오류 축적의 법칙. 수학 백과사전: 오류 누적이란 무엇이며, 그것이 의미하는 바는 무엇이며 올바르게 작성하는 방법입니다. 전기 기계 장치로 DC 전압 측정

분석화학

UDC 543.08+543.422.7

오류 축적 법칙과 몬테카를로 방법을 이용한 측광 오류 예측

그리고. 골로바노프, EM 다닐리나

전산실험에서는 오차전파법칙과 몬테카를로법을 조합하여 용액조제오차, 공시험오차, 투과율 측정오차가 광도분석의 도량형 특성에 미치는 영향을 조사하였다. 분석적 방법과 통계적 방법을 이용한 오류예측 결과는 서로 일치하는 것으로 나타났다. 몬테카를로 방법의 특징은 측광의 오차 분포 법칙을 예측하는 능력인 것으로 나타났습니다. 일상적인 분석 시나리오의 예를 사용하여 교정 그래프에 따른 분산의 이분산성이 분석 품질에 미치는 영향을 고려합니다.

핵심 단어: 광도 분석, 오차 축적 법칙, 교정 그래프, 도량형 특성, 몬테카를로 방법, 확률론적 모델링.

소개

광도 분석의 오류 예측은 주로 오류 누적 법칙(LOA)의 사용을 기반으로 합니다. 광 흡수 법칙의 선형 형태의 경우: - 1§T = A = b1c, ZNO는 일반적으로 다음 방정식으로 작성됩니다.

8A _ 8C _ 0.434-10^

'8T-

이 경우 투과율 측정의 표준 편차는 광도계의 전체 동적 범위에 걸쳐 일정한 것으로 가정됩니다. 동시에, 기기 오류 외에도 분석의 정확도는 빈 실험의 오류, 기기 스케일 한계 설정 오류, 큐벳 오류, 화학적 요인 및 분석 오류의 영향을 받습니다. 분석 파장을 설정합니다. 이러한 요소는 분석 결과의 주요 오류 원인으로 간주됩니다. 교정 용액 준비의 정확성에서 누적된 오류에 대한 기여는 일반적으로 무시됩니다.

이것으로부터 우리는 방정식 (1)이 단지 하나의 요인의 영향을 고려하기 때문에 중요한 예측력을 가지고 있지 않다는 것을 알 수 있습니다. 또한, 식 (1)은 광흡수 법칙을 테일러 급수로 대략 확장한 결과입니다. 이는 1차 이상의 확장 항을 무시하기 때문에 정확성에 대한 의문을 제기합니다. 분해 잔류물의 수학적 분석은 계산상의 어려움과 관련이 있으며 실제로 화학 분석에 사용되지 않습니다.

이 작업의 목적은 광도 분석에서 오류 누적을 연구 및 예측하고 ZNO의 기능을 보완 및 심화하기 위한 독립적인 방법으로 Monte Carlo 방법(통계 테스트 방법)을 사용할 수 있는 가능성을 연구하는 것입니다.

이론적인 부분

본 연구에서는 교정 함수의 최종 무작위 오류가 광학 밀도 측정의 기기 오류뿐만 아니라 기기 눈금을 0 및 100% 투과율로 설정하는 오류(오차)에 의해 발생한다고 가정합니다.

광범위한 경험) 및 교정 솔루션 준비 오류. 우리는 위에서 언급한 다른 오류 원인을 무시합니다. 그런 다음 Bouguer-Lambert-Beer 법칙의 방정식을 추가 구성에 편리한 형식으로 다시 작성합니다.

Ay = ks" + A

이 방정식에서 c51은 일련의 교정 용액을 얻기 위해 공칭 부피 Vd로 플라스크에 희석된 부분 표본(Va)의 유색 물질의 헤드 표준 용액의 농도이고, Ai는 공시험액의 광학 밀도입니다. . 광도 측정 중에 시험 용액의 광학 밀도는 공 용액을 기준으로 측정되므로, 즉 Ay는 기존 0으로 간주되고 Ay = 0입니다. (이 경우 측정된 광학 밀도 값은 기존 흡광도라고 부를 수 있습니다. ) 방정식 (2)에서 무차원량 c"는 헤드 표준의 농도 단위로 표현되는 작업 용액의 농도를 의미합니다. Ag1 = e1c81이므로 계수 k를 표준의 소멸이라고 부를 것입니다. c" = 1.

Vа, Vd 및 Ау를 확률변수로 가정하고 확률오차 누적 법칙의 연산자를 식 (2)에 적용해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

A 값의 확산에 영향을 미치는 또 다른 독립 확률 변수는 전송 정도입니다.

A = -1§T, (4)

따라서 방정식 (3)의 왼쪽에 있는 분산에 항을 하나 더 추가합니다.

52=(0.434-10)Ч+8Іь +

오차 축적 법칙에 대한 이 최종 기록에서 T, Ay 및 Ud의 절대 표준 편차는 일정하고 Va의 경우 상대 표준 오차는 일정합니다.

몬테카를로 방법을 기반으로 교정 함수의 확률론적 모델을 구축할 때, 확률 변수 T, Ay Ua 및 Vd의 가능한 값 x*가 정규 법칙에 따라 분포된다고 가정합니다. 몬테카를로 원리에 따라 역함수 방법을 사용하여 가능한 값을 계산해 보겠습니다.

엑스; =M(x1) + р-1(г])-вХ|, (6)

여기서 M(x)는 변수의 수학적 기대값(실제 값)이고, ¥(r^)은 라플라스-가우스 함수이고, μ는 간격(0,1)에 균일하게 분포된 확률 변수 R의 가능한 값입니다. ), 즉 난수, 3x - 해당 변수의 표준 편차, \ = 1...t - 독립 확률 변수의 서수. 식 (6)을 식 (4)와 (2)에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

A" = -18Хі=-1810-а + Р-1(г])8т,

여기서 A" = "k-+ x2

방정식 (7)을 사용한 계산은 교정 기능의 별도 구현을 반환합니다. 수학적 기대 M(c")(명목 값 c")에 대한 A"의 의존성. 따라서 항목 (7)은 무작위 함수의 분석적 표현입니다. 이 함수의 섹션은 각 지점에서 난수를 반복적으로 재생하여 얻습니다. 교정 의존성 구현의 샘플 세트는 일반 교정 매개변수를 추정하고 일반 모집단의 속성에 대한 가설을 테스트할 목적으로 통계, 수학적 방법을 사용하여 처리됩니다.

광도계의 도량형 특성을 예측하는 문제에 대해 우리가 고려하고 있는 두 가지 접근 방식(ZNO 기반 및 몬테카를로 방법 기반)이 서로를 보완해야 한다는 것은 분명합니다. 특히, 식 (5)에서는 (7)에 비해 훨씬 적은 양의 계산으로 결과를 얻을 수 있을 뿐만 아니라 순위도 매길 수 있다.

결과 오류에 대한 기여도의 중요성에 따라 무작위 변수의 순위를 매깁니다. 순위를 지정하면 통계 테스트에서 선별 실험을 포기하고 우선적으로 중요하지 않은 변수를 고려 대상에서 제외할 수 있습니다. 방정식 (5)는 전체 분산에 대한 요인의 기여도 특성을 판단하기 위해 수학적으로 분석하기 쉽습니다. 요인의 부분 기여는 A와 무관하거나 광학 밀도가 증가함에 따라 증가하는 것으로 나눌 수 있습니다. 따라서 A의 함수인 sA는 최소값 없이 단조롭게 증가하는 종속성이어야 합니다. 방정식 (5)에 의해 실험 데이터를 근사화할 때 동일한 성격의 부분 기여가 혼합됩니다. 예를 들어 실험 오류는 빈 실험의 오류와 혼합될 수 있습니다. 반면에 몬테카를로 방법을 사용하여 모델을 통계적으로 테스트할 때 오류 분포의 법칙과 같은 교정 그래프의 중요한 속성을 식별할 수 있을 뿐만 아니라 샘플 추정값의 수렴 속도를 평가하여 일반적인 것들. 암을 근거로 한 이러한 분석은 불가능합니다.

계산 실험에 대한 설명

교정 시뮬레이션 모델을 구성할 때, 우리는 일련의 교정 용액이 공칭 용량이 50ml이고 최대 오차가 +0.05ml인 부피 플라스크에 준비되어 있다고 가정합니다. 피펫팅 오류가 > 1%인 일련의 플라스크에 1~17ml의 표준 표준 용액을 추가합니다. 부피 측정 오류는 참고서를 사용하여 평가되었습니다. 분취량은 1ml씩 균일하게 첨가됩니다. 이 시리즈에는 총 17개의 솔루션이 있으며 광학 밀도 범위는 0.1~1.7 단위입니다. 그런 다음 방정식 (2)에서 계수 k = 5입니다. 빈 실험의 오류는 0.01 단위 수준에서 취해집니다. 광학 밀도. 에 따르면 투과율 측정의 오류는 장치 클래스에만 의존하며 범위는 0.1 ~ 0.5% T입니다.

컴퓨터 실험 조건을 실험실 실험과 더 잘 연결하기 위해 SF-26 분광 광도계에서 0.05 M H2S04 존재 하에서 K2Cr2O7 용액의 광학 밀도 측정 재현성에 대한 데이터를 사용했습니다. 저자는 포물선 방정식을 사용하여 A = 0.1...1.5 구간의 실험 데이터를 근사화합니다.

sBOCn*103 =7.9-3.53A + 10.3A2. (8)

우리는 Newton의 최적화 방법을 사용하여 이론식 (5)를 사용한 계산을 경험식 (8)을 사용한 계산에 맞추었습니다. 우리는 방정식 (5)가 s(T) = 0.12%, s(Abi) = 0.007 및 s r(Va) = 1.1%에서의 실험을 만족스럽게 설명한다는 것을 발견했습니다.

이전 단락에 제공된 독립적인 오류 추정치는 피팅 중에 발견된 것과 잘 일치합니다. 식 (7)에 따른 계산을 위해 MS Excel 스프레드시트 형식의 프로그램을 만들었습니다. Excel 프로그램의 가장 중요한 기능은 정규 분포 오류를 생성하기 위해 NORMSINV(RAND()) 표현식을 사용하는 것입니다. 방정식 (6)을 참조하십시오. Excel의 통계 계산에 관한 전문 문헌에는 "난수 생성" 유틸리티가 자세히 설명되어 있으며, 많은 경우 NORMSINV(RAND())와 같은 함수로 대체하는 것이 좋습니다. 이 대체 방법은 몬테카를로 시뮬레이션을 위한 자신만의 프로그램을 만들 때 특히 편리합니다.

