그들과 함께 내부 로그가 있습니다.
예:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
로그 부등식을 해결하는 방법:
로그 부등식을 \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) 형식으로 줄이기 위해 노력해야 합니다(기호 \(˅\)는 다음 중 하나를 의미함). 이 유형을 사용하면 로그와 그 밑을 제거하여 로그 하의 표현의 부등식, 즉 \(f(x) ˅ g(x)\) 형식으로 전환할 수 있습니다.
그러나 이러한 전환을 수행할 때 매우 중요한 미묘함이 하나 있습니다.
\(-\)가 숫자이고 1보다 큰 경우, 부등호는 전환 중에 동일하게 유지됩니다.
\(-\) 밑이 0보다 크고 1보다 작은 숫자(0과 1 사이에 있음)인 경우 부등호는 반대 방향으로 변경되어야 합니다. 즉,
|
\(\log_2((8-x))<1\) 해결책: |
\(\log\)\(_(0.5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) \(((x+ 1))\) 해결책: |
매우 중요합니다!부등식에서 \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) 형식에서 로그 아래 표현식 비교로의 전환은 다음과 같은 경우에만 수행될 수 있습니다.
예 . 부등식 풀기: \(\log\)\(≤-1\)
해결책:
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\(\통나무\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
ODZ를 작성해 봅시다. |
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ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
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\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
괄호를 열고 . |
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\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
비교 부호를 반대로 바꾸는 것을 잊지 않고 부등식에 \(-1\)을 곱합니다. |
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\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
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\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
수직선을 만들고 그 위에 점 \(\frac(7)(3)\)과 \(\frac(3)(2)\)를 표시해 봅시다. 부등식이 엄격하지 않음에도 불구하고 분모에서 점이 제거된다는 점에 유의하세요. 사실 이 점은 해결책이 될 수 없습니다. 불평등으로 대체하면 0으로 나누게 되기 때문입니다. |
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이제 동일한 숫자 축에 ODZ를 플롯하고 이에 대한 응답으로 ODZ에 해당하는 간격을 기록합니다. |
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최종 답변을 적어 보겠습니다. |
예 . 부등식을 푼다: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
해결책:
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\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
ODZ를 작성해 봅시다. |
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ODZ: \(x>0\) |
해결책을 살펴보겠습니다. |
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해결책: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
여기에는 전형적인 제곱-대수 부등식이 있습니다. 해보자. |
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\(t=\log_3x\) |
부등식의 좌변을 로 확장합니다. |
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\(D=1+8=9\) |
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이제 원래 변수인 x로 돌아가야 합니다. 이를 위해 동일한 솔루션이 있는 로 이동하여 역대체를 수행해 보겠습니다. |
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\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2\\log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
\(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\)을 변환합니다. |
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\(\왼쪽[ \begin(수집) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
인수 비교로 넘어 갑시다. 로그의 밑이 \(1\)보다 크므로 부등식의 부호는 변하지 않습니다. |
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\(\left[ \begin(수집) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
부등식과 ODZ에 대한 해법을 하나의 그림으로 결합해 보겠습니다. |
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답을 적어보자. |
로그 부등식을 풀 때 로그 함수의 단조성 속성을 사용합니다. 우리는 또한 로그의 정의와 기본 로그 공식을 사용합니다.
로그가 무엇인지 검토해 보겠습니다.
로그밑수에 대한 양수는 를 얻기 위해 올려야 하는 거듭제곱을 나타냅니다.
동시에
기본 로그 항등식:
로그의 기본 공식:
(곱의 로그는 로그의 합과 같습니다)
(몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다)
(제곱의 로그 공식)
새로운 기지로 이동하는 공식:
로그 부등식을 해결하기 위한 알고리즘
로그 부등식은 특정 알고리즘을 사용하여 해결된다고 말할 수 있습니다. 불평등의 허용값(APV) 범위를 적어야 합니다. 부등식을 형식으로 줄입니다. 여기서 기호는 무엇이든 될 수 있습니다. 부등식의 왼쪽과 오른쪽에 동일한 밑수에 대한 로그가 있는 것이 중요합니다.
그런 다음 로그를 "폐기"합니다! 또한 밑이 도인 경우 부등호는 동일하게 유지됩니다. 기초가 불평등의 부호가 반대 방향으로 바뀌는 경우.
물론 우리는 로그를 그냥 "버리는" 것이 아닙니다. 우리는 로그 함수의 단조성 속성을 사용합니다. 로그의 밑이 1보다 큰 경우 로그 함수는 단조롭게 증가하며 x 값이 클수록 표현식의 값도 커집니다.
