진자의 관성 모멘트 계산. 물리적 진자의 관성 모멘트 결정 다양한 모양의 물리적 진자의 관성 모멘트 결정

회전 또는 진동(진동) 운동 방정식을 풀 때 고려 중인 시스템의 관성 모멘트를 알아야 합니다. 이 기사는 다양한 유형의 진자와 진자의 특징이 되는 관성 모멘트에 대한 연구에 전념합니다.

진자의 개념. 종

진자의 관성 모멘트를 정의하기 전에 이 장치가 무엇인지 고려할 필요가 있습니다. 물리학에서는 중력장, 즉 중력의 영향을 받아 특정 지점이나 축을 중심으로 진동하거나 회전할 수 있는 모든 시스템으로 이해됩니다. 이 정의는 진자가 반드시 유한한 질량을 가져야 하는 반면 시스템의 질량 중심은 회전축이 통과하는 지점에 있어서는 안 된다고 가정합니다.

진자에는 다양한 유형이 있습니다. 이 기사에서는 그 중 3가지만 고려할 것입니다.

• 수학적 또는 단순함;
• 물리적(균질한 막대의 예 사용);
• 오버벡 진자.

처음 두 개는 진동형 진자이고 세 번째는 회전형입니다.

회전과 관성모멘트

특정 질량을 가진 물체가 축을 중심으로 회전하기 시작할 때 그 움직임은 일반적으로 다음 방정식으로 설명됩니다.

여기서 M은 시스템에 작용하는 모든 외부 힘의 총합 또는 결과 모멘트이고, I는 관성 모멘트이고 α는 각가속도입니다.

M은 정의에 따라 작용하는 힘과 팔의 곱과 같은 양이며, 이는 적용된 힘의 지점에서 회전축까지의 거리와 같습니다.

관성 모멘트는 시스템의 관성 특성, 즉 특정 모멘트 M을 적용하여 얼마나 빨리 회전할 수 있는지를 나타내는 양입니다. I는 또한 회전 시스템에 의해 저장되는 운동 에너지의 특성을 나타냅니다. r축으로부터 멀리 떨어진 곳에서 원운동을 하는 물질점(질량이 무한한 공간에 집중되어 있는 가상의 물체)에 대한 관성모멘트 I는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

일반적으로 임의 형상의 몸체에 대해 I를 결정할 때 다음 표현식을 사용해야 합니다.

1) 나는 = ∑m i *r i 2 .

2) 나는 = ∫dm *r i 2 = ρ*∫dV *r i 2 .

첫 번째 평등은 시스템의 개별 질량 배열에 적용되고 두 번째 평등은 연속적인 질량 배열에 적용됩니다.

이러한 표현에서 I는 회전축까지의 거리와 이 축을 기준으로 하는 시스템의 질량 분포의 함수이며 적용된 힘 M이나 회전 속도 Ω에 의존하지 않는다는 것이 분명합니다.

수학(단순) 진자

이러한 유형의 진동 시스템은 가장 간단하므로 더 자세히 살펴보겠습니다. 수학적 진자는 무게가 없고 확장할 수 없는 실에 매달려 있는 물질적 점입니다. 이 지점이 평형 위치에서 약간 벗어난 후 놓으면 진동하기 시작합니다. 또한 실이 부착되는 지점에는 마찰력이 없으며 공기 저항은 무시된다고 가정합니다.

위의 설명에서 알 수 있듯이 수학 진자는 실제로 실현되지 않는 이상적인 경우를 나타냅니다. 그럼에도 불구하고, 이 연구를 통해 우리는 고려 중인 움직임 유형에 대한 몇 가지 중요한 결론을 얻을 수 있습니다.

아래 그림은 이 진자를 보여주며 시스템이 진동할 때 시스템에 작용하는 힘도 나타냅니다.

운동 방정식을 적용하면 다음과 같은 등식을 얻습니다.

M = -m*g*sin(θ)*L; 나는 = m*L 2 ; α = d 2 θ/dt 2 =>

=> -m*g*sin(θ)*L = m*L 2 *d 2 θ/dt 2, 여기서:

L *d 2 θ/dt 2 + g*sin(θ) = 0.

나사산 장력 T(그림 참조) 중 일부는 축에 직접 작용하므로 0과 같다고 설명하겠습니다. 중력으로 인한 순간은 시계 방향으로 향하기 때문에 빼기 기호로 표시됩니다. L - 나사산 길이; 각가속도 α는 정의에 따라 시간에 대한 회전 각도의 2차 도함수이거나 각속도 Ω의 시간에 대한 1차 도함수입니다. 이 유형의 진자의 관성 모멘트에 대한 공식은 회전축으로부터 거리 L에 위치한 질량 m을 갖는 물질 점에 대한 공식과 일치합니다.

위의 표현식은 근사값 sin(θ)≒θ를 적용하면 단순화될 수 있습니다. 이는 진동 각도가 작은 경우에도 마찬가지입니다(최대 θ=10 o 오류는 0.5%를 초과하지 않음). 이 경우 우리는 다음을 얻습니다.

L*d 2 θ/dt 2 + g*θ = 0.

우리는 2차 고전미분방정식(미분방정식)을 얻었습니다. 그 해결책은 사인 함수입니다.

θ = A*sin(Ω*t+θ 0).

여기서 A와 θ 0 는 각각 진동의 진폭과 평형으로부터의 초기 이탈 각도입니다. 이 솔루션을 미분으로 대체하면. 당신. 더 높으면 각속도와 진동주기를 얻을 수 있습니다.

