두 변수의 함수의 편도함수입니다.
솔루션의 개념 및 예시

이 수업에서 우리는 두 변수의 기능에 대해 계속해서 알아보고 아마도 가장 일반적인 주제별 작업인 찾기를 고려할 것입니다. 1차 및 2차 편도함수와 함수의 총 미분. 파트타임 학생은 원칙적으로 2학기 1학년에 부분도함수를 접하게 됩니다. 더욱이 내 관찰에 따르면 부분 파생 상품을 찾는 작업은 거의 항상 시험에 나타납니다.

아래 자료를 효과적으로 공부하려면 필요한한 변수의 함수에 대한 "일반적인" 파생어를 어느 정도 자신있게 찾을 수 있습니다. 파생상품을 올바르게 처리하는 방법을 수업에서 배울 수 있습니다. 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까?그리고 복잡한 함수의 파생. 또한 기본 함수와 미분 규칙의 미분 표가 필요합니다. 인쇄된 형태로 제공되는 것이 가장 편리합니다. 페이지에서 참고 자료를 얻을 수 있습니다 수학 공식 및 표.

두 변수의 함수 개념을 빠르게 반복해 보겠습니다. 최소한으로 제한하려고 노력하겠습니다. 두 변수의 함수는 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다. 변수는 호출됩니다. 독립변수또는 인수.

예: – 두 변수의 기능.

때로는 표기법이 사용됩니다. 편지 대신 편지를 사용하는 작업도 있습니다.

기하학적 관점에서 볼 때 두 변수의 함수는 3차원 공간(평면, 원통, 구, 포물면, 쌍곡면 등)의 표면을 가장 자주 나타냅니다. 그러나 사실 이것은 분석적 기하학에 더 가깝고 우리의 의제는 수학적 분석입니다. 대학 선생님은 결코 제가 글을 쓰도록 허락하지 않았으며 저의 "강점"입니다.

1차와 2차의 편도함수를 찾는 문제로 넘어가겠습니다. 커피를 몇 잔 마시고 상상할 수 없을 정도로 어려운 내용을 듣고 있는 분들을 위한 좋은 소식이 있습니다. 부분 도함수는 단일 변수 함수의 "보통" 도함수와 거의 동일합니다..

부분 도함수의 경우 모든 미분 규칙과 기본 함수의 도함수 표가 유효합니다. 지금 당장 알게 될 몇 가지 작은 차이점이 있습니다.

...예, 그런데 이 주제를 위해 제가 만들었습니다. 작은 PDF 책, 이를 통해 단 몇 시간 만에 "이빨을 박을" 수 있습니다. 하지만 이 사이트를 사용하면 확실히 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 단지 조금 느려질 수도 있습니다.

실시예 1

함수의 1차 및 2차 편도함수 찾기

먼저 1차 부분도함수를 구해보겠습니다. 두 가지가 있습니다.

명칭:
또는 - "x"에 관한 편도함수
또는 - "y"에 대한 편도함수

부터 시작해 보겠습니다. "x"에 대한 편도함수를 찾으면 변수는 상수(상수)로 간주됩니다..

수행된 작업에 대한 설명:

(1) 편도함수를 찾을 때 가장 먼저 하는 일은 결론을 내리는 것입니다. 모두소수 아래 괄호 안의 기능 아래첨자와 함께.

주의, 중요합니다!우리는 솔루션 프로세스 중에 첨자를 잃지 않습니다. 이 경우 가 없는 곳에 "획"을 그리면 교사는 최소한 과제 옆에 이를 넣을 수 있습니다(부주의를 위해 즉시 요점의 일부를 물어뜯음).

(2) 우리는 미분의 법칙을 사용합니다 , . 이와 같은 간단한 예의 경우 두 규칙을 모두 한 단계로 쉽게 적용할 수 있습니다. 첫 번째 항에 주의하세요: 이후 상수로 간주되며 모든 상수는 도함수 기호에서 제외될 수 있습니다., 그런 다음 대괄호로 묶습니다. 즉, 이 상황에서는 일반 숫자보다 나을 것이 없습니다. 이제 세 번째 용어를 살펴 보겠습니다. 여기서는 반대로 꺼낼 것이 없습니다. 상수이기 때문에 상수이기도 하며 이러한 의미에서 마지막 용어인 "7"보다 나을 것이 없습니다.

