Funkcijos, tipai, komunikacijos lygiai. Funkciniai santykiai Funkcijos. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

1. Paskaita Nr. 1. Aibės ir operacijos su jais.
2. Paskaita Nr. 2. Korespondencijos ir funkcijos.
3. Paskaita Nr. 3. Ryšiai ir jų savybės.
4. Paskaita Nr. 4. Pagrindiniai santykių tipai.
5. Paskaita Nr. 5. Bendrosios algebros elementai.
6. Paskaita Nr. 6. Įvairių tipų algebrinės struktūros.
7. Paskaita Nr. 7. Matematinės logikos elementai.
8. Paskaita Nr. 8. Loginės funkcijos.
9. Paskaita Nr. 9. Būlio algebros.
10. Paskaita Nr. 10. Būlio algebra ir aibių teorija.
11. Paskaita Nr. 11. Išbaigtumas ir uždarumas.
12. Paskaita Nr. 12. Predikatų logikos kalba.
13. Paskaita Nr. 13. Kombinatorika.
14. Paskaita Nr. 14. Grafikai: pagrindinės sąvokos ir operacijos.
15. Paskaita Nr. 15. Maršrutai, grandinės ir kilpos.
16. Paskaita Nr. 16. Kai kurios grafų klasės ir jų dalys.

I SKYRIUS. RINKINIAI, FUNKCIJOS, RYŠIAI.

Paskaita Nr. 2. Korespondencijos ir funkcijos.

1. Degtukai.

Apibrėžimas. Atitiktis tarp aibių A ir B yra tam tikras jų Dekarto sandaugos poaibis G: .

Jei , tada jie sako , kad atitinka , kai atitinka . Šiuo atveju visų tokių reikšmių rinkinys vadinamas korespondencijos apibrėžimo sritimi, o atitinkamų reikšmių rinkinys - korespondencijos reikšmių sritimi.

Priimtoje žymėjime vadinamas kiekvienas elementas, atitinkantis duotą elementą būdu kai atitinka, priešingai, elementas vadinamas prototipas tam tikros korespondencijos elementas.

Atitiktis vadinamas visiškai apibrėžta, jei , tai yra, kiekvienas aibės elementas turi bent vieną vaizdą rinkinyje; kitu atveju rungtynės vadinamos dalinis.

Atitiktis vadinamas surjektyvus, jei, tai yra, jei kiekvienas aibės elementas atitinka bent vieną pirminį aibės vaizdą.

Atitiktis vadinamas funkcinis (nedviprasmiškas), jei kuris nors aibės elementas atitinka vieną aibės elementą.

Atitiktis vadinamas injekcinis, jei jis yra funkcionalus, o kiekvienas rinkinio elementas turi daugiausia vieną atvirkštinį vaizdą.

Atitiktis vadinamas vienas su vienu (bijektyvus), jei kuris nors aibės elementas atitinka vieną aibės elementą ir atvirkščiai. Taip pat galime sakyti, kad atitikmuo yra vienas su vienu, jei jis yra visiškai apibrėžtas, surjektyvus, funkcionalus ir kiekvienas rinkinio elementas turi vieną prototipą.

1 pavyzdys.

a) Anglų-rusų žodynas nustato atitikimą tarp žodžių rinkinių rusų ir anglų kalbomis. Tai nefunkcionalu, nes beveik kiekvienas rusiškas žodis turi kelis vertimus į anglų kalbą; tai taip pat, kaip taisyklė, nėra visiškai apibrėžta atitiktis, nes visada yra anglų kalbos žodžių, kurie nėra įtraukti į tam tikrą žodyną. Taigi tai yra dalinės rungtynės.

b) Funkcijos argumentų ir tos funkcijos reikšmių atitikimas yra funkcinis. Tačiau tai nėra vienas su vienu, nes kiekviena funkcijos reikšmė atitinka du atvirkštinius vaizdus ir .

c) Atitiktis tarp šachmatų lentoje esančių figūrų ir jų užimamų laukų yra vienas su vienu.

d) Vyazmos miesto telefonų ir jų penkiaženklių numerių susirašinėjimas iš pirmo žvilgsnio turi visas korespondencijos vienas su vienu ypatybes. Tačiau, pavyzdžiui, jis nėra surjektyvus, nes yra penkiaženkliai skaičiai, kurie neatitinka jokių telefonų.

2. Vienas su vienu atitikmenys ir aibių galios.

Jei tarp dviejų baigtinių aibių A ir B yra vienas su vienu atitikimas, tai šios aibės yra vienodo kardinalumo. Šis akivaizdus faktas leidžia, pirma, nustatyti šių aibių kardinalumo lygybę jų neskaičiuojant. Antra, dažnai galima apskaičiuoti aibės kardinalumą, nustatant jos atitikimą vienas su vienu aibei, kurios kardinalumas yra žinomas arba lengvai apskaičiuojamas.

2.1 teorema. Jei baigtinės aibės kardinalumas A yra lygus , tada visų poaibių skaičius A lygus, tai yra.

Iškviečiama visų aibės M poaibiu aibė Būlio ir yra paskirtas. Baigtinėms aibėms galioja šios: .

Apibrėžimas. Rinkiniai A Ir IN vadinami lygiaverčiais, jei tarp jų elementų galima nustatyti „vienas su vienu“ atitikimą.

Atkreipkite dėmesį, kad baigtinių aibių atveju šį teiginį lengva įrodyti. Begalinėms aibėms tai nulems pačią vienodo kardinalumo sampratą.

Apibrėžimas. Daugelis A vadinamas skaičiuojamuoju, jei jis yra lygiavertis natūraliųjų skaičių aibei: .

Labai supaprastintu būdu galime pasakyti, kad tam tikra begalinė aibė yra skaičiuojama, jei jos elementus galima sunumeruoti naudojant natūraliuosius skaičius.

Be įrodymų priimkime keletą svarbių faktų:

1. Bet kuris begalinis natūraliųjų skaičių aibės poaibis yra skaičiuojamas.

2. Rinkinys yra skaičiuojamas.

3. Racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama (yra ankstesnio teiginio pasekmė).

4. Baigtinio skaičiaus skaičiuojamų aibių sąjunga yra skaičiuojama.

5. Suskaičiuojamo skaičiaus baigtinių aibių sąjunga yra skaičiuojama.

6. Suskaičiuojamo skaičiaus skaičiuojamų aibių sąjunga yra skaičiuojama.

Visi šie teiginiai, kaip matyti, leidžia gana sėkmingai nustatyti faktą, kad šis rinkinys yra skaičiuojamas. Tačiau dabar bus parodyta, kad ne kiekviena begalinė aibė yra skaičiuojama; yra didesnės galios rinkiniai.

2.2 teorema (Kantoriaus teorema). Visų realiųjų skaičių atkarpoje aibė nėra skaičiuojama.

Įrodymas. Tarkime, kad aibė yra skaičiuojama ir yra jos numeracija. Kadangi bet kurį realųjį skaičių galima pavaizduoti kaip begalinę dešimtainę trupmeną (periodinę arba neperiodinę), tai darysime su šios aibės skaičiais. Išdėstykime juos tokia numeravimo tvarka:

Dabar apsvarstykite bet kokią begalinę formos dešimtainę trupmeną, sutvarkytą taip, kad ir pan. Akivaizdu, kad ši trupmena nėra įtraukta į nagrinėjamą seką, nes ji skiriasi nuo pirmojo skaičiaus pirmuoju skaitmeniu po kablelio, nuo antrojo - antruoju skaitmeniu ir pan. Vadinasi, iš šio intervalo gavome skaičių, kuris nėra sunumeruotas, todėl aibė nėra skaičiuojama. Jo galia vadinama kontinuumas, ir vadinamos tokio kardinalumo aibės tęstinis. Aukščiau pateiktas įrodinėjimo būdas vadinamas Kantoro įstrižainės metodas.

1 išvada. Realiųjų skaičių aibė yra ištisinė.

2 išvada. Visų skaičiuojamos aibės poaibių aibė yra ištisinė.

Kaip parodyta aibių teorijoje (naudojant metodą, panašų į pateiktą aukščiau), bet kurio kardinalumo aibėje visų jos poaibių aibė (Bulio) turi didesnį kardinalumą. Todėl nėra nustatyto maksimalaus kardinalumo. Pavyzdžiui, Kantoro aprašytoje aibių visatoje turi būti visos įsivaizduojamos aibės, tačiau ji pati yra jos poaibių aibėje kaip elementas (Kantoriaus paradoksas). Pasirodo, rinkinys nėra maksimalaus kardinalumo rinkinys.

3. Ekranai ir funkcijos.

Funkcija yra bet koks funkcinis atitikimas tarp dviejų aibių. Jei funkcija nustato atitiktį tarp aibių A ir B, tada sakoma, kad funkcija turi formą (žymėjimas ). Kiekvienam elementui iš jo apibrėžimo srities funkcija priskiria vieną elementą iš reikšmių srities. Tai parašyta tradicine forma. Elementas vadinamas argumentas funkcija, elementas – tai prasmė.

Iškviečiama visiškai apibrėžta funkcija ekranas A į B; rodomas rinkinio A vaizdas žymimas . Jei tuo pačiu metu , tai yra, korespondencija yra surjekcinė, sakome, kad yra atvaizdavimas nuo A iki B.

Jei ji susideda iš vieno elemento, ji vadinama pastovia funkcija.

Tipo atvaizdavimas vadinamas aibės A transformacija.

