Sudut antara garis lurus pada suatu bidang. Sudut antar garis dalam ruang Temukan sudut lancip antar garis kalkulator online

Materi ini dikhususkan untuk konsep sudut antara dua garis yang berpotongan. Di paragraf pertama kami akan menjelaskan apa itu dan menunjukkannya dalam ilustrasi. Kemudian kita akan melihat cara di mana Anda dapat menemukan sinus, kosinus dari sudut ini dan sudut itu sendiri (kami akan mempertimbangkan secara terpisah kasus dengan bidang dan ruang tiga dimensi), kami akan memberikan rumus yang diperlukan dan menunjukkan dengan tepat dengan contoh bagaimana mereka digunakan dalam praktik.

Untuk memahami besarnya sudut yang terbentuk pada perpotongan dua garis, kita perlu mengingat pengertian sudut, tegak lurus, dan titik potong.

Definisi 1

Kita menyebut dua garis berpotongan jika keduanya mempunyai satu titik persekutuan. Titik ini disebut titik potong dua garis.

Setiap garis lurus dibagi oleh titik potong menjadi sinar-sinar. Kedua garis lurus tersebut membentuk 4 sudut, dua diantaranya vertikal dan dua lagi berdekatan. Jika kita mengetahui ukuran salah satunya, maka kita dapat menentukan sisanya.

Katakanlah kita mengetahui bahwa salah satu sudutnya sama dengan α. Dalam hal ini, sudut vertikal terhadapnya juga akan sama dengan α. Untuk mencari sudut yang tersisa, kita perlu menghitung selisih 180° - . Jika α sama dengan 90 derajat, maka semua sudut siku-siku. Garis yang berpotongan tegak lurus disebut tegak lurus (artikel terpisah dikhususkan untuk konsep tegak lurus).

Lihatlah gambar:

Mari kita beralih ke merumuskan definisi utama.

Definisi 2

Sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan adalah besar sudut yang lebih kecil dari 4 sudut yang membentuk kedua garis tersebut.

Kesimpulan penting harus ditarik dari definisi tersebut: besar sudut dalam hal ini akan dinyatakan dengan bilangan real apa pun dalam interval (0, 90). Jika garis-garisnya tegak lurus, maka sudut di antara keduanya akan tetap sama. sama dengan 90 derajat.

Kemampuan mencari besar sudut antara dua garis yang berpotongan berguna untuk memecahkan banyak masalah praktis. Metode penyelesaiannya dapat dipilih dari beberapa pilihan.

Untuk memulainya, kita dapat mengambil metode geometris. Jika kita mengetahui sesuatu tentang sudut-sudut yang saling melengkapi, maka kita dapat menghubungkannya dengan sudut yang kita perlukan dengan menggunakan sifat-sifat bangun datar yang sama besar atau sebangun. Misalnya, jika kita mengetahui sisi-sisi suatu segitiga dan perlu menghitung sudut antara garis-garis di mana sisi-sisi tersebut berada, maka teorema kosinus cocok untuk penyelesaian kita. Jika kondisi kita adalah segitiga siku-siku, maka untuk perhitungannya kita juga perlu mengetahui sinus, cosinus, dan tangen sudut tersebut.

Metode koordinat juga sangat cocok untuk memecahkan masalah jenis ini. Mari kami jelaskan cara menggunakannya dengan benar.

Kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang (Kartesius) O x y, yang di dalamnya diberikan dua garis lurus. Mari kita nyatakan dengan huruf a dan b. Garis lurus dapat dijelaskan dengan menggunakan beberapa persamaan. Garis asal mempunyai titik potong M. Bagaimana cara menentukan sudut yang diperlukan (sebut saja α) antara garis lurus ini?

Mari kita mulai dengan merumuskan prinsip dasar mencari sudut dalam kondisi tertentu.

Kita mengetahui bahwa konsep garis lurus erat kaitannya dengan konsep vektor arah dan vektor normal. Jika kita mempunyai persamaan garis tertentu, kita dapat mengambil koordinat vektor-vektor tersebut dari persamaan tersebut. Kita dapat melakukan ini untuk dua garis yang berpotongan sekaligus.

Sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan dapat dicari dengan menggunakan:

sudut antar vektor arah;
sudut antara vektor normal;
sudut antara vektor normal suatu garis dan vektor arah garis lainnya.

Sekarang mari kita lihat setiap metode secara terpisah.

1. Misalkan kita mempunyai garis a dengan vektor arah a → = (ax, a y) dan garis b dengan vektor arah b → (b x, b y). Sekarang mari kita gambarkan dua vektor a → dan b → dari titik potong. Setelah ini kita akan melihat bahwa masing-masingnya akan ditempatkan pada garis lurusnya masing-masing. Lalu kita mempunyai empat pilihan untuk pengaturan relatifnya. Lihat ilustrasi:

Jika sudut antara dua vektor tidak tumpul, maka itulah sudut yang kita perlukan antara perpotongan garis a dan b. Jika tumpul, maka sudut yang diinginkan sama dengan sudut yang berdekatan dengan sudut a →, b → ^. Jadi, α = a → , b → ^ jika a → , b → ^ ≤ 90 ° , dan α = 180 ° - a → , b → ^ jika a → , b → ^ > 90 ° .

Berdasarkan fakta bahwa kosinus sudut-sudut yang sama besar adalah sama, kita dapat menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai berikut: cos α = cos a →, b → ^, jika a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, jika a →, b → ^ > 90°.

Dalam kasus kedua, rumus reduksi digunakan. Dengan demikian,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Mari kita tulis rumus terakhir dengan kata-kata:

Definisi 3

Kosinus sudut yang dibentuk oleh dua garis lurus yang berpotongan sama dengan modulus kosinus sudut antara vektor arahnya.

Bentuk umum rumus kosinus sudut antara dua vektor a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) terlihat seperti ini:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Dari situ kita dapat memperoleh rumus kosinus sudut antara dua garis lurus tertentu:

cos α = a x b x + a y + b ya a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b ya a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Maka sudutnya sendiri dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Di sini a → = (ax , a y) dan b → = (b x , b y) adalah vektor arah dari garis-garis tertentu.