결과 및 논의

통계 테스트를 진행하기 전에 방정식 (5)의 왼쪽 항이 광학 밀도의 전체 분산에 미치는 영향을 추정해 보겠습니다. 이를 위해 각 항은 총 분산으로 정규화됩니다. s(T) = 0.12%, s(Aw) = 0.007, Sr(Va)=1.1% 및 s(Vfi) = 0.05로 계산을 수행했습니다. 계산 결과는 그림 1에 나와 있습니다. 1. 측정 오류 Vfl의 전체 분산에 대한 기여는 무시될 수 있음을 알 수 있습니다.

솔루션 준비 오류에 영향을 미치는 다른 값의 기여도인 Va

광학 밀도 범위 0.8__1.2에서 지배적입니다. 그러나 이 결론은 일반적인 것이 아니다

자연적으로 s(T) = 0.5%인 광도계로 측정할 때 계산에 따른 교정 오류는 주로 Ay의 확산과 T의 확산에 의해 결정됩니다. 그림 2는 ZNO(실선)와 몬테카를로 방법(기호)을 기반으로 예측된 광학 밀도 측정의 상대 오차를 비교합니다. 통계 테스트에서 곡선은

교정 의존성의 100가지 실현(1700 광학 밀도 값)으로부터 오류가 재구성되었습니다. 우리는 두 예측이 서로 일치한다는 것을 알 수 있습니다. 점은 이론적인 곡선 주위에 고르게 그룹화됩니다. 그러나 이렇게 인상적인 통계 자료가 있어도 완전한 수렴은 관찰되지 않습니다. 어쨌든 산란을 통해 암의 대략적인 성격을 식별할 수는 없습니다. 소개를 참조하세요.

0 0.4 0.8 1.2 1.6

쌀. 1. 분산 A에 대한 방정식 (5) 항의 가중 기여: 1 - Ay의 경우; 2 - Ua의 경우; 3 - T의 경우; 4 -

쌀. 2. 교정 그래프의 오차 곡선

수학적 통계 이론에서 확률 변수의 수학적 기대값의 간격 추정을 수행할 때 이 양에 대한 분포 법칙을 알면 추정의 신뢰도가 높아진다는 것이 알려져 있습니다. 또한 정규분포의 경우 추정이 가장 효율적이다. 따라서 교정 그래프의 오차 분포 법칙을 연구하는 것은 중요한 작업입니다. 이러한 연구에서는 우선 그래프의 개별 지점에서 광학 밀도 산란의 정규성에 대한 가설이 테스트됩니다.

주요 가설을 테스트하는 간단한 방법은 경험적 분포의 왜도 계수(a)와 첨도 계수(e)를 계산하고 기준 값과 비교하는 것입니다. 표본 데이터의 양이 증가할수록 통계적 결론의 신뢰성이 높아집니다. 그림에서. 그림 3은 교정 함수의 17개 섹션에 대한 계수 시퀀스를 보여줍니다. 계수는 각 지점에서 100번의 테스트 결과를 기반으로 계산됩니다. 이 예에서 계수의 임계값은 |a| = 0.72 및 |e| = 0.23.

그림에서. 3 우리는 일반적으로 그래프 지점에서 값의 분산이 그렇지 않다는 결론을 내릴 수 있습니다.

계수 시퀀스에는 선호되는 방향이 거의 없기 때문에 정규성 가설과 모순됩니다. 계수는 영점선(점선으로 표시) 근처에 무작위로 국한됩니다. 알려진 바와 같이 정규 분포의 경우 왜도 계수와 첨도 계수의 수학적 기대값은 0입니다. 모든 섹션에서 비대칭 계수가 임계값보다 상당히 낮다는 사실로 판단하면 교정 오류 분포의 대칭성에 대해 자신있게 말할 수 있습니다. 정규분포곡선에 비해 오차분포가 약간 기울어져 있을 가능성이 있습니다. 이 결론은 그림 1에서 관찰된 것으로부터 도출됩니다. 작은 폴로 셔츠 3개-

쌀. 3. 교정 그래프 지점의 첨도 계수(1)와 비대칭 계수(2)

첨도 계수 분산 중심선의 상주 이동. 따라서 몬테카를로 방법(2)을 이용한 광도 분석의 일반화된 교정 함수 모델을 연구함으로써 교정 오류의 분포가 정규에 가깝다는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 스튜던트 계수를 사용한 광도 분석 결과에 대한 신뢰 구간 계산은 상당히 타당하다고 간주될 수 있습니다.

확률론적 모델링을 수행할 때 샘플 오류 곡선(그림 2 참조)이 곡선의 수학적 기대값에 수렴하는 속도를 평가했습니다. 오류 곡선의 수학적 기대치를 위해 ZNO에서 계산된 곡선을 사용합니다. 이론 곡선에 대한 다양한 교정 구현 횟수 n을 사용한 통계 테스트 결과의 근접성은 불확실성 계수 1 - R2에 의해 평가됩니다. 이 계수는 이론적으로 설명할 수 없는 표본의 변동 비율을 나타냅니다. 우리는 교정 함수의 실현 횟수에 대한 불확실성 계수의 의존성이 경험식 I - K2 = -2.3n-1 + 1.6n~/a -0.1로 설명될 수 있음을 확인했습니다. 방정식으로부터 우리는 n = 213에서 이론적 오류 곡선과 경험적 오류 곡선이 거의 완전히 일치할 것으로 예상해야 한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 광도 분석 오류에 대한 일관된 평가는 상당히 큰 통계 자료에서만 얻을 수 있습니다.

보정 그래프의 회귀 분석 결과를 예측하고 그래프를 사용하여 광도계 용액의 농도를 결정하는 통계 테스트 방법의 기능을 고려해 보겠습니다. 이를 위해 일상 분석의 측정 상황을 시나리오로 선택하겠습니다. 그래프는 일련의 표준 용액의 광학 밀도에 대한 단일 측정을 사용하여 구성됩니다. 분석된 용액의 농도는 3~4개의 병렬 측정 결과를 바탕으로 그래프에서 알아냅니다. 회귀 모델을 선택할 때 교정 그래프의 여러 지점에서 광학 밀도의 확산이 동일하지 않다는 점을 고려해야 합니다(식(8) 참조). 이분산형 분산의 경우 WLS(Weighted Least Square) 방식을 사용하는 것이 좋습니다. 그러나 문헌에서 우리는 산포의 등분산성을 요구하는 적용 조건 중 하나인 고전적인 OLS 방식이 덜 선호되는 이유에 대한 명확한 표시를 찾지 못했습니다. 이러한 이유는 OLS의 두 가지 변형(클래식 및 가중치)을 사용하여 일상적인 분석 시나리오에 따라 몬테카를로 방법으로 얻은 동일한 통계 자료를 처리함으로써 확립될 수 있습니다.

단 하나의 교정 함수 구현에 대한 회귀 분석 결과, 다음과 같은 최소 제곱 추정치가 얻어졌습니다: k = 4.979, Bk = 0.023. VMNC의 동일한 특성을 평가할 때 Bq = 0.016으로 k = 5.000을 얻습니다. 회귀분석은 17개의 표준 솔루션을 사용하여 재구성되었습니다. 교정 시리즈의 농도는 산술 수열에 따라 증가했으며 광학 밀도는 0.1에서 1.7 단위 범위에서 동일하게 균일하게 변경되었습니다. VMNC의 경우 식 (5)에 따라 계산된 분산을 이용하여 교정 그래프 점의 통계적 가중치를 구하였다.

두 방법에 대한 추정치의 분산은 1% 유의 수준에서 Fisher의 검정에 따라 통계적으로 구별할 수 없습니다. 그러나 동일한 유의 수준에서 k의 OLS 추정치는 1;-기준에 따라 VMLS 추정치와 다릅니다. 교정 그래프 계수의 OLS 추정치는 실제 값 M(k) = 5.000에 비해 이동하며, 이는 5% 유의 수준에서의 테스트로 판단됩니다. 가중 OLS는 체계적인 오류가 포함되지 않은 추정치를 제공합니다.

이제 이분산성을 무시하는 것이 화학 분석의 품질에 어떤 영향을 미칠 수 있는지 알아 보겠습니다. 표는 농도가 다른 유색 물질의 대조 샘플 17개를 분석한 시뮬레이션 실험 결과를 보여줍니다. 또한 각 분석 시리즈에는 네 가지 솔루션이 포함되었습니다. 각 샘플에 대해 4번의 병렬 측정이 수행되었습니다. 결과를 처리하기 위해 두 가지 다른 교정 종속성이 사용되었습니다. 하나는 간단한 최소 제곱법으로 복원되었고 두 번째는 가중치를 적용하여 복원되었습니다. 우리는 대조 용액이 교정 용액과 동일한 방식으로 분석을 위해 준비되었다고 믿습니다.

표에서 우리는 VMNC의 경우와 MNC의 경우 모두 제어 용액 농도의 실제 값이 신뢰 구간을 벗어나지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 분석 결과에 심각한 체계적 오류가 포함되어 있지 않습니다. 두 방법의 최대 오차는 통계적으로 다르지 않습니다. 즉, 두 추정값 모두

농도 결정 결과를 비교하는 것은 동일한 효과를 갖습니다. 에서-

두 가지 방법을 사용하여 제어 솔루션을 사용하면 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

일상적인 분석에서는 단순 비가중 OLS 설계를 사용하는 것이 상당히 타당합니다. 연구 과제가 단지 어금니 소멸의 결정인 경우에는 VMNC를 사용하는 것이 좋습니다. 반면에, 우리의 결론은 본질적으로 통계적이라는 점을 명심해야 합니다. 병렬 결정 수가 증가함에 따라 실제 관점에서 시스템 오류가 중요하지 않더라도 OLS 농도 추정치의 편향되지 않음에 대한 가설이 확인되지 않을 가능성이 높습니다.

