Даалгавар №1
Логик нь энгийн: одоо тригонометрийн функцууд илүү төвөгтэй аргументтай байгаагаас үл хамааран бид өмнөх шигээ хийх болно!
Хэрэв бид хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэл:
Дараа нь бид дараах хариултыг бичнэ.
Эсвэл (түүнээс хойш)
Харин одоо бидний үүргийг дараах илэрхийллээр гүйцэтгэж байна.
Дараа нь бид бичиж болно:
Та бүхэнтэй хийх бидний зорилго бол зүүн тал нь ямар ч "бохирдолгүй" байх явдал юм!
Тэднээс аажмаар салцгаая!
Эхлээд хуваагчийг хасъя: Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлыг дараах байдлаар үржүүлнэ.
Одоо үүнийг хоёр хэсэгт хуваах замаар салцгаая.
Одоо наймаас салцгаая:
Үр дүнгийн илэрхийлэлийг 2 цуврал шийд хэлбэрээр бичиж болно (квадрат тэгшитгэлийн аналогоор бид ялгаварлагчийг нэмэх эсвэл хасах)
Бид хамгийн том сөрөг үндсийг олох хэрэгтэй! Бид цэгцлэх шаардлагатай нь тодорхой байна.
Эхлээд эхний ангийг харцгаая:
Хэрэв бид авбал үр дүнд нь эерэг тоо хүлээн авах нь тодорхой боловч тэд биднийг сонирхохгүй байна.
Тиймээс та үүнийг сөрөг хүлээж авах хэрэгтэй. Байцгаая.
Үндэс нь нарийссан үед:
Мөн бид хамгийн том сөрөг талыг олох хэрэгтэй!! Энэ нь сөрөг чиглэлд явах нь энд утгагүй болсон гэсэн үг юм. Мөн энэ цувралын хамгийн том сөрөг үндэс нь тэнцүү байх болно.
Одоо хоёр дахь цувралыг харцгаая:
Мөн бид дахин орлуулна: , дараа нь:
Сонирхолгүй!
Дараа нь цаашид нэмэгдүүлэх нь утгагүй болно! Үүнийг багасгацгаая! Дараа нь зөвшөөр:
Тохиромжтой!
Байцгаая. Дараа нь
Дараа нь - хамгийн том сөрөг үндэс!
Хариулт:
Даалгавар №2
Нарийн төвөгтэй косинусын аргументаас үл хамааран бид дахин шийддэг.
Одоо бид зүүн талд дахин илэрхийлж байна:
Хоёр талыг үржүүлнэ
Хоёр талыг нь хуваа
Үлдсэн зүйл бол тэмдэгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчлөх замаар баруун тийш шилжүүлэх явдал юм.
Бид дахин 2 цуврал үндсийг авдаг, нэг нь, нөгөө нь хамт.
Бид хамгийн том сөрөг үндсийг олох хэрэгтэй. Эхний ангийг харцгаая:
Бид эхний сөрөг язгуурыг авах нь тодорхой бөгөөд энэ нь 1 цувралын хамгийн том сөрөг язгууртай тэнцүү байх болно.
Хоёр дахь цувралын хувьд
Эхний сөрөг язгуурыг мөн үед авах ба тэнцүү байх болно. Энэ нь тэгшитгэлийн хамгийн том сөрөг язгуур юм.
Хариулт: .
Даалгавар №3
Нарийн төвөгтэй шүргэгч аргументаас үл хамааран бид шийддэг.
Одоо энэ нь төвөгтэй биш юм шиг санагдаж байна, тийм ээ?
Өмнөх шигээ бид зүүн талд дараахь зүйлийг илэрхийлнэ.
Гайхалтай, энд зөвхөн нэг цуврал үндэс бий! Хамгийн том сөрөгийг дахин олъё.
Тавьчихвал гарах нь ойлгомжтой. Мөн энэ үндэс нь тэнцүү юм.
Хариулт:
Одоо дараах асуудлуудыг өөрөө шийдэж үзээрэй.
Гэрийн даалгавар эсвэл бие даан шийдвэрлэх 3 даалгавар.
- Тэгшитгэлийг шийд.
- Тэгшитгэлийг шийд.
Пи-ши-хамгийн бага-боломжтой язгуурын хариултанд. - Тэгшитгэлийг шийд.
Пи-ши-хамгийн бага-боломжтой язгуурын хариултанд.
Бэлэн үү? Шалгацгаая. Би бүхэл бүтэн шийдлийн алгоритмыг нарийвчлан тайлбарлахгүй, энэ нь дээр дурдсан хангалттай анхаарал татсан байх шиг байна.
За, бүх зүйл зөв үү? Өө, эдгээр муухай синусууд, тэдэнд үргэлж ямар нэгэн асуудал байдаг!
За, одоо та энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж чадна!