Ω = √(g/L) 및 T = 2*pi/Ω = 2*pi*√(L/g).

우리는 놀라운 결과를 얻었습니다. 수학 진자의 진동 주기는 초기 조건(A 및 θ 0)과 질량 m에 의존하지 않습니다.

갈릴레오는 처음으로 수학 진자의 동작을 연구하기 시작했습니다. 그 후, 호이겐스는 결과 공식을 사용하여 지구의 자유 낙하 가속도를 결정할 수 있는 가능성을 보여주었습니다.

일반형 물리진자

이 장치는 몸체의 질량 중심을 통과하지 않는 수평 축을 중심으로 진동하는 임의의 모양(질량은 부피에 걸쳐 고르지 않게 분포될 수 있음)의 고체 몸체입니다.

이 장치의 운동 방정식을 풀 때 질량이 무게 중심에 집중되어 있는 이상적인 물체를 고려합니다. 이 가정은 진동 기간에 대해 다음 공식으로 이어집니다.

T = 2*pi*√(I o /(m*g*h)).

여기서 h는 무게 중심에서 회전축 O까지의 거리이고, Io는 물리적 진자의 관성 모멘트입니다. 중력 모멘트를 계산하기 위해 이 양의 가산 속성을 사용하고 모든 모멘트의 합을 무게 중심에 적용된 모멘트로 줄일 수 있다면 관성 모멘트 I를 계산하려면 이렇게 할 수 없습니다. 이전에 주어진 일반 공식을 사용하여 계산됩니다.

진동봉과 관성모멘트

질량이 m이고 길이가 L인 단단한 막대가 끝 중 하나에 수직으로 매달려 있다고 상상해 봅시다. 이 디자인은 중력의 영향으로 진동할 수 있습니다.

그러한 막대에 축을 중심으로 적분을 적용하면 표시된 물리적 구조의 진자의 관성 모멘트가 다음과 같다는 것을 얻을 수 있습니다.

그러면 진동 기간은 다음과 같습니다.

T = 2*파이*√(2*L /(3*g)).

아래 그림은 이러한 유형의 진자를 보여줍니다.

그림에서 볼 수 있듯이 실에 추를 걸면 추가 달린 4개의 막대가 각가속도에 따라 회전하기 시작합니다.

Oberbeck 진자는 회전 운동 방정식을 테스트하기 위한 물리학 실험실 작업에 사용됩니다.

Oberbeck 진자의 관성 모멘트 결정

이 문제를 해결하려면 중요한 근사치를 만들어야 합니다. 스레드에 과부하가 걸리는 막대와 디스크의 무게는 하나의 하중 m의 무게에 비해 무시할 수 있습니다. 하중의 크기가 회전축까지의 거리보다 훨씬 작다는 점을 고려하면 재료 점의 관성 모멘트에 대한 공식을 사용할 수 있습니다. 4개의 추가 있고 모두 동일한 질량을 가지지만 축으로부터 서로 다른 거리에 위치하므로 Oberbeck 진자의 관성 모멘트에 대해 다음 공식을 얻습니다.

나는 = 나는 1 +나는 2 +나는 3 +나는 4 = m*(R 1 2 +R 2 2 +R 3 2 +R 4 2).

이 진자를 사용하면 막대에 있는 각 추의 위치를 ​​조정할 수 있으므로 관성 모멘트가 변경될 수 있습니다.

진자 축 주위로 서스펜션 스레드를 감고 고정합니다.

링의 아래쪽 가장자리가 기둥 눈금의 0에 해당하는지 확인하십시오. 그렇지 않은 경우 상단 브래킷의 나사를 풀고 높이를 조정하십시오. 상단 브래킷을 나사로 고정하십시오.

밀리세컨드 시계(휴대폰)의 “START” 버튼을 누르세요.

진자가 바닥점을 통과하는 순간 밀리초 시계를 중지합니다.

진자 축 주위로 서스펜션 스레드를 감아 한 바퀴씩 균등하게 감겨 있는지 확인합니다.

이 위치의 실이 너무 꼬이지 않았는지 확인하여 진자를 고정하십시오.

진자가 떨어지는 시간의 측정값을 기록한다.

타이밍 정의 N= 10번.

다음 공식을 사용하여 진자의 평균 낙하 시간 값을 결정합니다.

어디 N– 수행된 측정 횟수, 나는– 다음에서 얻은 시간 가치 나- 그 동결, 티– 진자가 떨어지는 시간의 평균값.

장치의 수직 기둥에 있는 눈금을 사용하여 낙하하는 동안 진자가 이동하는 거리를 결정합니다.

공식 (11)과 알려진 직경 값 사용 하다그리고 디엔, 축 주위에 감긴 실과 함께 축의 직경을 결정합니다.

식 (10)을 이용하여 이 실험에서 부과된 고리와 함께 진자의 질량을 계산한다. 개별 요소의 질량 값이 표시됩니다.

식 (9)를 사용하여 진자의 관성 모멘트를 결정합니다.

관성모멘트 이론값과 비교

I 이론 = I o + I m,

어디 나 오– 축의 관성 모멘트, 나는- 플라이휠의 관성 모멘트는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

나는 o = m o r o 2 / 2; 나는 k = m m r m 2 / 2 .

실제 데이터:

진자 길이.

표 1.

난, 남	t1	t2	t3	t4	t5

모든 것을 대체하고 계산하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

I 1 =(0.00090±0.00001)kg*m2.