고전적 최소 제곱의 간단한 계획을 기반으로 우리가 발견한 상당히 높은 분석 품질은 광학 밀도 범위 0.1h - 1.7에서 매우 강한 이분산성이 관찰된다는 사실을 고려하면 특히 예상치 못한 것처럼 보입니다. 데이터 이질성의 정도는 가중치 함수로 판단할 수 있는데, 이는 다항식 w = 0.057A2 - 0.193A + 0.173으로 잘 근사됩니다. 이 방정식을 통해 교정의 극한 지점에서 통계적 가중치가 20배 이상 차이가 나는 것으로 나타났습니다. 그러나 그래프의 17개 지점을 사용하여 교정 기능이 복원된 반면, 분석 중에는 4개의 병렬 결정만 수행되었다는 사실에 주목해 보겠습니다. 따라서 LLS와 VMLS 교정 함수 간에 발견된 유의미한 차이와 이러한 함수를 사용한 분석 결과의 미미한 차이는 통계적 결론을 구성할 때 사용할 수 있는 자유도의 수가 크게 다른 것으로 설명할 수 있습니다.

결론

1. Excel 스프레드시트 프로세서를 사용한 Monte Carlo 방법과 오류 누적 법칙을 기반으로 광도 분석에서 확률론적 모델링에 대한 새로운 접근 방식이 제안되었습니다.

2. 100번의 교정 의존성 구현을 기반으로 분석적 방법과 통계적 방법에 의한 오류 예측이 상호 일관성이 있음을 보여줍니다.

3. 보정 그래프에 따른 비대칭 계수와 첨도를 연구했습니다. 교정 오류의 변화는 정규에 가까운 분포 법칙을 따르는 것으로 나타났습니다.

4. 교정 중 광학 밀도 분산의 이분산성이 분석 품질에 미치는 영향을 고려합니다. 일상적인 분석에서는 단순 비가중 OLS 방식을 사용해도 분석 결과의 정확도가 눈에 띄게 감소하지 않는 것으로 나타났습니다.

문학

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번호 s", s", 발견됨(P = 95%)

해당 사항 없음 MNK 제공 VMNK

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7 0.140 0.140±0.006 0.139±0.006

8 0.160 0.163±0.003 0.162±0.003

9 0.180 0.181±0.006 0.180±0.006

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13 0.260 0.262±0.008 0.261±0.008

14 0.280 0.281±0.010 0.280±0.010

15 0.300 0.307±0.015 0.306±0.015

16 0.320 0.325±0.013 0.323±0.013

17 0.340 0.340±0.026 0.339±0.026

4. Pravdin, P.V. 유리로 만든 실험실 장비 및 장비 / P.V. Pravdin. -M .: 화학, 1988.-336 p.

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오류누적법칙과 몬테카를로 방법을 이용한 측광 오류 예측

컴퓨팅 실험 중 오차 축적 법칙과 몬테카를로 방법을 결합하여 해 도출 오류, 공백 실험 오류 및 광전송 측정 오류가 광도 분석의 도량형 성능에 미치는 영향을 연구했습니다. 분석적 방법과 통계적 방법을 통한 예측 결과는 서로 일치하는 것으로 나타났습니다. 몬테카를로 방법의 독특한 특징은 측광법의 오차 축적 법칙을 예측할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 일상적인 분석 버전에서는 분석 품질에 대한 교정 곡선을 따른 분산의 이분산성이 미치는 영향이 연구되었습니다.

키워드: 광도 분석, 오차 축적 법칙, 보정 곡선, 도량형 성능, 몬테카를로 방법, 확률론적 모델링.

골로바노프 블라디미르 이바노비치 - Dr. SC. (화학), 교수, South Ural State University 분석 화학 학과장.

Golovanov Vladimir Ivanovich - 화학 과학 박사, South Ural State University 분석 화학과 교수, 교수.

이메일: [이메일 보호됨]

다닐리나 엘레나 이바노브나 - 박사(화학), 부교수, 사우스 우랄 주립대학교 분석화학과.

Danilina Elena Ivanovna - 화학 과학 후보자, South Ural State University 분석 화학과 부교수.

"오류 누적"이란 무엇입니까? 이 단어의 철자를 올바르게 쓰는 방법. 개념과 해석.

오류의 누적 대수 방정식을 수치적으로 풀 때 - 결과 선형 대수 해의 정확도에 대한 계산 프로세스의 개별 단계에서 수행된 반올림의 총 영향입니다. 시스템. 선형 대수의 수치적 방법에서 반올림 오류의 전체 영향을 선험적으로 추정하는 가장 일반적인 방법은 소위 체계입니다. 역분석. 선형 대수학 시스템을 해결하는 데 적용됩니다. 방정식의 역분석 방식은 다음과 같다. 직접법으로 계산된 해는 (1)을 만족하지 못하지만 섭동계의 정확한 해로 표현될 수 있으며, 직접법의 품질은 다음의 규범에 대해 주어질 수 있는 최선의 선험적 추정에 의해 평가됩니다. 행렬과 벡터. 그러한 "최고"와 소위. 각각 방법 M에 대한 등가 섭동의 행렬과 벡터입니다. 과 에 대한 추정이 가능하다면 이론적으로 근사해의 오류는 부등식으로 추정할 수 있습니다. 다음은 행렬 A의 조건수와 행렬 노름입니다. (3)의 는 벡터 노름에 종속되는 것으로 가정하지만 실제로는 에 대한 추정값이 거의 알려져 있지 않으며 (2)의 주요 의미는 서로 다른 방법의 품질을 비교할 수 있는 능력입니다. 다음은 직교 변환 및 부동 소수점 산술을 사용하는 방법의 행렬에 대한 몇 가지 일반적인 추정의 형태입니다(시스템 (1)에서 A와 b는 실수로 간주됩니다). 이 추정에서 - 산술의 상대 정확도입니다. 컴퓨터에서의 연산은 유클리드 행렬 표준이고, f(n)은 형식의 함수입니다. 여기서 n은 시스템의 차수입니다. 표시기 k의 상수 C의 정확한 값은 반올림 방법, 스칼라 곱 누적 연산 사용 등과 같은 계산 과정의 세부 사항에 의해 결정됩니다. 대부분 k = 1 또는 3/2입니다. . Gaussian 방식의 경우 추정값(4)의 오른쪽에는 초기 수준 대비 Ana 행렬의 요소가 중간 단계에서 성장할 가능성을 반영하는 요소도 포함됩니다(이러한 성장은 없음). 직교 방법에서). 값을 줄이기 위해 다양한 방법을 사용하여 선행 요소를 선택하여 행렬 요소가 증가하는 것을 방지합니다. 양의 정부호 행렬 A의 경우 일반적으로 사용되는 제곱근 방법의 경우 가장 강력한 추정값을 얻습니다. 직접 방법(Jordan, Bordering, Conjugate Gradients)이 있지만 역분석 기법을 직접 적용하지 못하는 경우가 있습니다. 효과적인 추정이 가능합니다. 이러한 경우 N.을 연구할 때 다른 고려 사항도 적용됩니다(- 참조). 문학: 기븐스 W., "TJ. S. 원자력위원회. 답변합니다. Ser. OR NL", 1954, No. 1574; Wilkinson J. H., 대수 과정의 반올림 오류, L., 1963; 선형 대수의 직접 방법에 대한 Wilkinson J. 안정성, M., 1969; 그의, 선형 대수의 전산 기초, M. , 1977; Peters G., Wilkinson J. H., "Communs Assoc. 계산. Math.", 1975년, v. 18, No. 1, p. 20-24; Crowden C. G., "J. 인스타그램 Math, and Appl.", 1974, v. 14, No. 2, p. 131-40; Reid J. K., 책: Large Sparse Set of Linear Equations, L.-N.Y., 1971, p. 231 - 254; Ikramov Kh.D., “J. 계산. 수학. 그리고 수학. 물리학", 1978년, vol. 18, no. 3, pp. 531-45. Kh. D. Ikramov. 순차적으로 수행된 다수의 연산 결과로 솔루션이 생성되는 문제를 해결할 때 반올림 또는 방법 오류 문제가 발생합니다. 중요 이러한 문제 중 일부는 선형 또는 비선형 대수 문제의 해결과 관련됩니다(위 참조). 차례로, 대수 문제 중에서 가장 일반적인 것은 미분 방정식의 근사에서 발생하는 문제입니다. 이러한 문제는 특정 특징을 갖습니다. 특정 특징 문제 해결 방법은 계산 오류의 원리와 동일하거나 더 간단한 법칙에 따라 발생합니다. 문제 해결 방법을 평가할 때 방법의 원리를 연구합니다. 계산 오류의 누적을 연구할 때 두 가지 접근 방식이 있습니다. 첫 번째 경우에는 각 단계의 계산 오류가 가장 불리한 방식으로 도입되어 오류에 대한 주요 추정을 받는 것으로 간주되며, 두 번째 경우에는 이러한 오류가 특정 분포 법칙에 따라 무작위로 간주됩니다. . 문제의 성격은 해결되는 문제, 해결 방법 및 언뜻 중요하지 않은 기타 여러 요소에 따라 달라집니다. 여기에는 컴퓨터에 숫자를 기록하는 형식(고정 소수점 또는 부동 소수점), 산술이 수행되는 순서가 포함됩니다. 예를 들어 N개의 숫자의 합을 계산하는 문제에서는 연산이 수행되는 순서가 중요합니다. t개의 이진수를 사용하여 부동 소수점 기계에서 계산을 수행하고 모든 숫자가 한계 내에 있다고 가정합니다. 반복 공식을 사용하여 직접 계산할 때 주요 오류 추정치는 2-tN 정도입니다. 다르게 할 수 있습니다 (참조). 쌍별 합을 계산할 때(N=2l+1이 홀수인 경우) 가정합니다. 다음으로 쌍별 합이 계산됩니다. 쌍별 합을 형성하는 단계 후에 순서 오류의 주요 추정치는 공식을 사용하여 얻습니다. 일반적인 문제에서 수량 a m은 공식, 특히 반복 공식을 사용하여 계산되거나 다음과 같습니다. 컴퓨터의 RAM에 순차적으로 입력됩니다. 이러한 경우 설명된 기술을 사용하면 컴퓨터 메모리 부하가 증가합니다. 그러나 RAM 부하가 -log2N 셀을 초과하지 않도록 계산 순서를 구성하는 것은 가능합니다. 미분방정식을 수치적으로 풀 때 다음과 같은 경우가 가능합니다. 그리드 단계 h가 0에 가까워질수록 오류는 다음과 같이 커집니다. 이러한 문제 해결 방법은 불안정한 것으로 분류됩니다. 그들의 사용은 산발적입니다. 성격. 안정적인 방법은 오류가 증가하는 특징이 있습니다. 이러한 방법의 오류는 일반적으로 다음과 같이 평가됩니다. 반올림이나 방법 오류로 인해 발생하는 외란에 관한 방정식을 구성한 다음 이 방정식의 해를 검토합니다(참조). 더 복잡한 경우에는 미분 방정식을 풀 때 계산 오류 누적을 연구하는 문제와 관련하여 개발된 등가 섭동 방법(참조, 참조)이 사용됩니다. 반올림이 포함된 특정 계산 방식을 사용하는 계산은 반올림이 없는 계산으로 간주되지만 교란 계수가 있는 방정식의 경우입니다. 원래 그리드 방정식의 해와 섭동된 계수가 있는 방정식의 해를 비교하여 오류 추정치를 얻습니다. 가능하다면 q와 A(h)의 값이 더 낮은 방법을 선택하는 데 상당한 주의가 기울여집니다. 문제를 해결하기 위한 고정된 방법을 사용하면 일반적으로 계산 공식을 다음과 같은 형식으로 변환할 수 있습니다( , 참조). 이는 경우에 따라 단계 수가 매우 큰 일반 미분 방정식의 경우 특히 중요합니다. 값(h)은 적분 간격이 증가함에 따라 크게 증가할 수 있습니다. 따라서 가능하면 A(h) 값이 더 낮은 방법을 사용하려고 합니다. 코시 문제의 경우, 후속 단계와 관련하여 특정 단계마다 반올림 오차가 발생하면 초기 조건의 오차로 간주할 수 있습니다. 따라서 극한(h)은 변분방정식에 의해 정의된 미분방정식의 근접해의 발산 특성에 따라 달라집니다. 상미분 방정식의 수치 해법의 경우 변형 방정식은 다음과 같은 형식을 가지므로 구간 (x 0 , X)에 대한 문제를 풀 때 주요 상수 A(h)를 기대할 수 없습니다. 계산 오류에 대한 추정이 훨씬 더 좋습니다. 따라서 이 문제를 해결할 때 1단계 방법은 Runge-Kutta 유형의 방법 또는 Adams 유형의 방법(참조)의 가장 일반적으로 사용되는 방법입니다. 여기서 방법은 주로 다음을 해결하여 결정됩니다. 변형의 방정식. 여러 가지 방법의 경우 방법 오류의 주요 항은 유사한 법칙에 따라 누적되는 반면, 계산 오류는 훨씬 빠르게 누적됩니다(참조. ). 실습 영역 그러한 방법의 적용 가능성은 상당히 좁은 것으로 나타났습니다. 계산 오류의 누적은 그리드 문제를 해결하는 데 사용되는 방법에 따라 크게 달라집니다. 예를 들어, 슈팅 및 스위핑 방법을 사용하여 상미분방정식에 해당하는 그리드 경계값 문제를 풀 때 선형 문제는 문자 A(h)h-q를 가지며, 여기서 q는 동일합니다. 이러한 방법에 대한 A(h)의 값은 너무 다양하여 특정 상황에서는 방법 중 하나가 적용되지 않을 수 있습니다. 라플라스 방정식의 그리드 경계값 문제를 슈팅법으로 풀면 문제는 c 1/h, c>1의 문자를 가지며, 스윕법의 경우 Ah-q이다. 반올림 오류 연구에 대한 확률론적 접근 방식을 사용하면 어떤 경우에는 선험적으로 일종의 오류 분포 법칙을 가정하고(참조), 다른 경우에는 고려 중인 문제의 공간에 대한 측정을 도입하고 이 측정을 기반으로 반올림 오류 분포의 법칙을 얻습니다( 참조). 문제 해결에 있어 적당한 정확도를 사용하면 계산 오류의 축적을 평가하는 주요 및 확률론적 접근 방식은 일반적으로 질적으로 동일한 결과를 제공합니다. 두 경우 모두 오류가 허용 가능한 한도 내에서 발생하거나 두 경우 모두 오류가 해당 한도를 초과합니다. 문학: Voevodin V.V., 선형 대수학의 계산 기초, M., 1977; Shura-Bura M.R., "응용 수학과 역학", 1952, vol.16, no.5, p. 575-88; Bakhvalov N. S., 수치 방법, 2판, M., 1975; Wilkinson J. X., 대수적 고유값 문제, trans. 영어에서, M.. 1970; Bakhvalov N. S., 책: 계산 방법 및 프로그래밍, v. 1, M., 1962, 69-79페이지; Godunov S.K., Ryabenkiy V.S., 차이 계획, 2판, M., 1977; Bakhvalov N. S., "Doc. 소련 과학 아카데미", 1955, v. 104, no. 5, p. 683-86; 그의, "J. 계산, 수학과 수학 물리학", 1964; 4권 3호, p. 399-404; Lapshin E.A., ibid., 1971, vol.11, no.6, p.1425-36. N. S. Bakhvalov.

