Teorema tersebut merupakan kebalikan dari teorema pembuktian. Teorema Cheva dan Menelaus. Mengapa semua ini diperlukan?

Kelas: 9

Tujuan pelajaran:

menggeneralisasi, memperluas dan mensistematisasikan pengetahuan dan keterampilan siswa; mengajarkan bagaimana menggunakan pengetahuan ketika memecahkan masalah yang kompleks;
mempromosikan pengembangan keterampilan penerapan pengetahuan secara mandiri dalam memecahkan masalah;
mengembangkan pemikiran logis dan ucapan matematis siswa, kemampuan menganalisis, membandingkan dan menggeneralisasi;
menanamkan rasa percaya diri dan kerja keras pada siswa; kemampuan bekerja dalam tim.

Tujuan pelajaran:

Pendidikan: ulangi teorema Menelaus dan Cheva; menerapkannya ketika memecahkan masalah.
Pembangunan: belajar mengajukan hipotesis dan dengan terampil mempertahankan pendapat Anda dengan bukti; uji kemampuan Anda untuk menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan Anda.
Pendidikan: meningkatkan minat pada subjek dan mempersiapkan diri untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks.

Jenis pelajaran: pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

Peralatan: kartu untuk kerja kolektif dalam pelajaran tentang topik ini, kartu individu untuk kerja mandiri, komputer, proyektor multimedia, layar.

Selama kelas

Tahap I. Momen organisasi (1 menit)

Guru mengumumkan topik dan tujuan pelajaran.

Tahap II. Memperbarui pengetahuan dan keterampilan dasar (10 menit)

Guru: Selama pelajaran, kita akan mengingat teorema Menelaus dan Cheva agar berhasil melanjutkan pemecahan masalah. Mari kita lihat layar yang menampilkannya. Teorema manakah yang diberikan pada angka ini? (Teorema Menelaus). Cobalah untuk merumuskan teorema dengan jelas.

Gambar 1

Misalkan titik A 1 terletak pada sisi BC segitiga ABC, titik C 1 pada sisi AB, titik B 1 pada kelanjutan sisi AC diluar titik C. Titik A 1 , B 1 dan C 1 terletak pada satu garis lurus jika dan hanya jika kesetaraan berlaku

Guru: Mari kita simak bersama-sama gambar berikut ini. Nyatakan teorema untuk gambar ini.

Gambar 2

Garis AD memotong dua sisi dan merupakan perpanjangan dari sisi ketiga segitiga IUD.

Menurut teorema Menelaus

Garis lurus MB memotong dua sisi dan perpanjangan sisi ketiga segitiga ADC.

Menurut teorema Menelaus

Guru: Teorema apa yang sesuai dengan gambar tersebut? (Teorema Ceva). Nyatakan teoremanya.

Gambar 3

Misalkan titik A 1 pada segitiga ABC terletak pada sisi BC, titik B 1 pada sisi AC, titik C 1 pada sisi AB. Ruas AA 1, BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik jika dan hanya jika persamaan berlaku

Tahap III. Penyelesaian masalah. (22 menit)

Kelas dibagi menjadi 3 tim, masing-masing menerima kartu dengan dua tugas berbeda. Waktu diberikan untuk memutuskan, kemudian yang berikut ini muncul di layar:<Рисунки 4-9>. Berdasarkan gambar tugas yang telah diselesaikan, perwakilan tim secara bergiliran menjelaskan solusi mereka. Setiap penjelasan dilanjutkan dengan diskusi, menjawab pertanyaan, dan mengecek kebenaran solusi di layar. Semua anggota tim mengambil bagian dalam diskusi. Semakin aktif sebuah tim, semakin tinggi peringkatnya saat menyimpulkan hasil.

Kartu 1.

1. Pada segitiga ABC, titik N diambil pada sisi BC sehingga NC = 3BN; pada kelanjutan sisi AC, titik M diambil sebagai titik A sehingga MA = AC. Garis MN memotong sisi AB di titik F. Tentukan perbandingannya

2. Buktikan median suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Solusi 1

Gambar 4

Sesuai dengan kondisi soal, MA = AC, NC = 3BN. Misalkan MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Garis MN memotong dua sisi segitiga ABC dan lanjutan segitiga ketiga.

Menurut teorema Menelaus

Menjawab:

Bukti 2

Gambar 5

Misalkan AM 1, BM 2, CM 3 adalah median segitiga ABC. Untuk membuktikan bahwa segmen-segmen ini berpotongan di satu titik, cukup dengan menunjukkan hal tersebut

Kemudian berdasarkan teorema Ceva (kebalikan), ruas AM 1, BM 2 dan CM 3 berpotongan di satu titik.

Kita punya:

Jadi, median suatu segitiga terbukti berpotongan di satu titik.

Kartu 2.

1. Titik N diambil pada sisi PQ segitiga PQR, dan titik L diambil pada sisi PR, dan NQ = LR. Titik potong ruas QL dan NR membagi QL dengan perbandingan m:n, dihitung dari titik Q. Tentukan

2. Buktikan bahwa garis-bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Solusi 1

Gambar 6

Dengan syarat NQ = LR, Misalkan NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Garis NR memotong dua sisi segitiga PQL dan lanjutan segitiga ketiga.

Menurut teorema Menelaus

Menjawab:

Bukti 2

Gambar 7

Mari kita tunjukkan itu

Kemudian berdasarkan teorema Ceva (kebalikan), AL 1, BL 2, CL 3 berpotongan di satu titik. Berdasarkan sifat garis bagi segitiga

Mengalikan persamaan yang diperoleh suku demi suku, kita peroleh

Untuk garis-bagi suatu segitiga, persamaan Cheva terpenuhi, oleh karena itu, keduanya berpotongan di satu titik.

Kartu 3.

1. Pada segitiga ABC, AD adalah mediannya, titik O adalah titik tengah mediannya. Garis lurus BO memotong sisi AC di titik K. Berapa perbandingan titik K membagi AC dihitung dari titik A?

2. Buktikan bahwa jika sebuah lingkaran terdapat pada sebuah segitiga, maka ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut segitiga tersebut dengan titik-titik singgung sisi-sisi yang berhadapan berpotongan di satu titik.

Solusi 1

Angka 8

Misalkan BD = DC = a, AO = OD = m. Garis lurus BK memotong dua sisi dan merupakan perpanjangan dari ketiga sisi segitiga ADC.

