр };

N2 = (төрсөн огноо, сарын цифрүүд }.

2. Харилцаа холбоо rТэгээд gбагц дээр өгдөг N 6 =(1,2,3,4,5,6).

Харилцааг дүрсэл r,g,r -1 , r ○g, r - 1 ○gхосуудын жагсаалт

Харилцааны матрицуудыг ол rТэгээд g.

Харилцаа тус бүрийн хувьд тодорхойлолт болон утгын хүрээг тодорхойлно.

Харилцааны шинж чанарыг тодорхойлох.

Эквивалентын хамаарлыг тодорхойлж, эквивалентийн ангиудыг байгуул.

Захиалгын харилцааг тодорхойлж, ангилах.

1) r= { (м,n) | m > n)

g= { (м,n) | харьцуулах модуль 2 }

2) r= { (м,n) | (м - н) 2-т хуваагддаг }

g= { (м,n) | мхуваагч n)

3) r= { (м,n) | м< n }

g= { (м,n) | харьцуулах модуль 3 }

4) r= { (м,n) | (м + н)- бүр }

g= { (м,n) | m 2 =n)

5) r= { (м,n) | м/н-зэрэг 2 }

g= { (м,n) | m = n)

6) r= { (м,n) | м/н-бүр }

g = ((м,n) | м³ n)

7) r= { (м,n) | м/н-хачин }

g= { (м,n) | харьцуулах модуль 4 }

8) r= { (м,n) | м * н -бүр }

g= { (м,n) | м£ n)

9) r= { (м,n) | харьцуулах модуль 5 }

g= { (м,n) | мхуваасан n)

10) r= { (м,n) | м- тэгш, n- бүр }

g= { (м,n) | мхуваагч n)

11) r= { (м,n) | м = n)

g= { (м,n) | (м + н)£ 5 }

12) r={ (м,n) | мТэгээд n 3-т хуваахад ижил үлдэгдэлтэй байна }

g= { (м,n) | (м-n)³2 }

13) r= { (м,n) | (м + н) 2-т хуваагддаг }

g = ((м,n) | £2 (м-n)£4 }

14) r= { (м,n) | (м + н) 3-т хуваагддаг }

g= { (м,n) | м¹ n)

15) r= { (м,n) | мТэгээд nнийтлэг хуваагчтай }

g= { (м,n) | м 2£ n)

16) r= { (м,n) | (м - н) 2-т хуваагддаг }

g= { (м,n) | м< n +2 }

17) r= { (м,n) | харьцуулах модуль 4 }

g= { (м,n) | м£ n)

18) r= { (м,n) | м-д хуваагддаг n)

g= { (м,n) | м¹ н, м-бүр }

19) r= { (м,n) | харьцуулах модуль 3 }

g= { (м,n) | £1 (м-n)£3 }

20) r= { (м,n) | (м - н) 4-т хуваагддаг }

g= { (м,n) | м¹ n)

21) r= { (м,n) | м- хачин, n- хачин }

g= { (м,n) | м£ n, n-бүр }

22) r= { (м,n) | мТэгээд n 3-т хуваахад сондгой үлдэгдэлтэй байна }

g= { (м,n) | (м-n)³1 }

23) r= { (м,n) | м * н -хачин }

g= { (м,n) | харьцуулах модуль 2 }

24) r= { (м,n) | м * н -бүр }

g= { (м,n) | £1 (м-n)£3 }

25) r= { (м,n) | (м+ n) -бүр }

g= { (м,n) | мбүрэн хуваагддаггүй n)

26) r= { (м,n) | m = n)

g= { (м,n) | м-д хуваагддаг n)

27) r= { (м,n) | (м-н)-бүр }

g= { (м,n) | мхуваагч n)

28) r= { (м,n) | (м-n)³2 }

g= { (м,n) | м-д хуваагддаг n)

29) r= { (м,n) | м 2³ n)

g= { (м,n) | м / n-хачин }

30) r= { (м,n) | м³ н, м -бүр }

g= { (м,n) | мТэгээд n 1-ээс өөр нийтлэг хуваагчтай байна }

3. Өгөгдсөн хамаарал мөн эсэхийг тодорхойл f-функциональ, хаа сайгүй тодорхойлогдсон, injective, surjective, bijection ( Р- бодит тоонуудын багц). Харилцааны графикийг байгуулж, тодорхойлолтын болон утгын хүрээг тодорхойлно.

Харилцааны хувьд ижил ажлыг хий rТэгээд gлабораторийн ажлын 3-р цэгээс.