Шийдэл, хариултыг шалгана уу:
Даалгавар №1
илэрхийлье
Хэрэв бид, оноос хойш, дараа нь тавьсан бол хамгийн бага эерэг язгуурыг олж авна
Хариулт:
Даалгавар №2
Хамгийн бага эерэг үндсийг -д авна.
Энэ нь тэнцүү байх болно.
Хариулт: .
Даалгавар №3
Авахдаа, авах үед.
Хариулт: .
Энэхүү мэдлэг нь танд шалгалтанд тулгарах олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.
Хэрэв та "5" үнэлгээ авахаар өргөдөл гаргаж байгаа бол нийтлэлийг уншихад л хангалттай дунд түвшинЭнэ нь илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно (даалгавар С1).
ДУНДАЖ ТҮВШИН
Энэ нийтлэлд би тайлбарлах болно илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхмөн тэдний үндсийг хэрхэн сонгох вэ. Энд би дараахь сэдвээр зурах болно.
- Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэл (дээрхийг үзнэ үү).
Илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь дэвшилтэт асуудлуудын үндэс болдог. Тэд тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх, тодорхой интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн үндсийг олохыг шаарддаг.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь дараах хоёр дэд даалгавраас бүрдэнэ.
- Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
- Үндэс сонголт
Хоёрдахь нь үргэлж шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, гэхдээ ихэнх жишээн дээр сонгох шаардлагатай хэвээр байна. Гэхдээ хэрэв энэ нь шаардлагагүй бол бид таныг өрөвдөж чадна - энэ нь тэгшитгэл нь өөрөө нэлээд төвөгтэй гэсэн үг юм.
С1 асуудлуудад дүн шинжилгээ хийсэн миний туршлагаас харахад тэдгээр нь ихэвчлэн дараах ангилалд хуваагддаг.
Нарийн төвөгтэй байдлын дөрвөн ангиллын даалгавар (хуучин C1)
- Үржүүлэгдэхүүн болгон бууруулсан тэгшитгэл.
- Тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруулсан.
- Хувьсагчийг өөрчлөх замаар шийддэг тэгшитгэл.
- Иррационал буюу хуваарийн улмаас язгуур нэмэлт сонгох шаардлагатай тэгшитгэл.
Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв та баригдвал эхний гурван төрлийн тэгшитгэлийн нэг, тэгвэл өөрийгөө азтай гэж бод. Тэдний хувьд дүрмээр бол та тодорхой интервалд хамаарах үндсийг сонгох хэрэгтэй.
Хэрэв та 4-р төрлийн тэгшитгэлтэй тулгарвал та азтай байх болно: та үүнийг илүү урт, илүү болгоомжтой хийх хэрэгтэй, гэхдээ энэ нь ихэвчлэн үндсийг сонгох шаардлагагүй байдаг. Гэсэн хэдий ч би энэ төрлийн тэгшитгэлийг дараагийн өгүүллээр шинжлэх бөгөөд үүнийг эхний гурван төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулах болно.
Үржүүлэгдэхүүн болгон бууруулсан тэгшитгэл
Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та санаж байх ёстой хамгийн чухал зүйл юм
Практикаас харахад энэ мэдлэг нь дүрмээр бол хангалттай юм. Зарим жишээг харцгаая:
Жишээ 1. Багасгах ба давхар өнцгийн синусын томьёог ашиглан үржвэрлэх болгон бууруулсан тэгшитгэл
- Тэгшитгэлийг шийд
- Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол
Энд миний амласанчлан бууруулах томъёонууд ажилладаг:
Дараа нь миний тэгшитгэл дараах байдлаар харагдах болно.
Дараа нь миний тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна.
Богино хараатай оюутан хэлэхдээ: Одоо би хоёр талыг багасгаж, хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж, амьдралаас таашаал авах болно! Тэгээд тэр маш их алдаа гаргах болно!
| САНААРАЙ: ТА ТРИГОНОМЕТРИЙН тэгшитгэлийн хоёр талыг хэзээ ч үл мэдэгдэх функцээр багасгаж болохгүй! ТЭГЭЭД ЧИ ҮНДЭСЭЭ АЛДАГДЛАА! |
Тэгэхээр юу хийх вэ? Тийм ээ, энэ нь энгийн, бүгдийг нэг тал руу шилжүүлж, нийтлэг хүчин зүйлийг хас.
За, бид үүнийг хүчин зүйлд тооцсон, яараарай! Одоо шийдье:
Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:
Мөн хоёр дахь нь:
Энэ нь асуудлын эхний хэсгийг дуусгаж байна. Одоо та үндсийг сонгох хэрэгтэй:
Цоорхой нь иймэрхүү байна:
Эсвэл үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.
За, үндсийг нь авч үзье:
Эхлээд эхний ангитай ажиллацгаая (багаар бодоход энэ нь илүү энгийн!)
Бидний интервал бүхэлдээ сөрөг байдаг тул сөрөг бусыг авах шаардлагагүй, тэд сөрөг бус үндсийг өгөх болно.