소개

아무리 신중하게 수행하더라도 모든 측정에는 오류(오류)가 수반됩니다. 즉, 측정된 값과 실제 값의 편차가 발생합니다. 이는 측정 프로세스 중에 외부 환경의 상태, 측정 장치, 측정 대상, 수행자의 주의 등 조건이 지속적으로 변한다는 사실로 설명됩니다. 따라서 수량을 측정할 때 항상 대략적인 값이 얻어지며 그 정확성을 평가해야 합니다. 또 다른 작업이 발생합니다. 주어진 정확도로 측정을 수행하기 위해 장치, 조건 및 방법을 선택하는 것입니다. 오류 이론은 오류 분포 법칙을 연구하고 측정 정확도에 대한 평가 기준 및 허용 오차, 결정되는 수량의 가장 가능성 있는 값을 결정하는 방법 및 예상 정확도를 미리 계산하는 규칙을 설정하는 이러한 문제를 해결하는 데 도움이 됩니다.

12.1. 측정 및 분류

측정은 측정된 양을 측정 단위로 사용되는 다른 알려진 양과 비교하는 프로세스입니다.
우리가 다루는 모든 수량은 측정된 수량과 계산된 수량으로 구분됩니다. 정확히 잰수량은 동종 측정 단위와 비교하여 찾은 대략적인 값입니다. 따라서 측량 테이프를 주어진 방향으로 순차적으로 놓고 놓인 횟수를 세어 단면 길이의 대략적인 값을 구합니다.
계획된수량은 기능적으로 관련된 다른 측정 수량으로부터 결정되는 값입니다. 예를 들어, 직사각형 플롯의 면적은 측정된 길이와 너비의 곱입니다.
오류(총 오류)를 감지하고 결과의 정확도를 높이기 위해 동일한 값을 여러 번 측정합니다. 정확도에 따라 이러한 측정은 동일함과 동일하지 않음으로 구분됩니다. 동일한 전류 - 동일한 장치(또는 동일한 정확도 등급의 다른 장치), 동일한 방법 및 단계 수, 동일한 조건에서 수행된 동일한 양을 측정한 동질적인 다중 결과입니다. 같지 않은 - 동일한 정확도 조건이 충족되지 않을 때 수행되는 측정입니다.
측정 결과를 수학적으로 처리할 때 측정된 값의 개수가 매우 중요합니다. 예를 들어, 삼각형의 각 각도 값을 얻으려면 그 중 두 개만 측정하면 충분합니다. 필요한 수량. 일반적으로 지형-측지 문제를 해결하려면 문제에 대한 해결책을 제공하는 특정 최소 수의 수량을 측정해야 합니다. 그들 불리는 필요한 수량의 수 또는 측정.그러나 측정 품질을 판단하고 정확성을 확인하고 결과의 정확성을 높이기 위해 삼각형의 세 번째 각도도 측정됩니다. 과잉 . 중복 수량 (케이 )는 측정된 모든 수량의 수( 피 ) 및 필요한 수량의 수 ( 티 ):

k = n - 티

지형 및 측지 실습에서는 중복 측정량이 필수입니다. 이를 통해 측정 및 계산의 오류(부정확성)를 감지하고 결정된 값의 정확도를 높일 수 있습니다.

신체적 성능별 측정은 직접, 간접, 원격으로 이루어질 수 있습니다.
직접 측정은 가장 간단하고 역사적으로 최초의 측정 유형입니다. 예를 들어 측량사의 줄자 또는 줄자를 사용하여 선 길이를 측정합니다.
간접 측정은 추구하는 양과 직접 측정된 양 사이의 특정 수학적 관계의 사용을 기반으로 합니다. 예를 들어, 바닥에 있는 직사각형의 면적은 변의 길이를 측정하여 결정됩니다.
원격 측정은 다양한 물리적 프로세스 및 현상의 사용을 기반으로 하며 일반적으로 광거리 측정기, 전자 토탈 스테이션, 광경위석 등 현대 기술 수단의 사용과 관련됩니다.

지형 및 측지 생산에 사용되는 측정 장비는 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 세 가지 주요 수업 :

고정밀(정밀);
정확한;
인위적인.