1) f=((x, y) Î Р 2 | y=1/x +7x )

2) f=((x, y) Î Р 2 | x³ у)

3) f=((x, y) Î Р 2 | y³ x)

4) f=((x, y) Î Р 2 | y³ x, x³ 0 }

5) f=((x, y) Î Р 2 | y 2 + x 2 = 1)

6) f=((x, y) Î Р 2 | 2 | у | + | x | = 1)

7) f=((x, y) Î Р 2 | x+y£ 1 }

8) f=((x, y) Î Р 2 | x = y 2)

9) f=((x, y) Î Р 2 | y = x 3 + 1)

10) f=((x, y) Î Р 2 | y = -x 2)

11) f=((x, y) Î Р 2 | | у | + | x | = 1)

12) f=((x, y) Î Р 2 | x = y -2)

13) f=((x, y) Î Р 2 | y2 + x2³ 1, y> 0 }

14) f=((x, y) Î Р 2 | y 2 + x 2 = 1, x> 0 }

15) f=((x, y) Î Р 2 | y2 + x2£ 1.x> 0 }

16) f=((x, y) Î Р 2 | x = y 2 ,x³ 0 }

17) f=((x, y) Î Р 2 | у = нүгэл (3х + p) )

18) f=((x, y) Î Р 2 | y = 1 / cos x )

19) f=((x, y) Î Р 2 | y = 2| x | + 3)

20) f=((x, y) Î Р 2 | у = | 2x + 1| )

21) f=((x, y) Î Р 2 | y = 3x)

22) f=((x, y) Î Р 2 | y = e -x)

23) f =((x, y)Î Р 2 | у = д | x | )

24) f=((x, y) Î Р 2 | y = cos(3x) - 2 )

25) f=((x, y) Î Р 2 | y = 3x 2 - 2)

26) f=((x, y) Î Р 2 | y = 1 / (x + 2) )

27) f=((x, y) Î Р 2 | y = ln(2x) - 2 )

28) f=((x, y) Î Р 2 | у = | 4x -1| + 2)

29) f=((x, y) Î Р 2 | y = 1 / (x 2 +2x-5))

30) f=((x, y) Î Р 2 | x = y 3, y³ - 2 }.

Аюулгүй байдлын асуултууд

2. Хоёртын харилцааны тодорхойлолт.

3. Хоёртын харилцааг дүрслэх аргууд.

4.Тодорхойлолтын домайн ба утгын хүрээ.

5.Хоёртын харилцааны шинж чанарууд.

6.Эквивалентын хамаарал ба эквивалентийн ангиуд.

7. Захиалгын харилцаа: хатуу ба хатуу бус, бүрэн ба хэсэгчилсэн.

8. Үлдэгдлийн ангиуд модуль m.

9.Функциональ харилцаа.

10. Тарилга, шахах, бижэкцэх.

Лабораторийн ажил No3

Харилцаа. Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт

Тодорхойлолт 2.1.Захиалсан хос<x, y> хоёр элементийн цуглуулга гэж нэрлэдэг xТэгээд y, тодорхой дарааллаар байрлуулсан.

Хоёр захиалсан хос<x, y> ба<у, v> нь өөр хоорондоо тэнцүү, зөвхөн хэрэв байгаа бол x = уТэгээд y= v.

Жишээ 2.1.

<а, б>, <1, 2>, <x, 4> – захиалсан хосууд.

Үүний нэгэн адил бид гурвалсан, дөрөв дахин их, n-ki элементүүд<x 1 , x 2 ,… x n>.

Тодорхойлолт 2.2.Шууд(эсвэл Декарт)ажилхоёр багц АТэгээд БЭнэ нь хос бүрийн эхний элемент нь олонлогт хамаарах эрэмбэлэгдсэн хосуудын багц юм А, хоёр дахь нь - багц руу Б:

А ´ Б = {<а, б>, ç аÎ АТэгээд бÏ IN}.

Ерөнхийдөө шууд бүтээгдэхүүн nбагц А 1 ,А 2 ,…А нбагц гэж нэрлэдэг А 1' А 2 ´…´ А н, элементүүдийн эрэмбэлэгдсэн багцаас бүрдэнэ<а 1 , а 2 , …,a n> урт n, ийм би- th a iбагцад хамаарна А и,a i Î А и.

Жишээ 2.2.

Болъё А = {1, 2}, IN = {2, 3}.

Дараа нь А ´ Б = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.

Жишээ 2.3.

Болъё А= {x ç0 £ x£ 1) ба Б= {yç2 £ y£3)

Дараа нь А ´ Б = {<x, y >, ç0 £ x£1&2£ y£3).

Тиймээс олон А ´ Бшулуун шугамаар үүссэн тэгш өнцөгтийн дотор ба хил дээр байрлах цэгүүдээс бүрдэнэ x= 0 (y-тэнхлэг), x= 1,y= 2i y = 3.

Францын математикч, гүн ухаантан Декарт хавтгай дээрх цэгүүдийн координатын дүрслэлийг анх санаачилсан хүн юм. Энэ бол түүхийн хувьд шууд бүтээгдэхүүний анхны жишээ юм.

Тодорхойлолт 2.3.Хоёртын(эсвэл давхар)харьцаа rэрэмбэлэгдсэн хосуудын багц гэж нэрлэдэг.