Mari kita beri contoh penyelesaian masalah.

Contoh 1

Dalam sistem koordinat persegi panjang pada suatu bidang, diberikan dua garis berpotongan a dan b. Mereka dapat dijelaskan dengan persamaan parametrik x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R dan x 5 = y - 6 - 3. Hitung sudut antara garis-garis ini.

Larutan

Kita mempunyai persamaan parametrik dalam kondisi kita, artinya untuk garis ini kita dapat langsung menuliskan koordinat vektor arahnya. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil nilai koefisien untuk parameternya, mis. garis lurus x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R mempunyai vektor arah a → = (4, 1).

Baris kedua dijelaskan menggunakan persamaan kanonik x 5 = y - 6 - 3. Di sini kita dapat mengambil koordinat dari penyebutnya. Jadi, garis ini mempunyai vektor arah b → = (5 , - 3) .

Selanjutnya kita langsung mencari sudutnya. Caranya, cukup substitusikan koordinat kedua vektor yang ada ke dalam rumus di atas α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Kami mendapatkan yang berikut:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Menjawab: Garis lurus ini membentuk sudut 45 derajat.

Kita dapat menyelesaikan masalah serupa dengan mencari sudut antara vektor normal. Jika kita mempunyai garis a dengan vektor normal n a → = (n a x , n a y) dan garis b dengan vektor normal n b → = (n b x , n b y), maka sudut antara keduanya sama dengan sudut antara n a → dan n b → atau sudut yang berdekatan dengan n a →, n b → ^. Cara ini ditunjukkan pada gambar:

Rumus untuk menghitung kosinus sudut antara garis berpotongan dan sudut itu sendiri menggunakan koordinat vektor normal adalah sebagai berikut:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Di sini n a → dan n b → menyatakan vektor normal dari dua garis tertentu.

Contoh 2

Dalam sistem koordinat persegi panjang, dua garis lurus diberikan dengan menggunakan persamaan 3 x + 5 y - 30 = 0 dan x + 4 y - 17 = 0. Temukan sinus dan kosinus sudut di antara keduanya dan besar sudut itu sendiri.

Larutan

Garis asal ditentukan menggunakan persamaan garis normal berbentuk A x + B y + C = 0. Kami menyatakan vektor normal sebagai n → = (A, B). Mari kita cari koordinat vektor normal pertama untuk satu garis dan tuliskan: n a → = (3, 5) . Untuk baris kedua x + 4 y - 17 = 0, vektor normalnya mempunyai koordinat n b → = (1, 4). Sekarang mari tambahkan nilai yang diperoleh ke rumus dan hitung totalnya:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Jika kita mengetahui kosinus suatu sudut, maka kita dapat menghitung sinusnya menggunakan identitas trigonometri dasar. Karena sudut α yang dibentuk oleh garis lurus tidak tumpul, maka sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Dalam hal ini, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Jawaban: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Mari kita menganalisis kasus terakhir - mencari sudut antara garis lurus jika kita mengetahui koordinat vektor arah suatu garis lurus dan vektor normal garis lainnya.

Misalkan garis lurus a mempunyai vektor arah a → = (ax , a y) , dan garis lurus b mempunyai vektor normal n b → = (n b x , n b y) . Kita perlu mengesampingkan vektor-vektor ini dari titik perpotongannya dan mempertimbangkan semua opsi untuk posisi relatifnya. Lihat di gambar:

Jika sudut antara vektor-vektor tertentu tidak lebih dari 90 derajat, ternyata sudut antara a dan b akan membentuk sudut siku-siku.

a → , n b → ^ = 90 ° - α jika a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Jika kurang dari 90 derajat, maka diperoleh hasil sebagai berikut:

a → , n b → ^ > 90 ° , maka a → , n b → ^ = 90 ° + α

Dengan menggunakan aturan persamaan kosinus sudut yang sama, kita menulis:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α untuk a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α untuk a → , n b → ^ > 90 ° .

Dengan demikian,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Mari kita merumuskan kesimpulan.

Definisi 4

Untuk mencari sinus sudut antara dua garis yang berpotongan pada suatu bidang, Anda perlu menghitung modulus kosinus sudut antara vektor arah garis pertama dan vektor normal garis kedua.

Mari kita tuliskan rumus yang diperlukan. Mencari sinus suatu sudut:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Menemukan sudut itu sendiri:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Di sini a → adalah vektor arah garis pertama, dan n b → adalah vektor normal garis kedua.

Contoh 3

Dua garis berpotongan diberikan oleh persamaan x - 5 = y - 6 3 dan x + 4 y - 17 = 0. Temukan sudut persimpangan.

Larutan

Kami mengambil koordinat panduan dan vektor normal dari persamaan yang diberikan. Ternyata a → = (- 5, 3) dan n → b = (1, 4). Kita ambil rumus α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 dan hitung:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Harap dicatat bahwa kami mengambil persamaan dari soal sebelumnya dan memperoleh hasil yang persis sama, tetapi dengan cara yang berbeda.

Menjawab:α = a r c sin 7 2 34

Mari kita tunjukkan cara lain untuk mencari sudut yang diinginkan menggunakan koefisien sudut garis lurus tertentu.

Kita mempunyai garis a, yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang menggunakan persamaan y = k 1 x + b 1, dan garis b, yang didefinisikan sebagai y = k 2 x + b 2. Ini adalah persamaan garis dengan kemiringan. Untuk mencari sudut potong, kita menggunakan rumus:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, dimana k 1 dan k 2 adalah gradien dari garis-garis yang diberikan. Untuk memperoleh notasi tersebut digunakan rumus penentuan sudut melalui koordinat vektor normal.

Contoh 4

Ada dua garis yang berpotongan pada suatu bidang, diberikan oleh persamaan y = - 3 5 x + 6 dan y = - 1 4 x + 17 4. Hitung nilai sudut potongnya.