결론: 작업 중 감긴 실의 길이에 따라 진자의 관성 모멘트를 결정하고 오류를 결정했습니다. 계산된 결과와 실험값을 비교하면 데이터에 상당한 차이가 있음을 알 수 있습니다.

결론: 우리는 진자의 실험적, 이론적 관성 모멘트를 결정했습니다.

그리고 그것들을 비교했다

1.1. 맥스웰 진자의 운동은 모든 점의 궤적이 평행한 평면에 있는 강체의 평면 운동의 예입니다. 이 운동은 진자의 병진 운동과 이 평면에 수직인 질량 중심을 통과하는 축 주위의 회전 운동으로 축소될 수 있습니다.

이러한 유형의 모션은 비행기의 실린더 롤링, 자동차 바퀴, 도로 차량의 롤러, 회전하는 헬리콥터 프로펠러의 움직임 등 기술에 널리 퍼져 있습니다.

1.2. 이 실험실 작업의 목적은 Maxwell 진자의 예를 사용하여 강체의 평면 운동에 실험적으로 익숙해지고 진자의 관성 모멘트를 결정하는 것입니다.

2. 기본 개념

2.1. 맥스웰 진자는 작은 플라이휠입니다. 진자의 축에 미리 감겨진 실의 인장력과 중력의 영향으로 낮아질 수 있습니다(그림 1). 스레드는 아래쪽으로 이동하는 동안 완전히 풀립니다. 꼬이지 않은 플라이휠은 같은 방향으로 계속 회전하고 축을 중심으로 실을 감아 올라가면서 움직임이 느려집니다. 최고점에 도달하면 다시 내려가기 시작합니다.

플라이휠은 주기적으로 반복적인 운동을 하기 때문에 진자(pendulum)라고 불립니다. 따라서 맥스웰 진자의 움직임은 하강과 상승의 두 단계로 나눌 수 있습니다.

2.2. (해당 축에 대한) 병진 및 회전 운동 역학의 기본 법칙에 따라 공기에 대한 마찰력과 나사산이 수직에서 벗어나는 것을 무시하고 다음과 같이 씁니다.

어디 중- 진자의 질량, 나- 축에 대한 진자의 관성 모멘트, - 진자 축 반경, N- 각 스레드의 인장력, g- 자유 낙하 가속도, 에이- 진자의 질량 중심의 선형 가속도, - 각가속도. 스레드의 확장성이 없기 때문에

이 방정식은 진자 운동의 첫 번째 단계와 두 번째 단계 모두에 적용됩니다. 여러 단계의 초기 조건은 다릅니다. 진자가 낮아지면 질량 중심의 초기 속도는 0이고, 올라가면 0과 다릅니다.

2.3 방정식 (1), (2), (3)으로부터 다음과 같다.

(5)

초기 속도가 0인 균일하게 가속된 운동에 대한 경로의 시간 의존성으로부터 진자의 선형 가속도를 찾을 수 있습니다.

어디 티- 진자가 상단에서 하단 지점까지 이동하는 시간, 시간- 이 시간 동안 이동한 거리입니다. ~에 우리는 가지고 있습니다; (7)

선형 가속도와 인장력의 방향은 진자가 위 또는 아래로 움직이는지 여부에 따라 달라지지 않습니다. 한 번의 완전한 진동 동안 선형 속도는 하단 지점에서 반대 방향으로 방향을 변경하지만 선형 가속도와 힘은 변하지 않습니다. 이에 반해 각속도는 방향이 바뀌지 않고, 힘의 모멘트와 바닥점에서의 각가속도가 반대가 됩니다.

2.4.위로 올라갈 때 진자는 똑같이 느리게 움직입니다. 키 h2, 그가 올라가는 곳은 그가 내려오는 곳보다 작을 것이다 h1. 이러한 높이의 차이는 충격 시 나사산의 변형력과 이동에 대한 저항력을 극복하는 데 소비되는 기계적 에너지의 감소를 결정합니다.

손실된 기계적 에너지의 비율

(9)

설치 설명

3.1. 설치 다이어그램은 그림 1에 나와 있습니다. 2. 기둥(2)이 베이스(1)에 고정되고, 상부 브래킷(3)이 그 위에 지지되며, 그 위에 전자석(4), 광전 센서(5) 및 진자 서스펜션의 수평을 맞추기 위한 손잡이(6)가 있습니다. 두 번째 광전 센서(7)는 하부 브래킷에 부착됩니다. Maxwell 진자 플라이휠은 축(9)에 장착된 디스크(8)와 축에 감긴 두 개의 평행 나사산에 부착된 거대한 링(10)으로 구성됩니다. 진자는 전자석에 의해 위쪽 위치에 고정됩니다. 진자를 낮추고 올리는 높이는 장치 기둥에 위치한 밀리미터 눈금자 11을 사용하여 결정됩니다. 밀리초 시계 MS 12는 시간 측정용으로 설계되었습니다. 티맥스웰 진자의 움직임. 시간 계산의 시작과 끝은 위에서 언급한 포토 센서를 사용하여 자동으로 수행됩니다.

Maxwell 진자의 관성 모멘트는 간접적으로 결정됩니다.

방정식 (6)과 (8)로부터 관성 모멘트는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

여기 중– 진자의 총 질량,

m = m 영형+m 디+m케이 , (11)

어디 중 영형 - 축 질량, 중 디 - 디스크의 질량.

4. 측정 순서

4.1. 기술 데이터.

4.1.1. 테이블에 설치 데이터를 입력합니다. 1.