2 pavyzdys.

a) Funkcija yra natūraliųjų skaičių aibės susiejimas su savimi (injekcinė funkcija). Ta pati funkcija visiems yra sveikųjų skaičių atvaizdavimas racionaliųjų skaičių aibėje.

b) Funkcija yra sveikųjų skaičių (išskyrus 0) atvaizdavimas natūraliųjų skaičių aibėje. Be to, šiuo atveju susirašinėjimas nėra vienas su vienu.

c) Funkcija yra realiųjų skaičių aibės atvaizdavimas vienas su vienu.

d) Funkcija nėra visiškai apibrėžta, jei jos tipas yra , bet yra visiškai apibrėžta, jei jos tipas yra arba .

Apibrėžimas. Funkcijos tipas vadinama vietine funkcija. Šiuo atveju visuotinai pripažįstama, kad funkcija turi argumentų: , Kur.

Pavyzdžiui, sudėtis, daugyba, atimtis ir dalyba yra dviejų vietų funkcijos, tai yra, tipo funkcijos.

Apibrėžimas. Tegul korespondencija bus pateikta. Jei atitikmuo yra toks, kad jei ir tik tada, tada atitikimas vadinamas atvirkštine ir žymimas .

Apibrėžimas. Jei funkcijos atvirkštinė atitiktis yra funkcinė, tada ji vadinama atvirkštine funkcija.

Akivaizdu, kad atvirkštinėje korespondencijoje vaizdai ir prototipai keičiasi vietomis, todėl norint, kad būtų atvirkštinė funkcija, kiekvienas elementas iš reikšmių srities turi turėti vieną prototipą. Tai reiškia, kad funkcijai atvirkštinė funkcija egzistuoja tada ir tik tada, kai ji yra bijektyvus jos apibrėžimo srities ir verčių srities atitikimas.

3 pavyzdys. Funkcija turi tipą . Jis atskiria segmentą vienas su vienu į segmentą. Todėl segmente yra atvirkštinė funkcija. Kaip žinote, tai yra.

Apibrėžimas. Tegul funkcijos ir yra duota. Funkcija vadinama funkcijų kompozicija ir (žymima ), jei galioja lygybė: , Kur.

Funkcijų sudėtis – tai nuoseklus šių funkcijų taikymas; taikomas rezultatui Dažnai sakoma, kad funkcija gaunama pakeitimas V .

Kelių vietų funkcijoms galimi įvairūs pakeitimų į variantai, iš kurių gaunamos įvairių tipų funkcijos. Ypač įdomus atvejis, kai daug funkcijų tipo: . Šiuo atveju, pirma, galimas bet koks funkcijų pakeitimas viena kitai, antra, bet koks argumentų pervardijimas. Funkcija, gauta iš šių funkcijų jas pakeičiant viena kita ir pervardijant argumentus, vadinama jų superpozicija.

Pavyzdžiui, matematinės analizės metu įvedama elementariosios funkcijos sąvoka, kuri yra fiksuoto (nepriklausomo nuo argumento reikšmės) aritmetinių operacijų skaičiaus, taip pat elementariųjų funkcijų (ir kt.) superpozicija.

A.N. Kolmogorovas ir V.I. Arnoldas įrodė, kad kiekviena nuolatinė kintamųjų funkcija gali būti pavaizduota kaip dviejų kintamųjų tęstinių funkcijų superpozicija.

komentuoti. Funkcijos sąvoka plačiai naudojama matematinėje analizėje, be to, ji yra pagrindinė jos sąvoka. Apskritai požiūris į termino „funkcija“ supratimą matematinės analizės metu yra šiek tiek siauresnis nei diskrečiojoje matematikoje. Kaip taisyklė, ji mano, kad vadinamasis apskaičiuojamas funkcijas. Funkcija vadinama apskaičiuojama, jei pateikiama procedūra, leidžianti rasti bet kurios argumento reikšmės funkcijos reikšmę.

Grįžkime į santraukos pradžią.

1 pavyzdys.

a) Lygybės santykis (dažnai žymimas ) bet kurioje aibėje yra lygiavertiškumas. Lygybė yra minimalus lygiavertiškumo santykis ta prasme, kad pašalinus bet kurią porą iš šio santykio (ty bet kurį vienetą pagrindinėje matricos įstrižainėje), ji nustoja būti refleksyvi ir todėl nebėra lygiavertė.

b) Pareiškimas apie tipą arba , sudarytas iš formulių, sujungtų lygybės ženklu, apibrėžia dvejetainį santykį formulių, apibūdinančių elementariųjų funkcijų superpozicijas, rinkinyje. Šis ryšys paprastai vadinamas lygiavertiškumo ryšiu ir apibrėžiamas taip: dvi formulės yra lygiavertės, jei jos apibrėžia tą pačią funkciją. Ekvivalentiškumas šiuo atveju, nors ir žymimas „=“ ženklu, nereiškia to paties, kaip lygybės santykis, nes jis gali būti tenkinamas skirtingoms formulėms. Tačiau galime manyti, kad lygybės ženklas tokiuose santykiuose reiškia ne pačias formules, o funkcijas, kurias jos apibūdina. Formulėms lygybės santykis yra formulių sutapimas rašyboje. Tai vadinama grafinė lygybė. Beje, siekiant išvengti neatitikimų tokiose situacijose, lygiavertiškumo ryšiui nurodyti dažnai naudojamas ženklas „ “.

c) Apsvarstykite aibę trikampių koordinačių plokštumoje, darydami prielaidą, kad trikampis yra duotas, jei nurodytos jo viršūnių koordinatės. Du trikampius laikysime lygiais (sutampančiais), jei sudėjus jie sutampa, tai yra, jie yra verčiami vienas į kitą naudojant tam tikrą judesį. Lygybė yra lygiavertiškumo santykis trikampių aibėje.

d) Ryšys „turėti tą pačią natūraliojo skaičiaus liekaną“ natūraliųjų skaičių aibėje yra lygiavertiškumas.

f) Sąryšis „būti dalikliu“ nėra aibės ekvivalentiškumo santykis. Jis turi refleksiškumo ir tranzityvumo savybių, tačiau yra antisimetriškas (žr. toliau).

Tegu aibėje nurodomas lygiavertiškumo ryšys. Atlikime tokią statybą. Pažymime elementą ir suformuokime klasę (poaibį), susidedančią iš elemento ir visų jam lygiaverčių elementų duotame santykyje. Tada pasirinkite elementą ir sudaro klasę, kurią sudaro lygiaverčiai elementai. Tęsdami šiuos veiksmus, gauname klasių sistemą (galbūt begalinę), kad bet kuris elementas iš aibės būtų įtrauktas į bent vieną klasę, t.

Ši sistema turi šias savybes:

1) jis susidaro pertvara aibės, tai yra, klasės nesikerta poromis;

2) bet kurie du elementai iš tos pačios klasės yra lygiaverčiai;

3) bet kurie du elementai iš skirtingų klasių nėra lygiaverčiai.

Visos šios savybės tiesiogiai išplaukia iš ekvivalentiškumo santykio apibrėžimo. Iš tiesų, jei, pavyzdžiui, klasės būtų nuslopintos, jos turėtų bent vieną bendrą elementą. Šis elementas akivaizdžiai būtų lygiavertis ir . Tada dėl santykio tranzityvumo, . Tačiau dėl klasių sudarymo būdo tai neįmanoma. Kitos dvi savybės gali būti įrodytos panašiai.

Sukurtas skaidinys, tai yra klasių sistema - aibės poaibiai, vadinama sistema lygiavertiškumo klasės santykyje su . Šios sistemos galia vadinama skaidinio indeksas. Kita vertus, bet koks aibės padalijimas į klases pats nulemia tam tikrą ekvivalentiškumo santykį, būtent santykį „būti įtrauktam į vieną tam tikro skirsnio klasę“.

2 pavyzdys.

a) Visos lygiavertiškumo klasės lygybės santykio atžvilgiu susideda iš vieno elemento.

b) Formulės, apibūdinančios tą pačią elementariąją funkciją, lygiavertiškumo santykio atžvilgiu yra toje pačioje ekvivalentiškumo klasėje. Šiuo atveju pati formulių rinkinys, lygiavertiškumo klasių rinkinys (tai yra skaidinio indeksas) ir kiekviena lygiavertiškumo klasė yra skaičiuojami.

c) Trikampių aibės skaidinys lygybės atžvilgiu turi kontinuumo indeksą, o kiekviena klasė taip pat turi kontinuumo kardinalumą.

d) Natūraliųjų skaičių aibės skaidinys, susijęs su ryšiu „turi bendrą likutį, padalijus iš 7“, galutinis indeksas yra 7 ir susideda iš septynių skaičiuojamų klasių.

1. Tvarkos santykiai.

1 apibrėžimas. Santykiai vadinami negriežtas santykis, jei jis yra refleksinis, antisimetriškas ir tranzityvus.

2 apibrėžimas. Santykiai vadinami griežtos tvarkos santykis, jei jis yra antirefleksinis, antisimetriškas ir tranzityvus.

Abi santykių rūšys bendrai vadinamos užsakymo santykiai. Elementai yra palyginami eilės santykio atžvilgiu, jei vienas iš dviejų santykių arba yra tenkinamas. Aibė, kurioje nurodytas eilės santykis, vadinama visiškai sutvarkyta, jei bet kurie du jos elementai yra palyginami. Kitu atveju rinkinys vadinamas iš dalies užsakytu.

3 pavyzdys.

a) Santykiai " " ir " " yra ne griežtos tvarkos santykiai, santykiai "<” и “>” – griežtos eilės ryšiai (visose pagrindinėse skaičių aibėse). Abu santykiai visiškai sutvarko rinkinius ir .

b) Apibrėžkite santykius " " ir "<” на множестве следующим образом:

1) jei ;

2) jei ir tuo pačiu metu einama už vieną koordinatę.