12.2. 측정 오류

같은 양을 여러 번 측정할 때, 연주자가 얼마나 많은 경험을 가지고 있는지, 어떤 고정밀 도구를 사용하는지에 관계없이 절댓값과 부호 모두에서 매번 약간씩 다른 결과가 얻어집니다.
오류는 총체적, 체계적, 무작위로 구분됩니다.
모습 무례한 오류( 그리워하다 )은 측정 작업 중 심각한 오류와 관련이 있습니다. 이러한 오류는 측정 제어의 결과로 쉽게 식별되고 제거됩니다.
체계적인 오류 엄격하게 정의된 법칙에 따라 각 측정 결과에 포함됩니다. 이는 측정 장비 설계의 영향, 스케일 교정 오류, 마모 등으로 인해 발생합니다. ( 도구 오류) 또는 측정 조건 및 변화 패턴, 일부 공식의 근사치 등을 과소평가하여 발생합니다. ( 방법론적 오류). 체계적인 오류는 다음과 같이 나뉩니다. 영구적인 (부호와 크기가 일정함) 및 변수 (특정 법칙에 따라 한 차원에서 다른 차원으로 값을 변경함)
이러한 오류는 사전에 결정 가능하며 적절한 수정을 도입하여 필요한 최소 수준으로 줄일 수 있습니다.
예를 들어, 수직 거리 결정의 정확성에 대한 지구의 곡률의 영향, 광 거리 측정기 또는 전자 토탈 스테이션을 사용하여 선 길이를 결정할 때 기온 및 대기압의 영향을 미리 고려할 수 있습니다. 대기 굴절 등을 미리 고려할 수 있습니다.
총 오류를 방지하고 체계적인 오류를 제거하면 측정 품질만 결정됩니다. 무작위 오류.이러한 오류는 제거할 수 없지만 오류의 동작에는 대수의 법칙이 적용됩니다. 분석, 제어 및 필요한 최소 수준으로 줄일 수 있습니다.
측정 결과에 대한 무작위 오류의 영향을 줄이기 위해 다중 측정에 의존하고, 작업 조건을 개선하고, 보다 발전된 장비 및 측정 방법을 선택하고, 신중한 생산을 수행합니다.
동일 정밀도 측정의 일련의 무작위 오류를 비교함으로써 다음과 같은 속성을 가지고 있음을 알 수 있습니다.
a) 주어진 유형 및 측정 조건에 대해 무작위 오류는 절대값의 특정 한도를 초과할 수 없습니다.
b) 절대값이 작은 오류가 큰 오류보다 더 자주 나타납니다.
c) 양의 오류는 절대값이 동일한 음의 오류만큼 자주 나타납니다.
d) 동일한 양의 무작위 오류의 산술 평균은 측정 횟수가 무제한으로 증가함에 따라 0이 되는 경향이 있습니다.
지정된 속성에 해당하는 오류 분포를 정상이라고 합니다(그림 12.1).

쌀. 12.1. 가우스 랜덤 오차 벨 곡선

특정 수량을 측정한 결과의 차이( 엘) 그리고 그 진정한 의미( 엑스) ~라고 불리는 절대(참) 오류 .

Δ = l - X

가장 정밀한 기기와 최첨단 측정 기술을 사용해도 측정값의 참값(절대적으로 정확한)을 얻는 것은 불가능합니다. 개별적인 경우에만 수량의 이론적 값을 알 수 있습니다. 오류가 누적되면 측정 결과와 실제 값 사이에 불일치가 발생합니다.
실제로 측정된(또는 계산된) 수량의 합과 이론값의 차이를 다음과 같이 부릅니다. 잔여. 예를 들어 평면 삼각형의 이론적인 각도 합은 180°이고 측정된 각도의 합은 180°02"입니다. 그러면 측정된 각도 합의 오류는 +0°02"가 됩니다. 이 오류는 삼각형의 각도 불일치입니다.
절대 오류는 수행된 작업의 정확성을 나타내는 완전한 지표가 아닙니다. 예를 들어, 실제 길이가 1000인 특정 라인의 경우 중, 0.5의 오차로 측량 테이프로 측정 중, 세그먼트 길이는 200입니다. 중- 0.2의 오류가 있음 중, 그러면 첫 번째 측정의 절대 오차가 두 번째 측정보다 크다는 사실에도 불구하고 첫 번째 측정은 여전히 두 배 높은 정확도로 수행되었습니다. 그러므로 개념을 도입한다. 상대적인 오류:

측정값의 절대오차 비율Δ 측정값에엘~라고 불리는 상대오차.

상대 오차는 항상 분자가 1인 분수(분할 분수)로 표현됩니다. 따라서 위의 예에서 첫 번째 측정의 상대 오차는 다음과 같습니다.

그리고 두 번째

12.3 한 수량의 균등한 측정 결과에 대한 수학적 처리

실제 값을 가진 수량을 보자 엑스똑같이 정확하게 측정 N 시간과 결과가 얻어졌습니다. 엘 1 , 엘 2 , 엘 3 , … 엘나 (나 = 1, 2, 3, … N), 이를 종종 일련의 차원이라고 합니다. 측정된 양 중 가장 신뢰할 수 있는 값을 찾는 것이 필요하며, 이를 아마도 , 그리고 결과의 정확성을 평가합니다.
오류 이론에서는 동일하게 정확한 여러 측정 결과에 대한 가장 가능성 있는 값은 다음과 같이 간주됩니다. 평균 , 즉.

(12.1)

체계적인 오류가 없으면 측정 횟수에 따른 산술 평균이 무한정 증가합니다. 측정된 양의 참값에 가까워지는 경향이 있습니다.
여러 측정의 정확도 평가 결과에 대한 더 큰 오류의 영향을 강화하려면 다음을 사용하십시오. 제곱평균제곱근 오류 (UPC). 측정된 양의 실제 값이 알려져 있고 체계적 오류가 무시할 수 있는 경우 평균 제곱 오류( 중 ) 동일 정밀도 측정의 별도 결과는 가우스 공식에 의해 결정됩니다.

중 = (12.2) ,

어디 Δ 나 - 진짜 오류.

측지학 실습에서 측정된 양의 실제 값은 대부분의 경우 사전에 알려지지 않았습니다. 그런 다음 개별 측정 결과의 제곱평균제곱근 오차는 가장 가능성이 높은 오차로부터 계산됩니다( δ ) 개별 측정 결과 ( 엘 나 ); Bessel의 공식에 따르면:

중 = (12.3)

가장 가능성이 높은 오류는 어디에 있습니까( δ 나 )는 산술 평균으로부터 측정 결과의 편차로 정의됩니다.

δ 나 = 내가 나 - µ

종종 수량의 가장 가능성이 높은 값 옆에는 평균 제곱근 오차( 중)(예: 70°05" ± 1"). 이는 각도의 정확한 값이 지정된 값보다 1인치 더 크거나 작을 수 있음을 의미합니다. 그러나 이 분은 각도에 더하거나 뺄 수 없습니다. 이는 주어진 측정 조건에서 결과를 얻는 정확도만을 나타냅니다.

가우스 정규 분포 곡선을 분석하면 동일한 양의 측정 횟수가 충분히 많으면 무작위 측정 오류가 다음과 같을 수 있음을 알 수 있습니다.

평균 제곱보다 큼 중 100개 중 32개;
평균제곱의 2배 이상 2중 100번 중 5번;
평균 제곱의 3배 이상 3중 1000번 중 3번.

무작위 측정 오류가 평균 제곱근의 3배보다 클 가능성은 거의 없습니다. 평균 제곱 오차의 3배가 최대값으로 간주됩니다.

Δ 이전 = 3m

최대 오류는 주어진 측정 조건에서 발생할 가능성이 없는 임의 오류의 값입니다.

평균 제곱 오차는 다음과 같습니다.

Δpre = 2.5m ,

약 1%의 오류 확률이 있습니다.

측정값 합계의 평균 제곱 오차

인수의 대수합의 평균 제곱 오류의 제곱은 항의 평균 제곱 오류의 제곱의 합과 같습니다.

중 에스 2 = m 1 2+m 2 2+m 3 2 + .....+m N 2

특별한 경우에는 중 1 =m 2 =m 3 =m N=m산술 평균의 제곱 평균 제곱 오차를 결정하려면 다음 공식을 사용하십시오.

중 에스 =

동일한 정밀도 측정값의 대수적 합계의 제곱 평균 제곱근 오차는 한 항의 제곱 평균 제곱근 오차보다 몇 배 더 큽니다.

예.
30초 경위로 9개의 각도를 측정하면 각도 측정의 제곱평균제곱근 오차는 다음과 같습니다.

중 각도 = 30 " = ±1.5"

산술 평균의 평균 제곱 오차
(산술 평균 결정의 정확성)

산술 평균의 평균 제곱 오차 (중µ )한 번의 측정값의 평균 제곱근보다 몇 배 작습니다.

산술 평균의 제곱 평균 제곱 오차의 이 속성을 통해 측정 정확도를 높일 수 있습니다. 측정 횟수 늘리기 .

예를 들어, 30초의 경위석이 있는 상태에서 ± 15초의 정확도로 각도를 결정해야 합니다.

각도를 4번 측정하면 ( N) 산술 평균을 결정한 다음 산술 평균의 제곱 평균 제곱 오차( 중µ )은 ±15초가 됩니다.

산술 평균의 제곱 평균 제곱 오차( 중 µ )은 반복 측정 중 무작위 오류의 영향이 어느 정도 감소하는지 보여줍니다.

예
한 줄의 길이를 5번 측정했습니다.
측정 결과를 바탕으로 다음을 계산합니다. 길이의 가장 가능성 있는 값 엘(평균); 가장 가능성이 높은 오류(산술 평균의 편차) 한 측정의 제곱 평균 제곱근 오차 중; 산술 평균 결정의 정확성 뮤, 그리고 산술평균의 제곱평균제곱근 오차를 고려한 선 길이의 가장 가능한 값( 엘).

거리 측정 결과 처리(예)

표 12.1.

오류 가능성이 가장 높음 디나, 센티미터	가장 가능성이 높은 오류의 제곱(cm) 2	특성 정확성
		중=±=±19cm 중µ = 19cm/= ±8cm




Σ 디나 = 0	[Σ 디나]2 = 1446	엘= (980.65 ±0.08)m

12.4. 불평등한 정확도 측정 결과의 가중치

측정값이 동일하지 않은 경우 각 측정 결과를 동일하게 신뢰할 수 있다고 간주할 수 없으면 더 이상 단순 산술 평균을 결정하는 것이 불가능합니다. 이러한 경우 각 측정 결과의 장점(또는 신뢰성)이 고려됩니다.
측정 결과의 값은 이 측정의 가중치라는 특정 숫자로 표현됩니다. . 분명히, 산술 평균은 단일 측정에 비해 더 많은 가중치를 가지며, 보다 진보되고 정확한 장치를 사용하여 수행된 측정은 덜 정확한 장치로 수행한 동일한 측정보다 더 높은 수준의 신뢰도를 갖습니다.
측정 조건에 따라 평균 제곱 오차의 다른 값이 결정되므로 후자는 일반적으로 다음과 같이 사용됩니다. 체중 값을 평가하기 위한 기본 사항, 측정한 결과입니다. 이 경우 측정 결과에 가중치를 부여합니다. 해당 평균 제곱 오류의 제곱에 반비례합니다. .
따라서 다음과 같이 표시하면 아르 자형그리고 아르 자형각각 제곱평균제곱근 오차를 갖는 측정 가중치 중그리고 µ , 그러면 비례 관계를 작성할 수 있습니다.