Хэрэв хос бол<x, y>харъяалагддаг r, дараа нь дараах байдлаар бичнэ.<x, y> Î rэсвэл ижил зүйл юу вэ, xr y.

Жишээ 2.4.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}

Үүнтэй адилаар бид тодорхойлж болно n-орон нутгийн харилцааг эрэмбэлэгдсэн цогц байдлаар n-За.

Хоёртын хамаарал нь олонлог тул хоёртын хамаарлыг тодорхойлох аргууд нь олонлогийг тодорхойлох аргуудтай ижил байна (1.1-р хэсгийг үзнэ үү). Хоёртын харьцааг эрэмбэлэгдсэн хосуудыг жагсаах эсвэл эрэмбэлэгдсэн хосуудын ерөнхий шинж чанарыг зааж өгөх замаар тодорхойлж болно.

Жишээ 2.5.

1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – эрэмбэлэгдсэн хосуудыг тоолох замаар хамаарлыг тодорхойлно;

2. r = {<x, y> ç x+ y = 7, x, y– бодит тоо) – шинж чанарыг зааж өгснөөр хамаарлыг тодорхойлно x+ y = 7.

Үүнээс гадна хоёртын хамаарлыг өгч болно хоёртын харилцааны матриц. Болъё А = {а 1 , а 2 , …, a n) нь төгсгөлтэй олонлог юм. Хоёртын харилцааны матриц Cдарааллын квадрат матриц юм n, хэний элементүүд c ijдараах байдлаар тодорхойлогддог.

Жишээ 2.6.

А= (1, 2, 3, 4). Хоёртын хамаарлыг тодорхойлъё rжагсаасан гурван аргаар.

1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – бүх эрэмбэлэгдсэн хосуудыг тоолох замаар хамаарлыг тодорхойлно.

2. r = {<a i, a j> ç a i < a j; a i, a jÎ А) – багц дээрх “бага” шинж чанарыг зааж харьцааг тодорхойлно А.

3. – хамаарлыг хоёртын харилцааны матрицаар тодорхойлно C.

Жишээ 2.7.

Зарим хоёртын харилцааг авч үзье.

1. Натурал тооны олонлог дээрх хамаарал.

a) £ хамаарал нь хосуудад хамаарна<1, 2>, <5, 5>, гэхдээ хосын хувьд тохирохгүй<4, 3>;

б) хосуудын хувьд "нэгээс өөр нийтлэг хуваагчтай байх" харьцаа хамаарна<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, гэхдээ хосын хувьд тохирохгүй<3, 28>.

2. Бодит хавтгайн цэгүүдийн багц дээрх хамаарал.

a) "(0, 0) цэгээс ижил зайд байх" харьцаа (3, 4) ба (–2, Ö21) цэгүүдэд хангагдах боловч (1, 2) ба () цэгүүдэд хангагдахгүй. 5, 3);

б) хамаарал “тэнхлэгт тэгш хэмтэй байх Өө" бүх цэгүүдэд хийгддэг ( x, y) ба (- x, –y).

3. Олон хүмүүстэй харилцах харилцаа.

а) "нэг хотод амьдрах" хандлага;

б) "нэг бүлэгт суралцах" хандлага;

в) "хөгшин байх" хандлага.

Тодорхойлолт 2.4.Хоёртын харилцааны r-ийн тодорхойлолтын муж нь D r = олонлог (x çтэнд xr y байх у байна).

Тодорхойлолт 2.5.Хоёртын харилцааны r утгын муж нь R r = олонлог юм (y нь xr y байхаар x гэж байдаг).

Тодорхойлолт 2.6.Хоёртын r хамаарлыг тодорхойлох мужийг M r = D r ÈR r олонлог гэнэ.

Шууд бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтыг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

rÎ Д р´ R r

Хэрэв Д р= R r = А, тэгвэл бид хоёртын хамаарлыг хэлнэ rбагц дээр тодорхойлсон А.

Жишээ 2.8.

Болъё r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.

Дараа нь D r ={1, 3, 4}, R r = {3, 2}, ноён= {1, 2, 3, 4}.

Харилцааны үйл ажиллагаа

Харилцаа нь олонлог тул олонлог дээрх бүх үйлдлүүд харилцаанд хүчинтэй байна.

Жишээ 2.9.

r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

r 1 Ч r 2 = {<1, 2>}.

r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.

Жишээ 2.10.

Болъё Р- бодит тоонуудын багц. Энэ багц дээр дараах харилцааг авч үзье.

r 1 - "£"; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 - "³"; r 5 – " > ".

r 1 = r 2 È r 3 ;

r 2 = r 1 Ч r 4 ;

r 3 = r 1 \ r 2 ;

r 1 = ;

Харилцаанд өөр хоёр үйлдлийг тодорхойлъё.