Үүнийг авъя, тэгвэл - энэ нь хэтэрхий их байна, энэ нь цохихгүй.
Байг, тэгвэл би дахиж цохисонгүй.
Дахиад нэг оролдлого - тэгвэл - тийм ээ, би ойлголоо! Эхний үндэс олдлоо!
Би дахиад буудлаа: дараа нь би дахин цохилоо!
За дахиад нэг удаа: : - энэ бол аль хэдийн нислэг.
Тэгэхээр эхний цувралаас интервалд хамаарах 2 үндэс байна: .
Бид хоёр дахь цувралтай ажиллаж байна (бид барьж байна дүрмийн дагуу эрх мэдэлд):
Дутуу буулга!
Ахиад л үгүйлж байна!
Ахиад л үгүйлж байна!
Авчихсан!
Нислэг!
Тиймээс миний интервал дараах үндэстэй байна.
Энэ нь бидний бусад бүх жишээг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглах болно. Дахин нэг жишээгээр хамтдаа дадлага хийцгээе.
Жишээ 2. Бууруулах томьёог ашиглан үржвэрлэх болгон бууруулсан тэгшитгэл
- Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл:
Дахин алдартай бууруулах томъёо:
Дахиж багасгах гэж бүү оролдоорой!
Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:
Мөн хоёр дахь нь:
Одоо дахин үндэс хайх.
Би хоёр дахь ангиас эхэлье, би өмнөх жишээнээс энэ талаар бүгдийг мэддэг болсон! Интервалд хамаарах үндэс нь дараах байдалтай байгаа эсэхийг шалгаарай.
Одоо эхний анги бөгөөд энэ нь илүү хялбар болсон:
Хэрэв - тохиромжтой
Хэрэв энэ нь бас зүгээр юм бол
Хэрэв энэ нь аль хэдийн нислэг болсон бол.
Дараа нь үндэс нь дараах байдалтай байна.
Бие даасан ажил. 3 тэгшитгэл.
За, техник нь танд ойлгомжтой байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш юм шиг санагдаж байна уу? Дараа нь дараах асуудлуудыг өөрөө хурдан шийд, дараа нь бид бусад жишээнүүдийг шийдвэрлэх болно.
- Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэлийн интервалаас дээгүүр байгаа бүх язгуурыг ол. - Тэгшитгэлийг шийд
Зүссэн хэсгийн дээгүүр байрлах тэгшитгэлийн үндсийг заана уу - Тэгшитгэлийг шийд
Тэдгээрийн хооронд байгаа тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол.
Тэгшитгэл 1.
Мөн дахин бууруулах томъёо:
Эхний цуврал үндэс:
Хоёр дахь цуврал үндэс:
Бид цоорхойг сонгох ажлыг эхлүүлнэ
Хариулт: , .
Тэгшитгэл 2. Бие даасан ажлыг шалгах.
Хүчин зүйлийн хувьд нэлээд төвөгтэй бүлэглэл (би давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглах болно):
дараа нь эсвэл
Энэ бол ерөнхий шийдэл юм. Одоо бид үндсийг нь сонгох хэрэгтэй. Асуудал нь бид косинус нь дөрөвний нэгтэй тэнцэх өнцгийн яг утгыг хэлж чадахгүй байгаа явдал юм. Тиймээс, би нумын косинусаас салж чадахгүй - үнэхээр ичмээр юм!
Миний хийж чадах зүйл бол тийм, тийм, тэгвэл гэдгийг ойлгох явдал юм.
Хүснэгт үүсгэцгээе: интервал:
За, зовлонтой хайлтуудын үр дүнд бидний тэгшитгэл нь заасан интервал дээр нэг үндэстэй гэсэн сэтгэл дундуур дүгнэлтэд хүрсэн. \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Тэгшитгэл 3: Бие даасан ажлын тест.
Аймшигтай харагдах тэгшитгэл. Гэсэн хэдий ч давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглан үүнийг маш энгийнээр шийдэж болно:
Үүнийг 2-оор бууруулъя:
Эхний гишүүнийг хоёр дахь, гурав дахь нь дөрөв дэх гишүүнтэй бүлэглэж, нийтлэг хүчин зүйлсийг авч үзье.
Эхний тэгшитгэл нь үндэсгүй нь тодорхой бөгөөд одоо хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье.
Ерөнхийдөө би ийм тэгшитгэлийг шийдэх талаар бага зэрэг ярих болно, гэхдээ энэ нь гарч ирсэн тул хийх зүйл алга, би үүнийг шийдэх ёстой ...
Маягтын тэгшитгэл:
Энэ тэгшитгэлийг хоёр талыг дараахь байдлаар хуваах замаар шийднэ.
Тиймээс бидний тэгшитгэл нь нэг цуврал үндэстэй байна:
Бид интервалд хамаарах хүмүүсийг олох хэрэгтэй: .