예를 들어, µ 산술 평균의 제곱 평균 제곱 오차, 및 중-각각 하나의 차원을 사용하면 다음과 같습니다.

다음과 같이 쓸 수 있습니다:

즉. 산술 평균의 가중치 N단일 측정의 무게를 곱한 값.

마찬가지로, 15초 경위의 기구로 측정한 각도의 무게는 30초 기구로 측정한 각도의 무게보다 4배 더 크다는 것을 알 수 있습니다.

실제 계산에서는 일반적으로 한 값의 가중치를 1로 취하고, 이 조건에서 나머지 차원의 가중치를 계산합니다. 따라서 마지막 예에서 30초 경위의 각도 측정 결과의 가중치를 다음과 같이 취하면 아르 자형= 1이면 15초 경위의 측정 결과의 가중치 값은 다음과 같습니다. 아르 자형 = 4.

12.5. 현장 측정 결과 등록 및 처리 요구 사항

모든 측지 측정 자료는 현장 문서화와 계산 및 그래픽 작업 문서로 구성됩니다. 측지 측정값을 생성하고 처리하는 데 수년간의 경험을 통해 우리는 이 문서를 유지하기 위한 규칙을 개발할 수 있었습니다.

현장 서류 준비

현장 문서에는 측지 장비 검증 자료, 측정 로그 및 특수 양식, 개요 및 측점 로그가 포함됩니다. 모든 현장 문서는 원본에서만 유효한 것으로 간주됩니다. 단일 복사본으로 컴파일되며 손실된 경우 반복 측정을 통해서만 복원할 수 있으며 이는 거의 항상 가능한 것은 아닙니다.

현장 일지를 보관하는 규칙은 다음과 같습니다.

1. 현장 일지는 주의 깊게 작성해야 하며, 모든 숫자와 문자는 명확하고 읽기 쉽게 기록해야 합니다.
2. 숫자의 수정 및 삭제, 숫자로 숫자를 쓰는 것은 허용되지 않습니다.
3. 잘못된 판독값 기록은 한 줄로 줄이 그어지고 오른쪽에 "오류" 또는 "잘못 인쇄"가 표시되고 올바른 결과가 맨 위에 기록됩니다.
4. 저널의 모든 항목은 중간 정도의 단단한 연필, 잉크 또는 볼펜을 사용하여 작성합니다. 이를 위해 화학 연필이나 색연필을 사용하는 것은 권장되지 않습니다.
5. 각 유형의 측지 측량을 수행할 때 측정 결과는 정해진 형식의 적절한 저널에 기록됩니다. 작업이 시작되기 전에 로그 페이지에 번호가 매겨지고 해당 번호는 작업 관리자가 인증합니다.
6. 현장 조사 중 측정 결과가 거부된 페이지에는 대각선 한 줄로 줄이 그어져 있으며, 거부 이유와 반복 측정 결과가 포함된 페이지 번호가 표시됩니다.
7. 각 저널의 제목 페이지에 측지 도구에 대한 정보(브랜드, 번호, 평균 제곱 측정 오류)를 작성하고 관측 날짜 및 시간, 기상 조건(날씨, 가시성 등), 이름을 기록합니다. 수행자는 필요한 다이어그램, 공식 및 메모를 제공합니다.
8. 현장 작업에 참여하지 않는 다른 수행자가 측정 결과에 대한 후속 처리를 정확하게 수행할 수 있도록 로그를 작성해야 합니다. 현장 일지를 작성할 때 다음 기록 양식을 준수해야 합니다.
a) 열의 숫자는 해당 숫자의 모든 숫자가 오프셋 없이 서로 아래에 위치하도록 작성됩니다.
b) 동일한 정확도로 수행된 모든 측정 결과는 동일한 소수점 이하 자릿수로 기록됩니다.

예
356.24 및 205.60m - 정확함,
356.24 및 205.6m - 부정확함;
c) 각도 측정 및 계산 중 분과 초 값은 항상 두 자리 숫자로 기록됩니다.

예
127°07"05 " , 127°7"5 아님 " ;

d) 측정 결과의 수치에 해당 측정 장비의 판독 장치를 얻을 수 있는 자릿수를 기록합니다. 예를 들어 선의 길이를 밀리미터 단위의 줄자로 측정하고 판독값이 1mm의 정확도로 수행되는 경우 판독값은 27.4m가 아닌 27.400m로 기록되어야 합니다. 전체 분만 계산하는 경우 판독값은 47° 또는 47°00"00"이 아닌 47°00"로 기록되어야 합니다.

12.5.1. 측지 계산 규칙의 개념

모든 현장 자료를 확인한 후 측정 결과 처리가 시작됩니다. 이 경우 실습을 통해 개발된 규칙과 기술을 준수해야 하며, 이를 준수하면 계산기 작업이 용이해지고 컴퓨터 기술과 보조 도구를 합리적으로 사용할 수 있습니다.
1. 측지 측정 결과 처리를 시작하기 전에 가장 간단하고 빠른 방법으로 원하는 결과를 얻을 수 있는 일련의 작업을 나타내는 상세한 계산 체계를 개발해야 합니다.
2. 계산 작업량을 고려하여 필요한 정확성을 보장하면서 최소한의 비용이 필요한 가장 최적의 계산 수단과 방법을 선택하십시오.
3. 계산 결과의 정확도는 측정의 정확도보다 높을 수 없습니다. 그러므로 충분하지만 과도하지 않은 계산 동작의 정확도를 미리 지정해야 합니다.
4. 계산할 때 초안을 사용할 수 없습니다. 디지털 자료를 다시 작성하는 데는 많은 시간이 걸리고 종종 오류가 발생하기 때문입니다.
5. 계산 결과를 기록하려면 계산 순서를 결정하고 중간 및 일반 제어를 제공하는 특수 다이어그램, 양식 및 시트를 사용하는 것이 좋습니다.
6. 통제가 없으면 계산이 완료된 것으로 간주될 수 없습니다. 문제 해결을 위해 다른 동작(방법)을 사용하거나 다른 연주자가 반복적으로 계산(“두 손”)을 수행하여 제어를 수행할 수 있습니다.
7. 계산은 항상 오류 확인 및 관련 지침에 제공된 공차와의 필수 비교로 끝납니다.
8. 계산 작업을 수행할 때, 항목을 부주의하게 입력하면 오류가 발생하므로 계산 형식으로 숫자를 기록하는 정확성과 명확성에 대한 특별한 요구 사항이 적용됩니다.
현장 일지에서와 같이 계산 방식으로 숫자 열을 기록할 때 동일한 숫자의 숫자는 다른 숫자 아래에 배치되어야 합니다. 이 경우 숫자의 소수 부분은 쉼표로 구분됩니다. 여러 자리 숫자를 간격을 두고 쓰는 것이 좋습니다(예: 2 560 129.13). 계산 기록은 잉크와 로마체로만 보관해야 합니다. 잘못된 결과를 조심스럽게 지우고 수정된 값을 상단에 적습니다.
측정 자료를 처리할 때 과도한 수의 문자를 사용하지 않도록 계산 결과를 얼마나 정확하게 얻어야 하는지 알아야 합니다. 계산의 최종 결과가 필요한 것보다 더 많은 자릿수로 얻어지면 숫자가 반올림됩니다.

12.5.2. 반올림 숫자

숫자를 반올림 N징후 - 첫 번째를 보존하는 것을 의미합니다. N중요한 숫자.
숫자의 유효 숫자는 왼쪽의 0이 아닌 첫 번째 숫자부터 오른쪽의 마지막 기록 숫자까지의 모든 숫자입니다. 이 경우 오른쪽의 0은 알 수 없는 숫자를 대체하거나 주어진 숫자를 반올림할 때 다른 숫자 대신 배치되면 유효 숫자로 간주되지 않습니다.
예를 들어, 0.027에는 유효 숫자가 2개 있고, 139.030에는 유효 숫자가 6개 있습니다.

숫자를 반올림할 때 다음 규칙을 준수해야 합니다.
1. 버려진 숫자 중 첫 번째 숫자(왼쪽에서 오른쪽으로 계산)가 5보다 작은 경우 마지막 남은 숫자는 변경되지 않고 유지됩니다.
예를 들어 유효 숫자 5자리로 반올림한 후의 숫자 145.873은 145.87입니다.
2. 버린 숫자 중 첫 번째 숫자가 5보다 크면 마지막 남은 숫자가 1만큼 증가합니다.
예를 들어 73.5672를 유효 숫자 4자리로 반올림하면 73.57이 됩니다.
3. 반올림한 숫자의 마지막 숫자가 5이고 이를 버려야 하는 경우 숫자의 앞 숫자가 홀수인 경우에만 1씩 증가합니다(짝수 규칙).
예를 들어, 0.01로 반올림한 숫자 45.175와 81.325는 각각 45.18과 81.32가 됩니다.

12.5.3. 그래픽 작품

측지 측량의 최종 결과인 그래픽 자료(계획, 지도 및 종단면)의 가치는 현장 측정의 정확성과 계산 처리의 정확성뿐 아니라 그래픽 실행의 품질에 따라 크게 결정됩니다. 그래픽 작업은 주의 깊게 테스트된 그리기 도구(자, 삼각형, 측지 각도기, 측정 컴퍼스, 날카로운 연필(T 및 TM) 등)를 사용하여 수행해야 합니다. 작업장의 구성은 그리기 작업의 품질과 생산성에 큰 영향을 미칩니다. 그림 작업은 고품질의 도화지 한 장을 사용하여 평평한 테이블이나 특수 화판 위에 올려 놓아야 합니다. 그래픽 문서의 원본 연필 그림은 주의 깊게 확인하고 수정한 후 정해진 규칙에 따라 잉크로 작성됩니다.