Тодорхойлолт 2.7.харилцаа гэж нэрлэдэг урвуухандлагад r(тэмдэглэсэн r - 1), хэрэв

r - 1 = {<x, y> ç< у, х> Î r}.

Жишээ 2.11.

r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r - 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

Жишээ 2.12.

r = {<x, y> ç x – y = 2, x, y Î Р}.

r - 1 = {<x, y> ç< у, х> Î r} = r - 1 = {<x, y> ç y–x = 2, x, y Î Р} = {<x, y> ç– x+ y = 2, x, y Î Р}.

Тодорхойлолт 2.8.r ба s хоёр харилцааны найрлагахарилцаа гэж нэрлэдэг

s r= {<x, z> çийм зүйл байдаг y, Юу<x, y> Î rТэгээд< у, з> Î с}.

Жишээ 2.13.

r = {<x, y> ç y = синкс}.

с= {<x, y> ç y = Ö x}.

s r= {<x, z> çийм зүйл байдаг y, Юу<x, y> Î rТэгээд< у, з> Î с} = {<x, z> çийм зүйл байдаг y, Юу y = синксТэгээд z= Ö y} = {<x, z> ç z= Ö синкс}.

Хоёр харилцааны найрлагын тодорхойлолт нь нарийн төвөгтэй функцийн тодорхойлолттой тохирч байна.

y = е(x), z= g(y) Þ z= g(е(x)).

Жишээ 2.14.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

с = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

Хайх үйл явц s rнайрлагын тодорхойлолтын дагуу бүх боломжит утгыг жагсаасан хүснэгтэд дүрслэх нь тохиромжтой. x, y, z. хос бүрийн хувьд<x, y> Î rБид бүх боломжит хосуудыг авч үзэх хэрэгтэй< у, з> Î с(Хүснэгт 2.1).

Хүснэгт 2.1

<x, y> Î r	< у, з> Î с	<x, z> Î s r
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1>	<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3>	<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>

Хүснэгтийн сүүлчийн баганын эхний, гурав, дөрөв, хоёр, тав дахь мөрүүд нь ижил хосуудыг агуулж байгааг анхаарна уу. Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна.

s r= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.

Харилцааны шинж чанарууд

Тодорхойлолт 2.9.Хандлага rдуудсан тусгалбагц дээр X, хэрэв байгаа бол xÎ Xгүйж байна xr x.

Тодорхойлолтоос харахад бүх элемент<x,x > Î r.

Жишээ 2.15.

а) Болъё X- төгсгөлтэй олонлог, X= (1, 2, 3) ба r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Хандлага rтусгалтайгаар. Хэрэв Xнь хязгаарлагдмал олонлог бол рефлексийн харилцааны матрицын үндсэн диагональ нь зөвхөн нэгийг агуулна. Бидний жишээн дээр

б) зөвшөөр X rтэгш байдлын харилцаа. Энэ хандлага нь рефлекс юм, учир нь тоо бүр өөртэйгээ тэнцүү байна.

в) зөвшөөрөх X- олон хүн ба r"Нэг хотод амьдардаг" хандлага. Энэ хандлага нь рефлекс юм, учир нь бүгд өөртэйгээ нэг хотод амьдардаг.

Тодорхойлолт 2.10.Хандлага rдуудсан тэгш хэмтэйбагц дээр X, хэрэв байгаа бол x, yÎ X-аас xryёстой жил x.

Энэ нь ойлгомжтой rтэгш хэмтэй бол зөвхөн хэрэв байгаа бол r = r - 1 .

Жишээ 2.16.

а) Болъё X- төгсгөлтэй олонлог, X= (1, 2, 3) ба r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Хандлага rтэгш хэмтэй. Хэрэв Xнь хязгаарлагдмал олонлог бол тэгш хэмийн харилцааны матриц нь үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Бидний жишээн дээр

б) зөвшөөр X– бодит тоонуудын багц ба rтэгш байдлын харилцаа. Энэ харилцаа нь тэгш хэмтэй, учир нь Хэрэв xтэнцүү байна y, дараа нь yтэнцүү байна x.

в) зөвшөөрөх X– олон оюутан ба r"нэг бүлэгт суралцах" хандлага. Энэ харилцаа нь тэгш хэмтэй, учир нь Хэрэв xижил бүлэгт суралцдаг y, дараа нь yижил бүлэгт суралцдаг x.

Тодорхойлолт 2.11.Хандлага rдуудсан шилжилт хөдөлгөөнбагц дээр X, хэрэв байгаа бол x, y,zÎ X-аас xryТэгээд жил zёстой xr z.

Нөхцөлүүдийг нэгэн зэрэг биелүүлэх xry, жил z, xr zхос гэсэн үг<x,z> найрлагад хамаарна r r. Тиймээс дамжин өнгөрөх чадварын хувьд rЭнэ нь багцад шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм r rдэд хэсэг байсан r, өөрөөр хэлбэл r rÍ r.