표 1

4.1.2. 테이블에 들어갑니다. 진자 요소의 질량과 직경에 대한 2가지 값. 이 데이터는 설치 시 표시됩니다.

표 2

4.3. Maxwell 진자의 관성 모멘트 결정.

4.2.2. 서스펜션 스레드를 진자 축에 대칭으로 감고 회전하여 진자를 고정합니다. 매우 조심스럽게 작업해야 합니다.

4.2.3. 진자를 놓고 시간 계산을 시작합니다. 하단 지점에서 카운트다운을 중지합니다.

4.2.5. 진자의 이동 시간에 대한 측정값을 표 3에 입력한다. 단락 4.2.2 및 4.2.3의 작업을 반복하여 시간을 10번 더 측정하고 표에 데이터를 입력합니다. 3.

표 3

4.3. 기계적 에너지 손실 결정

4.3.1. 눈금자를 사용하여 높이 결정 시간 1, 진자가 내려오는 곳; 테이블에 들어가다 3.

4.3.2. 4.2.2 및 4.2.3 단락에 설명된 작업을 반복하고 진자가 5회 전체 진동을 수행하도록 한 다음 높이 차이를 측정합니다. DH. 이 측정을 한 번 수행하고 그 결과를 표에 입력하십시오. 3.

5. 측정 결과 처리

5.1. Maxwell 진자의 관성 모멘트 결정.

진자의 이동 시간의 평균값을 계산하여 표에 입력합니다. 3.

진자의 이동 시간을 측정할 때 평균 제곱 오차를 계산합니다.

(12)

5.1.3. 절대 무작위 오류 계산

Dtsl = 2,1D.S.. (13)

5.1.4. 총 절대 오차 계산

D t = D t сл + D t inc.(14)

5.1.5. 상대 오차 계산

계산된 모든 값을 테이블에 배치하십시오. 3.

5.1.6. 공식 (10)을 사용하여 진자의 관성 모멘트를 계산하고 평균값을 대체합니다.

5.1.7. 진자의 관성 모멘트의 상대 오차를 계산합니다.

, (16)

어디 디엠, 박사 영형, 디 h1- 해당 수량의 기기 오류, Dt -이동 시간의 총 절대 오차; 중-진자의 총 질량은 공식 (11)을 사용하여 계산됩니다.

5.1.8. 받은 값을 기준으로 에제절대 오차 값을 계산 디제이관성 모멘트를 결정할 때

DJ = eJJ= . (17)

둥근 디제이하나의 유효 숫자와 값 `J절대오류 수준이다.

5.1.9. 최종 결과를 양식에 작성하십시오.

J =`J± 디제이 =(±)kg×m 2 . (18)

5.2. Maxwell 진자가 움직이는 동안 기계적 에너지 손실을 결정합니다.

5.2.1. 공식 (9)는 맥스웰 진자의 5회 진동 동안 손실된 기계적 에너지의 비율을 나타냅니다. 한 번의 진동에 대해 점유율은 5배 더 작아집니다.

6. 직업 변호를 위해 제출된 질문

1. 병진 운동 역학의 기본 법칙.

3. 맥스웰 진자의 운동량과 축 각운동량은 운동의 가장 낮은 지점에서 어떻게 변합니까? 이유를 설명하세요.

4. 맥스웰 진자의 총 에너지 보존 법칙.

5. 가장 낮은 지점에서 진자의 선형 속도와 각속도를 찾습니다.

6. 강체의 관성 모멘트(정의). 그 크기는 무엇에 달려 있습니까?

7. 주어진 맥스웰 진자에 대한 회전 운동의 운동 에너지에 대한 병진 운동의 운동 에너지의 비율을 구하십시오.

8. 맥스웰 진자의 운동 기간 동안 선형 가속도와 각가속도는 어떻게 변합니까?

9. 강체의 운동량과 축방향 각운동량.

10. 진자가 가장 낮은 지점을 지날 때 실의 장력을 추정합니다. Dt"0.05c).

11. 축의 반경이 두 배가 되면 진자의 이동 시간은 어떻게 변합니까?

12. 강체의 병진 및 회전 운동의 운동 에너지.

13. 반경이 있는 디스크의 관성 모멘트 계산 아르 자형, 대량의 중

14. 맥스웰 진자가 움직이는 동안 어떤 힘과 힘의 순간이 작용합니까? 기간이 지나면서 어떻게 변하나요?

15. 반경이 있는 링의 관성 모멘트 계산 아르 자형, 대량의 중평면에 수직인 중심을 통과하는 축을 기준으로 합니다.

16. 역학적 에너지 보존 법칙에 기초하여 식 (10)을 구하라. (맥스웰 진자의 경우 E에서 VR로 >>E 게시하다).

17. 진자의 움직임 중 위쪽과 아래쪽 중 어느 부분에서 기계적 에너지 손실이 더 큽니까? 이유를 설명하세요.

관성 모멘트 결정

물리적 진자

작업의 목적: 물리적 진자에 익숙해지고 회전축에 대한 관성 모멘트를 결정합니다. 질량의 공간 분포에 대한 진자의 관성 모멘트 크기의 의존성에 대한 연구.

장치 및 액세서리: 서스펜션용 브래킷이 있는 물리적 진자, 진자의 무게 중심 위치를 결정하기 위한 금속 프리즘, 스톱워치.

이론적 소개.

물리적 진자(그림 1)는 중력의 영향을 받아 무게 중심(C)을 통과하지 않는 고정된 수평 축(O)을 중심으로 진동하는 강체입니다. 진자의 서스펜션 지점이 회전 중심입니다.