Tada pvz. , bet ir neprilygstamas. Taigi šie santykiai iš dalies tvarkingi.

c) Aibės poaibių sistemoje įtraukimo santykis „ ” nurodo negriežtą dalinę tvarką, o griežtas įtraukimo santykis „ ” – griežtą dalinę tvarką. Pavyzdžiui, , bet nepalyginama.

d) Pavaldumo santykiai darbo kolektyve sukuria griežtą dalinę tvarką. Jame, pavyzdžiui, nepalyginami įvairių struktūrinių padalinių (skyrių ir kt.) darbuotojai.

e) Rusų abėcėlėje raidžių tvarka yra fiksuota, tai yra, ji visada yra tokia pati. Tada šis sąrašas apibrėžia visą raidžių tvarką, kuri vadinama pirmumo ryšiu. Žymi (pirmiausia). Remiantis raidžių pirmumo ryšiu, konstruojamas žodžių pirmumo ryšys, nustatomas maždaug taip, kaip lyginamos dvi dešimtainės trupmenos. Šis ryšys nurodo visišką žodžių tvarką rusų abėcėlėje, kuri vadinama leksikografine tvarka.

4 pavyzdys.

a) Žymiausias leksikografinės žodžių rikiuotės pavyzdys yra žodžių rikiuotė žodynuose. Pavyzdžiui, (nuo), todėl žodis miškas esantis prieš žodį žodyne vasara.

b) Jei skaičius pozicinėse skaičių sistemose (pavyzdžiui, dešimtainėje sistemoje) laikysime žodžiais skaičių abėcėlėje, tai jų leksikografinė tvarka sutampa su įprasta, jei visi lyginami skaičiai turi vienodą skaitmenų skaičių. Apskritai šie du tipai gali nesutapti. Pavyzdžiui, ir, bet, a. Kad jie sutaptų, reikia išlyginti visų lyginamų skaičių skaitmenų skaičių, priskiriant paliko nuliai. Šiame pavyzdyje gauname. Šis lygiavimas vyksta automatiškai, kai į kompiuterį įrašote sveikuosius skaičius.

c) Skaitmeninių datų, tokių kaip 2004-07-19 (liepos devynioliktoji du tūkstančiai ketvirta diena), leksikografinė tvarka nesutampa su natūralia datų tvarka iš ankstesnės į vėlesnę. Pavyzdžiui, data 2004-07-19 yra „leksikografiškai“ senesnė nei bet kurių metų aštuonioliktoji diena. Kad didėjančios datos sutaptų su leksikografine tvarka, įprastas vaizdavimas turi būti „apverstas“, tai yra rašomas forma 2004.07.19. Paprastai tai daroma, kai kompiuterio atmintyje pateikiamos datos.

Bet koks 2 sąrašų ar porų rinkinys vadinamas ryšiu. Santykiai bus ypač naudingi aptariant programų prasmę.

Žodis „ryšys“ gali reikšti palyginimo taisyklę, „ekvivalentiškumą“ arba „yra poaibis“ ir kt. Formaliai ryšiai, kurie yra 2 sąrašų rinkiniai, gali tiksliai apibūdinti šias neformalias taisykles, įtraukdami būtent tas poras, kurių elementai yra norimame santykyje vienas su kitu. Pavyzdžiui, ryšys tarp simbolių ir 1 eilučių, kuriose yra šie simboliai, pateikiamas tokiu ryšiu:

C = ( : x – simbolis) = ( , , …}

Kadangi santykis yra aibė, galimas ir tuščias santykis. Pavyzdžiui, lyginių natūraliųjų skaičių ir jų nelyginių kvadratų atitikimas neegzistuoja. Be to, santykiams taikomos aibės operacijos. Jei s ir r yra santykiai, tada jie egzistuoja

s È r, s – r, s Çr

kadangi tai yra sutvarkytų elementų porų rinkiniai.

Ypatingas santykio atvejis yra funkcija, ryšys su ypatinga savybe, pasižymintis tuo, kad kiekvienas pirmasis elementas yra suporuotas su unikaliu antruoju elementu. Ryšys r yra funkcija tada ir tik tada, kai bet kuriam

О r ir О r, tada y = z.

Šiuo atveju kiekvienas pirmasis elementas santykių kontekste gali būti antrojo elemento pavadinimas. Pavyzdžiui, aukščiau aprašytas C ryšys tarp simbolių ir 1 eilučių yra funkcija.

Nustatymų operacijos taip pat taikomos funkcijoms. Nors operacijos su tvarkingų porų, kurios yra funkcijos, rinkiniais rezultatas būtinai bus kitas sutvarkytų porų rinkinys, taigi ir santykis, tai ne visada yra funkcija.

Jei f, g yra funkcijos, tai f Ç g, f – g taip pat yra funkcijos, bet f È g gali būti funkcija arba ne. Pavyzdžiui, apibrėžkime santykio galvą

H = (< Θ y, y>: y - eilutė) = ( , , …}

Ir paimkite aukščiau aprašytą santykį C. Tada iš to, kad C Í H:

yra funkcija

H - C = (< Θ y, y>: y – mažiausiai 2 simbolių eilutė)

yra santykis, bet ne funkcija,

yra tuščia funkcija ir

yra santykis.

Santykio ar funkcijos porų pirmųjų elementų aibė vadinama apibrėžimo sritimi, o antrųjų porų elementų aibė – diapazonu. Dėl santykių elementų, tarkime О r, x vadinamas argumentas r ir y vadinamas prasmė r.

Kada Î r ir y yra vienintelė x reikšmė, reikšmės žymėjimas:

skaitoma "y yra x r reikšmė" arba, glaustai, "y yra x r reikšmė" (funkcinis žymėjimas).

Nustatykime savavališką ryšį r ir argumentą x, tada yra trys jų atitikimo parinktys:

1. x Р domenas(r), šiuo atveju r neapibrėžtas pagal x
2. x О domenas(r), ir yra skirtingi y, z tokie, kad О r ir О r. Šiuo atveju r nėra vienareikšmiškai apibrėžtas x
3. x О domenas(r), ir yra unikali pora О r. Šiuo atveju r yra vienareikšmiškai nustatytas x ir y=r(x).

Taigi funkcija yra santykis, kuris yra vienareikšmiškai apibrėžtas visiems jos apibrėžimo srities elementams.

Yra trys specialios funkcijos:

Tuščia funkcija(), neturi argumentų ar vertybių, tai yra

domenas(()) = (), diapazonas(()) = ()

Tapatybės funkcija, funkcija aš,

kad jei x О domenas(r), tai I(x) = x.

Nuolatinė funkcija, kurio diapazonas nurodomas 1 rinkiniu, tai yra, visi argumentai atitinka tą pačią reikšmę.

Kadangi ryšiai ir funkcijos yra aibės, juos galima apibūdinti išvardijant elementus arba nurodant taisykles. Pavyzdžiui:

r = (<†ball†, †bat†>, <†ball†, †game†>, <†game†, †ball†>}

yra santykis, nes visi jo elementai yra 2 sąrašai

domenas(r) = (†kamuolys†, †žaidimas†)

diapazonas (r) = (†kamuolys†, †žaidimas†, †muštas†)

Tačiau r nėra funkcija, nes dvi skirtingos reikšmės yra suporuotos su tuo pačiu argumentu †ball†.

Santykio, apibrėžto naudojant taisyklę, pavyzdys:

s = ( : žodis x yra prieš pat žodį y

eilutėje †tai yra santykis, kuris nėra funkcija†)

Šį ryšį taip pat galima nurodyti išvardijant:

s = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>, <†relation†, †that†>,

<†that†, †is†>, <†is†, †not†>, <†not†, †a†>, <†a†, †function†>}

Ši taisyklė apibrėžia funkciją:

f = ( : pirmasis žodžio atvejis prieš pat žodį y

eilutėje †tai yra santykis, kuris taip pat yra funkcija†)

kuris taip pat gali būti nurodytas sąrašu:

f = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>,

<†relation†, †that†>, <†that†, †is†>, <†also†, †a†>}

Programų prasmė.

Ryšiai ir funkcijos yra gyvybiškai svarbūs aprašams, apibūdinantiems programų reikšmę. Naudojant šias sąvokas, sukuriamas užrašas, apibūdinantis programų reikšmę. Paprastų programų prasmė bus akivaizdi, tačiau šie paprasti pavyzdžiai padės įsisavinti visą teoriją.

Naujos idėjos: dėžutės žymėjimas, programa ir programos reikšmė.

Įvesties-išvesties porų rinkinys visiems galimiems normaliam programos vykdymui vadinamas programos reikšme. Sąvokos taip pat gali būti naudojamos programos funkcija Ir programos požiūris. Svarbu atskirti programos reikšmę ir prasmės elementus. Konkrečiai įvestis Pascal mašina, valdoma Pascal programa, gali sukurti tam tikrą išvestį. Tačiau programos prasmė yra daug daugiau nei būdas išreikšti vieno konkretaus vykdymo rezultatą. Tai išreiškia viskas įmanoma Pascal programos vykdymas Pascal mašinoje.

Programa gali priimti įvestį, suskaidytą į eilutes, ir sukurti išvestį, suskaidytą į eilutes. Taigi programos reikšmės poros gali būti simbolių eilučių sąrašų poros.

Dėžutės žymėjimas.

Bet kuri Pascal programa yra simbolių eilutė, perduodama Pascal mašinai apdoroti. Pavyzdžiui:

P = †PROGRAMOS Spausdinti Sveiki (INPUT, OUTPUT); PRADĖTI RAŠYTI ('SVEIKA') END.†

Reiškia vieną iš pirmųjų programų, aptartų I dalies pradžioje, kaip eilutę.