Жишээ 2.17.

а) Болъё X- төгсгөлтэй олонлог, X= (1, 2, 3) ба r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Хандлага rшилжилтийн, учир нь хосуудын хамт<x,y>болон<y,z>хостой<x,z>. Жишээлбэл, хосуудын хамт<1, 2>, Мөн<2, 3>хос байна<1, 3>.

б) зөвшөөр X– бодит тоонуудын багц ба rхарьцаа £ (бага буюу тэнцүү). Энэ харилцаа нь шилжилтийн шинж чанартай, учир нь Хэрэв x£ yТэгээд y£ z, Тэр x£ z.

в) зөвшөөрөх X- олон хүн ба r"хөгшин байх" хандлага. Энэ харилцаа нь шилжилтийн шинж чанартай, учир нь Хэрэв xхөгшин yТэгээд yхөгшин z, Тэр xхөгшин z.

Тодорхойлолт 2.12.Хандлага rдуудсан эквивалент харьцаабагц дээр X, хэрэв энэ нь багц дээр рефлекс, тэгш хэмтэй, шилжилт хөдөлгөөнтэй бол X.

Жишээ 2.18.

а) Болъё X- төгсгөлтэй олонлог, X= (1, 2, 3) ба r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Хандлага rнь эквивалент хамаарал юм.

б) зөвшөөр X– бодит тоонуудын багц ба rтэгш байдлын харилцаа. Энэ бол эквивалент харьцаа юм.

в) зөвшөөрөх X– олон оюутан ба r"нэг бүлэгт суралцах" хандлага. Энэ бол эквивалент харьцаа юм.

Болъё r X.

Тодорхойлолт 2.13.Болъё r– олонлог дээрх эквивалент хамаарал XТэгээд xÎ X. Эквивалент анги, элементээр үүсгэгдсэн x, олонлогийн дэд олонлог гэж нэрлэдэг X, тэдгээр элементүүдээс бүрдэнэ yÎ X, үүний төлөө xry. Элементээр үүсгэгдсэн эквивалент анги x, тэмдэглэсэн [ x].

Тиймээс, [ x] = {yÎ X|xry}.

Эквивалент ангиуд үүсдэг хуваалтбагц X, өөрөөр хэлбэл, түүний нэгдэл нь бүхэл бүтэн багцтай давхцаж байгаа хоосон бус, хос хуваагдсан дэд олонлогуудын систем юм. X.

Жишээ 2.19.

a) Бүхэл тооны олонлог дээрх тэгш байдлын хамаарал нь дараах эквивалент ангиллыг үүсгэдэг: дурын элементийн хувьд xэнэ багцаас [ x] = {x), i.e. эквивалент анги бүр нэг элементээс бүрдэнэ.

b) Хосоор үүсгэсэн эквивалент анги<x, y> хамаарлаар тодорхойлогдоно:

[<x, y>] = .

Хосоор үүсгэгдсэн эквивалент анги бүр<x, y>, нэг рационал тоог тодорхойлно.

в) Нэг оюутны бүлэгт хамаарах харьцааны хувьд дүйцэх анги нь нэг бүлгийн оюутнуудын багц юм.

Тодорхойлолт 2.14.Хандлага rдуудсан тэгш хэмийн эсрэгбагц дээр X, хэрэв байгаа бол x, yÎ X-аас xryТэгээд жил xёстой x = y.

Антисимметрийн тодорхойлолтоос харахад хос болгонд<x,y> нэгэн зэрэг эзэмшдэг rТэгээд r - 1 , тэгш байдлыг хангасан байх ёстой x = y. Өөрөөр хэлбэл, r Ç r - 1 нь зөвхөн хос маягтаас бүрдэнэ<x,x >.

Жишээ 2.20.

а) Болъё X- төгсгөлтэй олонлог, X= (1, 2, 3) ба r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Хандлага rтэгш хэмийн эсрэг.

Хандлага с= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) тэгш хэмтэй бус байна. Жишээ нь,<1, 2> Î с,Тэгээд<2, 1> Î с, гэхдээ 1¹2.

б) зөвшөөр X– бодит тоонуудын багц ба rхарьцаа £ (бага буюу тэнцүү). Энэ харилцаа нь тэгш хэмтэй бус, учир нь Хэрэв x £ y, Мөн y £ x, Тэр x = y.

Тодорхойлолт 2.15.Хандлага rдуудсан хэсэгчилсэн дарааллын хамаарал(эсвэл хэсэгчилсэн захиалга) багц дээр X, хэрэв энэ нь иж бүрдэл дээр рефлекс, тэгш хэмийн эсрэг, шилжилт хөдөлгөөнтэй байвал X. Олон XЭнэ тохиолдолд үүнийг хэсэгчлэн эрэмбэлэгдсэн гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв энэ нь үл ойлголцолд хүргэхгүй бол заасан хамаарлыг ихэвчлэн £ тэмдгээр тэмдэглэдэг.