밑이 0보다 크고 1보다 작으면 로그 함수는 단조롭게 감소합니다. 인수 x의 더 큰 값은 더 작은 값에 해당합니다.
중요 사항: 등가 전환 체인 형태로 솔루션을 작성하는 것이 가장 좋습니다.
연습을 계속해 봅시다. 언제나 그렇듯이 가장 단순한 불평등부터 시작해 보겠습니다.
1. 부등식 log 3 x > log 3 5를 생각해 보세요.
로그는 양수에 대해서만 정의되므로 x는 양수여야 합니다. x > 0인 조건을 이 부등식의 허용값 범위(APV)라고 합니다. 그러한 x에 대해서만 불평등이 의미가 있습니다.
음, 이 공식은 멋있게 들리고 기억하기 쉽습니다. 그런데 왜 우리는 아직도 이것을 할 수 있습니까?
우리는 사람이고 지능이 있습니다. 우리의 마음은 논리적이고 이해 가능하며 내부 구조를 가진 모든 것이 무작위적이고 관련 없는 사실보다 훨씬 더 잘 기억되고 적용되도록 설계되었습니다. 그렇기 때문에 훈련받은 수학견처럼 기계적으로 규칙을 외우는 것이 아니라 의식적으로 행동하는 것이 중요합니다.
그렇다면 왜 우리는 여전히 "로그를 삭제"합니까?
대답은 간단합니다. 밑이 1보다 크면(우리의 경우처럼) 로그 함수는 단조롭게 증가합니다. 즉, 더 큰 x 값은 더 큰 y 값에 해당하고 부등식 log 3 x 1 > log 3 x 2이면 x 1 > x 2가 됩니다. 
대수적 부등식으로 넘어갔고 부등식 기호는 동일하게 유지됩니다.
따라서 x > 5입니다.
다음과 같은 로그 부등식도 간단합니다.
2. 로그 5(15 + 3x) > 로그 5 2x
허용되는 값의 범위부터 시작해 보겠습니다. 로그는 양수에 대해서만 정의되므로
이 시스템을 풀면 x > 0을 얻습니다.
이제 로그 부등식에서 대수적 부등식으로 이동해 보겠습니다. 즉, 로그를 "폐기"해 보겠습니다. 로그의 밑이 1보다 크므로 부등호는 동일하게 유지됩니다.
15 + 3x > 2x.
우리는 x > −15를 얻습니다.
답: x > 0.
하지만 로그의 밑이 1보다 작으면 어떻게 될까요? 이 경우 대수적 부등식으로 이동하면 부등식의 부호가 바뀔 것이라고 추측하기 쉽습니다.
예를 들어 보겠습니다.
ODZ를 적어보자. 로그를 취하는 표현식은 양수여야 합니다. 즉,
이 시스템을 풀면 x > 4.5를 얻습니다.
이후, 밑을 갖는 로그 함수는 단조롭게 감소합니다. 이는 함수의 더 큰 값이 인수의 더 작은 값에 해당함을 의미합니다. 
그리고 그렇다면
2x − 9 ≤ x.
우리는 x ≤ 9를 얻습니다.
x > 4.5를 고려하여 답을 작성합니다.
다음 문제에서는 지수 부등식을 2차 부등식으로 축소합니다. 따라서 "2차 부등식"이라는 주제를 반복하는 것이 좋습니다.
이제 더 복잡한 불평등을 살펴보겠습니다.
4. 불평등 해결
5. 불평등 해결
그렇다면. 우리는 운이 좋다! 우리는 ODZ에 포함된 모든 x 값에 대해 로그의 밑이 1보다 크다는 것을 알고 있습니다.
교체를 해보자
먼저 새 변수 t에 대해 부등식을 완전히 해결합니다. 그 후에야 변수 x로 돌아갑니다. 이것을 기억하고 시험에서 실수하지 마세요!
규칙을 기억해 봅시다. 방정식이나 부등식에 근, 분수 또는 로그가 포함되어 있으면 해는 허용되는 값의 범위에서 시작해야 합니다. 로그의 밑은 양수여야 하고 1과 같지 않아야 하므로 다음과 같은 조건 시스템을 얻습니다.
이 시스템을 단순화해 보겠습니다.
이는 허용 가능한 불평등 값의 범위입니다.
변수가 로그의 밑수에 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 영구 기지로 이동합시다. 이를 상기시켜 드리겠습니다.
이 경우에는 4진수로 가는 것이 편리합니다.
교체를 해보자
부등식을 단순화하고 간격 방법을 사용하여 해결해 보겠습니다.