Šią eilutę taip pat galite parašyti praleisdami linijų žymeklius, pvz

P = PROGRAMOS Spausdinti Sveiki(INPUT, OUTPUT);

WRITELN ("SVEIKA")

Eilutė P reiškia programos sintaksę, o jos reikšmę rašysime kaip P. P reikšmė yra 2 simbolių eilučių sąrašų (sutvarkytų porų) rinkinys, kuriame argumentai atspindi programos įvestis ir reikšmės atspindi programos išvestis, tai yra

P = ( : eilučių L įvesties sąrašui P vykdomas teisingai

ir grąžina eilučių sąrašą M)

Programos reikšmės dėžutės žymėjimas išlaiko programos sintaksę ir semantiką, tačiau aiškiai išskiria vieną nuo kitos. Aukščiau esančiai PrintHello programai:

P = ( } =

{>: L – bet koks eilučių sąrašas)

Programos teksto įdėjimas į laukelį:

P = PROGRAMOS Spausdinti Sveiki(INPUT, OUTPUT); PRADĖTI RAŠYTI ('SVEIKA') END

Kadangi P yra funkcija,

PROGRAMA Spausdinti Sveiki (INPUT, OUTPUT); PRADĖTI RAŠYTI('SVEIKA') END (L) =<†HELLO†>

bet kuriam stygų sąrašui L.

Dėžutės žymėjimas paslepia būdą, kaip programa valdo Pascal mašiną ir rodo tik tai, kas lydi vykdymą. Terminas „juodoji dėžė“ dažnai vartojamas apibūdinti mechanizmą, žiūrint tik iš išorės, atsižvelgiant į įėjimus ir išėjimus. Taigi šis žymėjimas tinka programos reikšmei įvesties-išvesties atžvilgiu. Pavyzdžiui, R programa

PROGRAMOS Spausdinti SveikiInSteps(INPUT, OUTPUT);

WRITE('JIS');

WRITE('L');

WRITELN ('LO')

Turi tą pačią reikšmę kaip ir P, ty R = P.

R programa taip pat turi CFPascal pavadinimą PrintHelloInSteps. Tačiau kadangi eilutė †PrintHelloInSteps† yra R eilutės dalis, geriau nenaudoti PrintHelloInSteps kaip R programos pavadinimo laukelio žymėjime.

Ekranas aibės X f į aibę Y laikomas duotu, jei kiekvienas X elementas x yra susietas su vienu Y elementu y, pažymėtu f(x).

Aibė X vadinama apibrėžimo sritis atvaizdavimas f, o aibė Y yra verčių diapazonas. Užsakytų porų rinkinys

Г f = ((x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x))

paskambino rodyti grafiką f. Iš apibrėžimo tiesiogiai išplaukia, kad f grafikas yra Dekarto sandaugos X × Y poaibis:

Griežtai kalbant, žemėlapis yra aibių (X, Y, G) trigubas, kad G⊂ X×Y, o kiekvienas X elementas x yra pirmasis lygiai vienos G poros (x, y) elementas. tokios poros elementas pagal f(x), gauname aibės X atvaizdavimą f į aibę Y. Be to, G=Г f. Jei y=f(x), parašysime f:x→y ir sakysime, kad elementas x eina arba susiejamas su elementu y; elementas f(x) vadinamas elemento x atvaizdu atvaizdavimo f atžvilgiu. Atvaizdavimui žymėti naudosime f formos žymes: X→Y.

Tegu f: X→Y yra atvaizdavimas iš X aibės į aibę Y, o A ir B yra atitinkamai aibių X ir Y poaibiai. Iškviečiama kai kurių x∈A) aibė f(A)=(y| y=f(x). būdu aibė A. Aibė f − 1 (B)=(x| f(x) ∈B)

paskambino prototipas rinkinys B. Atvaizdavimas f: A→Y, pagal kurį vadinamas x→f(x) visiems x∈A susiaurėjimas f atvaizdavimas aibėje A; susiaurėjimas bus žymimas f| A.

Tebūnie atvaizdai f: X→Y ir g: Y→Z. Iškviečiamas atvaizdavimas X→Z, pagal kurį x eina į g(f(x)). kompozicija atvaizdavimas f ir g ir žymimas fg.

Vadinamas aibės X atvaizdavimas į X, kuriame kiekvienas elementas patenka į save, x→x identiškas ir žymimas id X .

Savavališkam atvaizdavimui f: X→Y turime id X ⋅f = f⋅id Y .

Iškviečiamas atvaizdavimas f: X→Y injekcinis, jei bet kokiems elementams iš ir iš to išplaukia, kad . Iškviečiamas atvaizdavimas f: X→Y surjektyvus, jei kiekvienas elementas y iš Y yra kokio nors elemento x atvaizdas iš X, tai yra, f(x)=y. Iškviečiamas atvaizdavimas f: X→Y dviprasmiškas, jei jis yra ir injekcinis, ir surjektyvus. Bijektyvinis žemėlapis f: X→Y yra apverčiamas. Tai reiškia, kad yra atvaizdavimas g: Y→X vadinamas atvirkščiaiį žemėlapį f taip, kad g(f(x))=x ir f(g(y))=y bet kuriam x∈X, y∈Y atveju. Atvirkštinė f žymima f − 1 .

Apverčiamasis atvaizdavimas f: X→Y aibės vienas prieš vieną atitikimas tarp aibių X ir Y elementų. Injekcinis atvaizdavimas f: X→Y nustato aibės X ir aibės f(X) atitikimą vienas su vienu.

Pavyzdžiai. 1) Funkcija f:R→R >0, f (x)=e x, nustato visų realiųjų skaičių aibės R ir teigiamų realiųjų skaičių aibės R >0 atitikimą vienas su vienu. Atvaizdavimo f atvirkštinė vertė yra g:R >0 →R, g(x)=ln x.

2) Atvaizdavimas f:R→R ≥ 0, f(x)=x 2, visų realiųjų R aibė į neneigiamų skaičių aibę R ≥ 0 yra surjektyvus, bet ne injekcinis, todėl nėra bijektyvus.

Funkcijos savybės:

1. Dviejų funkcijų sudėtis yra funkcija, t.y. jei, tada.

2. Dviejų bijektyvių funkcijų sudėtis yra dviobjektyvioji funkcija, jei , tai .

3. Atvaizdavimas turi atvirkštinį atvaizdavimą tada ir

tada ir tik tada, kai f yra bijekcijos, t.y. jei, tada.

Apibrėžimas. n – lokalus ryšys, arba n – vietinis predikatas aibėse A 1 ;…;

Pavadinimas n – lokalus ryšys P(x 1 ;x 2 ;…;x n). Kai n=1 vadinamas santykis P unarinis ir yra aibės A 1 poaibis. Dvejetainis(dvigubas, jei n=2) ryšys yra tvarkingų porų rinkinys.

Apibrėžimas. Bet kuriai aibei A ryšys vadinamas identišku ryšiu arba įstrižainiu ir - pilnuoju ryšiu arba pilnu kvadratu.

Tegu P yra koks nors dvejetainis ryšys. Tada dvejetainio ryšio apibrėžimo sritis P vadinamas kai kurių y aibe), ir verčių diapazonas– rinkinys kai kuriems x). Atvirkščiai aibė vadinama ryšiu su P.

Santykis P vadinamas atspindintis, jei jame yra visos (x,x) formos poros bet kuriam x iš X. Iškviečiamas santykis P antirefleksinis, jei jame nėra (x,x) formos porų. Pavyzdžiui, santykis x≤y yra refleksinis, o santykis x

Santykis P vadinamas simetriškas, jei kartu su kiekviena pora (x,y) yra ir pora (y,x). Santykio P simetrija reiškia, kad P = P –1.

Santykis P vadinamas antisimetriškas, jei (x;y) ir (y;x), tai x=y.

Santykis R vadinamas tranzityvus, jei kartu su bet kokiomis poromis (x,y) ir (y,z) joje taip pat yra pora (x,z), tai yra, iš xPy ir yPz seka xPz.

Dvejetainių santykių savybės:

Pavyzdys. Tegu A=(x/x – arabiškas skaitmuo); Р=((x;y)/x,yA,x-y=5). Raskite D;R;P -1 .

Sprendimas. Santykis P gali būti parašytas forma P=((5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)), tada jam turime D= (5; 6; 7; 8; 9); E=(0;1;2;3;4); P -1 =((0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)).

Apsvarstykite dvi baigtines aibes ir dvejetainį ryšį. Dvejetainio ryšio P matricą pristatykime taip: .

Bet kurio dvejetainio ryšio matrica turi savybės:

1. Jei ir , tada , o matricos elementų pridėjimas atliekamas pagal taisykles 0+0=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1, o dauginama terminiškai įprastu būdu, t.y. pagal taisykles 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Jei , tai , ir matricos dauginamos pagal įprastą matricų daugybos taisyklę, tačiau sandauga ir elementų suma dauginant matricas randama pagal 1 žingsnio taisykles.

4. Jei , tada ir

Pavyzdys. Dvejetainis ryšys parodytas 2 pav. Jo matrica turi formą .

Sprendimas. Taigi tegul;

Tegu P yra dvejetainis ryšys aibėje A, . Santykis P aibėje A vadinamas atspindintis, jei , kur žvaigždutės žymi nulius arba vienetus. Santykis P vadinamas nerefleksyvi, Jeigu . Santykis P aibėje A vadinamas simetriškas, jei už ir už tai išplaukia iš sąlygos, kad . Tai reiškia, kad. Santykis P vadinamas antisimetriškas, jei iš sąlygų išplaukia, kad x=y, t.y. arba . Ši savybė lemia tai, kad visi matricos elementai, esantys už pagrindinės įstrižainės, bus lygūs nuliui (pagrindinėje įstrižainėje taip pat gali būti nulių). Santykis P vadinamas tranzityvus, jei iš ir iš to seka, kad t.y. .