Өмнө нь хийсэн шигээ дахин ширээ бүтээцгээе.
Хариулт: .
Тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулав.
За, одоо тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсэг рүү шилжих цаг болжээ, ялангуяа би шинэ төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл юунаас бүрдэх талаар шошгоо асгасан тул. Гэхдээ тэгшитгэл нь хэлбэртэй гэдгийг давтах нь зүйтэй
Хоёр талыг косинусаар хуваах замаар шийднэ.
- Тэгшитгэлийг шийд
Зүссэн хэсгийн дээгүүр байрлах тэгшитгэлийн үндсийг заана уу. - Тэгшитгэлийг шийд
Тэдний хооронд байгаа тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу.
Жишээ 1.
Эхнийх нь маш энгийн. Баруун тийш шилжиж, давхар өнцгийн косинусын томъёог хэрэглэнэ.
Тиймээ! Маягтын тэгшитгэл: . Би хоёр хэсгийг нь хуваадаг
Бид root скрининг хийдэг:
Цоорхой:
Хариулт:
Жишээ 2.
Бүх зүйл маш энгийн: баруун талд байгаа хаалтуудыг нээцгээе:
Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг:
Давхар өнцгийн синус:
Эцэст нь бид:
Үндэс скрининг: интервал.
Хариулт: .
За, техник танд хэр таалагдаж байна, энэ нь хэтэрхий төвөгтэй биш гэж үү? Үгүй гэж найдаж байна. Бид нэн даруй тайлбар хийж болно: цэвэр хэлбэрээр нь шууд шүргэгчийн тэгшитгэлд хүргэдэг тэгшитгэлүүд маш ховор байдаг. Ерөнхийдөө энэ шилжилт (косинусаар хуваагдах) нь илүү төвөгтэй асуудлын зөвхөн нэг хэсэг юм. Танд дадлага хийх жишээ энд байна:
- Тэгшитгэлийг шийд
- Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол.
Шалгацгаая:
Тэгшитгэлийг нэн даруй шийдэж болно, хоёр талыг дараахь байдлаар хуваахад хангалттай.
Үндэс скрининг:
Хариулт: .
Ямар нэг байдлаар, бид саяхан судалж үзсэн төрлийн тэгшитгэлтэй тулгараагүй байна. Гэсэн хэдий ч, бид үүнийг өдөр гэж нэрлэхэд эрт байна: бидний цэгцэлж амжаагүй өөр нэг "давхарга" үлдсэн байна. Тэгэхээр:
Хувьсагчдыг өөрчлөх замаар тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Энд бүх зүйл ил тод байна: бид тэгшитгэлийг анхааралтай ажиглаж, аль болох хялбарчилж, орлуулалт хийж, шийдэж, урвуу орлуулалт хийдэг! Нэг үгээр хэлбэл бүх зүйл маш амархан. Үйлдлээр нь харцгаая:
Жишээ.
- Тэгшитгэлийг шийд: .
- Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол.
За, энд орлуулах нь өөрөө бидэнд санал болгож байна!
Дараа нь бидний тэгшитгэл дараах болж хувирна.
Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:
Хоёр дахь нь иймэрхүү байна:
Одоо интервалд хамаарах үндсийг олъё
Хариулт: .
Хамтдаа арай илүү төвөгтэй жишээг харцгаая:
- Тэгшитгэлийг шийд
- Өгөгдсөн тэгшитгэлийн язгуурыг тэдгээрийн дээр байрлахыг заана уу.
Энд орлуулах нь шууд харагдахгүй, үүнээс гадна энэ нь тийм ч тодорхой биш юм. Эхлээд бодоцгооё: бид юу хийж чадах вэ?
Жишээлбэл, бид төсөөлж чадна
Мөн тэр үед
Дараа нь миний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй болно.
Одоо анхаарлаа хандуулаарай:
Тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваая.
Гэнэт та бид хоёр квадрат тэгшитгэлийн хамаатан садантай болсон! Орлуулъя, тэгвэл бид дараахыг авна.
Тэгшитгэл нь дараах үндэстэй.
Үндэс нь тааламжгүй хоёр дахь цуврал, гэхдээ юу ч хийж чадахгүй! Бид интервал дахь үндсийг сонгодог.
Үүнийг бид бас анхаарч үзэх хэрэгтэй
Түүнээс хойш, тэгээд
Хариулт:
Асуудлыг өөрөө шийдэхээсээ өмнө үүнийг бататгахын тулд танд өөр нэг дасгал байна:
- Тэгшитгэлийг шийд
- Тэдгээрийн хооронд байгаа тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол.
Энд та нүдээ нээлттэй байлгах хэрэгтэй: одоо бид тэг байж болох хуваагчтай боллоо! Тиймээс, та үндэст онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй!
Юуны өмнө би тохирох орлуулалт хийх боломжтой тэгшитгэлийг өөрчлөх хэрэгтэй. Би одоо шүргэгчийг синус ба косинусын хувьд дахин бичихээс илүү сайн зүйл бодож чадахгүй байна.