Menurut teorema Menelaus

Menjawab:

Bukti 2

Gambar 9

Misalkan A 1, B 1 dan C 1 adalah titik singgung lingkaran segitiga ABC. Untuk membuktikan bahwa ruas AA 1, BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik, cukup dibuktikan persamaan Cheva berlaku:

Dengan menggunakan sifat garis singgung lingkaran dari satu titik, kita perkenalkan notasi berikut: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Persamaan Cheva terpenuhi, artinya garis-bagi segitiga berpotongan di satu titik.

Tahap IV. Pemecahan masalah (kerja mandiri) (8 menit)

Guru: Pekerjaan tim telah selesai dan sekarang kita akan memulai pekerjaan mandiri pada kartu individu untuk 2 pilihan.

Bahan pelajaran hasil karya mandiri siswa

Pilihan 1. Pada segitiga ABC yang luasnya 6, pada sisi AB ada titik K yang membagi sisi tersebut dengan perbandingan AK:BK = 2:3, dan pada sisi AC ada titik L yang membagi AC dengan perbandingan AL:LC = 5:3. Titik Q perpotongan garis lurus СК dan BL dihilangkan dari garis lurus AB pada jarak . Tentukan panjang sisi AB. (Jawaban: 4.)

Pilihan 2. Pada sisi AC pada segitiga ABC diambil titik K. AK = 1, KS = 3. Pada sisi AB diambil titik L. AL:LB = 2:3, Q adalah titik potong garis lurus BK dan CL. Hitunglah panjang tinggi segitiga ABC yang dijatuhkan dari titik sudut B. (Jawaban: 1.5.)

Pekerjaan diserahkan kepada guru untuk diperiksa.

tahap V. Ringkasan pelajaran (2 menit)

Kesalahan yang dibuat dianalisis, jawaban dan komentar asli dicatat. Hasil kerja masing-masing tim dirangkum dan diberi nilai.

Tahap VI. Pekerjaan rumah (1 menit)

Pekerjaan rumah terdiri dari soal no.11, 12 hal.289-290, no.10 hal.301.

Kata-kata terakhir dari guru (1 menit).

Hari ini Anda mendengar pidato matematika satu sama lain dari luar dan menilai kemampuan Anda. Di masa depan, kami akan menggunakan diskusi semacam ini untuk pemahaman yang lebih baik mengenai subjek ini. Argumen dalam pembelajaran berteman dengan fakta, dan teori dengan praktik. Terima kasih semua.

Literatur:

Tkachuk V.V. Matematika untuk pelamar. – M.: MTsNMO, 2005.

A.V. Shevkin

Layanan Migrasi Federal Nomor 2007

Teorema Cheva dan Menelaus pada Ujian Negara Terpadu

Artikel terperinci “Sekitar Teorema Ceva dan Menelaus” diterbitkan di situs web kami di bagian ARTIKEL. Ditujukan kepada guru matematika dan siswa SMA yang termotivasi untuk mahir dalam matematika. Anda dapat kembali ke sana jika ingin memahami masalahnya lebih detail. Pada catatan kali ini kami akan memberikan informasi singkat dari artikel tersebut dan menganalisis solusi permasalahan dari kumpulan persiapan Ujian Negara Terpadu 2016.

teorema Ceva

Biarkan sebuah segitiga diberikan ABC dan di sisinya AB, SM Dan AC poin yang ditandai C 1 , A 1 Dan B 1 sesuai (Gbr. 1).

a) Jika segmen A A 1 , BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik, kalau begitu

b) Jika persamaan (1) benar, maka segmennya A A 1 , BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik.

Gambar 1 menunjukkan kasus ketika segmen A A 1 , BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik di dalam segitiga. Inilah yang disebut kasus titik interior. Teorema Ceva juga berlaku dalam kasus titik eksternal, ketika salah satu titiknya A 1 , B 1 atau DENGAN Angka 1 merupakan sisi-sisi segitiga, dan dua angka lainnya merupakan perpanjangan sisi-sisi segitiga. Dalam hal ini, titik potong segmen tersebut A A 1 , BB 1 dan CC 1 terletak di luar segitiga (Gbr. 2).

Bagaimana cara mengingat kesetaraan Cheva?

Mari kita perhatikan teknik mengingat persamaan (1). Titik-titik sudut segitiga pada setiap relasi dan relasi itu sendiri dituliskan searah dengan perlintasan titik-titik sudut segitiga ABC, dimulai dari titik A. Dari titik A mari kita langsung ke intinya B, kita memenuhi maksudnya DENGAN 1, tuliskan pecahannya
. Lebih jauh dari intinya DI DALAM mari kita langsung ke intinya DENGAN, kita memenuhi maksudnya A 1, tuliskan pecahannya
. Akhirnya, dari intinya DENGAN mari kita langsung ke intinya A, kita memenuhi maksudnya DI DALAM 1, tuliskan pecahannya
. Dalam kasus titik luar, urutan penulisan pecahan tetap dipertahankan, meskipun dua “titik pembagian” segmen tersebut berada di luar segmennya. Dalam kasus seperti itu, mereka mengatakan bahwa titik membagi segmen secara eksternal.

Perhatikan bahwa setiap segmen yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan titik mana pun pada garis yang memuat sisi berlawanan dari segitiga tersebut disebut ceviana.

Mari kita perhatikan beberapa cara untuk membuktikan pernyataan a) teorema Ceva untuk kasus titik interior. Untuk membuktikan teorema Ceva, Anda perlu membuktikan pernyataan a) dengan salah satu metode yang diusulkan di bawah ini, dan juga membuktikan pernyataan b). Pembuktian pernyataan b) diberikan setelah cara pembuktian pernyataan a) yang pertama. Pembuktian teorema Ceva untuk kasus titik eksternal dilakukan dengan cara yang sama.

Pembuktian pernyataan a) teorema Ceva menggunakan teorema segmen proporsional

Biarkan tiga cevians AA 1 , BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik Z di dalam segitiga ABC.

Ide pembuktiannya adalah mengganti relasi segmen-segmen dari persamaan (1) dengan relasi segmen-segmen yang terletak pada garis yang sama.

Melalui intinya DI DALAM Mari kita menggambar garis lurus sejajar dengan cevian SS 1 . Lurus A A 1 memotong garis yang dibangun di titik tersebut M, dan garis lurus yang melalui titik tersebut C dan paralel A A 1 , - pada titik T. Melalui titik-titik A Dan DENGAN mari kita menggambar garis lurus yang sejajar dengan cevians BB 1 . Mereka akan melewati batas VM di poin N Dan R sesuai (Gbr. 3).

P tentang teorema segmen proporsional yang kita miliki:

,
Dan
.