Pavyzdys. Santykis P ir čia pagrindinėje matricos įstrižainėje yra visi vienetai, todėl P yra refleksinis. Matrica yra asimetriška, tada santykis P yra asimetriškas

Nes ne visi elementai, esantys už pagrindinės įstrižainės, yra nuliai, tada santykis P nėra antisimetriškas.

Tie. , todėl santykis P yra netransityvus.

Refleksinis, simetriškas ir tranzityvinis ryšys vadinamas lygiavertiškumo ryšį. Ekvivalentiškumo santykiams žymėti įprasta naudoti simbolį ~. Refleksyvumo, simetrijos ir tranzityvumo sąlygos gali būti parašytos taip:

Pavyzdys. 1) Tegu X yra aibė funkcijų, apibrėžtų visoje skaičių eilutėje. Darysime prielaidą, kad funkcijos f ir g yra susijusios su ryšiu ~, jei jos taške 0 įgauna tas pačias reikšmes, tai yra, f(x)~g(x), jei f(0)=g(0) . Pavyzdžiui, sinx ~ x, e x ~ cosx. Ryšys ~ yra refleksinis (f(0)=f(0) bet kuriai funkcijai f(x)); simetriškai (iš f(0)=g(0) seka, kad g(0)=f(0)); tranzityvus (jei f(0)=g(0) ir g(0)=h(0), tai f(0)=h(0)). Todėl ~ yra ekvivalentiškumo ryšys.

2) Tegul ~ yra natūraliųjų skaičių aibės santykis, kad x~y, jei x ir y duoda tą pačią likutį, dalijant iš 5. Pavyzdžiui, 6~11, 2~7, 1~6. Nesunku pastebėti, kad šis santykis yra refleksyvus, simetriškas ir tranzityvus, todėl yra lygiavertis.

Dalinės tvarkos santykis Dvejetainis ryšys aibėje vadinamas, jei jis yra refleksinis, antisimetrinis, tranzityvus, t.y.

1. - refleksyvumas;

2. - antisimetrija;

3. - tranzityvumas.

Griežtos tvarkos santykiai Dvejetainis ryšys aibėje vadinamas, jei jis yra antirefleksinis, antisimetrinis, tranzityvus. Abu šie santykiai vadinami užsakymo santykiai. Rinkinys, kuriame nurodytas užsakymo santykis, gali būti: pilnai užsakytas komplektas arba iš dalies užsakyta. Dalinė tvarka svarbi tais atvejais, kai norime kažkaip charakterizuoti pirmenybę, t.y. nuspręsti, kokiomis sąlygomis vieną rinkinio elementą laikyti pranašesniu už kitą. Iš dalies užsakytas rinkinys vadinamas tiesiškai sutvarkytas, jei jame nėra neprilygstamų elementų, t.y. viena iš sąlygų arba yra įvykdyta. Pavyzdžiui, rinkiniai su natūralia tvarka yra išdėstyti tiesiškai.

Leiskite r Í X X Y.

Funkcinis ryšys– tai toks dvejetainis ryšys r, kuriame kiekvienas elementas atitinka lygiai vienas tokia, kad pora priklauso ryšiui ar pan visai neegzistuoja: arba.

Funkcinis ryšys – tai toks dvejetainis santykis r, kuriam atliekama: .

Visur tam tikras požiūris– dvejetainis ryšys r, kuriam D r = X(„Nėra vienišų X").

Surjektyvus santykis– dvejetainis ryšys r, kuriam J r = Y(„Nėra vienišų y").

Injekcinis požiūris– dvejetainis santykis, kuriame skiriasi X atitinka skirtingus adresu.

Bijekcija– funkcinis, visur apibrėžtas, injekcinis, surjektyvus santykis, apibrėžia aibių atitiktį vienas su vienu.

Pavyzdžiui:

Leiskite r= ((x, y) О R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 ).

Požiūris r- funkcionalus,

ne visur apibrėžta („yra vieniši X"),

ne injekcinis (yra įvairių X, adresu),

nėra surjektyvus („yra vienišų adresu"),

ne bijekcija.

Pavyzdžiui:

Tegu Ã= ((x,y) О R 2 | y = x+1)

Ryšys à yra funkcinis,

Santykis Ã- apibrėžiamas visur („nėra vienišų X"),

Ryšys Ã- yra injekcinis (nėra skirtingų X, kurie atitinka tą patį adresu),

Santykis Ã- yra surjektyvus („nėra vienišų adresu"),

Ryšys à yra bijektyvus, vienarūšis atitikimas.

Pavyzdžiui:

Tegul j=((1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)) yra apibrėžta aibėje N 4.

Ryšys j nefunkcinis, x=1 atitinka tris y: (1,2), (1,3), (1,4)

Ryšys j ne visur yra apibrėžtas D j =(1,2,3)¹ N 4

Ryšys j nėra surjektyvus aš j =(1,2,3)¹ N 4

Ryšys j nėra injekcinis; skirtingas x atitinka tą patį y, pavyzdžiui (2.3) ir (1.3).

Laboratorinė užduotis

1. Duoti rinkiniai N1 Ir N2. Apskaičiuokite rinkinius:

(N1 X N2) Ç (N2 X N1);

(N1 X N2) È (N2 X N1);

(N1 Ç N2) x (N1 Ç N2);

(N1 – N2) x (N1 – N2),

Kur N1 = (įrašų knygos numerio skaitmenys, paskutiniai trys };

N2 = ( gimimo datos ir mėnesio skaitmenys }.

2. Santykiai r Ir g yra pateikiami rinkinyje N6 =(1,2,3,4,5,6).

Apibūdinkite santykius r,g,r -1 , r ○g, r - 1 ○g porų sąrašas

Raskite santykių matricas r Ir g.

Kiekvienam ryšiui nustatykite apibrėžimo sritį ir verčių sritį.

Nustatykite santykių savybes.

Identifikuokite lygiavertiškumo ryšius ir sukurkite lygiavertiškumo klases.

Nustatyti užsakymų santykius ir juos klasifikuoti.

1) r= { (m,n) | m > n)

g= { (m,n) | 2 modulio palyginimas }

2) r= { (m,n) | (m–n) dalijasi iš 2 }

g= { (m,n) | m skirstytuvas n)

3) r= { (m,n) | m< n }

g= { (m,n) | 3 palyginimo modulis }

4) r= { (m,n) | (m + n)- net }

g= { (m,n) | m 2 = n)

5) r= { (m,n) | m/n- 2 laipsnis }

g= { (m,n) | m = n)

6) r= { (m,n) | m/n- net }

g = ((m,n) | m³ n)

7) r= { (m,n) | m/n- nelyginis }

g= { (m,n) | 4 modulio palyginimas }

8) r= { (m,n) | m * n - net }

g= { (m,n) | m£ n)

9) r= { (m,n) | 5 modulio palyginimas }

g= { (m,n) | m padalintas iš n)

10) r= { (m,n) | m- net, n- net }

g= { (m,n) | m skirstytuvas n)

11) r= { (m,n) | m = n)

g= { (m,n) | (m + n)£ 5 }

12) r={ (m,n) | m Ir n turi tą patį likutį padalijus iš 3 }

g= { (m,n) | (m-n)³2 }

13) r= { (m,n) | (m + n) dalijasi iš 2 }

g = ((m,n) | £2 (m-n)£4 }

14) r= { (m,n) | (m + n) dalijasi iš 3 }

g= { (m,n) | m¹ n)

15) r= { (m,n) | m Ir n turi bendrą daliklį }

g= { (m,n) | m 2£ n)

16) r= { (m,n) | (m–n) dalijasi iš 2 }

g= { (m,n) | m< n +2 }

17) r= { (m,n) | 4 palyginimo modulis }

g= { (m,n) | m£ n)

18) r= { (m,n) | m dalijasi iš n)

g= { (m,n) | m¹ n, m- net }

19) r= { (m,n) | 3 palyginimo modulis }

g= { (m,n) | £1 (m-n)£3 }

20) r= { (m,n) | (m–n) dalijasi iš 4 }

g= { (m,n) | m¹ n)

21) r= { (m,n) | m- keista, n- keista }

g= { (m,n) | m£ n, n- net }

22) r= { (m,n) | m Ir n turi nelyginį likutį, kai padalinamas iš 3 }

g= { (m,n) | (m-n)³1 }

23) r= { (m,n) | m * n - nelyginis }

g= { (m,n) | 2 modulio palyginimas }

24) r= { (m,n) | m * n - net }

g= { (m,n) | £1 (m-n)£3 }

25) r= { (m,n) | (m+ n) - net }

g= { (m,n) | m nėra visiškai dalijamas n)

26) r= { (m,n) | m = n)

g= { (m,n) | m dalijasi iš n)

27) r= { (m,n) | (m-n)- net }

g= { (m,n) | m skirstytuvas n)

28) r= { (m,n) | (m-n)³2 }

g= { (m,n) | m dalijasi iš n)

29) r= { (m,n) | m 2³ n)

g= { (m,n) | m / n- nelyginis }

30) r= { (m,n) | m³ n, m - net }

g= { (m,n) | m Ir n turi bendrą daliklį, išskyrus 1 }

3. Nustatykite, ar pateiktas ryšys yra f- funkcinis, visur apibrėžtas, injekcinis, surjektyvus, bijekcija ( R- realiųjų skaičių rinkinys). Sukurkite santykių grafiką, nustatykite apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį.

Atlikite tą pačią užduotį santykiams r Ir g iš laboratorinių darbų 3 punkto.