(3) 우리는 표 형식의 파생 상품과 을 사용합니다.

(4) 단순화시키거나 제가 말하고 싶은 대로 답을 "조정"해 봅시다.

지금 . "y"에 대한 편도함수를 찾으면 변수는 다음과 같습니다.상수로 간주됨(상수).

(1) 우리는 동일한 차별화 규칙을 사용합니다 , . 첫 번째 항에서는 도함수의 부호에서 상수를 제거하고, 두 번째 항에서는 이미 상수이기 때문에 아무것도 제거할 수 없습니다.

(2) 기본 함수의 도함수 표를 사용합니다. 표의 모든 "X"를 정신적으로 "I"로 바꿔 보겠습니다. 즉, 이 표는 (실제로 거의 모든 문자에 대해) 동일하게 유효합니다. 특히 우리가 사용하는 공식은 다음과 같습니다: 및 .

부분 파생 상품의 의미는 무엇입니까?

본질적으로 1차 편도함수는 다음과 같습니다. "보통" 파생물:

- 이것 기능, 이는 특징 변화율각각 및 축 방향으로 기능합니다. 예를 들어 다음 함수는 "상승"과 "경사"의 가파른 특징을 나타냅니다. 표면가로축 방향으로, 이 함수는 세로축 방향으로 동일한 표면의 "릴리프"에 대해 알려줍니다.

! 메모 : 이는 다음과 같은 방향을 의미합니다. 평행한좌표축.

더 나은 이해를 위해 평면의 특정 지점을 고려하고 해당 지점의 함수("높이") 값을 계산해 보겠습니다.
– 이제 당신이 여기(표면 위에) 있다고 상상해 보세요.

주어진 지점에서 "x"에 대한 편도함수를 계산해 보겠습니다.

"X" 파생상품의 음수 부호는 다음을 알려줍니다. 감소하는가로축 방향의 한 지점에서 기능합니다. 즉, 작은 것을 만들면 (무한)축의 끝을 향해 나아가다 (이 축과 평행), 그런 다음 표면의 경사를 따라 내려갑니다.

이제 우리는 세로축 방향으로 "지형"의 특성을 알아냅니다.

"y"에 대한 도함수는 양수이므로 축 방향의 한 지점에서 함수는 다음과 같습니다. 증가하다. 간단히 말해서 여기서 우리는 오르막길을 기다리고 있습니다.

또한, 한 점에서의 부분 도함수는 다음을 특징으로 합니다. 변화율해당 방향으로 기능합니다. 결과값이 클수록 모듈로– 표면이 가파르고 그 반대일수록 0에 가까울수록 표면은 더 평평해집니다. 따라서 이 예에서는 가로축 방향의 "기울기"가 세로축 방향의 "산"보다 가파릅니다.

그러나 그것은 두 개의 개인 경로였습니다. 우리가 있는 시점에서 보면, (그리고 일반적으로 주어진 표면의 어느 지점에서나)우리는 다른 방향으로 움직일 수 있습니다. 따라서 표면의 "풍경"에 대해 알려주는 일반적인 "내비게이션 지도"를 만드는 데 관심이 있습니다. 가능하다면모든 지점에서 이 함수의 정의 영역사용 가능한 모든 경로를 따라. 다음 강의 중 하나에서 이 내용과 다른 흥미로운 내용에 대해 이야기하겠습니다. 지금은 문제의 기술적인 측면으로 돌아가겠습니다.

기본 적용 규칙을 체계화하겠습니다.

1) 에 대해 미분하면 변수는 상수로 간주됩니다.

2) 다음과 같이 차별화를 할 때, 상수로 간주됩니다.

3) 기본 함수의 도함수 규칙과 표는 미분을 수행하는 모든 변수(또는 기타 변수)에 대해 유효하고 적용 가능합니다.

2단계. 우리는 2차 편도함수를 찾습니다. 그 중 4개가 있습니다.

명칭:
또는 - "x"에 관한 2차 미분
또는 - "y"에 관한 2차 미분
또는 - 혼합된"x by igr"의 파생물
또는 - 혼합된"Y"의 파생어

2차 미분에는 문제가 없습니다. 간단히 말해서, 2차 도함수는 1차 도함수의 도함수입니다..

