Мэдэгдэж байгаагаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болно. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын цуваа эсвэл интеграл функцээр, тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг интеграл эсвэл дифференциал функцээр тодорхойлж болно. Эдгээр хоёр функцийн сонгомол аналогийг авч үзье.
Зарим санамсаргүй эзлэхүүний хувьсагчийн утгуудын түүвэр багц байг 
мөн энэ багцын сонголт бүр өөрийн давтамжтай холбоотой. Цааш нь өгье 
ямар нэг бодит тоо, мөн 
- санамсаргүй хэмжигдэхүүний түүврийн утгуудын тоо 
, жижиг 
.Дараа нь тоо 
түүвэрт ажиглагдсан хэмжигдэхүүнүүдийн давтамж юм X, жижиг 
,
тэдгээр. үйл явдлын давтамж 
. Өөрчлөх үед xерөнхий тохиолдолд утга нь мөн өөрчлөгдөх болно 
. Энэ нь харьцангуй давтамжтай гэсэн үг юм 
нь аргументийн функц юм 
. Энэ функцийг туршилтын үр дүнд олж авсан түүвэр мэдээллээс олдог тул үүнийг сонгомол эсвэл гэж нэрлэдэг эмпирик.
Тодорхойлолт 10.15. Эмпирик тархалтын функц(түүврийн тархалтын функц) нь функц юм 
, утга тус бүрийг тодорхойлох xүйл явдлын харьцангуй давтамж 
.
(10.19)
Эмпирик түүврийн тархалтын функцээс ялгаатай нь тархалтын функц Ф(xнийт хүн амын ) гэж нэрлэдэг онолын тархалтын функц. Тэдний хоорондын ялгаа нь онолын функц юм Ф(x)
үйл явдлын магадлалыг тодорхойлдог 
, эмпирик нь ижил үйл явдлын харьцангуй давтамж юм. Бернуллигийн теоремоос энэ нь дараах байдалтай байна
,
(10.20)
тэдгээр. томоор 
магадлал 
үйл явдлын харьцангуй давтамж 
, өөрөөр хэлбэл 
бие биенээсээ бага зэрэг ялгаатай. Эндээс харахад нийт хүн амын онолын (интеграл) тархалтын функцийг ойролцоогоор гаргахын тулд түүврийн эмпирик тархалтын функцийг ашиглах нь зүйтэй юм.
Чиг үүрэг 
Тэгээд 
ижил шинж чанартай байдаг. Энэ нь функцийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй. 
Үл хөдлөх хөрөнгө 
:
Жишээ 10.4.Өгөгдсөн түүврийн тархалт дээр үндэслэн эмпирик функцийг байгуул.
|
Сонголтууд | |||
|
Давтамжууд |
Шийдэл:Түүврийн хэмжээг олцгооё n=
12+18+30=60. Хамгийн жижиг сонголт 
, тиймээс, 
цагт 
. Утга 
, тухайлбал 
12 удаа ажиглагдсан тул:
=
цагт 
.
Утга x<
10, тухайлбал 
Тэгээд 
12+18=30 удаа ажиглагдсан тул 
=
цагт 
. At 
.
Шаардлагатай эмпирик хуваарилалтын функц:
=
Хуваарь 
Зурагт үзүүлэв. 10.2
Р 
байна. 10.2
Аюулгүй байдлын асуултууд
1. Математик статистик ямар гол асуудлыг шийддэг вэ? 2. Ерөнхий болон түүвэр популяци? 3. Түүврийн хэмжээг тодорхойлох. 4. Ямар дээжийг төлөөлөх гэж нэрлэдэг вэ? 5. Төлөөлөгчийн алдаа. 6. Дээж авах үндсэн аргууд. 7. Давтамж, харьцангуй давтамжийн тухай ойлголт. 8. Статистикийн цувааны тухай ойлголт. 9. Стержсийн томьёог бич. 10. Түүврийн хүрээ, медиан, горимын тухай ойлголтыг томъёол. 11. Давтамжийн олон өнцөгт, гистограмм. 12. Түүврийн олонлогийн цэгийн үнэлгээний тухай ойлголт. 13. Нэг талыг барьсан ба шударга бус оноо. 14. Түүврийн дундаж гэсэн ойлголтыг томъёол. 15. Түүврийн дисперсийн тухай ойлголтыг томъёол. 16. Түүврийн стандарт хазайлтын тухай ойлголтыг томъёол. 17. Түүврийн вариацын коэффициент гэсэн ойлголтыг томъёол. 18. Түүврийн геометрийн дундаж гэсэн ойлголтыг томъёол.
Лекц 13. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний статистик үнэлгээний тухай ойлголт
X-ийн тоон шинж чанарын статистик давтамжийн тархалтыг тодорхой болгоё. Тухайн шинж чанарын утгыг х-ээс бага ажигласан ажиглалтын тоогоор, нийт ажиглалтын тоог n гэж тэмдэглэе. Мэдээжийн хэрэг, X үйл явдлын харьцангуй давтамж< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.