그림 1. 물리적 진자

진자가 평형 위치에서 각도 만큼 벗어날 때 중력에 의해 생성되는 토크가 발생합니다.

,

어디 엘– 서스펜션 지점과 진자의 무게 중심 사이의 거리(마이너스 기호는 힘의 순간이 중진자를 평형 위치로 되돌리려는 경향이 있는 방향을 가지고 있습니다. 각도 감소 ).

작은 편향각용
, 그 다음에

(0)

반면, 복원력의 순간은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(0)

나– 진자의 관성 모멘트

나– 각가속도.

(1)과 (2)로부터 다음을 얻을 수 있습니다.

.

지정
(0)

우리는 얻는다
(4)

식 (4)는 2차 선형미분방정식이다. 그 해결책은 다음과 같습니다.
.

방정식 (3)을 고려하면 물리적 진자의 작은 진동 주기는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

, (5)

어디
- 물리적 진자의 길이 감소

공식 (5)로부터 회전축에 대한 물리적 진자의 관성 모멘트를 표현할 수 있습니다.

(6)

측정으로 찾기 중, 엘그리고 티, 공식 (6)을 사용하여 주어진 회전축에 대한 물리적 진자의 관성 모멘트를 계산할 수 있습니다.

이 작업에서는 두 개의 거대한 강철 렌즈콩(A 1 및 A 2)과 서스펜션용 지지 프리즘(P 1 및 P 2)이 고정된 강철 막대인 물리적 진자를 사용합니다(그림 2). 이러한 진자의 관성 모멘트는 막대, 렌즈콩 및 프리즘의 관성 모멘트의 합이 됩니다.

,

어디 나 0 - 무게 중심을 통과하는 축에 대한 막대의 관성 모멘트.

(7)

중 성– 막대의 질량,

엘 성– 막대의 길이,

디– 로드의 무게 중심에서 서스펜션 지점까지의 거리.

렌즈콩과 프리즘의 관성 모멘트는 점 질량과 마찬가지로 대략적으로 계산할 수 있습니다. 그러면 진자의 관성 모멘트는 다음과 같이 작성됩니다.

어디
- 렌즈 콩 A 1 및 A 2 덩어리,

- 회전축(현탁점)에서 각각 렌즈콩 A 1 및 A 2까지의 거리,

- 프리즘 질량 P 1 및 P 1,

- 회전축에서 프리즘 P 1 및 P 2까지의 거리.

왜냐하면 작업 조건에 따라 렌즈콩 A 1 하나만 움직이면 관성 모멘트만 변경됩니다. 그리고

(9)

설치에 대한 설명입니다.

본 연구(그림 2)에 사용된 물리적 진자는 강철 막대(C)이며, 여기에 두 개의 거대한 강철 렌즈콩(A 1 및 A 2)과 서스펜션용 지지 프리즘(P 1 및 P 2)이 고정되어 있습니다. 진자는 브래킷에 매달려 있습니다.

렌즈콩 중 하나를 움직여 정지점(회전축)을 기준으로 진자의 관성 모멘트를 변경할 수 있습니다.

진자의 무게 중심은 특수 프리즘의 수평 가장자리에서 진자의 균형을 맞춰 결정됩니다(그림 3). 진자 막대에는 10mm마다 링 홈이 적용되어 자의 도움 없이 무게 중심에서 회전축까지의 거리를 정확하게 결정하는 역할을 합니다. 막대를 따라 렌즈콩 A 1을 살짝 움직이면 거리를 얻을 수 있습니다. 엘서스펜션 지점에서 무게 중심까지 막대의 눈금으로 측정한 정수 센티미터와 같습니다.

작업 순서.

진자의 무게 중심 위치를 결정합니다.

에이 ) 브래킷에서 진자를 제거하고 균형을 이루도록 특수 프리즘 P 3 (그림 3)에 수평 위치에 설치합니다. 정확한 평형 위치는 렌즈콩 A 1 을 약간 움직여 달성됩니다.

그림 3. 진자의 균형 맞추기

b) 진자의 눈금으로 측정 엘 - 서스펜션 지점(프리즘 가장자리 P 1)에서 진자의 무게 중심(프리즘 상단 가장자리 P 3)까지의 거리.

c) 진자 눈금을 사용하여 거리를 측정합니다. - 서스펜션 지점(프리즘 가장자리 P 1)에서 상단 렌즈콩 A 1까지.

2. 물리적 진자의 진동 주기를 결정합니다.

a) 브래킷에 프리즘 P 1이 있는 진자를 설치합니다(그림 2).

b) 진자가 50~100회 진동하는 시간을 결정합니다. 기록 시간 티 그리고 숫자 N진자 진동.

c) 다음 공식을 사용하여 물리적 진자의 진동 주기를 결정합니다.

(10)

3. 브래킷에서 진자를 제거합니다. 렌즈콩 A 1을 몇 센티미터 정도 새로운 위치로 옮기고 실험을 반복합니다. 정지 지점을 기준으로 렌즈콩 A1의 최소 세 가지 다른 위치에 대해 측정을 수행해야 합니다.

4. 식(6)을 이용하여 물리진자의 관성모멘트를 계산한다. 나 작전 .

5. 다음 공식을 사용하여 고려된 사례 중 하나에 대한 관성 모멘트의 상대 오차를 계산합니다.

. (11)

가치  티 그리고  엘기기의 정확도 등급에 따라 결정됩니다.