편의상 이미 찾은 1차 부분도함수를 다시 작성하겠습니다.

먼저 혼합 파생 상품을 찾아 보겠습니다.

보시다시피 모든 것이 간단합니다. 편도함수를 취하여 다시 미분하지만 이 경우에는 이번에는 "Y"를 따릅니다.

비슷하게:

실제 예에서는 다음 평등에 집중할 수 있습니다.:

따라서 2차 혼합도함수를 통해 1차 부분도함수를 올바르게 찾았는지 확인하는 것이 매우 편리합니다.

"x"에 대한 2차 도함수를 구합니다.
발명품은 없어, 가져가자 다시 "x"로 차별화합니다.

비슷하게:

찾을 때 표시해야한다는 점에 유의해야합니다. 주의력 증가, 이를 확인할 수 있는 기적적인 평등이 없기 때문입니다.

2차 도함수는 또한 폭넓은 실제 적용을 발견하며, 특히 다음을 찾는 문제에 사용됩니다. 두 변수의 함수의 극값. 그러나 모든 것에는 시간이 있습니다.

실시예 2

해당 점에서 함수의 1차 편도함수를 계산합니다. 2차 도함수를 찾아보세요.

이는 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 있음). 뿌리를 구별하는 데 어려움이 있으면 수업으로 돌아가세요. 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까?일반적으로 머지않아 이러한 파생 상품을 "즉시" 찾는 방법을 배우게 될 것입니다.

좀 더 복잡한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 3

확인해 보세요. 1차 총 미분을 적어보세요.

풀이: 1차 부분도함수를 구합니다:

아래 첨자에 주의하세요: , "X" 옆에 상수라는 것을 괄호 안에 쓰는 것은 금지되지 않습니다. 이 노트는 초보자가 솔루션을 더 쉽게 탐색할 수 있도록 매우 유용할 수 있습니다.

추가 의견:

(1) 모든 상수를 도함수의 부호 이상으로 이동합니다. 이 경우, 및 , 따라서 해당 곱은 상수로 간주됩니다.

(2) 뿌리를 정확하게 구별하는 방법을 잊지 마십시오.

(1) 도함수의 부호에서 모든 상수를 제거합니다. 이 경우 상수는 입니다.

(2) 소수 아래에는 두 함수의 곱이 남아 있으므로 곱을 미분하는 규칙을 사용해야 합니다. .

(3) 이것이 복잡한 기능이라는 점을 잊지 마십시오(복잡한 기능 중 가장 단순한 기능일지라도). 우리는 해당 규칙을 사용합니다. .

이제 우리는 2차 혼합 파생 상품을 찾습니다.

이는 모든 계산이 올바르게 수행되었음을 의미합니다.

총 차등을 적어 보겠습니다. 고려 중인 작업의 맥락에서 두 변수 함수의 전체 미분이 무엇인지 말하는 것은 의미가 없습니다. 이러한 차이가 실제 문제에 자주 기록되어야 하는 것이 중요합니다.

1차 총 미분두 변수의 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이 경우:

즉, 이미 찾은 1차 편도함수를 공식에 어리석게 대체하면 됩니다. 이와 유사한 상황에서는 분자에 미분 기호를 쓰는 것이 가장 좋습니다.

그리고 독자들의 거듭된 요청에 따라, 2차 총 미분.

다음과 같습니다.

2차의 "한 글자" 파생어를 주의 깊게 찾아보겠습니다.

그리고 "괴물"을 적고 사각형과 제품을 조심스럽게 "부착"하고 혼합 파생 상품을 두 배로 늘리는 것을 잊지 마십시오.

뭔가 어려워 보이더라도 괜찮습니다. 미분 기법을 익힌 후에는 언제든지 파생 상품으로 돌아올 수 있습니다.

실시예 4

함수의 1차 편도함수 찾기 . 확인해 보세요. 1차 총 미분을 적어보세요.

복잡한 기능이 포함된 일련의 예를 살펴보겠습니다.

실시예 5

함수의 1차 편도함수를 구합니다.

해결책:

실시예 6

함수의 1차 편도함수 찾기 .
총 차액을 적어보세요.

이것은 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 나와 있습니다). 매우 간단하기 때문에 완전한 솔루션을 제공하지는 않습니다.

위의 모든 규칙이 조합되어 적용되는 경우가 많습니다.