Одоо би тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ашиглан косинусаас синус руу шилжих болно.
Эцэст нь би бүх зүйлийг нийтлэг зүйлд хүргэх болно:
Одоо би тэгшитгэл рүү шилжиж болно:
Гэхдээ цагт (өөрөөр хэлбэл, цагт).
Одоо бүх зүйл солиход бэлэн боллоо:
Дараа нь эсвэл
Гэсэн хэдий ч, хэрэв тийм бол, дараа нь нэгэн зэрэг гэдгийг анхаарна уу!
Үүнээс хэн зовж байна вэ? Шүргэгчийн асуудал нь косинус тэгтэй тэнцүү байх үед (тэгээр хуваагдах тохиолдол гардаг) тодорхойлогдоогүйд оршино.
Тиймээс тэгшитгэлийн үндэс нь:
Одоо бид интервал дахь үндсийг нь шүүж авна:
| - тохирно | |
| - хэтрүүлсэн |
Тиймээс бидний тэгшитгэл интервал дээр нэг язгууртай бөгөөд энэ нь тэнцүү байна.
Та харж байна: хуваагчийн дүр төрх (яг шүргэгчтэй адил, үндэс нь тодорхой хүндрэлд хүргэдэг! Энд та илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй!).
За, та бид хоёр тригонометрийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийж бараг дууслаа; хоёр асуудлыг бие даан шийдвэрлэхэд маш бага зүйл үлдсэн. Тэд энд байна.
- Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол. - Тэгшитгэлийг шийд
Зүссэн хэсгийн дээр байрлах энэ тэгшитгэлийн үндсийг заана уу.
Шийдсэн үү? Энэ их хэцүү биш гэж үү? Шалгацгаая:
- Бид бууруулах томъёоны дагуу ажилладаг:
Тэгшитгэлд орлуулах:
Орлуулахад хялбар болгохын тулд бүгдийг косинусаар дахин бичье.
Одоо солиход хялбар боллоо:
Тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул энэ нь гадны үндэс болох нь тодорхой байна. Дараа нь:
Бид интервалд хэрэгтэй үндсийг хайж байна
Хариулт: .
Энд орлуулалт нэн даруй харагдана:Дараа нь эсвэл
- тохирно! - тохирно! - тохирно! - тохирно! - маш их! - бас маш их! Хариулт:
За, ингээд л боллоо! Гэхдээ тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь үүгээр дуусдаггүй; тэгшитгэлд иррациональ эсвэл янз бүрийн "нийлмэл хуваагч" агуулагдах үед бид хамгийн хэцүү тохиолдолд хоцордог. Ийм даалгаврыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид ахисан түвшний нийтлэлээс авч үзэх болно.
АХИСАН ТҮВШИН
Өмнөх хоёр нийтлэлд авч үзсэн тригонометрийн тэгшитгэлээс гадна бид илүү нарийн дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай өөр ангиллын тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Эдгээр тригонометрийн жишээнүүд нь үндэслэлгүй байдал эсвэл хуваагчийг агуулсан байдаг бөгөөд энэ нь тэдний шинжилгээг илүү төвөгтэй болгодог. Гэсэн хэдий ч та эдгээр тэгшитгэлтэй шалгалтын хуудасны С хэсэгт таарч магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч үүл бүр мөнгөн бүрхүүлтэй байдаг: ийм тэгшитгэлийн хувьд, дүрмээр бол түүний аль үндэс нь өгөгдсөн интервалд хамаарах вэ гэсэн асуулт гарч ирэхээ больсон. Бутны эргэн тойронд зодохгүй, харин тригонометрийн жишээнүүд рүү шууд орцгооё.
Жишээ 1.
Тэгшитгэлийг шийдэж, сегментэд хамаарах үндсийг ол.
Шийдэл:
Бид тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй хуваагчтай! Тэгвэл энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь системийг шийдэхтэй адил юм
Тэгшитгэл бүрийг шийдье:
Одоо хоёр дахь нь:
Одоо цувралыг харцгаая:
Энэ сонголт нь бидэнд тохирохгүй нь тодорхой байна, учир нь энэ тохиолдолд бидний хуваагч тэг болж өөрчлөгдөнө (хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэсийн томъёог үзнэ үү)
Хэрэв бүх зүйл эмх цэгцтэй байгаа бөгөөд хуваагч нь тэг биш юм! Тэгвэл тэгшитгэлийн үндэс нь дараах байдалтай байна: , .
Одоо бид интервалд хамаарах үндсийг сонгоно.
| - тохиромжгүй | - тохирно | |
| - тохирно | - тохирно | |
| хэтрүүлэх | хэтрүүлэх |
Дараа нь үндэс нь дараах байдалтай байна.