1) f=( (x, y) Î R 2 | y=1/x +7x)

2) f=( (x, y) Î R 2 | x³ y)

3) f=( (x, y) Î R 2 | y³ x)

4) f=( (x, y) Î R 2 | y³ x, x³ 0 }

5) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1)

6) f=( (x, y) Î R 2 | 2 | y | + | x | = 1)

7) f=( (x, y) Î R 2 | x+y£ 1 }

8) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 2)

9) f=( (x, y) Î R 2 | y = x 3 + 1)

10) f=( (x, y) Î R 2 | y = -x 2 )

11) f=( (x, y) Î R 2 | | y | + | x | = 1)

12) f=( (x, y) Î R 2 | x = y -2)

13) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2³ 1, m> 0 }

14) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, x> 0 }

15) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2£ 1.x> 0 }

16) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 2 ,x³ 0 }

17) f=( (x, y) Î R 2 | y = nuodėmė(3x + p) )

18) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / cos x )

19) f=( (x, y) Î R 2 | y = 2| x | + 3)

20) f=( (x, y) Î R 2 | y = | 2x + 1| )

21) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3x)

22) f=( (x, y) Î R 2 | y = e -x )

23) f =( (x, y)Î R 2 | y = e | x | )

24) f=( (x, y) Î R 2 | y = cos(3x) - 2)

25) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3 x 2 - 2 )

26) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x + 2) )

27) f=( (x, y) Î R 2 | y = ln(2x) - 2)

28) f=( (x, y) Î R 2 | y = | 4x -1| + 2)

29) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x 2 + 2x-5))

30) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 3, y³ - 2 }.

Saugumo klausimai

2. Dvejetainio ryšio apibrėžimas.

3. Dvejetainių santykių aprašymo metodai.

4.Apibrėžimo sritis ir reikšmių diapazonas.

5. Dvejetainių santykių savybės.

6.Ekvivalentiškumo ryšiai ir lygiavertiškumo klasės.

7. Tvarkos santykiai: griežti ir negriežti, išsamūs ir daliniai.

8. Likučių klasės modulo m.

9.Funkciniai santykiai.

10. Injekcija, surjekcija, bijekcija.

Laboratorinis darbas Nr.3

Santykiai. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Apibrėžimas 2.1.Užsakyta pora<x, y> vadinamas dviejų elementų rinkiniu x Ir y, išdėstyti tam tikra tvarka.

Dvi užsakytos poros<x, y> ir<u, v> yra lygūs vienas kitam tada ir tik tada x = u Ir y= v.

2.1 pavyzdys.

<a, b>, <1, 2>, <x, 4> – užsakytos poros.

Panašiai galime laikyti trynukus, ketvertukus, n-ki elementai<x 1 , x 2 ,… x n>.

Apibrėžimas 2.2.Tiesioginis(arba Dekarto)dirbti du komplektai A Ir B yra sutvarkytų porų rinkinys, kad aibei priklausytų pirmasis kiekvienos poros elementas A, o antrasis – į komplektą B:

A ´ B = {<a, b>, ç aÎ A Ir bÏ IN}.

Apskritai, tiesioginis produktas n rinkiniai A 1 ,A 2 ,…A n vadinamas rinkiniu A 1' A 2 "…". A n, susidedantis iš sutvarkytų elementų rinkinių<a 1 , a 2 , …,a n> ilgis n, toks aš- th a i priklauso rinkiniui A i,a i Î A i.

2.2 pavyzdys.

Leiskite A = {1, 2}, IN = {2, 3}.

Tada A ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.

2.3 pavyzdys.

Leiskite A= {x ç0 £ x£ 1) ir B= {yç2 £ y£3)

Tada A ´ B = {<x, y >, ç0 £ x£1 ir 2£ y£3).

Taigi, daugelis A ´ B susideda iš taškų, esančių tiesių linijų sudaryto stačiakampio viduje ir ant ribos x= 0 (y ašis), x= 1,y= 2i y = 3.

Prancūzų matematikas ir filosofas Descartes'as pirmasis pasiūlė taškų koordinatę plokštumoje. Istoriškai tai yra pirmasis tiesioginio produkto pavyzdys.

Apibrėžimas 2.3.Dvejetainis(arba dvigubai)santykis r vadinama sutvarkytų porų aibė.

Jei pora<x, y> priklauso r, tada parašyta taip:<x, y> Î r arba kas tas pats, xr m.

2.4 pavyzdys.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}

Panašiai galime apibrėžti n-vietinis ryšys kaip užsakymų rinkinys n-Gerai.

Kadangi dvejetainis ryšys yra aibė, dvejetainio ryšio nurodymo metodai yra tokie patys kaip ir aibės nurodymo metodai (žr. 1.1 skyrių). Dvejetainį ryšį galima nurodyti išvardijant sutvarkytas poras arba nurodant bendrą sutvarkytų porų savybę.

2.5 pavyzdys.

1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – ryšys patikslinamas išvardijant sutvarkytas poras;

2. r = {<x, y> ç x+ y = 7, x, y– realieji skaičiai) – ryšys nurodomas nurodant savybę x+ y = 7.

Be to, galima pateikti dvejetainį ryšį dvejetainių santykių matrica. Leiskite A = {a 1 , a 2 , …, a n) yra baigtinė aibė. Dvejetainių santykių matrica C yra eilės kvadratinė matrica n, kurio elementai c ij apibrėžiami taip:

2.6 pavyzdys.

A= (1, 2, 3, 4). Apibrėžkime dvejetainį ryšį r trimis išvardintais būdais.

1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – ryšys nurodomas išvardijant visas sutvarkytas poras.

2. r = {<a i, a j> ç a i < a j; a i, a jÎ A) – santykis patikslinamas aibėje nurodant savybę „mažiau nei“. A.

3. – santykis nurodomas dvejetaine santykių matrica C.

2.7 pavyzdys.

Pažvelkime į kai kuriuos dvejetainius ryšius.

1. Natūraliųjų skaičių aibės ryšiai.

a) santykis £ galioja poroms<1, 2>, <5, 5>, bet negalioja porai<4, 3>;

b) poroms galioja santykis „turi bendrą daliklį, išskyrus vieną“.<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, bet negalioja porai<3, 28>.

2. Realiosios plokštumos taškų aibės ryšiai.

a) santykis „būti tokiu pat atstumu nuo taško (0, 0)“ yra tenkinamas taškams (3, 4) ir (–2, Ö21), bet nėra tenkinamas taškams (1, 2) ir ( 5, 3);

b) santykis „būti simetriškas ašies atžvilgiu OY"atliekamas visiems taškams ( x, y) Ir (- x, –y).

3. Santykiai su daugybe žmonių.

a) požiūris „gyventi tame pačiame mieste“;

b) požiūris „mokytis toje pačioje grupėje“;

c) požiūris „būti vyresniam“.

Apibrėžimas 2.4. Dvejetainio ryšio r apibrėžimo sritis yra aibė D r = (x çyra y, kad xr y).

Apibrėžimas 2.5. Dvejetainio ryšio r reikšmių diapazonas yra aibė R r = (y çegzistuoja x, kad xr y).

Apibrėžimas 2.6. Dvejetainio ryšio r nurodymo sritis vadinama aibe M r = D r ÈR r .

Naudodamiesi tiesioginio produkto sąvoka, galime parašyti:

rÎ D r´ R r

Jeigu D r= R r = A, tada sakome, kad dvejetainis ryšys r apibrėžta rinkinyje A.

2.8 pavyzdys.

Leiskite r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.

Tada D r ={1, 3, 4}, R r = {3, 2}, p= {1, 2, 3, 4}.

Santykių operacijos

Kadangi santykiai yra aibės, visos operacijos su aibėmis galioja santykiams.

2.9 pavyzdys.

r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

r 1 Ç r 2 = {<1, 2>}.

r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.

2.10 pavyzdys.

Leiskite R– realiųjų skaičių rinkinys. Panagrinėkime šiuos šios aibės ryšius:

r 1 – „£“; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 – „³“; r 5 – " > ".

r 1 = r 2 È r 3 ;

r 2 = r 1 Ç r 4 ;

r 3 = r 1 \ r 2 ;

r 1 = ;

Apibrėžkime dar dvi santykių operacijas.

Apibrėžimas 2.7. Santykiai vadinami atvirkščiaiį požiūrį r(žymimas r – 1), jei

r – 1 = {<x, y> ç< y, x> Î r}.

2.11 pavyzdys.

r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r – 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

2.12 pavyzdys.

r = {<x, y> ç x – y = 2, x, y Î R}.

r – 1 = {<x, y> ç< y, x> Î r} = r – 1 = {<x, y> ç y–x = 2, x, y Î R} = {<x, y> ç– x+ y = 2, x, y Î R}.

Apibrėžimas 2.8.Dviejų santykių r ir s kompozicija vadinamas santykiu

s r= {<x, z> yra toks dalykas y, Ką<x, y> Î r Ir< y, z> Î s}.

2.13 pavyzdys.

r = {<x, y> ç y = sinx}.

s= {<x, y> ç y = Ö x}.

s r= {<x, z> yra toks dalykas y, Ką<x, y> Î r Ir< y, z> Î s} = {<x, z> yra toks dalykas y, Ką y = sinx Ir z= Ö y} = {<x, z> ç z= Ö sinx}.

Dviejų santykių sudėties apibrėžimas atitinka sudėtingos funkcijos apibrėžimą:

y = f(x), z= g(y) Þ z= g(f(x)).

2.14 pavyzdys.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

Radimo procesas s r pagal kompozicijos apibrėžimą patogu ją pavaizduoti lentelėje, kurioje surašytos visos galimos reikšmės x, y, z. kiekvienai porai<x, y> Î r turime atsižvelgti į visas įmanomas poras< y, z> Î s(2.1 lentelė).