실시예 7

함수의 1차 편도함수 찾기 .

(1) 합을 미분하는 규칙을 사용합니다.

(2) 이 경우 첫 번째 항은 상수로 간주됩니다. 표현에는 "x"에 의존하는 것이 없고 오직 "y"에만 의존하기 때문입니다. 아시다시피, 분수가 0으로 바뀔 수 있다는 것은 언제나 좋은 일입니다.) 두 번째 항에는 제품 차별화 규칙을 적용합니다. 그건 그렇고, 이런 의미에서 대신에 함수가 주어졌다면 아무것도 바뀌지 않았을 것입니다. 중요한 것은 여기서 두 가지 기능의 곱, 각각은 다음에 달려 있습니다. "엑스"이므로 제품차별화 법칙을 사용해야 합니다. 세 번째 항에는 복소 함수의 미분 규칙을 적용합니다.

(1) 분자와 분모의 첫 번째 항에 "y"가 포함되어 있으므로 몫을 미분하는 규칙을 사용해야 합니다. . 두 번째 항은 "x"에만 의존합니다. 즉, 상수로 간주되어 0으로 변합니다. 세 번째 항에서는 복소 함수를 미분하는 규칙을 사용합니다.

용기 있게 수업을 거의 끝까지 마친 독자들을 위해 저는 여러분에게 안도감을 주기 위해 오래된 메크마토프의 농담을 말씀드리겠습니다.

어느 날 기능의 공간에 사악한 파생물이 나타나 모든 사람을 차별화하기 시작했습니다. 모든 기능이 사방으로 흩어져 있어 아무도 변신하고 싶어하지 않습니다! 그리고 단 하나의 기능만 도망가지 않습니다. 파생 상품이 그녀에게 다가가서 묻습니다.

- 나한테서 도망치지 그래?

- 하. 하지만 저는 상관하지 않습니다. 왜냐하면 저는 "X의 거듭제곱"이기 때문입니다. 그리고 당신은 나에게 아무 짓도 하지 않을 것입니다!

교활한 미소를 지닌 사악한 파생물이 대답합니다.

- 여기서 착각하신게 Y로 구분해드릴테니 0이 되셔야 합니다.

이 농담을 이해한 사람은 적어도 "C" 수준까지 파생 상품을 마스터한 사람입니다.

실시예 8

함수의 1차 편도함수 찾기 .

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 문제의 완전한 해결책과 예시는 수업의 마지막 부분에 있습니다.

글쎄, 그게 거의 전부입니다. 마지막으로, 수학 애호가들을 위해 한 가지 예를 더 들어드리지 않을 수 없습니다. 아마추어에 관한 것이 아니라 모든 사람이 서로 다른 수준의 수학적 준비를 가지고 있습니다. 더 어려운 작업과 경쟁하기를 좋아하는 사람들이 있습니다(그리 드물지는 않습니다). 하지만 이 강의의 마지막 예는 계산적 관점에서 볼 때 복잡하기 때문에 복잡하지 않습니다.

함수의 선형화. 접하는 평면이고 표면에 수직입니다.

고차의 파생상품과 미분상품.

1. FNP의 부분 파생물 *)

기능을 고려하십시오 그리고 = 에프(P), 리두르 N아니면 뭐가 똑같나요?

그리고 = 에프(엑스 1 , 엑스 2 , ..., xn).

변수의 값을 고쳐보자 엑스 2 , ..., xn, 그리고 변수 엑스 1 증분 D를 주자 엑스 1. 그런 다음 기능 그리고평등에 의해 결정된 증분을 받게됩니다

= 에프 (엑스 1 +D 엑스 1 , 엑스 2 , ..., xn) – 에프(엑스 1 , 엑스 2 , ..., xn).

이 증분을 개인 증분기능 그리고변수별 엑스 1 .

정의 7.1.편도함수 그리고 = 에프(엑스 1 , 엑스 2 , ..., xn) 변수별 엑스 1은 인수 D의 증분에 대한 함수의 부분 증분 비율의 한계입니다. 엑스 D에 1개 엑스 1 ® 0(이 제한이 있는 경우).