Larutan

Koefisien sudut garis kita sama dengan k 1 = - 3 5 dan k 2 = - 1 4. Mari kita tambahkan ke rumus α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 dan hitung:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Menjawab:α = a r c cos 23 2 34

Dalam kesimpulan paragraf ini, perlu diperhatikan bahwa rumus mencari sudut yang diberikan di sini tidak harus dihafal. Untuk melakukan hal ini, cukup mengetahui koordinat pemandu dan/atau vektor normal dari garis tertentu dan dapat menentukannya menggunakan berbagai jenis persamaan. Namun ada baiknya mengingat atau menuliskan rumus menghitung kosinus suatu sudut.

Cara menghitung sudut antar garis yang berpotongan dalam ruang

Perhitungan sudut tersebut dapat direduksi menjadi menghitung koordinat vektor-vektor arah dan menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Untuk contoh seperti itu, alasan yang sama yang kami berikan sebelumnya digunakan.

Misalkan kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang yang terletak pada ruang tiga dimensi. Ini berisi dua garis lurus a dan b dengan titik potong M. Untuk menghitung koordinat vektor arah, kita perlu mengetahui persamaan garis-garis tersebut. Mari kita nyatakan vektor arah a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Untuk menghitung kosinus sudut di antara keduanya, kita menggunakan rumus:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Untuk mencari sudutnya sendiri, kita membutuhkan rumus berikut:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Contoh 5

Kita mempunyai garis yang didefinisikan dalam ruang tiga dimensi menggunakan persamaan x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Diketahui berpotongan dengan sumbu O z. Hitung sudut potong dan kosinus sudut tersebut.

Larutan

Mari kita nyatakan sudut yang perlu dihitung dengan huruf α. Mari kita tuliskan koordinat vektor arah garis lurus pertama – a → = (1, - 3, - 2) . Untuk penerapan sumbu, kita dapat mengambil vektor koordinat k → = (0, 0, 1) sebagai panduan. Kami telah menerima data yang diperlukan dan dapat menambahkannya ke rumus yang diinginkan:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Hasilnya, kami menemukan bahwa sudut yang kami butuhkan sama dengan a r c cos 1 2 = 45 °.

Menjawab: karena α = 1 2 , α = 45° .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Sudut φ persamaan umum A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, dihitung dengan rumus:

Sudut φ antara dua garis yang diberikan persamaan kanonik(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 dan (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, dihitung dengan rumus:

Jarak dari titik ke garis

Setiap bidang dalam ruang dapat direpresentasikan sebagai persamaan linier yang disebut persamaan umum pesawat

Kasus khusus.

o Jika pada persamaan (8) , maka bidang melewati titik asal.

o Bila (,) bidang tersebut sejajar dengan sumbu (axis, axis) berturut-turut.

o Bila (,) bidang sejajar dengan bidang (bidang, bidang).

Solusi: gunakan (7)

Jawaban: persamaan bidang umum.

Contoh.

Sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz diberikan oleh persamaan umum bidang tersebut . Tuliskan koordinat semua vektor normal pada bidang ini.

Kita mengetahui bahwa koefisien variabel x, y dan z pada persamaan umum suatu bidang adalah koordinat yang bersesuaian dengan vektor normal bidang tersebut. Oleh karena itu, vektor normal suatu bidang tertentu memiliki koordinat. Himpunan semua vektor normal dapat didefinisikan sebagai:

Tuliskan persamaan bidang jika pada sistem koordinat persegi panjang Oxyz melalui suatu titik di ruang angkasa , A adalah vektor normal bidang ini.

Kami menyajikan dua solusi untuk masalah ini.

Dari kondisi yang kita miliki. Kita substitusikan data ini ke dalam persamaan umum bidang yang melalui suatu titik:

Tuliskan persamaan umum bidang yang sejajar dengan bidang koordinat Oyz dan melalui suatu titik .

Sebuah bidang yang sejajar dengan bidang koordinat Oyz dapat diberikan persamaan bidang umum yang tidak lengkap dalam bentuk . Sejak saat itu termasuk dalam bidang dengan syarat, maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan bidang tersebut, yaitu persamaan harus benar. Dari sini kita temukan. Dengan demikian, persamaan yang diperlukan memiliki bentuk.

Larutan. Perkalian silang, menurut definisi 10.26, adalah ortogonal terhadap vektor p dan q. Akibatnya, vektor tersebut ortogonal terhadap bidang yang diinginkan dan vektornya dapat diambil sebagai vektor normalnya. Mari kita cari koordinat vektor n:

itu adalah . Dengan menggunakan rumus (11.1), kita peroleh

Dengan membuka tanda kurung pada persamaan ini, kita sampai pada jawaban akhir.

Menjawab: .

Mari kita tulis ulang vektor normal ke dalam bentuk dan temukan panjangnya:

Menurut hal di atas:

Menjawab:

Bidang sejajar mempunyai vektor normal yang sama. 1) Dari persamaan tersebut kita mencari vektor normal bidang :.

2) Mari kita buat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal:

Menjawab:

Persamaan vektor sebuah bidang di ruang angkasa

Persamaan parametrik suatu bidang di ruang angkasa

Persamaan bidang yang melewati suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu

Misalkan sistem koordinat kartesius persegi panjang diberikan dalam ruang tiga dimensi. Mari kita rumuskan masalah berikut:

Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu M(X 0, kamu 0, z 0) tegak lurus terhadap vektor yang diberikan n = ( A, B, C} .

Larutan. Membiarkan P(X, kamu, z) adalah titik sembarang dalam ruang. Dot P termasuk dalam bidang jika dan hanya jika vektornya anggota parlemen = {X − X 0, kamu − kamu 0, z − z 0) ortogonal terhadap vektor N = {A, B, C) (Gbr. 1).