Хэсэгчилсэн дарааллын харилцааны урвуу нь хэсэгчилсэн дарааллын хамаарал байх нь ойлгомжтой.

Жишээ 2.21.

а) Болъё X- төгсгөлтэй олонлог, X= (1, 2, 3) ба r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Хандлага r

б) хандлага АÍ INзарим олонлогийн дэд олонлогууд дээр Ухэсэгчилсэн дарааллын хамаарал байдаг.

в) Натурал тооны олонлогт хуваагдах харьцаа нь хэсэгчилсэн эрэмбийн хамаарал юм.

Функцүүд. Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт

Математик шинжилгээнд функцийн дараах тодорхойлолтыг хүлээн зөвшөөрдөг.

Хувьсагч yхувьсагчийн функц гэж нэрлэдэг x, хэрэв зарим дүрэм эсвэл хуулийн дагуу үнэ цэнэ тус бүр xтодорхой нэг утгатай тохирч байна y = е(x). Хувьсах талбай xфункцийн тодорхойлолтын муж, хувьсагчийн өөрчлөлтийн муж гэж нэрлэдэг y– функцийн утгын хүрээ. Хэрэв нэг үнэ цэнэ xхэд хэдэн (мөн хязгааргүй олон утгатай) тохирч байна. y), функцийг олон утгат гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч бодит хувьсагчийн функцүүдийн шинжилгээний хичээлд олон утгатай функцээс зайлсхийж, нэг утгатай функцийг авч үздэг.

Функцийн өөр нэг тодорхойлолтыг харилцааны үүднээс авч үзье.

Тодорхойлолт 2.16. Чиг үүрэггэдэг нь эхний бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэнцүү, хоёр дахь нь ялгаатай хоёр хосыг агуулаагүй аливаа хоёртын хамаарал юм.

Харилцааны энэ шинж чанарыг нэрлэдэг хоёрдмол утгагүй байдалэсвэл функциональ байдал.

Жишээ 2.22.

A) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) - функц.

б) (<x, y>: x, y Î Р, y = x 2) - функц.

V) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) нь хамаарал боловч функц биш.

Тодорхойлолт 2.17.Хэрэв е- функц, тэгвэл D f – тодорхойлолтын домэйн, А Rf – хүрээфункцууд е.

Жишээ 2.23.

Жишээ нь 2.22 a) D f – {1, 3, 4, 5}; Rf – {2, 4, 6}.

Жишээ нь 2.22 b) D f = Rf = (–¥, ¥).

Элемент бүр x D fфункц таарч байна цорын ганцэлемент y Rf. Үүнийг сайн мэддэг тэмдэглэгээгээр тэмдэглэв y = е(x). Элемент xфункцийн аргумент эсвэл элементийн урьдчилсан дүрс гэж нэрлэдэг yфункцтэй е, болон элемент yфункцийн утга едээр xэсвэл элементийн зураг xцагт е.

Тиймээс, бүх харилцаанаас функцууд нь тодорхойлолтын домэйны элемент бүртэй байдгаараа онцлог юм цорын ганцзураг.

Тодорхойлолт 2.18.Хэрэв D f = XТэгээд Rf = Ю, дараа нь тэд функц гэж хэлдэг едээр тодорхойлсон Xгэсэн утгыг нь авдаг Ю, А едуудсан X олонлогийг Y-д буулгах(X ® Ю).

Тодорхойлолт 2.19.Функцүүд еТэгээд gХэрэв тэдгээрийн домэйн ижил олонлогтой бол тэнцүү байна Д, мөн хэнд ч зориулсан x Î Дтэгш байдал үнэн е(x) = g(x).

Энэхүү тодорхойлолт нь функцүүдийн тэгш байдлыг олонлогуудын тэгш байдал гэж тодорхойлсонтой зөрчилддөггүй (эцэст нь бид функцийг хамаарал, өөрөөр хэлбэл олонлог гэж тодорхойлсон): олонлогууд еТэгээд gижил элементүүдээс бүрдсэн тохиолдолд л тэнцүү байна.

Тодорхойлолт 2.20.Функц (дэлгэц) едуудсан сурьективэсвэл зүгээр л эргэлзээ, хэрэв ямар нэгэн элементийн хувьд y Юэлемент байдаг x Î X, ийм y = е(x).

Тиймээс функц бүр ень surjective mapping (surjection) D f® Rf.

Хэрэв ень surjection, мөн XТэгээд Юнь төгсгөлтэй олонлогууд, дараа нь ³ .

Тодорхойлолт 2.21.Функц (дэлгэц) едуудсан тарилгаэсвэл зүгээр л тарилгаэсвэл ганцаарчилсан, хэрэв -аас е(а) = е(б) байх ёстой а = б.

Тодорхойлолт 2.22.Функц (дэлгэц) едуудсан хоёрдмол утгатайэсвэл зүгээр л хоёрдмол санаа, хэрэв энэ нь тарилга ба сурьектив аль аль нь байвал.