변수로 돌아가자 엑스:
조건을 추가했습니다 엑스> 0(ODZ에서).
7. 다음 문제는 간격법을 사용하여 해결할 수도 있습니다.
언제나 그렇듯이 허용 가능한 값의 범위에서 로그 부등식을 해결하기 시작합니다. 이 경우
이 조건이 충족되어야 하며, 우리는 그 조건으로 돌아갈 것입니다. 지금은 불평등 자체를 살펴보겠습니다. 밑수 3에 대한 로그로 좌변을 작성해 보겠습니다.
우변은 밑이 3인 로그로 쓰여진 다음 대수적 부등식으로 넘어갈 수도 있습니다.
이제 조건(즉, ODZ)이 자동으로 충족되는 것을 볼 수 있습니다. 음, 이렇게 하면 불평등을 더 쉽게 해결할 수 있습니다.
간격 방법을 사용하여 불평등을 해결합니다.
답변:
효과가 있었나요? 자, 난이도를 높여보겠습니다.
8. 부등식을 해결합니다.
불평등은 다음 시스템과 동일합니다.
9. 부등식을 해결합니다.
식 5 - 엑스 2는 문제 설명에서 강박적으로 반복됩니다. 즉, 다음과 같이 교체할 수 있습니다.
지수 함수는 양수 값만 취하므로, 티> 0. 그러면
불평등은 다음과 같은 형태를 취합니다.
이미 더 좋습니다. 허용되는 불평등 값의 범위를 찾아 보겠습니다. 우리는 이미 그렇게 말했습니다. 티> 0. 또한, ( 티− 3) (5 9 · 티 − 1) > 0
이 조건이 충족되면 몫은 양수가 됩니다.
그리고 부등식의 우변에 있는 로그 아래의 표현식은 양수여야 합니다. 즉 (625 티 − 2) 2 .
이는 625를 의미합니다. 티− 2 ≠ 0, 즉
ODZ를 꼼꼼히 적어보자
구간 방법을 사용하여 결과 시스템을 푼다.
그래서,
글쎄, 전투의 절반이 완료되었습니다. 우리는 ODZ를 정리했습니다. 우리는 불평등 자체를 해결합니다. 왼쪽에 있는 로그의 합을 곱의 로그로 표현해 보겠습니다.
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로그 함수를 연구할 때 우리는 주로 다음 형식의 부등식을 고려했습니다.
x를 기록하다< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
부등식 로그(x + 1) ≤ 2(1)을 풉니다.
해결책.
1) 고려 중인 부등식의 오른쪽은 x의 모든 값에 대해 의미가 있고 왼쪽은 x + 1 > 0에 대해 의미가 있습니다. 즉, x > -1인 경우.
2) x > -1 구간을 불평등 정의 영역(1)이라고 합니다. 밑이 10인 로그 함수는 증가하므로 x + 1 > 0이면 부등식(1)은 x + 1 ≤ 100(2 = log 100이므로)이면 충족됩니다. 따라서 불평등 (1)과 불평등 시스템
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
즉, 불평등에 대한 해의 집합(1)과 불평등 체계(2)가 동일합니다.
3) 풀이 시스템 (2), 우리는 -1을 찾습니다.< х ≤ 99.
답변. -1< х ≤ 99.
부등식 log 2 (x – 3) + log 2 (x – 2) ≤ 1 (3)을 풉니다.
해결책.
1) 고려중인 로그 함수의 정의 영역은 인수의 양수 값 세트이므로 부등식의 왼쪽은 x – 3 > 0 및 x – 2 > 0에 적합합니다.
결과적으로 이 부등식의 정의 영역은 x > 3 구간입니다.
2) 로그의 성질에 따르면, x > 3에 대한 부등식(3)은 부등식 log 2 (x – 3)(x – 2) ≤ log 2 (4)와 동일합니다.
3) 밑이 2인 로그 함수는 증가합니다. 따라서 x > 3인 경우 (x – 3)(x – 2) ≤ 2이면 부등식 (4)가 충족됩니다.
4) 따라서 원래의 불평등(3)은 불평등 체계와 동일합니다.
((x – 3)(x – 2) ≤ 2,
(x > 3.
이 시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 x 2 – 5x + 4 ≤ 0을 얻습니다. 여기서 1 ≤ x ≤ 4입니다. 이 세그먼트를 구간 x > 3과 결합하면 3을 얻습니다.< х ≤ 4.
답변. 3< х ≤ 4.