Maka persamaannya benar

Dalam jajaran genjang ZTM Dan ZCRB segmen TM, Z Dan Br sama dengan sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang. Karena itu,
dan kesetaraan itu benar

Untuk membuktikan pernyataan b) kita menggunakan pernyataan berikut. Beras. 3

Lemma 1. Jika poin DENGAN 1 dan DENGAN 2 bagilah segmennya AB secara internal (atau eksternal) dalam relasi yang sama, dihitung dari titik yang sama, maka titik-titik tersebut berimpit.

Mari kita buktikan lemma untuk kasus titik DENGAN 1 dan DENGAN 2 bagilah segmennya AB secara internal dalam relasi yang sama:
.

Bukti. Dari kesetaraan
persamaan mengikuti
Dan
. Yang terakhir dipenuhi hanya dengan syarat itu DENGAN 1 B Dan DENGAN 2 B adalah sama, yaitu asalkan poinnya DENGAN 1 dan DENGAN 2 pertandingan.

Bukti lemma untuk kasus ketika poin DENGAN 1 dan DENGAN 2 bagilah segmen tersebut AB Secara eksternal, hal itu dilakukan dengan cara yang sama.

Bukti pernyataan b) teorema Ceva

Biarkan sekarang persamaan (1) menjadi benar. Mari kita buktikan segmen tersebut A A 1 , BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik.

Biarkan Chevian A A 1 dan BB 1 berpotongan di satu titik Z, tariklah sebuah segmen melalui titik ini CC 2 (DENGAN 2 terletak pada segmen tersebut AB). Kemudian, berdasarkan pernyataan a) kita memperoleh persamaan yang benar

. (2)

DAN Dari perbandingan persamaan (1) dan (2) kita simpulkan bahwa
, yaitu poin DENGAN 1 dan DENGAN 2 bagilah segmennya AB dalam relasi yang sama, dihitung dari titik yang sama. Dari Lemma 1 berikut ini poin-poinnya DENGAN 1 dan DENGAN 2 pertandingan. Artinya segmen tersebut A A 1 , BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik, itulah yang perlu dibuktikan.

Dapat dibuktikan bahwa tata cara penulisan persamaan (1) tidak bergantung pada dari titik mana dan ke arah mana titik-titik sudut segitiga tersebut dilalui.

Latihan 1. Temukan panjang segmen tersebut AN pada Gambar 4, yang menunjukkan panjang segmen lainnya.

Menjawab. 8.

Tugas 2. Chevian SAYA., BN, CK berpotongan di satu titik di dalam segitiga ABC. Temukan sikap
, Jika
,
. Beras. 4

Menjawab.
.

P Kami menyajikan bukti teorema Ceva dari artikel tersebut. Ide pembuktiannya adalah mengganti relasi segmen-segmen dari persamaan (1) dengan relasi segmen-segmen yang terletak pada garis sejajar.

Biarkan lurus AA 1 , BB 1 , CC 1 berpotongan di satu titik HAI di dalam segitiga ABC(Gbr. 5). Melalui atas DENGAN segi tiga ABC mari kita menggambar garis lurus sejajar AB, dan titik potongnya dengan garis AA 1 , BB 1 kami menunjukkannya sesuai A 2 , B 2 .

Dari persamaan dua pasang segitiga C.B. 2 B 1 Dan ABB 1 , BAA 1 Dan C.A. 2 A 1, Gambar. 5

kita memiliki persamaan

,
. (3)

Dari persamaan segitiga SM 1 HAI Dan B 2 BERSAMA, ADENGAN 1 HAI Dan A 2 BERSAMA kita memiliki persamaan
, dari situlah berikut ini

. (4)

P Mengalikan persamaan (3) dan (4), kita memperoleh persamaan (1).

Pernyataan a) teorema Ceva terbukti.

Mari kita perhatikan pembuktian pernyataan a) teorema Ceva yang menggunakan luas sebagai titik interior. Hal ini disajikan dalam buku karya A.G. Myakishev dan mengandalkan pernyataan yang kami rumuskan dalam bentuk tugas 3 Dan 4 .

Tugas 3. Perbandingan luas dua segitiga yang mempunyai titik sudut dan alas yang sama yang terletak pada garis yang sama sama dengan perbandingan panjang alasnya. Buktikan pernyataan ini.

Tugas 4. Buktikan jika
, Itu
Dan
. Beras. 6

Biarkan segmennya A A 1 , BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik Z(Gbr. 6), lalu

,
. (5)

DAN dari persamaan (5) dan pernyataan tugas kedua 4 mengikuti itu
atau
. Demikian pula kita memperolehnya
Dan
. Mengalikan tiga persamaan terakhir, kita mendapatkan:

yaitu persamaan (1) adalah benar, yang perlu dibuktikan.

Pernyataan a) teorema Ceva terbukti.

Tugas 15. Biarkan cevians berpotongan di satu titik di dalam segitiga dan membaginya menjadi 6 segitiga yang luasnya sama S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (Gbr. 7). Buktikan itu. Beras. 7

Tugas 6. Temukan areanya S segi tiga CNZ(luas segitiga lainnya ditunjukkan pada Gambar 8).

Menjawab. 15.

Tugas 7. Temukan areanya S segi tiga CNO, jika luas segitiga ATIDAK sama dengan 10 dan
,
(Gbr. 9).

Menjawab. 30.

Tugas 8. Temukan areanya S segi tiga CNO, jika luas segitiga ASM sama dengan 88 dan ,
(Gbr. 9).

R keputusan. Karena , kami menyatakan
,
. Karena , lalu kita nyatakan
,
. Dari teorema Ceva berikut ini
, kemudian
. Jika
, Itu
(Gbr. 10). Kami memiliki tiga kuantitas yang tidak diketahui ( X, kamu Dan S), jadi untuk menemukan S Mari kita buat tiga persamaan.

Karena
, Itu
= 88. Sejak
, Itu
, Di mana
. Karena
, Itu
.

Jadi,
, Di mana
. Beras. 10

Tugas 9. Dalam sebuah segitiga ABC poin K Dan L menjadi milik masing-masing pihak AB Dan BC.
,
. P AL Dan CK. Luas segitiga PBC sama dengan 1. Temukan luas segitiga ABC.

Menjawab. 1,75.