에 관한 편도함수 엑스 1자

따라서 정의에 따르면

다른 변수에 대한 부분 도함수도 비슷하게 결정됩니다. 엑스 2 , ..., xn. 정의에서 변수에 대한 함수의 편미분은 다음과 같습니다. x 나는하나의 변수에 대한 함수의 일반적인 파생물입니다. x 나는, 다른 변수가 상수로 간주되는 경우. 따라서 이전에 연구된 모든 규칙과 미분 공식을 사용하여 여러 변수의 함수의 도함수를 찾을 수 있습니다.

예를 들어, 함수의 경우 유 = 엑스 3 + 3xy – 지 2 우리는

따라서 여러 변수의 함수가 명시적으로 주어지면 존재에 대한 질문과 부분 파생물을 찾는 것이 파생물을 결정하는 데 필요한 변수의 기능에 관한 해당 질문으로 축소됩니다.

암시적으로 정의된 함수를 생각해 봅시다. 방정식 F( 엑스, 와이) = 0은 하나의 변수에 대한 암시적 함수를 정의합니다. 엑스. 공정한

정리 7.1.

F( 엑스 0 , 와이 0) = 0 및 함수 F( 엑스, 와이), F¢ 엑스(엑스, 와이), F¢ ~에(엑스, 와이)는 점( 엑스 0 , ~에 0) 및 F¢ ~에(엑스 0 , 와이 0) ¹ 0. 그러면 함수는 ~에, 방정식 F( 엑스, 와이) = 0, 지점에 있음 ( 엑스 0 , 와이 0) 파생 상품은 다음과 같습니다.

.

DÌ R 2 영역의 어느 지점에서든 정리의 조건이 충족되면 이 영역의 각 지점에서 .

예를 들어, 함수의 경우 엑스 3 –2~에 4 + 우와+ 1 = 0 우리는 찾았습니다

이제 방정식 F( 엑스, 와이, 지) = 0은 두 변수의 암시적 함수를 정의합니다. 찾아 보자. 에 대한 미분을 계산한 이후 엑스고정(일정)으로 생산됨 ~에, 이러한 조건 하에서 평등 F( 엑스, 와이=상수, 지) = 0 정의 지하나의 변수의 함수로 엑스정리 7.1에 따르면 우리는 다음을 얻습니다.

.

비슷하게 .

따라서 다음 방정식에 의해 암시적으로 주어진 두 변수의 함수에 대해 , 부분 파생물은 다음 공식을 사용하여 구됩니다. ,

실무 2호

"미분 기능"

수업의 목적: 이 주제에 대한 예와 문제를 해결하는 방법을 알아보세요.

이론 문제(기준):

1. 극한에서 함수를 연구하기 위해 도함수를 적용합니다.

2. 함수의 미분, 기하학적, 물리적 의미.

3. 여러 변수의 함수를 완전 미분합니다.

4. 많은 변수의 함수로서의 신체 상태.

5. 대략적인 계산.

6. 편도함수와 총미분 찾기.

7. 약동학, 미생물학 등에서 이러한 개념을 사용하는 예

(자기 준비)

1. 공과 주제에 관한 질문에 답합니다.

2. 예시를 풀어보세요.

예

다음 함수의 미분을 찾아보세요.

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

도함수를 사용하여 함수 연구

함수 y = f(x)가 구간 [a, b]에서 증가하기 위한 조건

세그먼트 [a, b]에서 감소하는 함수 y=f(x)의 조건

x=a에서 최대 함수 y=f(x)에 대한 조건

f"(a)=0 및 f"" (a)<0

x=a에서 도함수 f"(a) = 0이고 f"(a) = 0이면 점 x = a 근처에서 f"(x)를 연구해야 합니다. 함수 y=f( x) x=a에서 최대값을 가집니다. x = a 지점을 통과할 때 도함수 f"(x)의 부호가 "+"에서 "-"로 변경되고, 최소값의 경우 -가 "-"에서 변경됩니다. "+"로 f"(x)가 x = a 지점을 통과할 때 부호가 변경되지 않으면 이 지점에서 함수에는 극값이 없습니다.

기능 미분.

독립변수의 미분은 그 증분과 같습니다.

함수 y=f(x)의 미분

두 함수의 합(차)의 미분 y=u±v

두 함수 y=uv의 곱의 미분

두 함수의 몫의 미분 y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

기능증가

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≒ dy ≒ f"(x) Δx

여기서 Δx: - 인수 증가분.