자기 통제를 위한 질문과 과제

"양을 측정하다"라는 표현은 무엇을 의미합니까?
측정값은 어떻게 분류되나요?
측정기기는 어떻게 분류되나요?
측정 결과는 정확도에 따라 어떻게 분류되나요?
동일 정밀도라고 하는 측정은 무엇입니까?
용어의 의미: “ 필요한 그리고 불필요한 차원의 수"?
측정 오류는 어떻게 분류되나요?
체계적 오류의 원인은 무엇입니까?
무작위 오류에는 어떤 속성이 있나요?
절대(참) 오류란 무엇입니까?
상대오차란 무엇인가요?
오류 이론에서 산술 평균이란 무엇입니까?
오류 이론에서 평균 제곱 오류라고 하는 것은 무엇입니까?
최대 평균 제곱 오차는 얼마입니까?
동일한 정밀도 측정값의 대수적 합의 평균 제곱 오차는 한 항의 평균 제곱 오차와 어떤 관련이 있습니까?
산술 평균의 평균 제곱 오차와 한 측정의 평균 제곱 오차는 어떤 관련이 있나요?
산술 평균의 제곱 평균 오차는 무엇을 보여줍니까?
중량 값을 추정하기 위한 기초로 사용되는 매개변수는 무엇입니까?
산술 평균의 가중치와 단일 측정의 가중치는 어떤 관련이 있습니까?
현장 일지를 보관하기 위해 측지학에서는 어떤 규칙이 채택됩니까?
측지 계산의 기본 규칙을 나열하십시오.
숫자 31.185와 46.575를 가장 가까운 0.01로 반올림합니다.
그래픽 작업 수행에 대한 기본 규칙을 나열하십시오.

대수 방정식을 수치적으로 풀 때 - 결과 선형 대수 해의 정확도에 대한 계산 프로세스의 개별 단계에서 수행된 반올림의 총 영향입니다. 시스템. 선형 대수의 수치적 방법에서 반올림 오류의 전체 영향을 선험적으로 추정하는 가장 일반적인 방법은 소위 체계입니다. 역분석. 선형 대수학 시스템을 해결하는 데 적용됩니다. 방정식의 역분석 방식은 다음과 같다. 직접법으로 계산된 해는 (1)을 만족하지 못하지만 섭동계의 정확한 해로 표현될 수 있으며, 직접법의 품질은 다음의 규범에 대해 주어질 수 있는 최선의 선험적 추정에 의해 평가됩니다. 행렬과 벡터. 그러한 "최고"와 소위. 각각 방법 M에 대한 등가 교란의 행렬과 벡터입니다. 과 에 대한 추정이 가능하다면 이론적으로 근사해의 오차는 부등식으로 추정할 수 있습니다. 다음은 행렬 A의 조건수와 행렬 노름입니다. (3)은 벡터 노름에 종속되는 것으로 가정하지만 실제로 에 대한 추정치는 거의 알려져 있지 않으며 (2)의 주요 의미는 서로 다른 방법의 품질을 비교할 수 있는 능력입니다. 다음은 직교 변환 및 부동 소수점 산술을 사용하는 방법의 행렬에 대한 몇 가지 일반적인 추정의 형태입니다(시스템 (1)에서 A와 b는 실수로 간주됩니다). 이 추정에서 - 산술의 상대 정확도입니다. 컴퓨터에서의 연산은 유클리드 행렬 표준이고, f(n)은 형식의 함수입니다. 여기서 n은 시스템의 차수입니다. 표시기 k의 상수 C의 정확한 값은 반올림 방법, 스칼라 곱 누적 연산 사용 등과 같은 계산 과정의 세부 사항에 의해 결정됩니다. 대부분 k = 1 또는 3/2입니다. . Gaussian 방식의 경우 추정값(4)의 오른쪽에는 초기 수준 대비 Ana 행렬의 요소가 중간 단계에서 성장할 가능성을 반영하는 요소도 포함됩니다(이러한 성장은 없음). 직교 방법에서). 값을 줄이기 위해 다양한 방법을 사용하여 선행 요소를 선택하여 행렬 요소가 증가하는 것을 방지합니다. 양의 정부호 행렬 A의 경우 일반적으로 사용되는 제곱근 방법의 경우 가장 강력한 추정값을 얻습니다. 직접 방법(Jordan, Bordering, Conjugate Gradients)이 있지만 역분석 기법을 직접 적용하지 못하는 경우가 있습니다. 효과적인 추정이 가능합니다. 이러한 경우 N.을 연구할 때 다른 고려 사항도 적용됩니다(- 참조). 문학: 기븐스 W., "TJ. S. 원자력위원회. 답변합니다. Ser. OR NL", 1954, No. 1574; Wilkinson J. H., 대수 과정의 반올림 오류, L., 1963; Wilkinson D. J.
안정적인 방법은 오류가 증가하는 특징이 있습니다. 이러한 방법의 오류는 일반적으로 다음과 같이 평가됩니다. 반올림이나 방법 오류로 인해 발생하는 외란에 관한 방정식을 구성한 다음 이 방정식의 해를 검토합니다(참조). 더 복잡한 경우에는 미분 방정식을 풀 때 계산 오류 누적을 연구하는 문제와 관련하여 개발된 등가 섭동 방법(참조, 참조)이 사용됩니다. 반올림이 포함된 특정 계산 방식을 사용하는 계산은 반올림이 없는 계산으로 간주되지만 교란 계수가 있는 방정식의 경우입니다. 원래 그리드 방정식의 해와 섭동된 계수가 있는 방정식의 해를 비교하여 오류 추정치를 얻습니다. 가능하다면 q와 A(h)의 값이 더 낮은 방법을 선택하는 데 상당한 주의가 기울여집니다. 문제를 해결하기 위한 고정된 방법을 사용하면 일반적으로 계산 공식을 다음과 같은 형식으로 변환할 수 있습니다( , 참조). 이는 경우에 따라 단계 수가 매우 큰 일반 미분 방정식의 경우 특히 중요합니다. 값(h)은 적분 간격이 증가함에 따라 크게 증가할 수 있습니다. 따라서 가능하면 A(h) 값이 더 낮은 방법을 사용하려고 합니다. 코시 문제의 경우, 후속 단계와 관련하여 특정 단계마다 반올림 오차가 발생하면 초기 조건의 오차로 간주할 수 있습니다. 따라서 극한(h)은 변분방정식에 의해 정의된 미분방정식의 근접해의 발산 특성에 따라 달라집니다. 상미분 방정식의 수치 해법의 경우 변형 방정식은 다음과 같은 형식을 가지므로 구간 (x 0 , X)에 대한 문제를 풀 때 주요 상수 A(h)를 기대할 수 없습니다. 계산 오류에 대한 추정이 훨씬 더 좋습니다. 따라서 이 문제를 해결할 때 1단계 방법은 Runge-Kutta 유형의 방법 또는 Adams 유형의 방법(참조)의 가장 일반적으로 사용되는 방법입니다. 여기서 방법은 주로 다음을 해결하여 결정됩니다. 변형의 방정식. 여러 가지 방법의 경우 방법 오류의 주요 항은 유사한 법칙에 따라 누적되는 반면 계산 오류는 훨씬 빠르게 누적됩니다(참조). 실습 영역 그러한 방법의 적용 가능성은 상당히 좁은 것으로 나타났습니다. 계산 오류의 누적은 그리드 문제를 해결하는 데 사용되는 방법에 따라 크게 달라집니다. 예를 들어, 슈팅 및 스위핑 방법 N을 사용하여 상미분 방정식에 해당하는 그리드 경계값 문제를 풀 때. 항목에는 문자 A(h)h-q가 있습니다. 여기서 q는 동일합니다. 이러한 방법에 대한 A(h)의 값은 너무 다양하여 특정 상황에서는 방법 중 하나가 적용되지 않을 수 있습니다. 라플라스 방정식의 그리드 경계값 문제를 슈팅법으로 풀면 문제는 c 1/h, c>1의 문자를 가지며, 스윕법의 경우 Ah-q이다. 반올림 오류 연구에 대한 확률론적 접근 방식을 사용하면 어떤 경우에는 선험적으로 일종의 오류 분포 법칙을 가정하고(참조), 다른 경우에는 고려 중인 문제의 공간에 대한 측정을 도입하고 이 측정을 기반으로 반올림 오류 분포의 법칙을 얻습니다( 참조). 문제 해결에 있어 적당한 정확도를 사용하면 계산 오류의 축적을 평가하는 주요 및 확률론적 접근 방식은 일반적으로 질적으로 동일한 결과를 제공합니다. 두 경우 모두 오류가 허용 가능한 한도 내에서 발생하거나 두 경우 모두 오류가 해당 한도를 초과합니다. 문학: Voevodin V.V., 선형 대수학의 계산 기초, M., 1977; Shura-Bura M.R., "응용 수학과 역학", 1952, vol.16, no.5, p. 575-88; Bakhvalov N. S., 수치 방법, 2판, M., 1975; Wilkinson J. X., 대수적 고유값 문제, trans. 영어에서, M.. 1970; Bakhvalov N. S., 책: 계산 방법 및 프로그래밍, v. 1, M., 1962, 69-79페이지; Godunov S.K., Ryabenkiy V.S., 차이 계획, 2판, M., 1977; Bakhvalov N. S., "Doc. 소련 과학 아카데미", 1955, v. 104, no. 5, p. 683-86; 그의, "J. 계산, 수학과 수학 물리학", 1964; 4권 3호, p. 399-404; Lapshin E.A., ibid., 1971, vol.11, no.6, p.1425-36. N. S. Bakhvalov.