Setelah menuliskan syarat ortogonalitas vektor-vektor tersebut (n, anggota parlemen) = 0 dalam bentuk koordinat, diperoleh:

A(X − X 0) + B(kamu − kamu 0) + C(z − z 0) = 0

Persamaan bidang menggunakan tiga titik

Dalam bentuk vektor

Dalam koordinat

Saling susunan pesawat-pesawat di ruang angkasa

– persamaan umum dua bidang. Kemudian:

1) jika , maka bidang-bidang tersebut bertepatan;

2) jika , maka bidang-bidang tersebut sejajar;

3) jika atau , maka bidang-bidang tersebut berpotongan dan sistem persamaannya

(6)

adalah persamaan garis lurus perpotongan bidang-bidang tersebut.

Larutan: Kita menyusun persamaan garis kanonik dengan menggunakan rumus:

Menjawab:

Kami mengambil persamaan yang dihasilkan dan secara mental “mencubit”, misalnya, bagian kiri: . Sekarang mari kita samakan bagian ini ke nomor mana pun(ingat dulu sudah ada nol), misalnya ke satu: . Karena , maka dua “kepingan” lainnya juga harus sama dengan satu. Intinya, Anda perlu menyelesaikan sistem:

Buatlah persamaan parametrik garis lurus berikut:

Larutan: Garis diberikan oleh persamaan kanonik dan pada tahap pertama Anda harus menemukan beberapa titik yang termasuk dalam garis dan vektor arahnya.

a) Dari persamaan hapus titik dan vektor arah: . Anda dapat memilih poin lain (cara melakukannya dijelaskan di atas), tetapi lebih baik mengambil poin yang paling jelas. Ngomong-ngomong, untuk menghindari kesalahan, selalu substitusikan koordinatnya ke dalam persamaan.

Mari kita buat persamaan parametrik untuk garis ini:

Kemudahan persamaan parametrik adalah mempermudah pencarian titik lain pada suatu garis. Misalnya, cari titik yang koordinatnya, katakanlah, sesuai dengan nilai parameter:

Jadi: b) Perhatikan persamaan kanonik . Memilih titik di sini tidak sulit, tetapi berbahaya: (hati-hati jangan sampai bingung koordinatnya!!!). Bagaimana cara menghapus vektor panduan? Anda dapat berspekulasi tentang apa yang sejajar dengan garis ini, atau Anda dapat menggunakan teknik formal sederhana: proporsinya berisi “Y” dan “Z”, jadi kita tuliskan vektor arahnya , dan beri angka nol di ruang yang tersisa: .

Mari kita buat persamaan parametrik garis lurus:

c) Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk , yaitu “zet” bisa apa saja. Dan jika ada, maka misalkan, . Jadi, titik tersebut termasuk dalam garis ini. Untuk mencari vektor arah, kita menggunakan teknik formal berikut: pada persamaan awal terdapat “x” dan “y”, dan pada vektor arah di tempat tersebut kita tuliskan angka nol: . Di sisa ruang yang kami tempatkan satuan: . Alih-alih satu, angka apa pun kecuali nol bisa digunakan.

Mari kita tuliskan persamaan parametrik garis lurus:

Oh-oh-oh-oh-oh... yah, sulit, seolah-olah dia sedang membacakan kalimat untuk dirinya sendiri =) Namun, relaksasi akan membantu nanti, apalagi hari ini saya membeli aksesoris yang sesuai. Oleh karena itu mari kita lanjutkan ke bagian pertama, semoga di akhir artikel suasana hati saya tetap ceria.

Posisi relatif dua garis lurus

Hal ini terjadi ketika penonton ikut bernyanyi dalam paduan suara. Dua garis lurus bisa:

1) pertandingan;

2) sejajar: ;

3) atau berpotongan di satu titik: .

Bantuan untuk boneka : Harap diingat tanda persimpangan matematika, itu akan sangat sering muncul. Notasi tersebut berarti garis tersebut berpotongan dengan garis di titik .

Bagaimana cara menentukan posisi relatif dua garis?

Mari kita mulai dengan kasus pertama:

Dua garis berhimpitan jika dan hanya jika koefisien-koefisien yang bersesuaian sebanding, yaitu ada bilangan “lambda” yang memenuhi persamaan tersebut

Mari kita perhatikan garis lurus dan buat tiga persamaan dari koefisien yang sesuai: . Oleh karena itu, dari setiap persamaan dapat disimpulkan bahwa garis-garis ini bertepatan.

Memang, jika semua koefisien persamaan kalikan dengan –1 (ubah tanda), dan kurangi semua koefisien persamaan dengan 2, Anda mendapatkan persamaan yang sama: .

Kasus kedua, ketika garis-garisnya sejajar:

Dua garis sejajar jika dan hanya jika koefisien variabelnya sebanding: , Tetapi.

Sebagai contoh, perhatikan dua garis lurus. Kami memeriksa proporsionalitas koefisien yang sesuai untuk variabel:

Namun, hal itu cukup jelas.

Dan kasus ketiga, ketika garis-garis tersebut berpotongan:

Dua garis berpotongan jika dan hanya jika koefisien variabelnya TIDAK proporsional, yaitu, TIDAK ada nilai “lambda” yang memenuhi persamaan tersebut

Jadi, untuk garis lurus kita akan membuat sistem:

Dari persamaan pertama maka , dan dari persamaan kedua: , yang artinya sistemnya tidak konsisten(tidak ada solusi). Dengan demikian, koefisien variabelnya tidak proporsional.

Kesimpulan: garis berpotongan

Dalam permasalahan praktis, Anda dapat menggunakan skema solusi yang baru saja dibahas. Omong-omong, ini sangat mengingatkan pada algoritma untuk memeriksa kolinearitas vektor, yang kita lihat di kelas Konsep ketergantungan linier (dalam) vektor. Dasar vektor. Namun ada kemasan yang lebih beradab:

Contoh 1

Cari tahu posisi relatif garis:

Larutan berdasarkan kajian vektor pengarah garis lurus:

a) Dari persamaan kita mencari vektor arah garis: .