2.1 lentelė

<x, y> Î r	< y, z> Î s	<x, z> Î s r
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1>	<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3>	<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>

Atkreipkite dėmesį, kad lentelės paskutinio stulpelio pirmoje, trečioje ir ketvirtoje, taip pat antroje ir penktoje eilutėse yra identiškos poros. Todėl gauname:

s r= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.

Santykių savybės

Apibrėžimas 2.9. Požiūris r paskambino atspindintis rinkinyje X, jei kam xÎ X bėgimas xr x.

Iš apibrėžimo matyti, kad kiekvienas elementas<x,x > Î r.

2.15 pavyzdys.

a) Tegul X- baigtinis rinkinys, X= (1, 2, 3) ir r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Požiūris r atspindintis. Jeigu X yra baigtinė aibė, tada pagrindinėje refleksinio ryšio matricos įstrižainėje yra tik vienetai. Mūsų pavyzdžiu

b) Tegul X r lygybės santykis. Toks požiūris yra refleksinis, nes kiekvienas skaičius yra lygus sau.

c) Tegul X– daug žmonių ir r požiūris „gyvenk tame pačiame mieste“. Toks požiūris yra refleksinis, nes visi gyvena viename mieste su savimi.

Apibrėžimas 2.10. Požiūris r paskambino simetriškas rinkinyje X, jei kam x, yÎ X iš xry turėtų metai x.

Tai akivaizdu r simetriškas tada ir tik tada r = r – 1 .

2.16 pavyzdys.

a) Tegul X- baigtinis rinkinys, X= (1, 2, 3) ir r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Požiūris r simetriškai. Jeigu X yra baigtinė aibė, tada simetrinio ryšio matrica yra simetriška pagrindinės įstrižainės atžvilgiu. Mūsų pavyzdžiu

b) Tegul X– realiųjų skaičių aibė ir r lygybės santykis. Šis santykis yra simetriškas, nes Jeigu x lygus y, tada y lygus x.

c) Tegul X– daug studentų ir r„mokykis toje pačioje grupėje“ požiūris. Šis santykis yra simetriškas, nes Jeigu x studijuoja toje pačioje grupėje kaip y, tada y studijuoja toje pačioje grupėje kaip x.

Apibrėžimas 2.11. Požiūris r paskambino tranzityvus rinkinyje X, jei kam x, y,zÎ X iš xry Ir m. z turėtų xr z.

Sąlygų įvykdymas vienu metu xry, m. z, xr z reiškia, kad pora<x,z> priklauso kompozicijai r r. Todėl dėl tranzityvumo r jis reikalingas ir pakankamas rinkiniui r r buvo poaibis r, t.y. r rÍ r.

2.17 pavyzdys.

a) Tegul X- baigtinis rinkinys, X= (1, 2, 3) ir r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Požiūris r tranzityvus, nes kartu su poromis<x,y> ir<y,z>turėti porą<x,z>. Pavyzdžiui, kartu su poromis<1, 2>, Ir<2, 3>yra pora<1, 3>.

b) Tegul X– realiųjų skaičių aibė ir r santykis £ (mažesnis arba lygus). Šis ryšys yra tranzityvus, nes Jeigu x£ y Ir y£ z, Tai x£ z.

c) Tegul X– daug žmonių ir r požiūris „būti vyresniam“. Šis ryšys yra tranzityvus, nes Jeigu x vyresni y Ir y vyresni z, Tai x vyresni z.

Apibrėžimas 2.12. Požiūris r paskambino lygiavertiškumo ryšį rinkinyje X, jei jis yra refleksyvus, simetriškas ir tranzityvus rinkinyje X.

2.18 pavyzdys.

a) Tegul X- baigtinis rinkinys, X= (1, 2, 3) ir r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Požiūris r yra lygiavertiškumo santykis.

b) Tegul X– realiųjų skaičių aibė ir r lygybės santykis. Tai yra lygiavertiškumo santykis.

c) Tegul X– daug studentų ir r„mokykis toje pačioje grupėje“ požiūris. Tai yra lygiavertiškumo santykis.

Leiskite r X.

Apibrėžimas 2.13. Leiskite r– lygiavertiškumo santykis rinkinyje X Ir xÎ X. Ekvivalentiškumo klasė, sugeneruotas elemento x, vadinamas aibės poaibiu X, susidedantis iš tų elementų yÎ X, kuriam xry. Elemento sugeneruota lygiavertiškumo klasė x, žymimas [ x].

Taigi, [ x] = {yÎ X|xry}.

Susidaro lygiavertiškumo klasės pertvara rinkiniai X, t.y., netuščių poromis nevienodų jos poaibių sistema, kurių sąjunga sutampa su visa aibe X.

2.19 pavyzdys.

a) Lygybės santykis sveikųjų skaičių aibėje sukuria tokias lygiavertiškumo klases: bet kuriam elementui x iš šio rinkinio [ x] = {x), t.y. kiekviena lygiavertiškumo klasė susideda iš vieno elemento.

b) Poros sugeneruota lygiavertiškumo klasė<x, y> nustatomas pagal ryšį:

[<x, y>] = .

Kiekviena lygiavertiškumo klasė, kurią sukuria pora<x, y>, apibrėžia vieną racionalųjį skaičių.

c) Priklausymo vienai mokinių grupei santykiui ekvivalentiškumo klasė yra tos pačios grupės mokinių visuma.

Apibrėžimas 2.14. Požiūris r paskambino antisimetriškas rinkinyje X, jei kam x, yÎ X iš xry Ir metai x turėtų x = y.

Iš antisimetrijos apibrėžimo išplaukia, kad kai pora<x,y> tuo pačiu metu priklauso r Ir r – 1 , lygybė turi būti įvykdyta x = y. Kitaip tariant, r Ç r – 1 sudaro tik formos poros<x,x >.

2.20 pavyzdys.

a) Tegul X- baigtinis rinkinys, X= (1, 2, 3) ir r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Požiūris r antisimetriškas.

Požiūris s= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) yra ne antisimetriškas. Pavyzdžiui,<1, 2> Î s, Ir<2, 1> Î s, bet 1¹2.

b) Tegul X– realiųjų skaičių aibė ir r santykis £ (mažesnis arba lygus). Šis santykis yra antisimetriškas, nes Jeigu x £ y, Ir y £ x, Tai x = y.

Apibrėžimas 2.15. Požiūris r paskambino dalinės tvarkos santykis(arba tik dalinis užsakymas) filmavimo aikštelėje X, jei jis yra refleksinis, antisimetriškas ir tranzityvus X. Daugelis Xšiuo atveju jis vadinamas iš dalies sutvarkytu ir nurodytas ryšys dažnai žymimas simboliu £, jei tai nekelia nesusipratimų.

Atvirkštinis dalinės tvarkos santykis akivaizdžiai bus dalinės tvarkos santykis.

2.21 pavyzdys.

a) Tegul X- baigtinis rinkinys, X= (1, 2, 3) ir r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Požiūris r

b) Požiūris AÍ IN kai kurių aibių poaibių aibėje U yra dalinės tvarkos santykis.

c) Natūraliųjų skaičių aibės dalijamumo santykis yra dalinės eilės santykis.

Funkcijos. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Matematinės analizės metu priimamas toks funkcijos apibrėžimas.

Kintamasis y vadinama kintamojo funkcija x, jei pagal kokią nors taisyklę ar dėsnį kiekviena vertė x atitinka vieną konkrečią reikšmę y = f(x). Kintamoji keitimo sritis x vadinama funkcijos apibrėžimo sritimi ir kintamojo kitimo sritimi y– funkcijų reikšmių diapazonas. Jei viena vertė x atitinka keletą (ir net be galo daug reikšmių) y), tada funkcija vadinama daugiareikšme. Tačiau realiųjų kintamųjų funkcijų analizės kurse vengiama daugiareikšmių funkcijų ir atsižvelgiama į vienareikšmes funkcijas.

Panagrinėkime kitą funkcijos apibrėžimą ryšių požiūriu.

Apibrėžimas 2.16. Funkcija yra bet koks dvejetainis ryšys, kuriame nėra dviejų porų su vienodais pirmaisiais komponentais ir skirtingais antraisiais.

Ši santykių savybė vadinama vienareikšmiškumas arba funkcionalumą.

2.22 pavyzdys.

A) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) – funkcija.

b) (<x, y>: x, y Î R, y = x 2) – funkcija.

V) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) yra santykis, bet ne funkcija.

Apibrėžimas 2.17. Jeigu f– tada funkcija D f – apibrėžimo sritis, A Rf – diapazonas funkcijas f.

2.23 pavyzdys.

Pavyzdžiui, 2.22 a) D f – {1, 3, 4, 5}; Rf – {2, 4, 6}.

Pavyzdžiui, 2.22 b) D f = Rf = (–¥, ¥).

Kiekvienas elementas x D f funkcijos atitinka vienintelė elementas y Rf. Tai žymima gerai žinomu užrašu y = f(x). Elementas x vadinamas funkcijos argumentu arba elemento preimage y su funkcija f, ir elementas y funkcijos reikšmė fįjungta x arba elemento vaizdas x adresu f.

Taigi iš visų santykių funkcijos išsiskiria tuo, kad turi kiekvienas elementas iš apibrėžimo srities vienintelė vaizdas.

Apibrėžimas 2.18. Jeigu D f = X Ir Rf = Y, tada jie sako, kad funkcija f nustatyta ant X ir priima jo vertes Y, A f paskambino aibės X susiejimas su Y(X ® Y).

Apibrėžimas 2.19. Funkcijos f Ir g yra vienodi, jei jų sritis yra ta pati D, ir bet kam x Î D lygybė yra tiesa f(x) = g(x).