Хэрэв ень bijection, мөн XТэгээд Юнь төгсгөлтэй олонлог, тэгвэл =.

Тодорхойлолт 2.23.Хэрэв функцийн хүрээ D fнэг элементээс бүрддэг, тэгвэл едуудсан тогтмол функц.

Жишээ 2.24.

A) е(x) = x 2 нь бодит тоонуудын олонлогоос сөрөг бус бодит тооны олонлогийн зураглал юм. Учир нь е(–а) = е(а), Мөн а ¹ – а, тэгвэл энэ функц нь тарилга биш юм.

б) Хүн бүрт x Р= (–, ) функц е(x) = 5 – тогтмол функц. Энэ нь олон зүйлийг харуулдаг Ртохируулах (5). Энэ функц нь surjective боловч тарилга биш юм.

V) е(x) = 2x+ 1 нь тарилга ба бижекция юм, учир нь 2-оос x 1 +1 = 2x 2 +1 дагаж байна x 1 = x 2 .

Тодорхойлолт 2.24.Дэлгэцийг хэрэгжүүлэх функц X 1' X 2 ´...´ Xn ® Юдуудсан n-орон нутгийнфункц.

Жишээ 2.25.

a) Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах нь олонлог дээрх хоёр оронтой функц юм Рбодит тоо, өөрөөр хэлбэл функцууд Р 2® Р.

б) е(x, y) = нь зураглалыг хэрэгжүүлдэг хоёр газартай функц юм Р ´ ( Р \ )® Р. Энэ функц нь тарилга биш, учир нь е(1, 2) = е(2, 4).

в) Сугалааны хожлын хүснэгт нь хосуудын хоорондын захидал харилцааг бий болгох хоёр байрын функцийг зааж өгдөг. Н 2 (Н– натурал тооны багц) ба хожлын багц.

Функцууд нь хоёртын харилцаа тул урвуу функцийг олж, найрлагын үйлдлийг хэрэгжүүлэх боломжтой. Аль ч хоёр функцын найрлага нь функц боловч функц бүрт биш юм ехандлага е-1 нь функц юм.

Жишээ 2.26.

A) е = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) - функц.

Хандлага е –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) нь функц биш юм.

б) g = {<1, а>, <2, б>, <3, в>, <4, Д>) нь функц юм.

g -1 = {<а, 1>, <б, 2>, <в, 3>, <Д, 4>) нь мөн функц юм.

в) Функцийн бүрэлдэхүүнийг ол ежишээнээс a) ба g-1 жишээнээс b). Бидэнд байна g -1е = {<а, 2>, <б, 3>, <в, 4>, <г, 2>}.

fg-1 = Æ.

гэдгийг анхаарна уу ( g -1е)(а) = е(g -1 (а)) = е(1) = 2; (g -1е)(в) = е(g -1 (в)) = е(3) = 4.

Математик шинжилгээний үндсэн функц нь аливаа функц юм е, энэ нь хязгаарлагдмал тооны арифметик функц, түүнчлэн дараах функцүүдийн нэгдэл юм.

1) Бутархай-рационал функцууд, i.e. хэлбэрийн функцууд

а 0 + а 1 x + ... + a n x n

б 0 + б 1 x + ... + б м х м.

2) Эрчим хүчний функц е(x) = х м, Хаана м- дурын тогтмол бодит тоо.

3) Экспоненциал функц е(x) = e x.

4) логарифм функц е(x) = log a x, а >0, а 1.

5) Тригонометрийн функцууд sin, cos, tg, ctg, sec, csc.

6) Гиперболын функцууд sh, ch, th, cth.

7) Урвуу тригонометрийн функцууд арксин, arccosгэх мэт.

Жишээлбэл, функц бүртгэл 2 (x 3 +sincos 3x) нь анхан шатны, учир нь Энэ нь функцүүдийн нэгдэл юм cosx, синкс, x 3 , x 1 + x 2 , logx, x 2 .

Функцийн найрлагыг тодорхойлсон илэрхийллийг томьёо гэнэ.

Олон оронтой функцийн хувьд 1957 онд А.Н.Колмогоров, В.И.Арнольд нарын олж авсан дараах чухал үр дүн хүчинтэй бөгөөд энэ нь Гильбертийн 13-р бодлогын шийдэл юм.

Теорем.Аливаа тасралтгүй функц nхувьсагчдыг хоёр хувьсагчийн тасралтгүй функцуудын бүрдэл болгон төлөөлж болно.

Функцийг тодорхойлох аргууд

1. Функцийг тодорхойлох хамгийн энгийн арга бол хүснэгтүүд юм (Хүснэгт 2.2):

Хүснэгт 2.2

Гэсэн хэдий ч, төгсгөлтэй олонлог дээр тодорхойлогдсон функцуудыг ингэж тодорхойлж болно.