Та харж байна уу, хуваарийн хэлбэрээр бага зэргийн эвдрэл гарч ирсэн нь тэгшитгэлийн шийдэлд ихээхэн нөлөөлсөн: бид хуваагчийг хүчингүй болгосон хэд хэдэн үндэсийг устгасан. Хэрэв та үндэслэлгүй тригонометрийн жишээнүүдийг олж харвал бүх зүйл бүр ч төвөгтэй болно.
Жишээ 2.
Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл:
Ядаж үндсийг нь авах шаардлагагүй, энэ нь сайн хэрэг! Эхлээд тэгшитгэлийг иррациональ байдлаас үл хамааран шийдье.
Тэгэхээр энэ бүгд мөн үү? Үгүй ээ, харамсалтай нь, энэ нь хэтэрхий хялбар байх болно! Үндэс дор зөвхөн сөрөг бус тоо гарч болно гэдгийг бид санах ёстой. Дараа нь:
Энэ тэгш бус байдлын шийдэл нь:
Одоо эхний тэгшитгэлийн язгуурын нэг хэсэг нь тэгш бус байдал хангаагүй газар санамсаргүйгээр дууссан эсэхийг олж мэдэх л үлдлээ.
Үүнийг хийхийн тулд та хүснэгтийг дахин ашиглаж болно:
| : , Гэхдээ | Үгүй! | |
| Тийм ээ! | ||
| Тийм ээ! |
Тиймээс миний нэг үндэс "унасан"! Хэрэв та үүнийг тавиад байвал энэ нь гарч ирнэ. Дараа нь хариултыг дараах байдлаар бичиж болно.
Хариулт:
Та харж байна уу, үндэс нь илүү их анхаарал шаарддаг! Үүнийг илүү төвөгтэй болгоё: одоо миний үндэс дор тригонометрийн функцтэй байцгаая.
Жишээ 3.
Өмнөх шигээ: эхлээд тус бүрийг тусад нь шийдэж, дараа нь бид юу хийснээ бодох болно.
Одоо хоёр дахь тэгшитгэл:
Одоо хамгийн хэцүү зүйл бол эхний тэгшитгэлийн үндсийг орлуулах юм бол арифметик язгуур дор сөрөг утгууд гарч байгаа эсэхийг олж мэдэх явдал юм.
Энэ тоог радиан гэж ойлгох ёстой. Радиан нь ойролцоогоор градус тул радианууд градусын дарааллаар байна. Энэ бол хоёрдугаар улирлын булан юм. Хоёрдугаар улирлын косинусын тэмдэг юу вэ? Хасах. Синус яах вэ? Дээрээс нь. Тэгэхээр бид илэрхийллийн талаар юу хэлж чадах вэ:
Энэ нь тэгээс бага байна!
Энэ нь тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг юм.
Одоо цаг нь болсон.
Энэ тоог тэгтэй харьцуулж үзье.
Котангенс нь дөрөвний нэгээр буурч буй функц юм (аргумент бага байх тусам котангенс их болно). радианууд нь ойролцоогоор градус юм. Нэг цагт
оноос хойш, дараа нь, тиймээс
,
Хариулт: .
Энэ нь илүү төвөгтэй болж болох уу? Гуйя! Хэрэв үндэс нь тригонометрийн функц хэвээр байгаа бол тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсэг нь дахин тригонометрийн функц байвал илүү хэцүү байх болно.
Тригонометрийн жишээ олон байх тусмаа сайн, доороос үзнэ үү.
Жишээ 4.
Хязгаарлагдмал косинусын улмаас үндэс нь тохирохгүй
Одоо хоёр дахь нь:
Үүний зэрэгцээ язгуурын тодорхойлолтоор:
Бид нэгжийн тойргийг санах хэрэгтэй: тухайлбал, синус нь тэгээс бага байдаг хэсгүүд. Эдгээр хороолол юу вэ? Гурав, дөрөв дэх. Дараа нь бид гурав, дөрөвдүгээр улиралд орших эхний тэгшитгэлийн шийдлүүдийг сонирхох болно.
Эхний цуврал нь гурав, дөрөвдүгээр улирлын уулзвар дээр хэвтэж буй үндсийг өгдөг. Хоёрдахь цуврал нь түүний эсрэг талд байрладаг - эхний ба хоёрдугаар улирлын хил дээр үндэс суурь үүсгэдэг. Тиймээс энэ цуврал бидэнд тохирохгүй байна.
Хариулт: ,
Бас дахин "Хэцүү үндэслэлгүй" тригонометрийн жишээнүүд. Бид язгуурын доор тригонометрийн функцийг дахин оруулаад зогсохгүй, энэ нь хуваагч дээр байна!
Жишээ 5.
За, юу ч хийж чадахгүй - бид өмнөх шигээ хийдэг.
Одоо бид хуваагчтай ажиллаж байна:
Би тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэхийг хүсэхгүй байгаа тул би ямар нэгэн зальтай зүйл хийх болно: би язгуурын цувааг авч, тэгш бус байдалд орлуулах болно.