가치 보기 오류의 축적다른 사전에서는

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누적 평균— 1. 의미에 따른 행동의 과정. 동사: 축적하다, 축적하다. 2. 값별 상태. 동사: 축적하다, 축적하다. 3. 축적된 것.
Efremova의 설명 사전

축적- -나; 수요일
1. 축적하다 - 축적하다. N. 부. N. 지식. 축적의 원천.
2. 복수형만: 축적. 무엇이 축적되어 있는가? 절약. 저축을 늘리세요.......
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생산 자금과 비생산 자금을 보충하는 데 사용되는 소득........
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초기 누적- (원시적 축적) (마르크스주의) - 자본주의가 출현하기 전에 자본이 축적되는 역사적 과정. 『자본론』에서 마르크스는 다음과 같이 말한다.
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산업 현장의 폐기물 일시적 축적— - 후속 기술 주기에 사용되거나 발송될 때까지 이러한 목적을 위해 특별히 설비된 장소에 기업 영역 내 폐기물을 저장합니다...
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축적- 축적, -i, 참조. 1. 저장, -sya를 참조하세요. 2. pl. 누적된 양, 어떤 것의 양. 큰 절감. || 조정. 누적, -th, -oe(특수). 누적 명세서.
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생물학적 축적— 생물학적 축적 영양 상태에 있는 다양한 화학 물질(살충제, 중금속, 방사성 핵종 등)의 농도(축적)......
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대수 방정식을 수치적으로 풀 때 - 결과 선형 대수 해의 정확도에 대한 계산 프로세스의 개별 단계에서 수행된 반올림의 총 영향입니다. 시스템. 선형 대수의 수치적 방법에서 반올림 오류의 전체 영향을 선험적으로 추정하는 가장 일반적인 방법은 소위 체계입니다. 역분석. 선형 대수학 시스템을 해결하는 데 적용됩니다. 방정식

역분석 방식은 다음과 같다. 직접법으로 계산한 해는 (1)을 만족하지 못하지만 섭동계의 정확한 해로 표현될 수 있다.

직접법의 품질은 행렬과 벡터의 표준에 대해 제공될 수 있는 최선의 사전 추정에 의해 평가됩니다. 그러한 "최고"와 소위. 이 방법에 대한 등가 교란의 행렬과 벡터는 각각 중.

and에 대한 추정치가 있는 경우 이론적으로 근사해의 오류는 부등식으로 추정할 수 있습니다.

행렬 A의 조건수는 다음과 같으며, (3)의 행렬 놈은 벡터 놈에 종속된다고 가정한다.

실제로 에 대한 추정치는 거의 알려져 있지 않으며, (2)의 주요 포인트는 다양한 방법의 품질을 비교할 수 있다는 것입니다. 다음은 행렬에 대한 몇 가지 일반적인 추정 형태입니다. 직교 변환 및 부동 소수점 산술을 사용하는 방법의 경우(시스템 (1)에서 A와 b는 실수로 간주됩니다.)

이 평가에서는 산술의 상대적 정확성이 평가됩니다. 컴퓨터 조작, 는 유클리드 행렬 놈이고, f(n)은 형식의 함수입니다. 여기서 n은 시스템의 차수입니다. 표시기 k의 상수 C의 정확한 값은 반올림 방법, 스칼라 곱 누적 연산 사용 등과 같은 계산 과정의 세부 사항에 의해 결정됩니다. 대부분 k = 1 또는 3/2입니다. .

Gaussian 방식의 경우 추정값(4)의 오른쪽에는 초기 수준에 비해 방법의 중간 단계에서 Ana 행렬의 요소가 성장할 가능성을 반영하는 요소도 포함됩니다(이러한 성장은 없음). 직교 방법). 의 값을 줄이기 위해 행렬 요소의 증가를 방지하기 위해 선행 요소를 선택하는 다양한 방법이 사용됩니다.

을 위한 제곱근법,이는 일반적으로 양의 정부호 행렬 A의 경우에 사용되며 가장 강력한 추정값을 얻습니다.

직접 방법(Jordan, Bordering, Conjugate Gradient)이 있는데, 역분석 방식을 직접 적용해도 효과적인 추정이 이루어지지 않습니다. 이러한 경우 N.을 연구할 때 다른 고려 사항도 적용됩니다(- 참조).

문학.: Gives W., "TJ. S. Atomic Energy Commiss. Repts. Ser. OR NL", 1954, No. 1574; Wilkinson J. H., 대수 과정의 반올림 오류, L., 1963; 윌킨슨 J.

Kh. D. Ikramov.

반올림 또는 방법 오류 문제는 순차적으로 수행된 수많은 연산의 결과로 솔루션이 나오는 문제를 해결할 때 발생합니다. 운영.

이러한 문제의 중요한 부분은 대수 문제를 해결하는 것과 관련이 있습니다. 선형 또는 비선형 문제(위 참조). 차례로, 대수학 중에서 문제 가장 일반적인 문제는 미분 방정식을 근사할 때 발생합니다. 이러한 작업에는 특정한 특성이 있습니다. 특징.

문제를 해결하는 방법은 계산 오류 방법과 동일하거나 더 간단한 법칙을 따릅니다. N., p. 문제 해결 방법을 평가할 때 방법을 검토합니다.

계산 오류의 축적을 연구할 때 두 가지 접근 방식이 구별됩니다. 첫 번째 경우에는 각 단계의 계산 오류가 가장 불리한 방식으로 도입되어 오류의 주요 추정치가 얻어지는 것으로 믿어집니다. 두 번째 경우에는 이러한 오류가 특정 유통 법칙에 따라 무작위로 발생한 것으로 믿어집니다.

문제의 성격은 해결되는 문제, 해결 방법 및 언뜻 중요하지 않은 기타 여러 요소에 따라 달라집니다. 여기에는 컴퓨터에 숫자를 기록하는 형식(고정 소수점 또는 부동 소수점), 산술이 수행되는 순서가 포함됩니다. 연산 등. 예를 들어 N개 숫자의 합을 계산하는 문제에서

작업이 수행되는 순서가 중요합니다. 계산은 t개의 이진수를 사용하고 모든 숫자가 안에 있는 부동 소수점 기계에서 수행됩니다. . 순환식을 사용하여 직접 계산할 때 주요 오류 추정치는 다음과 같습니다. 2-t N.다르게 할 수 있습니다 (참조). 쌍별 합을 계산할 때 (만약에 N=2l+1이상하다) 믿는다 . 다음으로, 쌍별 합이 계산됩니다. 공식을 사용하여 쌍별 합을 형성하는 단계 후에

주요 주문 오류 추정치를 얻습니다.

일반적인 문제에서는 수량 에수식, 특히 반복되는 수식을 사용하여 계산되거나 컴퓨터의 RAM에 순차적으로 입력됩니다. 이러한 경우 설명된 기술을 사용하면 컴퓨터 메모리 부하가 증가합니다. 그러나 RAM 부하가 -log 2 N 셀을 초과하지 않도록 계산 순서를 구성하는 것은 가능합니다.

미분방정식을 수치적으로 풀 때 다음과 같은 경우가 가능합니다. 그리드 단계 h가 0이 되는 경향이 있으므로 오류는 다음과 같이 커집니다. . 이러한 문제 해결 방법은 불안정한 것으로 분류됩니다. 그들의 사용은 산발적입니다. 성격.

안정적인 방법은 오류가 증가하는 특징이 있습니다. 이러한 방법의 오류는 일반적으로 다음과 같이 평가됩니다. 반올림이나 방법 오류로 인해 발생하는 외란에 관한 방정식을 구성한 다음 이 방정식의 해를 검토합니다(참조).

더 복잡한 경우에는 미분 방정식을 풀 때 계산 오류 누적을 연구하는 문제와 관련하여 개발된 등가 섭동 방법(참조, 참조)이 사용됩니다. 반올림이 포함된 특정 계산 방식을 사용하는 계산은 반올림이 없는 계산으로 간주되지만 교란 계수가 있는 방정식의 경우입니다. 원래 그리드 방정식의 해와 섭동된 계수가 있는 방정식의 해를 비교하여 오류 추정치를 얻습니다.

가능하다면 q와 A(h)의 값이 더 낮은 방법을 선택하는 데 상당한 주의를 기울입니다. . 문제를 해결하기 위한 고정된 방법을 사용하면 일반적으로 계산 공식을 다음과 같은 형식으로 변환할 수 있습니다( , 참조). 이는 경우에 따라 단계 수가 매우 큰 일반 미분 방정식의 경우 특히 중요합니다.

값(h)은 적분 간격이 증가함에 따라 크게 증가할 수 있습니다. 따라서 가능하면 A(h) 값이 더 낮은 방법을 사용하려고 합니다. . 코시 문제의 경우, 후속 단계와 관련하여 특정 단계마다 반올림 오차가 발생하면 초기 조건의 오차로 간주할 수 있습니다. 따라서 극한(h)은 변분방정식에 의해 정의된 미분방정식의 근접해의 발산 특성에 따라 달라집니다.

상미분방정식의 수치해의 경우 변형의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

따라서 간격에 대한 문제를 해결할 때 ( x 0 , 엑스) 계산 오류의 주요 추정에서 상수 A(h)가 다음보다 훨씬 낫다고 계산하는 것은 불가능합니다.

따라서 이 문제를 풀 때 가장 일반적으로 사용되는 것은 Runge-Kutta 유형의 1단계 방법 또는 Adams 유형의 방법(참조,)이며, 여기서 문제는 주로 방정식을 변형하여 해결하여 결정됩니다.

여러 가지 방법의 경우 방법 오류의 주요 항은 유사한 법칙에 따라 누적되는 반면 계산 오류는 훨씬 빠르게 누적됩니다(참조). 실습 영역 그러한 방법의 적용 가능성은 상당히 좁은 것으로 나타났습니다.

계산 오류의 누적은 그리드 문제를 해결하는 데 사용되는 방법에 따라 크게 달라집니다. 예를 들어, 슈팅 및 스위핑 방법을 사용하여 상미분방정식에 해당하는 격자 경계값 문제를 풀면 문제는 문자 A(h)를 갖습니다. h-q,여기서 q는 동일합니다. 이러한 방법에 대한 A(h)의 값은 너무 다양하여 특정 상황에서는 방법 중 하나가 적용되지 않을 수 있습니다. 라플라스 방정식의 격자 경계값 문제를 슈팅 방식으로 풀면 문제의 성격은 다음과 같다. 초 1/시간, 초>1, 스윕 방식의 경우 아-q.반올림 오류 연구에 대한 확률론적 접근 방식을 사용하면 어떤 경우에는 선험적으로 일종의 오류 분포 법칙을 가정하고(참조), 다른 경우에는 고려 중인 문제의 공간에 대한 측정을 도입하고 이 측정을 기반으로 반올림 오류 분포의 법칙을 얻습니다( 참조).

문제 해결에 있어 적당한 정확도를 사용하면 계산 오류의 축적을 평가하는 주요 및 확률론적 접근 방식은 일반적으로 질적으로 동일한 결과를 제공합니다. 두 경우 모두 오류가 허용 가능한 한도 내에서 발생하거나 두 경우 모두 오류가 해당 한도를 초과합니다.

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