6. 절대오차 찾기
각 경우에 대해 상대 오차를 취하여 모든 경우에 동일합니다.

최종 결과를 표에 양식으로 작성하십시오.

7. 식 (8)을 사용하여 진자의 관성 모멘트를 계산합니다. 나 이론모든 경우에.

8. 얻은 결과를 비교 나 작전 그리고 나 이론, 비율 계산:

(12)

얻은 값 사이의 불일치가 얼마나 큰지, 불일치의 이유는 무엇인지에 대한 결론을 도출합니다.

측정 및 계산 결과

№ p/p					,	, kg m 2	나 이론, kg m 2

테스트 질문.

물리적 진자 란 무엇입니까?

물리적 진자의 감소된 길이는 얼마입니까?

고조파라고 불리는 진동은 무엇입니까?

진동주기란 무엇입니까?

물리적 진자의 진동주기를 계산하는 공식을 도출하십시오.

관성 모멘트란 무엇입니까? 관성 모멘트의 가산성은 무엇입니까?

물리적 진자의 관성 모멘트를 계산하는 공식을 얻습니다.

문학

1. Savelyev I.V. 일반 물리학 과정: 교과서. 대학 매뉴얼: 3권으로 구성됨 T.1: 역학. 분자 물리학. - 3판, 개정판. -M .: Nauka, 1986. – 432 p.

2. Detlaf A. A., Yavorsky B. M. 물리학 과정: 교과서. 대학 수당. - M .: 고등 학교, 1989. - 607 p. - 주제 법령: p. 588-603.

3. 물리학 실험실 워크숍: Proc. 대학생 매뉴얼 / B. F. Alekseev, K. A. Barsukov, I. A. Voitsekhovskaya 및 기타; 에드. K. A. Barsukova 및 Yu.Ukhanova. – M.: 더 높습니다. 학교, 1988. – 351 p .: 아프다.

실험실 작업에 대한 방법론 지침 No. 1.2

물리적 관성 모멘트 결정

흔들리는 추

작업 목적: 물리적 진자의 관성 모멘트를 결정하고 회전축을 기준으로 진자의 질량 중심 위치에 대한 관성 모멘트의 의존성을 연구합니다.

장치 및 액세서리: 브래킷의 물리적 진자, 스톱워치, 스탠드의 프리즘, 눈금자.

이론의 요소

안정된 위치(평형 위치)에 대한 신체의 주기적인 변위를 호출합니다.진동 운동또는 단순 진동. 일반적으로 진동 운동은 복잡한 물리적 과정을 나타냅니다. 진동에 대한 연구는 다양한 응용 분야(음향학, 기계 이론, 지진학 등)의 기초가 됩니다.

가장 간단한 유형의 진동은 조화 진동 운동입니다. 신체의 고조파 진동은 변위에 비례하는 힘이 가해질 때 발생합니다.. 이 힘을 준탄성 또는 복원력이라고 합니다. 복원력의 성격은 다를 수 있습니다(탄성력, 중력 등). 조화 운동의 경우 경로의 의존성(변위)) 시간부터 사인 또는 코사인 함수로 표현됩니다.

어디 평형 위치(진폭)에서 신체의 최대 변위,

원형 또는 순환 주파수,

하나의 완전한 진동 시간(주기),

진동의 초기 단계.

조화 진동을 수행하는 신체의 가속도는 변위에 비례하며 항상 평형을 향합니다. 시간 오프셋의 매 순간마다그리고 가속도 반대 기호가 있습니다.

. (1)

수직 위치(평형 위치)로부터의 이탈 각도가 작은 경우 중력의 영향을 받아 진자에 의해 조화 진동이 수행됩니다.

진자는 단순할 수도 있고 복잡할 수도 있습니다. 장력과 무게를 무시할 수 있는 긴 실에 매달려 있는 작은 몸체(물질점)를 단순 또는수학 진자. 무게 중심을 통과하지 않는 수평축에 고정된 임의의 모양의 고체는 복잡하거나물리적 진자.

모든 고체는 질량과 변함없이 연결된 재료 점의 집합으로 간주될 수 있습니다., , . . ., 따라서 물리적 진자의 관성 모멘트는 모든 물질 지점의 관성 모멘트의 합으로 정의될 수 있습니다.

, (2)

어디서 r 각각에서 회전축까지의 거리.

실제로는 공식 (2)를 사용하는 것이 불가능하므로 물리적 진자의 관성 모멘트를 결정하기 위해 회전 운동의 역학 법칙을 사용하여 진자의 진동을 설명하겠습니다.

물리적 진자에는 두 가지 힘이 작용합니다. 즉, 진자의 무게 중심(점)에 적용되는 중력입니다.), 진자가 부착된 지점, 즉 회전축이 지나가는 지점에 가해지는 지지 반력입니다.

물리적 진자가 평형 위치에서 각도만큼 벗어날 때(그림 1) 중력은 진동이 시작되는 영향으로 토크를 생성합니다.

쌀. 1

중력의 순간이 각가속도를 결정합니다..

회전축으로부터의 거리를 나타내면무게중심으로을 통해 , 그럼 중력의 순간다음과 같이 표현됩니다.

아니면 작은 각도로

, (3)

어디 중력 팔,진자 질량, 신체의 자유낙하 가속. "-"는 힘의 순간의 회복 특성으로 설명됩니다. 진자의 편향 각도와 반대 방향으로 향합니다.

진자가 진동할 때 무게 중심은 원호를 따라 이동하므로 진자의 움직임은 회전 운동 역학의 법칙을 사용하여 설명할 수 있습니다. 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.