Хэрэв - тэгш байвал бидэнд:
Учир нь бүх өнцгүүд дөрөвдүгээр улиралд оршдог. Мөн дахин ариун асуулт: 4-р улиралд синусын шинж тэмдэг юу вэ? Сөрөг. Дараа нь тэгш бус байдал
Хэрэв -сондгой бол:
Өнцөг аль улиралд байрлах вэ? Энэ бол хоёрдугаар улирлын булан юм. Дараа нь бүх булангууд нь дахин хоёрдугаар улирлын булангууд юм. Тэндхийн синус эерэг байна. Зөвхөн танд хэрэгтэй зүйл! Тиймээс цуврал:
Тохиромжтой!
Бид хоёр дахь цуврал үндэстэй ижил аргаар харьцдаг.
Бид тэгш бус байдлыг орлуулна:
Хэрэв - тэгш, тэгвэл
Эхний улирлын булангууд. Тэнд байгаа синус эерэг, энэ нь цуврал тохиромжтой гэсэн үг юм. Одоо - сондгой бол:
бас таарч байна!
За, одоо бид хариултаа бичнэ үү!
Хариулт:
Энэ нь магадгүй хамгийн их хөдөлмөр шаардсан тохиолдол байсан байх. Одоо би танд бие даан шийдвэрлэх асуудлуудыг санал болгож байна.
Сургалт
- Хэсэгт хамаарах тэгшитгэлийн бүх язгуурыг шийдэж ол.
Шийдэл:
Эхний тэгшитгэл:
эсвэл
Үндэсний ODZ:Хоёр дахь тэгшитгэл:
Интервалд хамаарах үндсийг сонгох
Хариулт:
Эсвэл
эсвэл
Гэхдээ
авч үзье: . Хэрэв - тэгш, тэгвэл
- тохирохгүй байна!
Хэрэв - сондгой бол: - тохиромжтой!
Энэ нь бидний тэгшитгэл дараахь үндэстэй гэсэн үг юм.
эсвэл
Интервал дахь үндэс сонгох:
| - тохиромжгүй | - тохирно | |
| - тохирно | - маш их | |
| - тохирно | маш их |
Хариулт: , .
Эсвэл
Үүнээс хойш шүргэгч тодорхойлогдоогүй байна. Бид энэ цуврал үндэсийг нэн даруй устгана!
Хоёр дахь хэсэг:
Үүний зэрэгцээ, DZ-ийн дагуу үүнийг шаарддаг
Бид эхний тэгшитгэлээс олдсон үндсийг шалгана.
Хэрэв тэмдэг нь:
Тангенс эерэг байх эхний дөрөвний өнцөг. Тохирохгүй байна!
Хэрэв тэмдэг нь:
Дөрөвдүгээр үеийн булан. Тэнд шүргэгч сөрөг байна. Тохиромжтой. Бид хариултыг бичнэ:
Хариулт: , .
Энэ өгүүлэлд бид тригонометрийн нарийн төвөгтэй жишээнүүдийг хамтдаа үзсэн боловч та тэгшитгэлийг өөрөө шийдэх хэрэгтэй.
ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд
Тригонометрийн тэгшитгэл гэдэг нь үл мэдэгдэх нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор байдаг тэгшитгэл юм.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хоёр арга байдаг.
Эхний арга бол томъёог ашиглах явдал юм.
Хоёр дахь арга нь тригонометрийн тойрог юм.
Энэ нь өнцгийг хэмжих, тэдгээрийн синус, косинус гэх мэтийг олох боломжийг олгоно.
Илүү нарийн төвөгтэй асуудалд бид ихэвчлэн тулгардаг модуль агуулсан тригонометрийн тэгшитгэл. Тэдгээрийн ихэнх нь шийдэлд эвристик хандлагыг шаарддаг бөгөөд энэ нь ихэнх сургуулийн сурагчдад огт танил биш юм.
Доор санал болгож буй асуудлууд нь модуль агуулсан тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн энгийн аргуудыг танд танилцуулах зорилготой юм.
Бодлого 1. 1 + 2sin x |cos x| тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг ба хамгийн том сөрөг язгууруудын зөрүүг (градусаар) ол. = 0.
Шийдэл.
Модулийг өргөжүүлье:
1) Хэрэв cos x ≥ 0 бол анхны тэгшитгэл нь 1 + 2sin x · cos x = 0 хэлбэртэй болно.
Давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.
1 + нүгэл 2х = 0; нүгэл 2х = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. cos x ≥ 0 тул x = -π/4 + 2πk, k € Z болно.
2) Хэрэв cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – нүгэл 2х = 0; нүгэл 2х = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. cos x учраас< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Тэгшитгэлийн хамгийн том сөрөг язгуур: -π/4; Тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг язгуур: 5π/4.
Шаардлагатай ялгаа: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Хариулт: 270°.