Šis apibrėžimas neprieštarauja funkcijų lygybės apibrėžimui kaip aibių lygybei (juk funkciją apibrėžėme kaip santykį, t.y. aibę): aibės. f Ir g yra lygūs tada ir tik tada, kai jie susideda iš tų pačių elementų.

Apibrėžimas 2.20. Funkcija (ekranas) f paskambino surjektyvus arba tiesiog surjekcija, jei kuriam nors elementui y Y yra elementas x Î X, toks y = f(x).

Taigi kiekviena funkcija f yra surjektyvus žemėlapis (surjekcija) D f® Rf.

Jeigu f yra išgalvota ir X Ir Y yra baigtinės aibės, tada ³ .

Apibrėžimas 2.21. Funkcija (ekranas) f paskambino injekcinis arba tiesiog injekcija arba vienas prieš vieną, jei nuo f(a) = f(b) turėtų a = b.

Apibrėžimas 2.22. Funkcija (ekranas) f paskambino dviprasmiškas arba tiesiog bijekcija, jei jis yra ir injekcinis, ir surjektyvus.

Jeigu f yra bijekcija ir X Ir Y yra baigtinės aibės, tada = .

Apibrėžimas 2.23. Jei funkcijos diapazonas D f tada susideda iš vieno elemento f paskambino pastovi funkcija.

2.24 pavyzdys.

A) f(x) = x 2 yra realiųjų skaičių aibės susiejimas su neneigiamų realiųjų skaičių aibe. Nes f(–a) = f(a), ir a ¹ – a, tada ši funkcija nėra injekcija.

b) Visiems x R= (– , ) funkcija f(x) = 5 – pastovi funkcija. Tai rodo daug R nustatyti (5). Ši funkcija yra surjekcinė, bet ne injekcinė.

V) f(x) = 2x+ 1 yra injekcija ir bijekcija, nes iš 2 x 1 +1 = 2x Toliau seka 2 +1 x 1 = x 2 .

Apibrėžimas 2.24. Funkcija, įgyvendinanti ekraną X 1' X 2 "...". Xn ® Y paskambino n-vietinis funkcija.

2.25 pavyzdys.

a) Sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba yra dviejų vietų funkcijos aibėje R tikrieji skaičiai, t.y. funkcijos kaip R 2® R.

b) f(x, y) = yra dviejų vietų funkcija, kuri įgyvendina atvaizdavimą R ´ ( R \ )® R. Ši funkcija nėra injekcija, nes f(1, 2) = f(2, 4).

c) loterijos laimėjimų lentelė nurodo dviejų vietų funkciją, kuri nustato atitiktį tarp porų N 2 (N– natūraliųjų skaičių rinkinys) ir laimėjimų rinkinys.

Kadangi funkcijos yra dvejetainiai ryšiai, galima rasti atvirkštines funkcijas ir pritaikyti kompozicijos operaciją. Bet kurių dviejų funkcijų sudėtis yra funkcija, bet ne kiekvienai funkcijai f požiūris f–1 yra funkcija.

2.26 pavyzdys.

A) f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) – funkcija.

Požiūris f –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) nėra funkcija.

b) g = {<1, a>, <2, b>, <3, c>, <4, D>>) yra funkcija.

g -1 = {<a, 1>, <b, 2>, <c, 3>, <D, 4>) taip pat yra funkcija.

c) Raskite funkcijų sudėtį f iš pavyzdžio a) ir g-1 iš b pavyzdžio). Turime g -1f = {<a, 2>, <b, 3>, <c, 4>, <d, 2>}.

fg-1 = Æ.

Atkreipkite dėmesį, kad ( g -1f)(a) = f(g -1 (a)) = f(1) = 2; (g -1f)(c) = f(g -1 (c)) = f(3) = 4.

Matematinės analizės elementari funkcija yra bet kuri funkcija f, kuri yra baigtinio skaičiaus aritmetinių funkcijų kompozicija, taip pat šios funkcijos:

1) Trupmeninės-racionalios funkcijos, t.y. formos funkcijos

a 0 + a 1 x + ... + a n x n

b 0 + b 1 x + ... + b m x m.

2) Maitinimo funkcija f(x) = x m, Kur m– bet koks pastovus tikrasis skaičius.

3) Eksponentinė funkcija f(x) = e x.

4) logaritminė funkcija f(x) = užsirašyk x, a >0, a 1.

5) Trigonometrinės funkcijos sin, cos, tg, ctg, sek, csc.

6) Hiperbolinės funkcijos sh, ch, th, cth.

7) Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos arcsin, arccos ir tt

Pavyzdžiui, funkcija žurnalas 2 (x 3 +sincos 3x) yra elementarus, nes tai funkcijų kompozicija cosx, sinx, x 3 , x 1 + x 2 , logx, x 2 .

Funkcijų sudėtį apibūdinanti išraiška vadinama formule.

Daugiavietei funkcijai galioja toks svarbus rezultatas, gautas A. N. Kolmogorovo ir V. I. Arnoldo 1957 m. ir kuris yra 13-osios Hilberto problemos sprendimas:

Teorema. Bet kokia nuolatinė funkcija n kintamieji gali būti pavaizduoti kaip dviejų kintamųjų tęstinių funkcijų sudėtis.

Funkcijų nustatymo metodai

1. Paprasčiausias būdas nurodyti funkcijas yra lentelės (2.2 lentelė):

2.2 lentelė

Tačiau tokiu būdu galima apibrėžti funkcijas, apibrėžtas baigtinėse aibėse.

Jei begalinėje aibėje (segmente, intervale) apibrėžta funkcija pateikiama baigtiniame taškų skaičiuje, pavyzdžiui, trigonometrinių lentelių, specialiųjų funkcijų lentelių ir pan. pavidalu, tada reikšmėms apskaičiuoti naudojamos interpoliacijos taisyklės. funkcijų tarpiniuose taškuose.

2. Funkciją galima nurodyti kaip formulę, kuri apibūdina funkciją kaip kitų funkcijų sudėtį. Formulė nurodo funkcijos apskaičiavimo seką.

2.28 pavyzdys.

f(x) = nuodėmė(x + Ö x) yra šių funkcijų sudėtis:

g(y) = Ö y; h(tu, v) = u+ v; w(z) = sinz.

3. Funkciją galima nurodyti kaip rekursinė procedūra. Rekursyvinė procedūra nurodo funkciją, apibrėžtą natūraliųjų skaičių aibėje, t.y. f(n), n= 1, 2,... taip: a) nustatykite reikšmę f(1) (arba f(0)); b) vertė f(n+ 1) nustatoma pagal kompoziciją f(n) ir kitas žinomas funkcijas. Paprasčiausias rekursinės procedūros pavyzdys yra skaičiavimas n!: a) 0! = 1; b) ( n + 1)! = n!(n+ 1). Daugelis skaitmeninių metodų procedūrų yra rekursinės procedūros.

4. Yra galimi funkcijos nurodyti būdai, kuriuose nėra funkcijos apskaičiavimo metodo, o tik ją apibūdina. Pavyzdžiui:

f M(x) =

Funkcija f M(x) – būdinga aibės funkcija M.

Taigi, pagal mūsų apibrėžimą, apibrėžkite funkciją f– reiškia ekrano nustatymą X ® Y, t.y. apibrėžti rinkinį X´ Y, todėl kyla klausimas, kaip nurodyti tam tikrą rinkinį. Tačiau funkcijos sąvoką galima apibrėžti ir nenaudojant aibių teorijos kalbos, būtent: funkcija laikoma duota, jei pateikiama skaičiavimo procedūra, kuri, atsižvelgiant į argumento reikšmę, randa atitinkamą funkcijos reikšmę. Taip apibrėžta funkcija vadinama apskaičiuojamas.

2.29 pavyzdys.

Nustatymo procedūra Fibonačio skaičiai, yra pateikta santykio

Fn= Fn- 1 + Fn- 2 (n³ 2) (2.1)

su pradinėmis reikšmėmis F 0 = 1, F 1 = 1.

Formulė (2.1) kartu su pradinėmis reikšmėmis nustato tokią Fibonačio skaičių seriją:

n	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
Fn	1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

Skaičiavimo procedūra funkcijos reikšmei nustatyti pagal pateiktą argumento reikšmę yra ne kas kita algoritmas.

Testo klausimai 2 temai

1. Nurodykite dvejetainio ryšio apibrėžimo būdus.

2. Kurio santykio matricos pagrindinė įstrižainė turi tik vienetus?

3. Kokiems santykiams? r sąlyga visada tenkinama r = r – 1 ?

4. Už kokį požiūrį r sąlyga visada tenkinama r rÍ r.

5. Įveskite lygiavertiškumo ryšius ir dalinę tvarką visų plokštumos tiesių aibėje.

6. Nurodykite funkcijų nurodymo būdus.

7. Kuris iš šių teiginių yra teisingas?

a) Kiekvienas dvejetainis ryšys yra funkcija.

b) Kiekviena funkcija yra dvejetainis ryšys.

3 tema. GRAFIKAI

Pirmasis Eulerio darbas apie grafų teoriją pasirodė 1736 m. Iš pradžių ši teorija buvo siejama su matematiniais galvosūkiais ir žaidimais. Tačiau vėliau grafų teorija buvo pradėta naudoti topologijoje, algebroje ir skaičių teorijoje. Šiais laikais grafų teorija naudojama įvairiose mokslo, technologijų ir praktinės veiklos srityse. Jis naudojamas projektuojant elektros tinklus, planuojant transportavimą, kuriant molekulines grandines. Grafų teorija taip pat naudojama ekonomikoje, psichologijoje, sociologijoje ir biologijoje.