, (4)

어디 회전축에 대한 몸체의 관성 모멘트.

방정식 (4)에 값을 대입하면(3) 각가속도에 관해 이를 풀면 다음과 같이 됩니다.

, (5)

방정식 (5)는 선형 수량 대신 각도량을 포함한다는 점에서만 방정식 (1)과 다릅니다.

방정식 (1)과 (5)를 비교하면 다음과 같습니다.또는 , 여기서 우리는 물리적 진자의 진동 기간에 대한 공식을 얻습니다.

. (6)

물리적 진자의 진동 기간에 대한 공식(5)에서 관성 모멘트를 찾습니다.

, (7)

어디 진자의 진동 기간.

이 식은 물리적 진자의 관성 모멘트를 구하는 계산식입니다.

실험 방법 및 설치 설명

이 작품의 물리적 진자는 강철 막대 O로 구성됩니다.디 , 거대한 원통형 몸체 B가 나사로 부착되어 있습니다 (그림 2). 지지 나사를 풀면 B 몸체가 로드를 따라 이동하게 되므로 진자의 무게 중심 위치가 변경될 수 있습니다.

진자를 매달려면 진자가 지점에 매달린 특수 브래킷을 사용하십시오..

쌀. 2

쌀. 3

진자의 무게 중심(점)을 찾으려면)는 안정적인 스탠드(의자 가장자리)에 장착된 특수 프리즘입니다. 진자는 이 프리즘의 가장자리에 수평으로 배치되고 균형을 관찰하면 진자의 오른쪽과 왼쪽 부분에 작용하는 중력 모멘트가 동일한 위치가 발견됩니다(그림 3). 이 위치에서 진자의 무게 중심은 지지점 반대쪽 막대에 위치하게 됩니다. 거리스케일 바를 사용하여 결정됩니다.

작업 수행 절차

1. 진자(막대와 하중)의 총 질량을 킬로그램 단위로 결정합니다.
2. 부하 B를 강화한 후 막대 끝에, 모든 지지대에서 점의 위치를 ​​결정합니다.거리를 측정하고아르 자형 눈금자.
3. 진자를 브래킷에 걸고 평형 위치에서 작은 각도만큼 편향시킨 다음(막대 끝이 6-8cm 거리로 후퇴됨) 풀어줍니다. 3~4회 풀스윙을 건너뛴 후 진자가 최대 편차에 도달하는 순간 스톱워치를 시작합니다. 시간을 결정진자의 3050 풀 스윙().
4. 3항에 설명된 작업을 3번 더 반복하고 얻은 데이터를 사용하여 진자의 진동 주기의 평균값을 결정합니다.하중의 주어진 위치에서.
5. 로드를 따라 하중을 이동합니다.6-7cm만큼 늘리고 설명된 측정 작업을 반복합니다.그리고 부하의 새로운 위치에서비.
6. 측정과 함께 하중 이동을 3~5회 수행하면 작업이 종료됩니다.
7. 얻은 실험 데이터는 식 (7)로 대체되고 진자의 관성 모멘트는 회전축에서 무게 중심의 서로 다른 거리에서 SI 단위 시스템으로 계산됩니다.
8. 측정 및 계산 결과는 표에 기록됩니다.

	kg					kg·m 2	kgm 2	kgm 2	kgm 2
	kg					kg·m 2	kgm 2	kgm 2	kgm 2
	kg					kg·m 2	kgm 2	kgm 2	kgm 2

1. 관성 모멘트의 결과는 표준 형식(간격 형식)으로 기록됩니다.
2. 표의 결과를 바탕으로 물리적 진자의 관성 모멘트가 무게 중심 위치에 의존한다는 결론이 도출됩니다.

테스트 질문

1. 어떤 진동을 자유라고 부르나요?
2. 고조파라고 불리는 진동은 무엇입니까?
3. 자유 조화 진동의 방정식을 적어보세요.
4. 진동의 빈도, 주기 및 진폭은 얼마입니까?
5. 시간이 지나도 변하지 않는 조화 진동의 특성은 무엇입니까?
6. 진동의 어떤 특성이 시간의 조화 함수입니까?
7. 재료점의 관성모멘트와 몸체의 관성모멘트를 정의합니다.
8. 물리적 진자를 정의합니다. 물리적 진자의 관성 모멘트는 막대 위의 원통 위치에 어떻게 의존합니까?
9. 2개 주세요! 힘의 순간을 결정합니다 (무게 중심에서 회전축까지의 거리와 힘의 팔을 통해). 힘의 순간의 방향을 결정하는 방법은 무엇입니까?
10. 회전운동에 대한 동역학의 기본법칙을 적고,얻다 설명과 함께 물리적 진자의 진동 기간에 대한 공식(추가 문헌을 사용하십시오).

교육기관

수학과 물리학과

흔들리는 추

실험실 작업에 대한 방법론 지침 No. 1.2

규율에 따라

"물리학"

교육기관

"상위 주립 커뮤니케이션 대학"

수학과 물리학과

물리적 관성 모멘트 결정

흔들리는 추

실험실 작업에 대한 방법론 지침 No. 1.2

규율에 따라

"물리학"

모든 전문 분야의 학생들을 위해

물리적 관성 모멘트 결정

흔들리는 추

작업 목적: 물리적 진자의 관성 모멘트를 결정하고 회전축을 기준으로 진자의 질량 중심 위치에 대한 관성 모멘트의 의존성을 연구합니다.