, artinya vektor-vektornya tidak segaris dan garis-garisnya berpotongan.

Untuk jaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan tanda di persimpangan jalan:

Sisanya melompati batu dan mengikuti lebih jauh, langsung ke Kashchei the Immortal =)

b) Temukan vektor arah garis:

Garis-garis tersebut mempunyai vektor arah yang sama, artinya garis-garis tersebut sejajar atau berhimpitan. Tidak perlu menghitung determinannya di sini.

Jelaslah bahwa koefisien dari hal-hal yang tidak diketahui adalah proporsional, dan .

Mari kita cari tahu apakah persamaan tersebut benar:

Dengan demikian,

c) Temukan vektor arah garis:

Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor berikut:
, oleh karena itu, vektor arahnya adalah segaris. Garis-garisnya sejajar atau berhimpitan.

Koefisien proporsionalitas “lambda” mudah dilihat langsung dari perbandingan vektor-vektor arah collinear. Namun, hal ini juga dapat ditemukan melalui koefisien persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar. Kedua suku bebasnya adalah nol, jadi:

Nilai yang dihasilkan memenuhi persamaan ini (bilangan apa pun secara umum memenuhinya).

Jadi, garis-garisnya bertepatan.

Menjawab:

Segera Anda akan belajar (atau bahkan sudah belajar) untuk memecahkan masalah yang dibahas secara lisan hanya dalam hitungan detik. Dalam hal ini, saya tidak melihat ada gunanya menawarkan solusi independen apa pun, lebih baik meletakkan batu bata penting lainnya di fondasi geometris:

Bagaimana cara membuat garis yang sejajar dengan garis tertentu?

Karena ketidaktahuan akan tugas paling sederhana ini, Nightingale the Robber akan menghukum dengan berat.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tuliskan persamaan garis sejajar yang melalui suatu titik.

Larutan: Mari kita nyatakan garis yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan kondisi tersebut tentang dirinya? Garis lurus melewati suatu titik. Dan jika garis-garisnya sejajar, maka jelas vektor arah garis lurus “tse” juga cocok untuk membuat garis lurus “de”.

Kita keluarkan vektor arah dari persamaan:

Menjawab:

Contoh geometri terlihat sederhana:

Pengujian analitik terdiri dari langkah-langkah berikut:

1) Kita periksa apakah garis-garis tersebut mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak disederhanakan dengan baik, maka vektor-vektornya akan segaris).

2) Periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan yang dihasilkan.

Dalam kebanyakan kasus, pengujian analitis dapat dengan mudah dilakukan secara lisan. Lihatlah kedua persamaan tersebut, dan banyak dari Anda akan dengan cepat menentukan paralelisme garis tanpa menggambar apa pun.

Contoh solusi independen saat ini akan menjadi kreatif. Karena kamu masih harus bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, lho, pecinta segala macam teka-teki.

Contoh 3

Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik yang sejajar dengan garis tersebut jika

Ada cara yang rasional dan tidak begitu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek adalah di akhir pelajaran.

Kami bekerja sedikit dengan garis paralel dan akan kembali lagi nanti. Kasus garis yang bersesuaian kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang sangat Anda kenal dari kurikulum sekolah:

Bagaimana cara mencari titik potong dua garis?

Jika lurus berpotongan di titik , maka koordinatnya adalah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana cara mencari titik potong garis? Selesaikan sistem.

Ini dia arti geometris dari sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui- ini adalah dua garis yang berpotongan (paling sering) pada sebuah bidang.

Contoh 4

Temukan titik potong garis

Larutan: Ada dua cara untuk menyelesaikannya - grafis dan analitis.

Metode grafisnya adalah dengan menggambar garis-garis tertentu dan mencari titik potong langsung dari gambar:

Inilah poin kami: . Untuk memeriksanya, Anda harus mengganti koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis, keduanya harus sesuai di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat suatu titik merupakan solusi sistem. Pada dasarnya, kami melihat solusi grafis sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Metode grafis, tentu saja, tidak buruk, tetapi ada kelemahan yang nyata. Bukan, intinya bukan siswa kelas tujuh yang memutuskan seperti itu, intinya butuh waktu untuk membuat gambar yang benar dan AKURAT. Selain itu, beberapa garis lurus tidak begitu mudah untuk dibuat, dan titik perpotongannya mungkin terletak di suatu tempat di kerajaan ketiga puluh di luar lembar buku catatan.

Oleh karena itu, pencarian titik potong lebih tepat dilakukan dengan menggunakan metode analitis. Mari kita selesaikan sistemnya:

Untuk menyelesaikan sistem tersebut digunakan metode penjumlahan persamaan suku demi suku. Untuk mengembangkan keterampilan yang relevan, ambillah pelajaran Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan?

Menjawab:

Pemeriksaannya sepele - koordinat titik potong harus memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Temukan titik potong garis-garis tersebut jika garis-garis tersebut berpotongan.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Akan lebih mudah untuk membagi tugas menjadi beberapa tahap. Analisis kondisi menunjukkan perlunya:
1) Tuliskan persamaan garis lurus.
2) Tuliskan persamaan garis lurus.
3) Cari tahu posisi relatif garis-garis tersebut.
4) Jika garis-garis tersebut berpotongan, tentukan titik potongnya.

Pengembangan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometri, dan saya akan berulang kali fokus pada hal ini.

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran:

Bahkan sepasang sepatu pun tidak rusak sebelum kita sampai pada bagian kedua dari pelajaran ini:

Garis tegak lurus. Jarak suatu titik ke suatu garis.
Sudut antar garis lurus

Mari kita mulai dengan tugas yang khas dan sangat penting. Pada bagian pertama, kita belajar cara membuat garis lurus sejajar dengan garis ini, dan sekarang gubuk di atas kaki ayam akan berubah 90 derajat:

Bagaimana cara membuat garis yang tegak lurus terhadap garis tertentu?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tuliskan persamaan tegak lurus garis yang melalui titik tersebut.