Хязгааргүй олонлог (сегмент, интервал) дээр тодорхойлогдсон функцийг тригонометрийн хүснэгт, тусгай функцийн хүснэгт гэх мэт хэлбэрээр хязгаарлагдмал тооны цэгүүдэд өгсөн бол утгыг тооцоолохдоо интерполяцийн дүрмийг ашиглана. завсрын цэгүүд дэх функцүүдийн.

2. Функцийг бусад функцүүдийн бүрэлдэхүүн гэж тодорхойлсон томъёогоор тодорхойлж болно. Томъёо нь функцийг тооцоолох дарааллыг тодорхойлдог.

Жишээ 2.28.

е(x) = нүгэл(x + Ö x) нь дараах функцүүдийн нэгдэл юм.

g(y) = Ö y; h(чи, v) = у+ v; w(z) = синз.

3. Функцийг дараах байдлаар тодорхойлж болно рекурсив процедур.Рекурсив процедур нь натурал тооны олонлог дээр тодорхойлогдсон функцийг зааж өгдөг, i.e. е(n), n= 1, 2,... дараах байдлаар: a) утгыг тохируулна е(1) (эсвэл е(0)); б) үнэ цэнэ е(n+ 1) найрлагаар нь тодорхойлно е(n) болон бусад мэдэгдэж буй функцууд. Рекурсив процедурын хамгийн энгийн жишээ бол тооцоолол юм n!: a) 0! = 1; б) ( n + 1)! = n!(n+ 1). Олон тооны тоон аргын процедур нь рекурсив процедур юм.

4. Функцийг тооцоолох аргыг агуулаагүй, зөвхөн тайлбарлах функцийг тодорхойлох боломжит аргууд байдаг. Жишээ нь:

ф М(x) =

Чиг үүрэг ф М(x) – олонлогийн шинж чанарын функц М.

Тэгэхээр бидний тодорхойлолтоор функцийг тодорхойл е– дэлгэцийг тохируулах гэсэн үг X ® Ю, өөрөөр хэлбэл багцыг тодорхойлно X´ Ю, тиймээс асуулт нь тодорхой багцыг зааж өгөхөд ирдэг. Гэсэн хэдий ч олонлогийн онолын хэлийг ашиглахгүйгээр функцийн тухай ойлголтыг тодорхойлох боломжтой, тухайлбал: аргументийн утгыг өгснөөр функцийн харгалзах утгыг олох тооцоолох процедурыг өгсөн бол функцийг өгөгдсөн гэж үзнэ. Ингэж тодорхойлсон функцийг дуудна тооцоолох боломжтой.

Жишээ 2.29.

Тодорхойлох журам Фибоначчийн тоо, харьцаагаар өгөгдсөн

Fn= Fn- 1 + Fn- 2 (n³ 2) (2.1)

анхны утгуудтай Ф 0 = 1, Ф 1 = 1.

Формула (2.1) нь анхны утгуудын хамт дараах Фибоначчийн тооны цувралыг тодорхойлно.

n	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
Fn	1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

Өгөгдсөн аргументын утгаас функцийн утгыг тодорхойлох тооцоолох процедур нь үүнээс өөр зүйл биш юм алгоритм.

2-р сэдвийн тестийн асуултууд

1. Хоёртын хамаарлыг тодорхойлох аргуудыг заана уу.

2. Аль харилцааны матрицын гол диагональ нь зөвхөн нэгийг агуулсан байх вэ?

3. Ямар харилцааны төлөө? rнөхцөл үргэлж хангагдсан байдаг r = r - 1 ?

4. Ямар хандлагын төлөө rнөхцөл үргэлж хангагдсан байдаг r rÍ r.

5. Хавтгай дээрх бүх шугамын олонлогт эквивалентийн хамаарал ба хэсэгчилсэн дарааллыг нэвтрүүлэх.

6. Функцийг тодорхойлох арга замыг зааж өгнө үү.

7. Дараах мэдэгдлүүдийн аль нь үнэн бэ?

a) Хоёртын хамаарал бүр нь функц юм.

б) Функц бүр хоёртын хамаарал юм.

Сэдэв 3. ГРАФИК

Эйлер графын онолын анхны ажил 1736 онд гарчээ. Эхэндээ энэ онол нь математикийн оньсого, тоглоомтой холбоотой байв. Гэсэн хэдий ч дараа нь график онолыг топологи, алгебр, тооны онолд ашиглаж эхэлсэн. Өнөө үед график онолыг шинжлэх ухаан, технологи, практик үйл ажиллагааны өргөн хүрээний салбарт ашиглаж байна. Энэ нь цахилгаан сүлжээний зураг төсөл, тээврийн төлөвлөлт, молекулын хэлхээг барихад хэрэглэгддэг. График онолыг эдийн засаг, сэтгэл судлал, социологи, биологи зэрэгт мөн ашигладаг.