T Teorema Menelaus

Biarkan sebuah segitiga diberikan ABC dan di sisinya AC Dan CB poin yang ditandai B 1 dan A 1 karenanya, dan di sisi kelanjutannya AB titik yang ditandai C 1 (Gbr. 11).

a) Jika poinnya A 1 , B 1 dan DENGAN Kalau begitu, aku berbaring pada garis lurus yang sama

. (6)

b) Jika persamaan (7) benar, maka poinnya A 1 , B 1 dan DENGAN 1 berbaring pada garis lurus yang sama. Beras. sebelas

Bagaimana cara mengingat kesetaraan Menelaus?

Teknik mengingat persamaan (6) sama dengan teknik mengingat persamaan (1). Titik-titik sudut segitiga pada setiap relasi dan relasi itu sendiri ditulis searah dengan perlintasan titik-titik sudut segitiga ABC- dari titik ke titik, melewati titik pembagian (internal atau eksternal).

Tugas 10. Buktikan bahwa menuliskan persamaan (6) dari sembarang titik sudut segitiga ke segala arah menghasilkan hasil yang sama.

Untuk membuktikan teorema Menelaus, Anda perlu membuktikan pernyataan a) dengan salah satu metode yang diusulkan di bawah ini, dan juga membuktikan pernyataan b). Pembuktian pernyataan b) diberikan setelah cara pembuktian pernyataan a) yang pertama.

Pembuktian pernyataan a) menggunakan teorema segmen proporsional

SAYAjalan. a) Ide pembuktiannya adalah mengganti perbandingan panjang ruas pada persamaan (6) dengan perbandingan panjang ruas yang terletak pada garis yang sama.

Biarkan poinnya A 1 , B 1 dan DENGAN 1 berbaring pada garis lurus yang sama. Melalui intinya C mari kita membuat langsung aku, sejajar dengan garis A 1 B 1, itu memotong garis AB pada intinya M(Gbr. 12).

R
adalah. 12

Berdasarkan teorema segmen proporsional kita mempunyai:
Dan
.

Maka persamaannya benar
.

Bukti pernyataan b) teorema Menelaus

Sekarang misalkan persamaan (6) benar, mari kita buktikan poinnya A 1 , B 1 dan DENGAN 1 berbaring pada garis lurus yang sama. Biarkan lurus AB Dan A 1 B 1 berpotongan di satu titik DENGAN 2 (Gbr. 13).

Sejak poinnya A 1 B 1 dan DENGAN 2 terletak pada satu garis lurus, maka sesuai pernyataan a) teorema Menelaus

. (7)

Dari perbandingan persamaan (6) dan (7) kita peroleh
, maka persamaan tersebut benar

,
,
.

Persamaan terakhir hanya benar jika
, yaitu jika poinnya DENGAN 1 dan DENGAN 2 pertandingan.

Pernyataan b) teorema Menelaus terbukti. Beras. 13

Pembuktian pernyataan a) menggunakan persamaan segitiga

Ide pembuktiannya adalah mengganti perbandingan panjang ruas dari persamaan (6) dengan perbandingan panjang ruas yang terletak pada garis sejajar.

Biarkan poinnya A 1 , B 1 dan DENGAN 1 berbaring pada garis lurus yang sama. Dari poin A, B Dan C mari menggambar garis tegak lurus A A 0 , BB 0 dan SS 0 ke garis lurus ini (Gbr. 14).

R
adalah. 14

Dari persamaan tiga pasang segitiga A A. 0 B 1 Dan CC 0 B 1 , CC 0 A 1 Dan BB 0 A 1 , C 1 B 0 B Dan C 1 A 0 A(di dua sudut) kita memiliki persamaan yang benar

,
,
,

mengalikannya, kita mendapatkan:

Pernyataan a) teorema Menelaus terbukti.

Pembuktian pernyataan a) menggunakan luas

Ide pembuktiannya adalah mengganti perbandingan panjang segmen dari persamaan (7) dengan perbandingan luas segitiga.

Biarkan poinnya A 1 , B 1 dan DENGAN 1 berbaring pada garis lurus yang sama. Mari kita hubungkan titik-titiknya C Dan C 1 . Mari kita nyatakan luas segitiga S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (Gbr. 15).

Maka persamaannya benar

,
,
. (8)

Mengalikan persamaan (8), kita mendapatkan:

Pernyataan a) teorema Menelaus terbukti.

R
adalah. 15

Sama seperti teorema Ceva yang tetap berlaku jika titik potong Cevian berada di luar segitiga, teorema Menelaus tetap berlaku jika garis potong hanya memotong perpanjangan sisi-sisi segitiga. Dalam hal ini, kita dapat berbicara tentang perpotongan sisi-sisi segitiga di titik-titik luar.

Bukti pernyataan a) untuk kasus poin eksternal

P garis potong memotong sisi-sisi segitiga ABC di titik luar, yaitu memotong perpanjangan sisi-sisinya AB,SM Dan AC di poin C 1 , A 1 dan B 1, masing-masing, dan titik-titik ini terletak pada garis lurus yang sama (Gbr. 16).

Berdasarkan teorema segmen proporsional kita mempunyai:

Dan .

Maka persamaannya benar

Pernyataan a) teorema Menelaus terbukti. Beras. 16

Perhatikan bahwa pembuktian di atas bertepatan dengan pembuktian teorema Menelaus untuk kasus ketika garis potong memotong dua sisi segitiga di titik dalam dan satu di titik luar.

Pembuktian pernyataan b) teorema Menelaus untuk kasus titik luar serupa dengan pembuktian di atas.

Z penugasan11. Dalam sebuah segitiga ABC poin A 1 , DI DALAM 1 berbaring masing-masing di samping Matahari Dan ADENGAN. P- titik potong segmen A A 1 Dan BB 1 .
,
. Temukan sikap
.

Larutan. Mari kita tunjukkan
,
,
,
(Gbr. 17). Menurut teorema Menelaus untuk segitiga SMDI DALAM 1 dan garis potong PA 1 kita menulis persamaan yang benar:

dari situlah berikut itu

. Beras. 17

Menjawab. .

Z penugasan12 (MSU, kursus persiapan korespondensi). Dalam sebuah segitiga ABC, yang luasnya 6, pada sisinya AB titik diambil KE, berbagi sisi ini dalam hubungannya
, dan di samping AC- dot L, pemisah AC dalam suatu hubungan
. Dot P persimpangan garis SK Dan DI DALAML menjauhi garis lurus AB pada jarak 1,5. Temukan panjang sisinya AB.

Larutan. Dari poin R Dan DENGAN mari kita hilangkan garis tegak lurusnya PR Dan CM secara langsung AB. Mari kita tunjukkan
,
,
,
(Gbr. 18). Menurut teorema Menelaus untuk segitiga A.K.C. dan garis potong hal. Mari kita tuliskan persamaan yang benar:
, dari mana kita mendapatkannya
,
. Beras. 18

Dari persamaan segitiga KEM.C. Dan KER.P.(di dua sudut) kita mengerti
, dari situlah berikut ini
.