Larutan: Dengan syarat diketahui bahwa . Akan menyenangkan untuk menemukan vektor pengarah garis. Karena garisnya tegak lurus, triknya sederhana:

Dari persamaan tersebut kita “menghilangkan” vektor normal: , yang akan menjadi vektor pengarah garis lurus.

Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Menjawab:

Mari kita perluas sketsa geometrisnya:

Hmm... Langit jingga, laut jingga, unta jingga.

Verifikasi analitis dari solusi:

1) Kami mengambil vektor arah dari persamaan dan dengan bantuan produk skalar vektor kita sampai pada kesimpulan bahwa garis-garis tersebut memang tegak lurus: .

Omong-omong, Anda bisa menggunakan vektor normal, bahkan lebih mudah.

2) Periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan yang dihasilkan .

Tes ini, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Temukan titik potong garis tegak lurus jika persamaannya diketahui dan titik.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Ada beberapa tindakan dalam masalah ini, sehingga akan lebih mudah untuk merumuskan solusi poin demi poin.

Perjalanan menarik kami berlanjut:

Jarak dari titik ke garis

Di depan kami ada sungai yang lurus dan tugas kami adalah mencapainya melalui jalur terpendek. Tidak ada hambatan, dan rute yang paling optimal adalah bergerak secara tegak lurus. Artinya, jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang ruas tegak lurus tersebut.

Jarak dalam geometri secara tradisional dilambangkan dengan huruf Yunani “rho”, misalnya: – jarak dari titik “em” ke garis lurus “de”.

Jarak dari titik ke garis dinyatakan dengan rumus

Contoh 8

Temukan jarak dari suatu titik ke garis

Larutan: yang perlu Anda lakukan hanyalah mengganti angka-angka tersebut dengan hati-hati ke dalam rumus dan melakukan perhitungan:

Menjawab:

Mari kita membuat gambarnya:

Jarak yang didapat dari titik ke garis sama persis dengan panjang ruas merah. Jika Anda membuat gambar di atas kertas kotak-kotak dengan skala 1 satuan. = 1 cm (2 sel), maka jaraknya dapat diukur dengan penggaris biasa.

Mari pertimbangkan tugas lain berdasarkan gambar yang sama:

Tugasnya adalah mencari koordinat suatu titik yang simetris terhadap titik tersebut terhadap garis lurus . Saya sarankan melakukan langkah-langkahnya sendiri, tetapi saya akan menguraikan algoritma solusi dengan hasil antara:

1) Carilah garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut.

2) Temukan titik potong garis: .

Kedua tindakan tersebut dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.

3) Titik adalah titik tengah ruas tersebut. Kita mengetahui koordinat tengah dan salah satu ujungnya. Oleh rumus koordinat titik tengah suatu ruas kami menemukan.

Sebaiknya periksa apakah jaraknya juga 2,2 satuan.

Kesulitan mungkin timbul dalam perhitungan di sini, tetapi mikrokalkulator sangat membantu dalam menara ini, memungkinkan Anda menghitung pecahan biasa. Saya telah menasihati Anda berkali-kali dan akan merekomendasikan Anda lagi.

Bagaimana cara mencari jarak antara dua garis sejajar?

Contoh 9

Temukan jarak antara dua garis sejajar

Ini adalah contoh lain untuk Anda putuskan sendiri. Saya akan memberi Anda sedikit petunjuk: ada banyak cara untuk menyelesaikan masalah ini. Pembekalan di akhir pelajaran, tapi lebih baik coba tebak sendiri, menurut saya kecerdikan Anda sudah berkembang dengan baik.

Sudut antara dua garis lurus

Setiap sudut adalah kusen:

Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus dianggap sudut yang LEBIH KECIL, sehingga otomatis tidak mungkin tumpul. Pada gambar, sudut yang ditunjukkan oleh busur merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis yang berpotongan. Dan tetangganya yang “hijau” atau berorientasi berlawanan sudut "raspberi".

Jika garis-garisnya tegak lurus, maka salah satu dari 4 sudut tersebut dapat diambil sebagai sudut di antara keduanya.

Bagaimana perbedaan sudutnya? Orientasi. Pertama, arah “gulir” sudut adalah hal yang sangat penting. Kedua, sudut yang berorientasi negatif ditulis dengan tanda minus, misalnya .

Mengapa aku memberitahumu hal ini? Tampaknya kita dapat bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Faktanya adalah rumus yang digunakan untuk mencari sudut dapat dengan mudah memberikan hasil negatif, dan ini tidak akan mengejutkan Anda. Sudut dengan tanda minus juga tidak lebih buruk, dan memiliki arti geometris yang sangat spesifik. Pada gambar, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan panah (searah jarum jam).

Bagaimana cara mencari sudut antara dua garis lurus? Ada dua rumus kerja:

Contoh 10

Temukan sudut antar garis

Larutan Dan Metode satu

Mari kita perhatikan dua garis lurus yang ditentukan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak tegak lurus, Itu berorientasi Sudut antara keduanya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya - inilah tepatnya produk skalar mengarahkan vektor garis lurus:

Jika , maka penyebut rumusnya menjadi nol, vektor-vektornya ortogonal dan garis-garisnya tegak lurus. Oleh karena itu dibuat reservasi tentang garis lurus yang tidak tegak lurus dalam formulasinya.

Berdasarkan penjelasan di atas, akan lebih mudah untuk memformalkan solusi dalam dua langkah:

1) Mari kita hitung hasil kali skalar dari vektor-vektor arah garis:
, yang berarti garis-garisnya tidak tegak lurus.

2) Carilah sudut antar garis lurus dengan rumus:

Dengan menggunakan fungsi invers, mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam hal ini, kami menggunakan keanehan garis singgung busur (lihat. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar):

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, kami menunjukkan nilai pastinya, serta nilai perkiraan (sebaiknya dalam derajat dan radian), dihitung menggunakan kalkulator.