함수 값의 대략적인 계산:

f(x + Δx) ≒ f(x) + f"(x) Δx

대략적인 계산에 미분 적용

미분은 간접 측정 u = f(x, y, z.)에서 절대 및 상대 오류를 계산하는 데 사용됩니다. 측정 결과의 절대 오차

du≒Δu≒|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

측정 결과의 상대 오차

du/u≒Δu/u≒(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

차동 기능.

함수 증가의 주요 부분인 함수의 미분 그리고.미분의 개념과 밀접하게 관련된 것은 함수의 미분의 개념입니다. 기능을 보자 에프엑스(f(x))주어진 값에 대해 연속적입니다. 엑스파생상품이 있고

디 f/Dx = f¢(x) + a(Dx), 여기서 함수의 증가는 Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx,어디 a(Dx) ® 0~에 Dх ® 0. 극소의 순서를 결정하자 f¢(x)Dx Dx.:

그러므로 극소 f¢(x)Dx그리고 Dx동일한 크기의 차수를 가집니다. 즉 f¢(x)Dx = O.

극소의 순서를 결정하자 a(Dх)Dх무한대에 비해 Dx:

그러므로 극소 a(Dх)Dх무한소에 비해 크기가 더 작습니다. Dx, 즉 a(Dx)Dx = o.

따라서, 무한한 증가 Df미분 함수는 두 가지 항의 형태로 표현될 수 있습니다. f¢(x)Dx와 같은 크기의 작은 것 Dx그리고 극소 a(Dх)Dх무한소에 비해 더 높은 수준의 작은 크기 Dx.즉 평등에 있어서 Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx~에 Dх® 0두 번째 항은 첫 번째 항보다 "빠르게" 0이 되는 경향이 있습니다. a(Dx)Dx = o.

첫 학기 f¢(x)Dx,에 대해 선형 Dx, 라고 불리는 미분 함수 에프엑스(f(x)) 그 시점에 엑스그리고 표시하다 다이또는 df(“de igrek” 또는 “de ef”를 읽으십시오). 그래서,

dy = df = f¢(x)Dx.

미분의 분석적 의미함수의 미분이 함수 증가의 주요 부분이라는 것입니다 Df, 인수 증가에 대해 선형 Dx. 함수의 미분은 다음보다 더 높은 크기의 무한소만큼 함수를 증분하는 것과 다릅니다. Dx. 정말, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx또는 Df = df + a(Dx)Dx . 인수 미분 dx그 증가분과 동일 Dx: dx=Dx.

예.함수의 미분값 계산 f(x) = x 3 + 2x,언제 엑스 1에서 1.1까지 다양합니다.

해결책.이 함수의 미분에 대한 일반적인 표현을 찾아보겠습니다.

값 대체 dx=Dx=1.1–1= 0.1그리고 엑스 = 1마지막 공식에 원하는 미분 값을 얻습니다. df½ x=1; = 0,5.

부분 파생상품 및 미분 상품.

1차 편도함수. 함수 z = f(x,y)의 1차 편도함수 ) 논쟁으로 엑스문제의 시점에서 (x;y)한계라고 불리는

존재한다면.

함수의 편도함수 z = f(x, y)논쟁으로 엑스다음 기호 중 하나로 표시됩니다.

마찬가지로, 에 대한 편도함수는 ~에다음 공식으로 표시되고 정의됩니다.

편도함수는 하나의 인수를 갖는 함수의 일반 도함수이므로 계산이 어렵지 않습니다. 이렇게 하려면 지금까지 고려한 모든 미분 규칙을 사용해야 하며, 각 경우에 어떤 인수가 "상수"로 간주되고 "미분 변수"로 사용되는지를 고려해야 합니다.

논평.예를 들어 인수에 대한 편도함수를 찾으려면 x – df/dx, 함수의 일반적인 도함수를 찾는 것으로 충분합니다. 에프(x,y),후자를 하나의 인수의 함수로 간주 엑스, 에이 ~에- 끊임없는; 찾기 위해 df/dy- 그 반대.

예.함수의 편도함수 값 찾기 f(x,y) = 2x 2 + y 2그 시점에 P(1;2).

해결책.계산 에프(x,y)하나의 인수의 함수 엑스그리고 미분의 규칙을 사용하여 우리는 다음을 찾습니다.