Sekarang, mengetahui panjang dari tinggi yang ditarik ke samping AB segi tiga ABC, dan luas segitiga ini, kita hitung panjang sisinya:
.

Menjawab. 4.

Z penugasan13. Tiga lingkaran dengan pusat A,DI DALAM,DENGAN, yang jari-jarinya berhubungan sebagai
, sentuh satu sama lain secara eksternal pada titik-titik X, Y, Z seperti yang ditunjukkan pada Gambar 19. Segmen KAPAK Dan OLEH berpotongan di suatu titik HAI. Dalam hal apa, dihitung dari intinya B, segmen garis CZ membagi sebuah segmen OLEH?

Larutan. Mari kita tunjukkan
,
,
(Gbr. 19). Karena
, maka menurut pernyataan b) teorema Ceva segmennya AX, OLEH Dan DENGANZ berpotongan pada satu titik – titik HAI. Lalu segmennya CZ membagi sebuah segmen OLEH dalam suatu hubungan
. Mari kita temukan hubungan ini. Beras. 19

Menurut teorema Menelaus untuk segitiga SM. dan garis potong SAPI kita punya:
, dari situlah berikut ini
.

Menjawab. .

Tugas 14 (Ujian Negara Bersatu 2016).

Poin DI DALAM 1 dan DENGAN AC Dan AB segi tiga ABC, Dan AB 1:B 1 DENGAN =
= AC 1:DENGAN 1 B. Langsung BB 1 Dan SS 1 berpotongan di suatu titik TENTANG.

A ) Buktikan bahwa garis JSC membagi dua sisinya Matahari.

AB 1 O.C. 1 dengan luas segitiga ABC, jika diketahui itu AB 1:B 1 DENGAN = 1:4.

Larutan. a) Biarkan itu menjadi garis lurus A.O. melintasi sisi SM pada intinya A 1 (Gbr. 20). Berdasarkan teorema Ceva kita mempunyai:

. (9)

Karena AB 1:B 1 DENGAN = AC 1:DENGAN 1 B, maka dari persamaan (9) berikut ini
, itu adalah C.A. 1 = A 1 B, itulah yang perlu dibuktikan. Beras. 20

b) Misalkan luas segitiga tersebut AB 1 HAI sama dengan S. Karena AB 1:B 1 DENGAN C.B. 1 HAI sama dengan 4 S, dan luas segitiga AOC sama dengan 5 S. Maka luas segitiga tersebut AOB juga sama dengan 5 S, karena segitiga AOB Dan AOC memiliki kesamaan A.O., dan simpulnya B Dan C berjarak sama dari garis A.O.. Apalagi luas segitiganya AOC 1 sama S, Karena AC 1:DENGAN 1 B = 1:4. Maka luas segitiga tersebut ABB 1 sama dengan 6 S. Karena AB 1:B 1 DENGAN= 1:4, maka luas segitiga tersebut C.B. 1 HAI sama dengan 24 S, dan luas segitiga ABC sama dengan 30 S. Sekarang mari kita cari perbandingan luas segi empat AB 1 O.C. 1 (2S) dengan luas segitiga ABC (30S), itu sama dengan 1:15.

Menjawab. 1:15.

Tugas 15 (Ujian Negara Bersatu 2016).

Poin DI DALAM 1 dan DENGAN 1 berbaring miring masing-masing AC Dan AB segi tiga ABC, Dan AB 1:B 1 DENGAN =
= AC 1:DENGAN 1 B. Langsung BB 1 Dan SS 1 berpotongan di suatu titik TENTANG.

a) Buktikan bahwa garis tersebut JSC membagi dua sisinya Matahari.

b) Tentukan perbandingan luas segiempat tersebut AB 1 O.C. 1 dengan luas segitiga ABC, jika diketahui itu AB 1:B 1 DENGAN = 1:3.

Menjawab. 1:10.

Z tugas 16 (GUNAKAN-2016). Di segmen tersebut BD titik diambil DENGAN. Bisektris B.L. ABC dengan basis Matahari BLD dengan basis BD.

a) Buktikan bahwa segitiga DCL sama kaki.

b) Diketahui cos
ABC DL, yaitu segitiga BD titik diambil DENGAN. Bisektris B.L. segitiga sama kaki ABC dengan basis Matahari adalah sisi lateral segitiga sama kaki BLD dengan basis BD.

a) Buktikan bahwa segitiga DCL sama kaki.

b) Diketahui cos ABC= . Dalam hal apa garis lurus itu? D.L. membagi sisinya AB?

Menjawab. 4:21.

literatur

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Titik dan garis segitiga yang indah. M.: Matematika, 2006, No.17.

2. Myakishev A.G. Elemen geometri segitiga. (Seri “Perpustakaan “Pendidikan Matematika””). M.: MTsNMO, 2002. - 32 hal.

3. Geometri. Bab tambahan untuk buku teks kelas 8: Buku teks untuk siswa sekolah dan kelas dengan pembelajaran mendalam / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev dkk - M.: Vita-Press, 2005. - 208 hal.

4. Erdniev P., Mantsaev N. Teorema Cheva dan Menelaus. M.: Kvant, 1990, No.3, hlm.56–59.

5. Sharygin I.F. Teorema Cheva dan Menelaus. M.: Kvant, 1976, No.11, hlm.22–30.

6. Vavilov V.V. Median dan garis tengah suatu segitiga. M.: Matematika, 2006, No.1.

7.Efremov Dm. Geometri segitiga baru. Odessa, 1902. - 334 hal.

8. Matematika. 50 varian tugas tes tipikal / I.V. Yashchenko, M.A. Volkevich, I.R. Vysotsky dan lainnya; diedit oleh I.V. Yashchenko. - M.: Penerbitan "Ujian", 2016. - 247 hal.

TEOREMA CHEVA DAN MENELAUS

teorema Ceva

Sebagian besar titik segitiga yang luar biasa dapat diperoleh dengan menggunakan prosedur berikut. Misalkan ada aturan yang dengannya kita dapat memilih titik A tertentu 1 , pada sisi BC (atau perpanjangannya) segitiga ABC (misalnya, pilih titik tengah sisi ini). Kemudian kita akan membuat titik B yang serupa 1, C 1 di dua sisi segitiga lainnya (dalam contoh kita, ada dua titik tengah lagi dari sisi-sisinya). Jika aturan seleksi berhasil, maka lurus AA 1, BB 1, CC 1 akan berpotongan di suatu titik Z (pemilihan titik tengah sisi-sisinya dalam pengertian ini, tentu saja berhasil, karena median segitiga berpotongan di satu titik).