Эмпирик тархалтын функц(түүврийн тархалтын функц) нь X үйл явдлын харьцангуй давтамжийг х утга тус бүрээр тодорхойлдог функц юм< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.
Түүврийн эмпирик тархалтын функцээс ялгаатай нь популяцийн тархалтын функцийг нэрлэдэг онолын тархалтын функц.Эдгээр функцүүдийн ялгаа нь онолын функцийг тодорхойлдог магадлалүйл явдал X< x, тогда как эмпирическая – харьцангуй давтамжижил үйл явдал.
n нэмэгдэх тусам X үйл явдлын харьцангуй давтамж< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами
Эмпирик тархалтын функцийн шинж чанарууд:
1) Эмпирик функцийн утгууд нь сегментэд хамаарна
2) - буурахгүй функц
3) Хэрэв хамгийн жижиг сонголт бол -ийн хувьд = 0, хэрэв хамгийн том сонголт бол = 1 байна.
Түүврийн эмпирик тархалтын функц нь популяцийн онолын тархалтын функцийг тооцоолоход үйлчилдэг.
Жишээ. Түүврийн тархалт дээр үндэслэн эмпирик функцийг байгуулъя:
| Сонголтууд | |||
| Давтамжууд |
Түүврийн хэмжээг олъё: 12+18+30=60. Хамгийн бага сонголт нь 2, тэгэхээр =0 нь x £ 2. x-ийн утга<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. Тиймээс хүссэн эмпирик функц нь дараах хэлбэртэй байна.
Статистикийн тооцооллын хамгийн чухал шинж чанарууд
Нийт хүн амын зарим тоон шинж чанарыг судлах шаардлагатай. Онолын үндэслэлээр үүнийг тогтоох боломжтой гэж үзье яг аль ньтархалт нь тэмдэгтэй бөгөөд түүнийг тодорхойлсон параметрүүдийг тооцоолох шаардлагатай. Жишээлбэл, хэрэв судалж буй шинж чанар нь популяцид хэвийн тархсан бол математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлтыг тооцоолох шаардлагатай; хэрэв шинж чанар нь Пуассоны тархалттай бол l параметрийг тооцоолох шаардлагатай.
Ихэвчлэн зөвхөн түүвэр мэдээлэл байдаг, жишээлбэл, n бие даасан ажиглалтын үр дүнд олж авсан тоон шинж чанарын утгууд. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзвэл бид үүнийг хэлж чадна онолын тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн статистик тооцоог олох гэж тооцоолсон параметрийн ойролцоо утгыг өгдөг ажиглагдсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцийг олохыг хэлнэ. Жишээлбэл, хэвийн тархалтын математик хүлээлтийг тооцоолохын тулд функцийн үүргийг арифметик дундаж гүйцэтгэдэг.
Статистикийн тооцоолол нь тооцоолсон параметрүүдийн зөв ойролцоо байдлыг хангахын тулд тэдгээр нь тодорхой шаардлагыг хангасан байх ёстой бөгөөд үүнд хамгийн чухал нь тавигдах шаардлага юм. нүүлгэн шилжүүлээгүй Тэгээд төлбөрийн чадвар үнэлгээ.
Онолын тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн статистик тооцоолол байг. n хэмжээтэй түүврээс тооцооллыг олъё. Туршилтыг давтъя, өөрөөр хэлбэл. Нийт хүн амын дундаас ижил хэмжээтэй өөр түүврийг гаргаж аваад түүний өгөгдөлд үндэслэн өөр тооцооллыг гаргая. Туршилтыг олон удаа давтаж, бид өөр өөр тоо авдаг. Оноог санамсаргүй хэмжигдэхүүн, тоог түүний боломжит утга гэж үзэж болно.
Хэрэв тооцоолол нь ойролцоо утгыг өгсөн бол элбэг дэлбэг, өөрөөр хэлбэл тоо бүр нь жинхэнэ утгаас их байх ба үүний үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт (дундаж утга) нь:-ээс их байна. Үүний нэгэн адил, хэрэв энэ нь тооцоолсон бол сул талтай, Тэр .
Тиймээс математикийн хүлээлт нь тооцоолсон параметртэй тэнцүү биш статистик тооцоог ашиглах нь системчилсэн (ижил тэмдэгт) алдаа гаргахад хүргэдэг. Хэрэв эсрэгээрээ энэ нь системчилсэн алдаанаас хамгаална.
Шударга бус Математикийн хүлээлт нь аливаа түүврийн хэмжээний тооцоолсон параметртэй тэнцүү байх статистик тооцоо гэж нэрлэдэг.