그 시점에서 피(1;2)파생 가치

f(x;y)를 하나의 인수 y의 함수로 생각하면 다음을 찾을 수 있습니다.

그 시점에서 피(1;2)파생 가치

학생의 독립적인 작업을 위한 과제:

다음 함수의 미분을 찾아보세요.

다음 문제를 해결하세요.

1. 한 변 x=10cm인 정사각형의 한 변이 0.01cm 줄어들면 면적은 얼마나 줄어들까요?

2. 신체 운동 방정식은 다음과 같습니다. y=t 3 /2+2t 2, 여기서 s는 미터로 표시되고 t는 초로 표시됩니다. 움직임 시작부터 t=1.92초 동안 신체가 이동한 경로 s를 구합니다.

문학

1. Lobotskaya N.L. 고등 수학의 기초 - M.: "고등 학교", 1978.C198-226.

2. Bailey N. 생물학 및 의학 분야의 수학. 당. 영어에서 M.: "미르", 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. 의학 및 생물 물리학 문제 모음 - M.: "Higher School", 1987. P16-20.

자료의 기록과 표현을 단순화하기 위해 우리는 두 변수의 함수의 경우로 제한하겠습니다. 다음의 모든 내용은 다양한 변수의 함수에도 적용됩니다.

정의. 편미분기능 z = f(엑스, 와이) 독립변수별 엑스파생상품이라고 불리는

상수로 계산됨 ~에.

변수에 대한 편도함수는 비슷하게 결정됩니다. ~에.

편미분의 경우 일반적인 미분 규칙과 공식이 유효합니다.

정의.편도함수와 인수의 증분의 곱 엑스(y)라고 불린다 편미분변수별 엑스(~에) 두 변수의 함수 z = f(엑스, 와이) (기호: ):

독립변수의 미분 미만인 경우 dx(다이) 증분 이해 엑스(~에), 저것

기능을 위해 z = f(엑스, 와이) 주파수 도함수와 의 기하학적 의미를 알아봅시다.

요점을 고려하세요, 요점 피 0 (엑스 0 ,와이 0 , 지 0) 표면에 z = f(엑스,~에) 및 곡선 엘, 평면으로 표면을 절단하여 얻은 것 와이 = 와이 0 . 이 곡선은 하나의 변수에 대한 함수의 그래프로 볼 수 있습니다. z = f(엑스, 와이) 비행기에서 와이 = 와이 0 . 시점에서 개최된다면 아르 자형 0 (엑스 0 , y 0 , z 0) 곡선에 접함 엘, 그런 다음 하나의 변수 함수의 미분의 기하학적 의미에 따라 , 어디 에이 – 축의 양의 방향과 접선이 이루는 각도 오.

또는: 마찬가지로 다른 변수도 수정해 보겠습니다. 표면을 횡단면으로 해보자 z = f(엑스, 와이) 비행기 x = x 0 . 그런 다음 기능

z = f(엑스 0 , y)는 하나의 변수의 함수로 간주될 수 있습니다. ~에:

어디 비– 점에서 접선이 이루는 각도 중 0 (엑스 0 , y 0) 양의 축 방향 아야(그림 1.2).

쌀. 1.2. 부분 도함수의 기하학적 의미를 보여주는 그림

예제 1.6.주어진 함수 z = 엑스 2 – 3XY – 4~에 2 – 엑스 + 2와이 + 1. 및 를 찾아보세요.

해결책.치고는 ~에상수 값으로 우리는

계산 엑스상수, 우리는 발견

함수가 일부 (개방형) 도메인에서 정의되도록 하세요. 디 전철기
차원 공간과
– 이 영역의 한 지점, 즉
디.

부분적인 기능 증가모든 변수에 대한 많은 변수의 증가는 다른 모든 변수가 상수 값을 갖는다고 가정하고 이 변수에 증분을 제공할 경우 함수가 받게 될 증분입니다.

예를 들어, 변수에 의한 함수의 부분 증가 ~ 할 것이다

독립변수에 대한 편도함수 그 시점에
함수의 부분 증분 비율의 한계(존재하는 경우)를 호출합니다.
증가시키는 함수
변하기 쉬운 노력하는 동안
0으로:

편도함수는 다음 기호 중 하나로 표시됩니다.

;
.