Saya ingin memiliki beberapa metode umum yang memungkinkan seseorang untuk menentukan dari posisi titik-titik pada sisi-sisi segitiga apakah tripel garis yang bersesuaian berpotongan di satu titik atau tidak.

Kondisi universal yang “menutup” masalah ini ditemukan pada tahun 1678 oleh seorang insinyur ItaliaGiovanni Cheva .

Definisi. Ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut suatu segitiga dengan titik-titik pada sisi-sisi yang berhadapan (atau perpanjangan-perpanjangannya) disebut cevians jika berpotongan di satu titik.

Ada dua kemungkinan lokasi cevians. Dalam satu versi, intinya

persimpangannya bersifat internal, dan ujung cevian terletak pada sisi segitiga. Pada pilihan kedua, titik potongnya berada di luar, ujung salah satu cevian terletak di samping, dan ujung dua cevian lainnya terletak pada perpanjangan sisi-sisinya (lihat gambar).

Teorema 3. (teorema langsung Ceva) Pada segitiga sembarang ABC, titik A diambil masing-masing pada sisi BC, CA, AB atau perpanjangannya 1 , DI DALAM 1 , DENGAN 1 , sedemikian rupa sehingga lurus AA 1 , BB 1 , SS 1 berpotongan di beberapa titik yang sama, kalau begitu

Bukti: Meskipun beberapa bukti asli teorema Ceva diketahui, kita akan mempertimbangkan bukti berdasarkan penerapan ganda teorema Menelaus. Mari kita tuliskan hubungan teorema Menelaus untuk pertama kalinya untuk sebuah segitigaABB 1 dan garis potong CC 1 (kami menunjukkan titik perpotongan ceviansZ):

dan kedua kalinya untuk segitigaB 1 SM dan garis potong A A. 1 :

Mengalikan kedua rasio ini dan melakukan pengurangan yang diperlukan, kita memperoleh rasio yang terkandung dalam pernyataan teorema.

Teorema 4. (Teorema kebalikan Ceva) . Kalau untuk yang dipilih pada sisi-sisi segitiga ABC atau perluasan poinnya A 1 , DI DALAM 1 Dan C 1 Kondisi Cheva terpenuhi:

lalu lurus A A. 1 , BB 1 Dan CC 1 berpotongan di satu titik .

Pembuktian teorema ini dilakukan dengan cara kontradiksi, seperti halnya pembuktian teorema Menelaus.

Mari kita perhatikan contoh penerapan teorema langsung dan invers Ceva.

Contoh 3. Buktikan median suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Larutan. Pertimbangkan hubungannya

untuk titik sudut suatu segitiga dan titik tengah sisi-sisinya. Tentunya pada setiap pecahan pembilang dan penyebutnya mempunyai ruas-ruas yang sama, sehingga semua pecahan tersebut sama dengan satu. Oleh karena itu, hubungan Cheva terpenuhi, oleh karena itu, dengan teorema kebalikannya, median berpotongan di satu titik.

Teorema (teorema Ceva) . Biarkan poinnya berbaring miring dan segitiga masing-masing. Biarkan segmennya Dan berpotongan di satu titik. Kemudian

(kita mengelilingi segitiga searah jarum jam).

Bukti. Mari kita nyatakan dengan titik potong segmen Dan . Mari kita hilangkan poinnya Dan tegak lurus terhadap suatu garissebelum memotongnya di titik-titik Dan sesuai (lihat gambar).

Karena segitiga Dan mempunyai sisi yang sama, maka luasnya dihubungkan dengan ketinggian yang ditarik ke sisi ini, yaitu. Dan :

Persamaan terakhir benar, karena segitiga siku-siku Dan serupa pada sudut lancip.

Demikian pula yang kita dapatkan

Dan

Mari kalikan ketiga persamaan ini:

Q.E.D.

Tentang median:

1. Tempatkan satuan massa pada titik sudut segitiga ABC.
2. Pusat massa titik A dan B berada di tengah AB. Pusat massa seluruh sistem harus berada di median sisi AB, karena pusat massa segitiga ABC adalah pusat massa dari pusat massa titik A dan B, serta titik C.
(itu menjadi membingungkan)
3. Demikian pula - CM harus terletak di median sisi AC dan BC
4. Karena CM adalah satu titik, maka ketiga median tersebut harus berpotongan di titik tersebut.

Ngomong-ngomong, berdasarkan persimpangan mereka dibagi dengan perbandingan 2:1. Karena massa pusat massa titik A dan B adalah 2, dan massa titik C adalah 1, maka pusat massa persekutuan menurut teorema proporsi akan membagi median dengan perbandingan 2/1 .

Terima kasih banyak, disajikan dengan cara yang mudah dipahami, saya rasa tidak ada salahnya jika disajikan pembuktiannya dengan menggunakan metode geometri massa, misalnya:
Garis AA1 dan CC1 berpotongan di titik O; AC1: C1B = p dan BA1: A1C = q. Kita perlu membuktikan bahwa garis BB1 melalui titik O jika dan hanya jika CB1:B1A = 1:pq.
Mari kita tempatkan massa 1, p dan pq berturut-turut di titik A, B dan C. Maka titik C1 adalah pusat massa titik A dan B, dan titik A1 adalah pusat massa titik B dan C. Jadi, pusat massa titik A, B, dan C dengan massa tersebut adalah titik potong O dari jalur CC1 dan AA1. Sebaliknya, titik O terletak pada ruas yang menghubungkan titik B dengan pusat massa titik A dan C. Jika B1 adalah pusat massa titik A dan C yang bermassa 1 dan pq, maka AB1: B1C = pq: 1. Perlu diperhatikan bahwa pada ruas AC terdapat satu titik yang membaginya dengan perbandingan AB1:B1C.

2. Teorema Ceva

Ruas garis yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dengan titik pada sisi yang berhadapan disebutceviana . Jadi, jika berbentuk segitigaABC X , Y dan Z - titik-titik yang terletak di sampingSM , C.A. , AB karenanya, maka segmennyaKAPAK , OLEH , CZ adalah Chevian. Istilah ini berasal dari matematikawan Italia Giovanni Ceva, yang pada tahun 1678 menerbitkan teorema yang sangat berguna berikut ini:

Dalil 1.21. Jika tiga cevian AX, BY, CZ (satu dari masing-masing titik sudut) pada segitiga ABC bersifat kompetitif, maka

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Beras. 3.