Нүүлгэн шилжүүлсэнэнэ нөхцлийг хангаагүй тооцоо гэж нэрлэдэг.
Тооцооллын шударга бус байдал нь тооцоолсон параметрийн сайн ойролцоо байдлыг баталгаажуулахгүй, учир нь боломжит утгууд байж болно. маш тараагдсан түүний дундаж утгын ойролцоо, өөрөөр хэлбэл. ялгаа нь мэдэгдэхүйц байж болно. Энэ тохиолдолд нэг түүврийн өгөгдлөөс олж авсан тооцоолол нь дундаж утгаас, улмаар тооцоолж буй параметрээс нэлээд хол байж болно.
Үр дүнтэй нь өгөгдсөн түүврийн хэмжээ n-тэй байх статистик тооцоолол юм боломжит хамгийн бага хэлбэлзэл .
Том түүврийг авч үзэхдээ статистик тооцоолол хийх шаардлагатай төлбөрийн чадвар .
Баян n®¥ нь тооцоолсон параметрт магадлалын хандлагатай байдаг тул статистик тооцоолол гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, хэрэв шударга бус үнэлгээний дисперс нь n®¥ гэж тэг болох хандлагатай байвал ийм тооцоо тогтмол болж хувирна.
Эмпирик тархалтын функцийг тодорхойлох
$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг. $F(x)$ нь өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц юм. Бид $n$ туршилтыг өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие биенээсээ хамааралгүй ижил нөхцөлд хийнэ. Энэ тохиолдолд бид $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$ утгуудын дарааллыг олж авдаг бөгөөд үүнийг дээж гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт 1
$x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) утга бүрийг хувилбар гэж нэрлэдэг.
Онолын тархалтын функцийн нэг тооцоо бол эмпирик тархалтын функц юм.
Тодорхойлолт 3
Эмпирик тархалтын функц $F_n(x)$ нь $x$ утга бүрийн хувьд $X үйл явдлын харьцангуй давтамжийг тодорхойлдог функц юм.
$n_x$ нь $x$-с бага сонголтуудын тоо, $n$ нь түүврийн хэмжээ.
Эмпирик функцээс онолын функцийн ялгаа нь онолын функц нь $X үйл явдлын магадлалыг тодорхойлдогт оршино.
Эмпирик тархалтын функцийн шинж чанарууд
Одоо түгээлтийн функцийн хэд хэдэн үндсэн шинж чанарыг авч үзье.
$F_n\left(x\right)$ функцийн муж нь $$ сегмент юм.
$F_n\left(x\right)$ нь буурахгүй функц юм.
$F_n\left(x\right)$ нь зүүн тасралтгүй функц юм.
$F_n\left(x\right)$ нь хэсэгчилсэн тогтмол функц бөгөөд зөвхөн $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын цэгүүдэд нэмэгддэг.
$X_1$ хамгийн жижиг, $X_n$ хамгийн том хувилбар байг. Дараа нь $(x\le X)_1$-д $F_n\left(x\right)=0$, $x\ge X_n$-д $F_n\left(x\right)=1$.
Онолын болон эмпирик функцуудыг холбосон теоремыг танилцуулъя.
Теорем 1
$F_n\left(x\right)$ эмпирик тархалтын функц, $F\left(x\right)$ ерөнхий түүврийн онолын тархалтын функц гэж үзье. Дараа нь тэгш байдал дараах байдалтай байна.
\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]
Эмпирик тархалтын функцийг олох асуудлын жишээ
Жишээ 1
Түүвэрлэлтийн тархалтыг хүснэгт ашиглан дараах өгөгдлийг тэмдэглэнэ үү.
Зураг 1.
Түүврийн хэмжээг олж, эмпирик тархалтын функцийг үүсгэж, графикийг зур.
Түүврийн хэмжээ: $n=5+10+15+20=50$.
5-р шинж чанараар бид $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$ гэсэн утгатай байна.
$ x утга
$ x утга
$ x утга
Ингэснээр бид дараахь зүйлийг авна.
Зураг 2.
Зураг 3.
Жишээ 2
ОХУ-ын төв хэсгийн хотуудаас санамсаргүй байдлаар 20 хотыг сонгосон бөгөөд үүнд зориулж нийтийн тээврийн үйлчилгээний үнийн талаархи дараах мэдээллийг авсан: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14. , 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.
Энэ түүврийн хувьд эмпирик тархалтын функцийг үүсгэж, графикаар зур.
Түүврийн утгуудыг өсөх дарааллаар бичиж, утга бүрийн давтамжийг тооцоолъё. Бид дараах хүснэгтийг авна.
Зураг 4.
Түүврийн хэмжээ: $n=20$.
5-р шинж чанараар бид $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$ гэсэн утгатай байна.