장치 및 액세서리: 브래킷의 물리적 진자, 스톱워치, 스탠드의 프리즘, 눈금자.

이론의 요소

안정된 위치(평형 위치)에 대한 신체의 주기적인 변위를 호출합니다. 진동 운동또는 단순 진동. 일반적으로 진동 운동은 복잡한 물리적 과정을 나타냅니다. 진동에 대한 연구는 다양한 응용 분야(음향학, 기계 이론, 지진학 등)의 기초가 됩니다.

가장 간단한 유형의 진동은 조화 진동 운동입니다. 신체의 고조파 진동은 변위에 비례하는 힘이 가해질 때 발생합니다. . 이 힘을 복원이라고합니다. 복원력의 성격은 다를 수 있습니다(탄성력, 중력 등). 조화 운동의 경우 경로의 의존성(변위) ) 시간부터 사인 또는 코사인 함수로 표현됩니다.

,

어디 - 평형 위치(진폭)에서 신체의 최대 변위,

- 원형 또는 순환 주파수,

- 하나의 완전한 진동 시간(주기),

- 진동의 초기 단계 .

조화 진동을 수행하는 신체의 가속도는 변위에 비례하며 항상 평형을 향합니다. 시간 오프셋의 매 순간마다 그리고 가속도 반대 기호가 있습니다.

. (1)

수직 위치(평형 위치)로부터의 이탈 각도가 작은 경우 중력의 영향을 받아 진자에 의해 조화 진동이 수행됩니다. 진자는 단순할 수도 있고 복잡할 수도 있습니다. 장력과 무게를 무시할 수 있는 긴 실에 매달려 있는 작은 몸체(물질점)를 단순 또는 수학 진자. 무게 중심을 통과하지 않는 수평축에 고정된 임의의 모양의 고체는 복잡하거나 물리적 진자.

모든 고체는 질량과 변함없이 연결된 재료 점의 집합으로 간주될 수 있습니다.
,
, . . .,
.

물리적 진자가 평형 위치에서 각도만큼 벗어날 때 (그림 1) 각 요소는 회전축에 대한 중력 모멘트의 영향을 받습니다. . 이 모든 힘의 모멘트의 합은 결과적인 중력의 모멘트와 같습니다.
, 진자의 무게 중심에 적용 (점 ).

중력 순간의 영향으로 진자는 각가속도로 진동하기 시작합니다.
.

회전축으로부터의 거리를 나타내면 무게중심으로 ~을 통해 , 그럼 중력의 순간
다음과 같이 표현됩니다.

아니면 작은 각도로

, (2)

어디 - 어깨 힘
,

- 진자의 질량,

-주어진 장소에서 신체의 자유 낙하 가속.

진자가 진동할 때 무게 중심은 원호를 따라 이동하므로 회전 운동에 대한 뉴턴의 제2법칙 방정식은 진자에도 적용됩니다. 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.

, (3)

어디 ‑ 회전축에 대한 몸체의 관성 모멘트 .

관성 모멘트 물질점은 질량의 곱(
)거리 제곱당( ) 회전축에서 (
). 물체의 관성 모멘트는 동일한 축에 대한 입자의 관성 모멘트의 합과 같습니다.

.

방정식 (3)에 값을 대입하면
그리고 각가속도에 관해 그것을 풀면, 우리는 다음을 얻습니다:

, (4)

식 (4)는 선형 양 대신 각량을 포함한다는 점에서만 식 (1)과 다릅니다.

방정식 (1)과 (4)를 비교하면 다음과 같습니다.
또는
, 여기서 우리는 물리적 진자의 진동 기간에 대한 공식을 얻습니다.

. (5)

물리적 진자의 진동 기간에 대한 공식(5)에서 관성 모멘트를 찾습니다.

, (6)

어디
- 진자의 진동 기간.

이 식은 물리적 진자의 관성 모멘트를 구하는 계산식입니다.

실험 방법 및 설치 설명

이 작품의 물리적 진자는 강철 막대로 구성됩니다.

ОD, 거대한 원통형 몸체 B가 나사로 부착되어 있습니다 (그림 2). 지지 나사를 풀면 B 몸체가 로드를 따라 이동하게 되므로 진자의 무게 중심 위치가 변경될 수 있습니다.

진자를 매달려면 진자가 지점에 매달린 특수 브래킷을 사용하십시오. .

진자의 무게 중심(점)을 찾으려면 )은 안정적인 스탠드에 장착된 특수 프리즘입니다. 진자는 이 프리즘의 가장자리에 수평으로 배치되고 균형을 관찰하면 진자의 오른쪽과 왼쪽 부분에 작용하는 중력 모멘트가 동일한 위치가 발견됩니다(그림 3). 이 위치에서 진자의 무게 중심은 지지점 반대쪽 막대에 위치하게 됩니다. 거리
스케일 바를 사용하여 결정됩니다.

작업 수행 절차

등. 을 위한 , 그리고 아르 자형 3.

탐닉 ~에서 선택한 좌표계에 그래픽으로 표시되며 값은 가로축에 표시됩니다. (중) 및 수직 (kg 중 2 ).

테스트 질문

물리적 진자의 정의.

재료점의 관성모멘트와 몸체의 관성모멘트를 결정합니다.

힘의 순간에 대한 2가지 정의를 제시하십시오(무게 중심에서 회전축까지의 거리와 힘의 팔을 통해).

진자의 운동에 대한 동역학 제2법칙을 작성하고 물리적 진자의 진동 기간에 대한 작동 공식을 유도합니다.