논평.색인 아래 표기법에서는 어떤 변수를 도함수로 사용하는지 표시할 뿐이며 어떤 지점과 관련이 없습니다.
이 파생물이 계산됩니다.

편도함수 계산은 일반 도함수 계산에 비해 새로운 것이 아닙니다. 변수에 대해 함수를 미분할 때 다른 모든 변수는 상수로 간주된다는 점만 기억하면 됩니다. 이를 예시로 보여드리겠습니다.

예시 1.함수의 편도함수 찾기
.

해결책. 함수의 편도함수를 계산할 때
논쟁으로 기능을 고려하다 단 하나의 변수에 대한 함수로 , 즉. 우리는 그것을 믿는다 고정된 값을 가지고 있습니다. 고정시 기능
인수의 거듭제곱 함수입니다. .

검정력 함수를 미분하는 공식을 사용하여 다음을 얻습니다. 마찬가지로 편도함수를 계산할 때 값이 고정되어 있다고 가정합니다.
, 그리고 기능을 고려 인수의 지수 함수로

.. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:실시예 2 N IT 부분 파생상품
.

해결책.그리고 기능 에 대한 편도함수를 계산할 때 주어진 함수 우리는 그것을 하나의 변수의 함수로 간주할 것입니다
및 다음을 포함하는 표현식 , 즉 상수 요소가 됩니다. (
). 이 표현을 다음과 같이 차별화합니다. , 우리는 다음을 얻습니다:

.

이제 반대로 기능은 하나의 변수의 함수로 간주 , 다음을 포함하는 표현식 , 계수로 작용
(
).차별화 삼각 함수의 미분 규칙에 따라 다음을 얻습니다.

예시 3. 함수의 편도함수 계산
그 시점에
.

해결책.먼저 임의의 지점에서 이 함수의 편도함수를 찾습니다.
정의의 영역입니다. 에 대한 편도함수를 계산할 때 우리는 그것을 믿는다
영구적입니다.

으로 구별할 때 영구적일 것이다
:

그리고 다음과 관련하여 편도함수를 계산할 때 그리고 마찬가지로, 각각 일정할 것입니다.
N
, 즉.:

이제 해당 지점에서 이러한 파생 상품의 값을 계산해 보겠습니다.
, 특정 변수 값을 해당 표현식으로 대체합니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

11. 부분 및 완전 미분 기능

이제 부분적으로 증가하면
변수의 유한 증분에 라그랑주의 정리 적용 , 그렇다면 고려 연속적으로 우리는 다음과 같은 관계를 얻습니다.

어디
,
– 무한한 양.

편미분 기능변수별 부분 증분의 주요 선형 부분이라고 합니다.
, 이 변수에 대한 편도함수와 이 변수의 증분의 곱과 동일하며 다음과 같이 표시됩니다.

분명히, 편미분은 극미량의 고차에 의한 부분 증분과 다릅니다.

전체 기능 증가많은 변수의 증가분은 모든 독립 변수에 증분을 줄 때 받게 될 증분이라고 합니다.

다들 어디 있어?
, 의존하고 그들과 함께 0이되는 경향이 있습니다.

아래에 독립변수의 미분 암시하기로 합의 임의의증분
그들을 지정하고
.

따라서 편미분에 대한 표현식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 예를 들어 편미분 에 의해

.

다음과 같이 정의됩니다.
완전 차동
여러 변수의 함수를 전체 증분의 주요 선형 부분이라고 합니다. , 같음, 즉

모든 편미분의 합:
기능의 경우

연속 부분 도함수가 있습니다
그 시점에 그럼 그녀는.

특정 지점에서 미분 가능
미분 가능한 함수를 위해 충분히 작은 경우

,

대략적인 평등이 있습니다

이를 통해 대략적인 계산을 할 수 있습니다.예시 4.
함수의 완전미분 구하기
.

해결책.세 가지 변수

우선, 우리는 편도함수를 찾습니다:
모든 값에 대해 연속적임을 확인

, 우리는 다음을 찾습니다: N 많은 변수의 함수에 대한 미분의 경우, 하나의 변수에 대한 함수의 경우에 대해 입증된 미분의 속성에 대한 모든 정리가 참입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
, 모든 변수에 대해 연속 부분 도함수를 가지며, N 임의의 상수이면 다음과 같습니다.

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