Ketika kita mengatakan bahwa tiga garis (atau segmen)kompetitif , maka yang kami maksud adalah semuanya melalui satu titik, yang kami nyatakan denganP . Untuk membuktikan teorema Ceva, ingatlah bahwa luas segitiga yang sama tingginya sebanding dengan alas segitiga. Mengacu pada Gambar 3, kita memiliki:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.

Juga,

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Sekarang jika kita mengalikannya, kita mendapatkannya

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Kebalikan dari teorema ini juga benar:

Dalil 1.22. Jika tiga cevians AX, BY, CZ memenuhi relasi tersebut

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

maka mereka kompetitif .

Untuk menunjukkan hal ini, misalkan dua cevian pertama berpotongan di suatu titikP , seperti sebelumnya, dan cevian ketiga melewati titik tersebutP , akanCZ′ . Kemudian, berdasarkan Teorema 1.21,

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z′B|=1 .

Tapi berdasarkan asumsi

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Karena itu,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z′B| ,

dotZ′ bertepatan dengan intinyaZ , dan kami membuktikan bahwa segmen tersebutKAPAK , OLEH DanCZ kompetitif (, hal. 54 dan, hal. 48, 317).

Matematika - kelas 10 Mendel Viktor Vasilievich, Dekan Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam, Matematika dan Teknologi Informasi Universitas Negeri Timur Jauh TEOREMA CHEVA DAN TEOREMA MENELAY Tempat khusus dalam planimetri diberikan kepada dua teorema yang luar biasa: teorema Ceva dan teorema Menelaus. Teorema-teorema ini tidak termasuk dalam kurikulum dasar geometri sekolah menengah, tetapi pembelajaran (dan penerapannya) direkomendasikan bagi siapa saja yang lebih tertarik pada matematika daripada yang mungkin dilakukan dalam kerangka kurikulum sekolah. Mengapa teorema ini menarik? Pertama, kita perhatikan bahwa ketika memecahkan masalah geometri, dua pendekatan digabungkan secara produktif: - satu didasarkan pada definisi struktur dasar (misalnya: segitiga - lingkaran; segitiga - garis potong; segitiga - tiga garis lurus melewati simpul-simpulnya dan berpotongan di satu titik; segiempat dengan dua sisi sejajar, dll.) - dan yang kedua adalah metode soal pendukung (masalah geometri sederhana yang mengurangi proses penyelesaian masalah kompleks). Jadi, teorema Menelaus dan Cheva termasuk konstruksi yang paling sering ditemui: yang pertama menganggap segitiga, yang sisi-sisinya atau perpanjangan sisi-sisinya berpotongan dengan suatu garis (garis potong), yang kedua berkaitan dengan segitiga dan tiga garis yang lewat. melalui simpul-simpulnya, berpotongan di satu titik. Teorema Menelaus Teorema ini menunjukkan hubungan segmen yang dapat diamati (bersama dengan invers), suatu pola yang menghubungkan simpul-simpul segitiga dan titik potong garis potong dengan sisi-sisi (perpanjangan sisi-sisi) segitiga. Gambar menunjukkan dua kemungkinan kasus lokasi segitiga dan garis potong. Dalam kasus pertama, garis potong memotong dua sisi segitiga dan perpanjangan sisi ketiga, dalam kasus kedua - kelanjutan ketiga sisi segitiga. Teorema 1. (Menelaus) Misalkan ABC dipotong oleh garis lurus yang tidak sejajar sisi AB dan memotong kedua sisinya AC dan BC masing-masing di titik B1 dan A1, dan garis lurus AB di titik C1, maka AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Teorema 2. (kebalikan dari teorema Menelaus) Misalkan titik A1, B1, C1 pada segitiga ABC berturut-turut termasuk dalam garis lurus BC, AC, AB, maka jika AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A, maka titik A1, B1, C1 terletak pada satu garis lurus. Pembuktian teorema pertama dapat dilakukan sebagai berikut: garis tegak lurus dari semua titik sudut segitiga diturunkan ke garis potong. Hasilnya adalah tiga pasang segitiga siku-siku yang sebangun. Hubungan segmen-segmen yang muncul dalam rumusan teorema digantikan oleh hubungan garis-garis tegak lurus yang bersesuaian dengan kesamaannya. Ternyata setiap ruas tegak lurus dalam pecahan akan ada dua kali: sekali pada satu pecahan di pembilangnya, kedua kalinya di pecahan lain di penyebutnya. Jadi, hasil kali semua rasio ini akan sama dengan satu. Teorema kebalikannya dapat dibuktikan dengan kontradiksi. Diasumsikan jika syarat Teorema 2 terpenuhi, titik A1, B1, C1 tidak terletak pada garis lurus yang sama. Maka garis lurus A1B1 akan memotong sisi AB di titik C2, berbeda dengan titik C1. Dalam hal ini, berdasarkan Teorema 1, untuk titik A1, B1, C2 akan berlaku hubungan yang sama seperti untuk titik A1, B1, C1. Oleh karena itu, titik C1 dan C2 akan membagi ruas AB dengan perbandingan yang sama. Kemudian poin-poin ini bertepatan - kita mendapatkan kontradiksi. Mari kita lihat contoh penerapan teorema Menelaus. Contoh 1. Buktikan bahwa median suatu segitiga pada titik potongnya dibagi dengan perbandingan 2:1 dimulai dari titik sudutnya. Larutan. Mari kita tuliskan hubungan yang diperoleh dalam teorema Menelaus untuk segitiga ABMb dan garis lurus McM(C): AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Pecahan pertama pada hasil kali ini jelas sama menjadi 1, dan rasio ketiga kedua sama dengan 1. Oleh karena itu 2 2:1, itulah yang perlu dibuktikan. Contoh 2. Sebuah garis potong memotong perpanjangan sisi AC segitiga ABC di titik B1 sehingga titik C merupakan titik tengah ruas AB1. Garis potong ini membagi sisi AB menjadi dua. Tentukan perbandingan berapa yang membagi sisi BC? Larutan. Untuk segitiga dan garis potong, mari kita tuliskan hasil perkalian tiga perbandingan dari teorema Menelaus: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Dari kondisi soal maka perbandingan pertama sama dengan satu, dan ketiga adalah 1, 2, jadi perbandingan kedua sama dengan 2, yaitu garis potong membagi sisi BC dengan perbandingan 2:1. Contoh penerapan teorema Menelaus selanjutnya akan kita lihat ketika kita mempertimbangkan