Бодлого 2. |tg x| тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг язгуурыг (градусаар) ол + 1/cos x = tan x.
Шийдэл.
Модулийг өргөжүүлье:
1) Хэрэв tan x ≥ 0 байвал
хүрэн x + 1/cos x = tan x;
Үүссэн тэгшитгэл нь үндэсгүй.
2) Хэрэв tg x бол< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 ба cos x ≠ 0.
Зураг 1 болон tg x нөхцөлийг ашиглан< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг язгуур нь 5π/6. Энэ утгыг градус руу хөрвүүлье:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Хариулт: 150 °.
Бодлого 3. sin |2x| тэгшитгэлийн янз бүрийн язгуурын тоог ол = [-π/2 интервал дээр cos 2x; π/2].
Шийдэл.
Тэгшитгэлийг sin|2x| хэлбэрээр бичье – cos 2x = 0 ба y = sin |2x| функцийг авч үзье - учир нь 2x. Функц тэгш байх тул бид x ≥ 0-ийн тэгийг олох болно.
sin 2x – cos 2x = 0; Тэгшитгэлийн хоёр талыг cos 2x ≠ 0-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Функцийн паритетийг ашигласнаар бид анхны тэгшитгэлийн язгуур нь хэлбэрийн тоо болохыг олж мэдэв
± (π/8 + πn/2), энд n € Z.
Интервал [-π/2; π/2] тоонд хамаарна: -π/8; π/8.
Тэгэхээр тэгшитгэлийн хоёр үндэс нь өгөгдсөн интервалд хамаарна.
Хариулт: 2.
Энэ тэгшитгэлийг мөн модулийг нээх замаар шийдэж болно.
Бодлого 4. [-π интервал дээр sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x тэгшитгэлийн язгуурын тоог ол; 2π].
Шийдэл.
1) 2cos x – 1 > 0 байх тохиолдлыг авч үзье. cos x > 1/2 бол тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
нүгэл х – нүгэл 2 х = гэм 2 х;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 эсвэл 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 эсвэл sin x = 1/2.
Зураг 2 болон cos x > 1/2 нөхцөлийг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг олно.
x = π/6 + 2πn эсвэл x = 2πn, n € Z.
2) 2cos x – 1 байх тохиолдлыг авч үзье< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
нүгэл х + гэм 2 х = гэм 2 х;
x = 2πn, n € Z.
Зураг 2 болон cos x нөхцөлийг ашиглан< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Хоёр тохиолдлыг нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
x = π/6 + 2πn эсвэл x = πn.
3) Интервал [-π; 2π] язгуурт хамаарах: π/6; -π; 0; π; 2π.
Тиймээс өгөгдсөн интервал нь тэгшитгэлийн таван язгуурыг агуулна.
Хариулт: 5.
Бодлого 5. Тэгшитгэлийн язгуурын тоог ол (x – 0.7) 2 |sin x| + sin x = 0 интервал дээр [-π; 2π].
Шийдэл.
1) Хэрэв sin x ≥ 0 бол анхны тэгшитгэл нь (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0 хэлбэртэй байна. sin x нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргасны дараа бид дараахийг авна.
sin x((x – 0.7) 2 + 1) = 0; (x – 0.7) бүх бодит х-д 2 + 1 > 0 тул sinx = 0, өөрөөр хэлбэл. x = πn, n € Z.
2) Хэрэв нүгэл x бол< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 эсвэл (x – 0.7) 2 + 1 = 0. sin x учраас< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0.7 = 1 эсвэл x – 0.7 = -1, энэ нь x = 1.7 эсвэл x = -0.3 гэсэн үг юм.
sinx нөхцөлийг харгалзан үзэх< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0 бөгөөд энэ нь зөвхөн -0.3 тоо нь анхны тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм.
3) Интервал [-π; 2π] тоонд хамаарна: -π; 0; π; 2π; -0.3.
Тиймээс тэгшитгэл нь өгөгдсөн интервал дээр таван үндэстэй байна.
Хариулт: 5.
Та интернетэд байгаа янз бүрийн боловсролын эх сурвалжийг ашиглан хичээл эсвэл шалгалтанд бэлдэж болно. Одоогоор хэн ч 
Хүн зүгээр л шинэ мэдээллийн технологийг ашиглах хэрэгтэй, учир нь тэдгээрийг зөв, хамгийн чухал нь зөв ашиглах нь тухайн сэдвийг судлах сэдлийг нэмэгдүүлж, сонирхлыг нэмэгдүүлж, шаардлагатай материалыг илүү сайн шингээхэд тусална. Гэхдээ компьютер таныг бодохыг заадаггүй гэдгийг бүү мартаарай, хүлээн авсан мэдээллийг боловсруулж, ойлгож, санаж байх ёстой. Тиймээс та сонирхож буй асуудлаа хэрхэн шийдвэрлэх талаар мэдэхэд тань туслах онлайн багш нараас тусламж хүсч болно.
Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.