$ x утга
$ x утга
$ x утга
Ингэснээр бид дараахь зүйлийг авна.
Зураг 5.
Эмпирик тархалтыг зуръя:
Зураг 6.
Оригинал: $92.12\%$.
Эмпирик томъёо гэж юу болохыг олж мэдээрэй.Химийн шинжлэх ухаанд EP нь нэгдлүүдийг тодорхойлох хамгийн энгийн арга бөгөөд үндсэндээ нэгдлийг бүрдүүлдэг элементүүдийн жагсаалтыг хувь хэмжээгээр нь тодорхойлдог. Энэ энгийн томъёог тайлбарлаагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй захиалганэгдэл дэх атомууд, энэ нь зүгээр л ямар элементүүдээс бүрдэхийг заадаг. Жишээ нь:
- 40.92% нүүрстөрөгчөөс бүрдэх нэгдэл; 4.58% устөрөгч, 54.5% хүчилтөрөгч нь C 3 H 4 O 3 эмпирик томьёотой байх болно (энэ нэгдлийн EF-ийг хэрхэн олох жишээг хоёрдугаар хэсэгт авч үзэх болно).
"Хувийн бүрэлдэхүүн" гэсэн нэр томъёог ойлгоорой."Хувийн найрлага" гэдэг нь тухайн нэгдэл дэх атом бүрийн хувь юм. Нэгдлийн эмпирик томьёог олохын тулд та нэгдлийн хэдэн хувийн найрлагыг мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв та гэрийн даалгаврын эмпирик томьёог хайж байгаа бол хувь хэмжээг өгөх магадлалтай.
- Лабораторид химийн нэгдлүүдийн хэдэн хувийн найрлагыг олохын тулд түүнд зарим физик туршилт хийж, дараа нь тоон шинжилгээ хийдэг. Хэрэв та лабораторид байхгүй бол эдгээр туршилтуудыг хийх шаардлагагүй.
Та грамм атомуудтай харьцах хэрэгтэй болно гэдгийг санаарай.Грам атом нь масс нь түүний атомын масстай тэнцүү бодисын тодорхой хэмжээ юм. Грам атомыг олохын тулд та дараах тэгшитгэлийг ашиглах хэрэгтэй. Нэгдлийн элементийн эзлэх хувийг тухайн элементийн атомын массад хуваана.
- Жишээлбэл, 40.92% нүүрстөрөгч агуулсан нэгдэл байна гэж бодъё. Нүүрстөрөгчийн атомын масс 12 тул бидний тэгшитгэл 40.92 / 12 = 3.41 болно.
Атомын харьцааг хэрхэн олохыг мэддэг.Нэгдэлтэй ажиллахад та нэг граммаас илүү атомтай болно. Нэгдлийнхээ бүх грамм атомыг олсны дараа тэдгээрийг хар. Атомын харьцааг олохын тулд та өөрийн тооцоолсон хамгийн бага грамм-атомын утгыг сонгох хэрэгтэй. Дараа нь та бүх грамм атомыг хамгийн жижиг грамм атом болгон хуваах хэрэгтэй болно. Жишээ нь:
- Та гурван грамм атом агуулсан нэгдэлтэй ажиллаж байна гэж бодъё: 1.5; 2 ба 2.5. Эдгээр тоонуудын хамгийн бага нь 1.5 байна. Тиймээс атомын харьцааг олохын тулд бүх тоог 1.5-д хувааж, тэдгээрийн хооронд харьцааны тэмдэг тавих ёстой. : .
- 1.5 / 1.5 = 1. 2 / 1.5 = 1.33. 2.5 / 1.5 = 1.66. Тиймээс атомуудын харьцаа нь 1: 1,33: 1,66 .
Атомын харьцааны утгыг бүхэл тоо руу хэрхэн хөрвүүлэх талаар ойлгох.Эмпирик томьёо бичихдээ бүхэл тоог ашиглах ёстой. Энэ нь та 1.33 гэх мэт тоонуудыг ашиглах боломжгүй гэсэн үг юм. Атомуудын харьцааг олсны дараа та бутархайг (1.33 гэх мэт) бүхэл тоо (3 гэх мэт) болгон хувиргах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та бүхэл тоо авах атомын харьцааны тоо бүрийг үржүүлж бүхэл тоог олох хэрэгтэй. Жишээ нь:
- Оролдоод үз 2. Атомын харьцааны тоог (1, 1.33, 1.66) 2-оор үржүүл. Та 2, 2.66, 3.32-ыг авна. Эдгээр нь бүхэл тоо биш тул 2 нь тохиромжгүй.
- Оролдоод үз 3. Хэрэв та 1, 1.33, 1.66-г 3-аар үржүүлбэл 3, 4, 5-ыг авна. Тиймээс бүхэл тоонуудын атомын харьцаа нь хэлбэртэй байна 3: 4: 5 .