pembuktian teorema Ceva. Teorema Ceva Sebagian besar titik luar biasa dari sebuah segitiga dapat diperoleh dengan menggunakan prosedur berikut. Misalkan ada aturan yang dengannya kita dapat memilih titik A1 tertentu pada sisi BC (atau kelanjutannya) dari segitiga ABC (misalnya, pilih titik tengah sisi ini). Kemudian kita akan membuat titik serupa B1, C1 pada dua sisi segitiga lainnya (dalam contoh kita, dua titik tengah sisi lainnya). Jika aturan pemilihan berhasil, maka garis AA1, BB1, CC1 akan berpotongan di suatu titik Z (pemilihan titik tengah sisi-sisinya dalam pengertian ini tentu saja berhasil, karena median segitiga berpotongan di satu titik. ). Saya ingin memiliki beberapa metode umum yang memungkinkan seseorang untuk menentukan dari posisi titik-titik pada sisi-sisi segitiga apakah tripel garis yang bersesuaian berpotongan di satu titik atau tidak. Kondisi universal yang “menutup” masalah ini ditemukan pada tahun 1678 oleh insinyur Italia Giovanni Ceva. Definisi. Ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut suatu segitiga dengan titik-titik pada sisi-sisi yang berhadapan (atau perpanjangan-perpanjangannya) disebut cevians jika berpotongan di satu titik. Ada dua kemungkinan lokasi cevians. Dalam satu varian, titik potongnya berada di dalam, dan ujung cevian terletak di sisi segitiga. Pada pilihan kedua, titik potongnya berada di luar, ujung salah satu cevian terletak di samping, dan ujung dua cevian lainnya terletak pada perpanjangan sisi-sisinya (lihat gambar). Teorema 3. (Teorema langsung Cheva) Pada segitiga sembarang ABC, pada sisi BC, CA, AB atau perpanjangannya, masing-masing diambil titik A1, B1, C1 sedemikian rupa sehingga garis AA1, BB1, CC1 berpotongan di suatu titik persekutuan titik, maka BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Bukti: Ada beberapa bukti asli teorema Ceva; kita akan mempertimbangkan bukti berdasarkan penerapan ganda teorema Menelaus. Mari kita tuliskan relasi teorema Menelaus pertama kali untuk segitiga ABB1 dan garis potong CC1 (titik potong Cevian dinotasikan sebagai Z): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA dan kedua kalinya untuk segitiga B1BC dan garis potong AA1: B1Z BA1 CA    1. ZB A1C AB1 Mengalikan kedua rasio ini dan melakukan pengurangan yang diperlukan, kita memperoleh rasio yang terdapat dalam pernyataan teorema. Teorema 4. (Teorema kebalikan Ceva). Jika untuk titik A1, B1 dan C1 dipilih pada sisi-sisi segitiga ABC atau perpanjangannya, syarat Cheva terpenuhi: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1, maka garis AA1, BB1 dan CC1 berpotongan di satu titik. Pembuktian teorema ini dilakukan dengan cara kontradiksi, seperti halnya pembuktian teorema Menelaus. Mari kita perhatikan contoh penerapan teorema langsung dan invers Ceva. Contoh 3 Buktikan median suatu segitiga berpotongan di satu titik. Larutan. Perhatikan relasi AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A untuk titik sudut segitiga dan titik tengah sisi-sisinya. Tentunya pada setiap pecahan pembilang dan penyebutnya mempunyai ruas-ruas yang sama, sehingga semua pecahan tersebut sama dengan satu. Oleh karena itu, hubungan Cheva terpenuhi, oleh karena itu, dengan teorema kebalikannya, median berpotongan di satu titik. Soal untuk penyelesaian mandiri Soal yang diajukan disini adalah soal tes no 1 untuk siswa kelas 9. Selesaikan soal-soal tersebut, tuliskan penyelesaiannya di buku catatan tersendiri (dari fisika dan ilmu komputer). Cantumkan informasi berikut tentang diri Anda di sampul: 1. Nama belakang, nama depan, kelas, profil kelas (misalnya: Vasily Pupkin, kelas 9, matematika) 2. Kode pos, alamat tempat tinggal, email (jika ada), telepon ( rumah atau ponsel) ) 3. Informasi tentang sekolah (misalnya: MBOU No. 1, desa Bikin) 4. Nama belakang, nama lengkap guru matematika (misalnya: guru matematika Petrova M.I.) Disarankan untuk menyelesaikan setidaknya empat masalah. M 9.1.1. Dapatkah garis potong dari teorema Menelaus memotong sisi-sisi segitiga (atau perpanjangannya) menjadi segmen-segmen yang panjangnya: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Jika pilihan tersebut memungkinkan, berikan contoh. Segmen dapat disusun dalam urutan yang berbeda. M 9.1.2. Dapatkah cevians bagian dalam suatu segitiga membagi sisi-sisinya menjadi beberapa bagian: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Jika pilihan tersebut memungkinkan, berikan contoh. Segmen dapat disusun dalam urutan yang berbeda. Petunjuk: saat memberikan contoh, jangan lupa memeriksa apakah segitiga tersebut tidak identik. M 9.1.3. Dengan menggunakan teorema kebalikan Ceva, buktikan bahwa: a) garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik; b) ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut segitiga dengan titik-titik pada sisi-sisi yang berhadapan, yang sisi-sisinya bersentuhan dengan lingkaran bertulisan, berpotongan di satu titik. Petunjuk: a) ingat berapa perbandingan garis bagi membagi sisi yang berhadapan; b) menggunakan sifat bahwa ruas dua garis singgung yang ditarik dari satu titik ke lingkaran tertentu adalah sama besar. M 9.1.4. Lengkapi pembuktian teorema Menelaus yang dimulai pada bagian pertama artikel. M 9.1.5. Buktikan ketinggian suatu segitiga berpotongan di satu titik dengan menggunakan teorema kebalikan Ceva. M 9.1.6. Buktikan teorema Simpson: dari suatu titik sembarang M yang diambil pada sebuah lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga ABC, garis tegak lurus dijatuhkan pada sisi-sisi atau perpanjangan sisi-sisi segitiga tersebut, buktikan bahwa alas garis-garis tegak lurus tersebut terletak pada garis lurus yang sama. Petunjuk: Gunakan kebalikan dari teorema Menelaus. Cobalah untuk menyatakan panjang segmen yang digunakan dalam hubungan dalam bentuk panjang garis tegak lurus yang ditarik dari titik M. Penting juga untuk mengingat sifat-sifat sudut pada segi empat yang tertulis.