Ya, minus, minus, bukan masalah besar. Berikut adalah ilustrasi geometris:

Tidak mengherankan jika sudutnya ternyata berorientasi negatif, karena dalam rumusan masalah bilangan pertama adalah garis lurus dan “pelepasan” sudut dimulai tepat dari situ.

Jika memang ingin mendapatkan sudut positif, Anda perlu menukar garisnya, yaitu mengambil koefisien dari persamaan kedua , dan ambil koefisien dari persamaan pertama. Singkatnya, Anda harus memulai dengan langsung .

SUDUT ANTARA BIDANG

Pertimbangkan dua bidang α 1 dan α 2, masing-masing ditentukan oleh persamaan:

Di bawah sudut antara dua bidang kita akan memahami salah satu sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang-bidang tersebut. Jelaslah bahwa sudut antara vektor normal dan bidang α 1 dan α 2 sama dengan salah satu sudut dihedral berdekatan yang ditunjukkan atau . Itu sebabnya . Karena Dan , Itu

Contoh. Tentukan sudut antar bidang X+2kamu-3z+4=0 dan 2 X+3kamu+z+8=0.

Kondisi paralelisme dua bidang.

Dua bidang α 1 dan α 2 sejajar jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya sejajar, dan oleh karena itu .

Jadi, dua bidang sejajar satu sama lain jika dan hanya jika koefisien koordinat-koordinat yang bersesuaian sebanding:

atau

Kondisi tegak lurus bidang.

Jelas bahwa dua bidang tegak lurus jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya tegak lurus, dan oleh karena itu, atau .

Dengan demikian, .

Contoh.

LURUS DALAM RUANG.

PERSAMAAN VEKTOR UNTUK GARIS.

PERSAMAAN LANGSUNG PARAMETRIK

Posisi suatu garis dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menentukan titik tetapnya M 1 dan sebuah vektor yang sejajar dengan garis tersebut.

Vektor yang sejajar dengan garis disebut panduan vektor garis ini.

Jadi biarkan garis lurus aku melewati suatu titik M 1 (X 1 , kamu 1 , z 1), terletak pada garis yang sejajar dengan vektor .

Pertimbangkan suatu hal yang sewenang-wenang M(x,y,z) pada garis lurus. Dari gambar tersebut jelas bahwa .

Vektor dan bersifat kolinear, jadi ada bilangan seperti itu T, apa , dimana pengalinya T dapat mengambil nilai numerik apa pun tergantung pada posisi titik M pada garis lurus. Faktor T disebut parameter. Setelah menetapkan vektor jari-jari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , kita memperoleh . Persamaan ini disebut vektor persamaan garis lurus. Ini menunjukkan bahwa untuk setiap nilai parameter T sesuai dengan vektor radius suatu titik M, berbaring dalam garis lurus.

Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan itu , dan dari sini

Persamaan yang dihasilkan disebut parametrik persamaan garis lurus.

Saat mengubah parameter T perubahan koordinat X, kamu Dan z dan titik M bergerak dalam garis lurus.

PERSAMAAN KANONIK LANGSUNG

Membiarkan M 1 (X 1 , kamu 1 , z 1) – suatu titik yang terletak pada garis lurus aku, Dan adalah vektor arahnya. Mari kita sekali lagi mengambil titik sembarang pada garis tersebut M(x,y,z) dan pertimbangkan vektornya.

Jelas bahwa vektor-vektornya juga segaris, sehingga koordinat-koordinatnya harus proporsional, oleh karena itu,

– resmi persamaan garis lurus.

Catatan 1. Perhatikan bahwa persamaan garis kanonik dapat diperoleh dari persamaan parametrik dengan menghilangkan parameternya T. Memang dari persamaan parametrik kita peroleh atau .

Contoh. Tuliskan persamaan garisnya dalam bentuk parametrik.

Mari kita tunjukkan , dari sini X = 2 + 3T, kamu = –1 + 2T, z = 1 –T.

Catatan 2. Misalkan garis lurus tegak lurus terhadap salah satu sumbu koordinat, misalnya sumbu Sapi. Maka vektor arah garis tersebut tegak lurus Sapi, karena itu, M=0. Akibatnya, persamaan parametrik garis akan berbentuk

Tidak termasuk parameter dari persamaan T, kita memperoleh persamaan garis dalam bentuk

Namun, dalam hal ini juga, kami setuju untuk menuliskan persamaan garis kanonik secara formal dalam bentuk . Jadi, jika penyebut salah satu pecahan adalah nol, berarti garis lurus tersebut tegak lurus terhadap sumbu koordinat yang bersesuaian.

Mirip dengan persamaan kanonik sesuai dengan garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu Sapi Dan Oi atau sejajar dengan sumbu Ons.

Contoh.

PERSAMAAN UMUM GARIS LURUS SEBAGAI GARIS PERSimpangan DUA BIDANG

Melalui setiap garis lurus di angkasa terdapat bidang-bidang yang tak terhitung jumlahnya. Dua diantaranya, berpotongan, mendefinisikannya dalam ruang. Akibatnya, persamaan dua bidang tersebut, jika dipertimbangkan bersama-sama, mewakili persamaan garis ini.

Secara umum, dua bidang tidak sejajar diberikan oleh persamaan umum

tentukan garis lurus perpotongannya. Persamaan ini disebut persamaan umum lurus.

Contoh.

Buatlah garis yang diberikan oleh persamaan

Untuk membuat garis lurus, cukup mencari dua titik mana saja. Cara termudah adalah dengan memilih titik potong garis lurus dengan bidang koordinat. Misalnya titik potong dengan bidang xOy kita peroleh dari persamaan garis lurus, dengan asumsi z= 0:

Setelah memecahkan sistem ini, kami menemukan intinya M 1 (1;2;0).

Demikian pula dengan asumsi kamu= 0, kita peroleh titik potong garis dengan bidang xOz:

Dari persamaan umum garis lurus kita dapat beralih ke persamaan kanonik atau parametriknya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan titik tertentu M 1 pada garis lurus dan vektor arah garis lurus.