부등식 로그 1/2(x 2 + 2x – 8) ≥ -4를 해결합니다. (5)
해결책.
1) 부등식의 정의 영역은 x 2 + 2x – 8 > 0 조건에서 찾습니다.
2) 불평등 (5)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 
로그 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ 로그 1/2 16.
3) 밑이 ½인 로그 함수가 감소하므로 불평등 정의의 전체 영역에서 모든 x에 대해 다음을 얻습니다.
x 2 + 2x – 8 ≤ 16.
따라서 원래의 평등(5)은 불평등 체계와 동일합니다.
(x 2 + 2x – 8 > 0, 또는 (x 2 + 2x – 8 > 0,
(x 2 + 2x – 8 ≤ 16, (x 2 + 2x – 24 ≤ 0.
첫 번째 이차 부등식을 풀면 x를 얻습니다.< -4, х >2. 두 번째 이차 부등식을 풀면 -6 ≤ x ≤ 4를 얻습니다. 결과적으로 시스템의 두 부등식은 -6 ≤ x에 대해 동시에 충족됩니다.< -4 и при 2 < х ≤ 4.
답변. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
웹사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 출처에 대한 링크가 필요합니다.
온라인 불평등 해결
부등식을 풀기 전에 방정식이 어떻게 해결되는지 잘 이해해야 합니다.
부등식이 엄밀함()인지 비엄격함(≤, ≥)인지는 중요하지 않습니다. 첫 번째 단계는 부등식 기호를 등식(=)으로 바꿔 방정식을 푸는 것입니다.
불평등을 해결한다는 것이 무엇을 의미하는지 설명해 볼까요?
방정식을 공부한 후 학생의 머릿속에는 다음과 같은 그림이 떠오릅니다. 그는 방정식의 양쪽이 동일한 값을 갖도록 변수의 값을 찾아야 합니다. 즉, 평등이 유지되는 모든 점을 찾으십시오. 모든 것이 정확합니다!
불평등에 대해 말할 때 불평등이 유지되는 간격(세그먼트)을 찾는 것을 의미합니다. 부등식에 두 개의 변수가 있는 경우 솔루션은 더 이상 간격이 아니라 평면의 일부 영역이 됩니다. 세 가지 변수의 불평등에 대한 해결책은 무엇일지 스스로 추측해 보세요.
불평등을 해결하는 방법?
불평등을 해결하는 보편적인 방법은 주어진 불평등이 충족되는 경계 내의 모든 간격을 결정하는 간격 방법(간격 방법이라고도 함)으로 간주됩니다.
부등식의 유형을 다루지 않고 이 경우에는 이것이 요점이 아니며 해당 방정식을 풀고 그 근을 결정한 다음 숫자 축에 이러한 솔루션을 지정해야 합니다.
불평등에 대한 해결책을 올바르게 작성하는 방법은 무엇입니까?
부등식에 대한 해 간격을 결정한 후에는 해 자체를 올바르게 작성해야 합니다. 중요한 뉘앙스가 있습니다. 구간의 경계가 솔루션에 포함되어 있습니까?
여기에서는 모든 것이 간단합니다. 방정식의 해가 ODZ를 충족하고 부등식이 엄격하지 않은 경우 구간의 경계가 부등식의 해에 포함됩니다. 그렇지 않으면 그렇지 않습니다.
각 간격을 고려하면 불평등에 대한 해결책은 간격 자체, 절반 간격(경계 중 하나가 불평등을 충족하는 경우) 또는 세그먼트(경계와 함께 간격)일 수 있습니다.
중요한 점
구간, 반구간, 구간만으로 불평등을 해결할 수 있다고 생각하지 마세요. 아니요, 솔루션에는 개별 포인트가 포함될 수도 있습니다.
예를 들어, 부등식 |x|≤0에는 오직 하나의 해(점 0)만 있습니다.
그리고 불평등 |x|
불평등 계산기가 필요한 이유는 무엇입니까?
불평등 계산기는 정확한 최종 답을 제공합니다. 대부분의 경우 숫자 축이나 평면의 그림이 제공됩니다. 구간의 경계가 솔루션에 포함되어 있는지 여부를 확인할 수 있습니다. 점은 음영 처리되거나 구멍이 뚫린 상태로 표시됩니다.
온라인 불평등 계산기 덕분에 방정식의 근을 올바르게 찾았는지, 숫자 축에 표시했는지, 간격(및 경계)에서 불평등 조건이 충족되었는지 확인할 수 있습니다.
당신의 답이 계산기의 답과 다르다면 반드시 답을 다시 확인하고 실수를 식별해야 합니다.