Koordinat titik M 1 kita peroleh dari sistem persamaan ini, memberikan salah satu koordinat nilai sewenang-wenang. Untuk mencari vektor arah, perhatikan bahwa vektor ini harus tegak lurus terhadap kedua vektor normal Dan . Oleh karena itu, di luar vektor arah garis lurus aku Anda dapat mengambil produk vektor dari vektor normal:

Contoh. Berikan persamaan umum garis tersebut ke bentuk kanonik.

Mari kita cari titik yang terletak pada sebuah garis. Untuk melakukan ini, kita memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenang, misalnya, kamu= 0 dan selesaikan sistem persamaan:

Vektor-vektor normal pada bidang-bidang yang menentukan garis mempunyai koordinat Oleh karena itu, vektor arahnya akan lurus

. Karena itu, aku: .

SUDUT ANTARA LURUS

Sudut antara garis lurus dalam ruang kita sebut salah satu sudut berdekatan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui suatu titik sembarang yang sejajar dengan data.

Biarkan dua garis diberikan dalam ruang:

Jelasnya, sudut φ antara garis lurus dapat dianggap sebagai sudut antara vektor arahnya dan . Karena , maka dengan menggunakan rumus kosinus sudut antar vektor kita peroleh

Saya akan menjelaskan secara singkat. Sudut antara dua garis lurus sama dengan sudut antara vektor arahnya. Jadi, jika Anda berhasil mencari koordinat vektor arah a = (x 1 ; y 1 ; z 1) dan b = (x 2 ; y 2 ; z 2), maka Anda dapat mencari sudutnya. Lebih tepatnya kosinus sudut menurut rumus:

Mari kita lihat cara kerja rumus ini menggunakan contoh spesifik:

Tugas. Dalam kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, titik E dan F ditandai - masing-masing titik tengah sisi A 1 B 1 dan B 1 C 1. Tentukan sudut antara garis AE dan BF.

Karena rusuk kubus tidak ditentukan, mari kita atur AB = 1. Kita perkenalkan sistem koordinat standar: titik asal berada di titik A, sumbu x, y, z masing-masing diarahkan sepanjang AB, AD dan AA 1. Segmen satuan sama dengan AB = 1. Sekarang mari kita cari koordinat vektor arah garis kita.

Mari kita cari koordinat vektor AE. Untuk ini kita membutuhkan titik A = (0; 0; 0) dan E = (0.5; 0; 1). Karena titik E adalah titik tengah ruas A 1 B 1, maka koordinatnya sama dengan rata-rata aritmatika dari koordinat ujung-ujungnya. Perhatikan bahwa titik asal vektor AE bertepatan dengan titik asal koordinat, jadi AE = (0,5; 0; 1).

Sekarang mari kita lihat vektor BF. Demikian pula kita menganalisis titik B = (1; 0; 0) dan F = (1; 0.5; 1), karena F adalah titik tengah ruas B 1 C 1. Kita punya:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Jadi, vektor arahnya sudah siap. Kosinus sudut antar garis lurus adalah kosinus sudut antara vektor-vektor arah, sehingga diperoleh:

Tugas. Dalam prisma segitiga beraturan ABCA 1 B 1 C 1, yang semua rusuknya sama dengan 1, ditandai dengan titik D dan E - masing-masing titik tengah rusuk A 1 B 1 dan B 1 C 1. Tentukan sudut antara garis AD dan BE.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat standar: titik asal berada di titik A, sumbu x diarahkan sepanjang AB, z - sepanjang AA 1. Mari kita arahkan sumbu y sehingga bidang OXY berimpit dengan bidang ABC. Segmen satuan sama dengan AB = 1. Mari kita cari koordinat vektor arah garis yang diinginkan.

Pertama, cari koordinat vektor AD. Perhatikan poin: A = (0; 0; 0) dan D = (0,5; 0; 1), karena D - bagian tengah segmen A 1 B 1. Karena titik asal vektor AD bertepatan dengan titik asal koordinat, maka diperoleh AD = (0,5; 0; 1).

Sekarang mari kita cari koordinat vektor BE. Titik B = (1; 0; 0) mudah dihitung. Dengan titik E - bagian tengah segmen C 1 B 1 - sedikit lebih rumit. Kita punya:

Masih mencari kosinus sudut:

Tugas. Dalam prisma heksagonal beraturan ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , yang semua rusuknya sama dengan 1, titik K dan L ditandai - masing-masing titik tengah rusuk A 1 B 1 dan B 1 C 1 . Tentukan sudut antara garis AK dan BL.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat standar untuk sebuah prisma: kita menempatkan titik asal koordinat di pusat alas bawah, sumbu x diarahkan sepanjang FC, sumbu y diarahkan melalui titik tengah segmen AB dan DE, dan z sumbu diarahkan vertikal ke atas. Segmen satuannya lagi-lagi sama dengan AB = 1. Mari kita tuliskan koordinat tempat-tempat yang kita minati:

Titik K dan L berturut-turut merupakan titik tengah ruas A 1 B 1 dan B 1 C 1, sehingga koordinatnya dicari melalui mean aritmatika. Mengetahui titik-titiknya, kita mencari koordinat vektor arah AK dan BL:

Sekarang mari kita cari kosinus sudutnya:

Tugas. Dalam piramida segi empat beraturan SABCD, yang semua rusuknya sama dengan 1, ditandai dengan titik E dan F - masing-masing titik tengah sisi SB dan SC. Tentukan sudut antara garis AE dan BF.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat standar: titik asal berada di titik A, sumbu x dan y masing-masing diarahkan sepanjang AB dan AD, dan sumbu z diarahkan vertikal ke atas. Segmen satuannya sama dengan AB = 1.

Titik E dan F masing-masing merupakan titik tengah ruas SB dan SC, sehingga koordinatnya dicari sebagai mean aritmatika dari ujung-ujungnya. Mari kita tuliskan koordinat tempat-tempat yang kita minati:
SEBUAH = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)