Cos pi x 0 akar negatif terbesar

Tugas No.1

Logikanya sederhana: kita akan melakukan seperti yang kita lakukan sebelumnya, terlepas dari kenyataan bahwa sekarang fungsi trigonometri memiliki argumen yang lebih kompleks!

Jika kita menyelesaikan persamaan berbentuk:

Kemudian kami akan menuliskan jawaban berikut:

Atau (sejak)

Tapi sekarang peran kita dimainkan oleh ungkapan ini:

Kemudian kita dapat menulis:

Tujuan kami bersama Anda adalah memastikan bahwa sisi kiri berdiri dengan sederhana, tanpa “kotoran” apa pun!

Mari kita singkirkan mereka secara bertahap!

Pertama, hilangkan penyebutnya di: untuk melakukannya, kalikan persamaan kita dengan:

Sekarang mari kita hilangkan dengan membagi kedua bagian:

Sekarang mari kita singkirkan delapan:

Ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai 2 rangkaian solusi (dengan analogi dengan persamaan kuadrat, di mana kita menambah atau mengurangi diskriminan)

Kita perlu mencari akar negatif terbesar! Jelas bahwa kita perlu memilah-milahnya.

Mari kita lihat episode pertama terlebih dahulu:

Yang jelas kalau kita ambil, maka hasilnya kita akan mendapat angka positif, tapi itu tidak menarik minat kita.

Jadi, Anda perlu menganggapnya negatif. Biarlah.

Ketika akarnya akan menyempit:

Dan kita perlu menemukan hal negatif terbesar!! Artinya, menuju ke arah negatif tidak lagi masuk akal di sini. Dan akar negatif terbesar dari deret ini adalah.

Sekarang mari kita lihat seri kedua:

Dan sekali lagi kita substitusikan: , lalu:

Tidak tertarik!

Maka tidak ada gunanya menambah lagi! Ayo kurangi! Biarkan kemudian:

Cocok!

Biarlah. Kemudian

Lalu - akar negatif terbesar!

Menjawab:

Tugas No.2

Kita selesaikan lagi, terlepas dari argumen kosinus yang rumit:

Sekarang kita ungkapkan lagi di sebelah kiri:

Kalikan kedua ruasnya dengan

Bagilah kedua sisinya

Yang tersisa hanyalah memindahkannya ke kanan, mengubah tandanya dari minus menjadi plus.

Kita kembali mendapatkan 2 rangkaian akar, satu dengan dan yang lainnya dengan.

Kita perlu mencari akar negatif terbesar. Mari kita lihat episode pertama:

Jelas bahwa kita akan mendapatkan akar negatif pertama di, itu akan sama dengan dan akan menjadi akar negatif terbesar dalam 1 deret.

Untuk seri kedua

Akar negatif pertama juga akan diperoleh di dan akan sama dengan. Karena, maka adalah akar negatif terbesar dari persamaan tersebut.

Menjawab: .

Tugas No.3

Kami menyelesaikannya, terlepas dari argumen singgung yang rumit.

Sekarang, sepertinya tidak rumit, bukan?

Seperti sebelumnya, kami nyatakan di sisi kiri:

Bagus sekali, hanya ada satu rangkaian akar di sini! Mari kita cari lagi negatif terbesarnya.

Jelas itu akan terjadi jika Anda meletakkannya. Dan akar ini sama.

Menjawab:

Sekarang cobalah selesaikan sendiri masalah berikut.

Pekerjaan rumah atau 3 tugas untuk diselesaikan secara mandiri.

Selesaikan persamaannya.
Selesaikan persamaannya.
Dalam jawaban akar pi-shi-th-yang-sekecil mungkin.
Selesaikan persamaannya.
Dalam jawaban akar pi-shi-th-yang-sekecil mungkin.

Siap? Mari kita periksa. Saya tidak akan menjelaskan secara detail keseluruhan algoritma solusi, menurut saya sudah cukup mendapat perhatian di atas.

Nah, apakah semuanya baik-baik saja? Oh, sinus-sinus jahat itu, selalu ada masalah dengannya!

Nah, sekarang kamu bisa menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana!

Simak solusi dan jawabannya:

Tugas No.1

Mari berekspresi

Akar positif terkecil diperoleh jika kita meletakkan, sejak, maka

Menjawab:

Tugas No.2

Akar positif terkecil diperoleh pada.

Itu akan sama.

Menjawab: .

Tugas No.3

Saat kita mendapatkan, saat kita memilikinya.

Menjawab: .

Pengetahuan ini akan membantu Anda memecahkan banyak masalah yang akan Anda temui dalam ujian.

Jika Anda melamar untuk mendapatkan peringkat “5”, maka Anda hanya perlu melanjutkan membaca artikelnya tingkat menengah yang akan dikhususkan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang lebih kompleks (tugas C1).

LEVEL RATA-RATA

Pada artikel ini saya akan menjelaskannya menyelesaikan persamaan trigonometri yang lebih kompleks dan bagaimana memilih akarnya. Di sini saya akan membahas topik-topik berikut:

Persamaan trigonometri untuk tingkat pemula (lihat di atas).

Persamaan trigonometri yang lebih kompleks merupakan dasar dari permasalahan tingkat lanjut. Mereka memerlukan penyelesaian persamaan itu sendiri dalam bentuk umum dan menemukan akar-akar persamaan ini yang termasuk dalam interval tertentu.

Menyelesaikan persamaan trigonometri terbagi menjadi dua subtugas:

Memecahkan persamaan
Seleksi akar

Perlu dicatat bahwa yang kedua tidak selalu diperlukan, tetapi dalam sebagian besar contoh, pemilihan masih diperlukan. Namun jika tidak diperlukan, maka kami dapat bersimpati dengan Anda - ini berarti persamaannya sendiri cukup rumit.

Pengalaman saya menganalisis masalah C1 menunjukkan bahwa masalah tersebut biasanya dibagi ke dalam kategori berikut.

Empat kategori tugas dengan kompleksitas yang meningkat (sebelumnya C1)

Persamaan yang direduksi menjadi faktorisasi.
Persamaan direduksi menjadi bentuk.
Persamaan diselesaikan dengan mengubah variabel.
Persamaan yang memerlukan pemilihan akar tambahan karena irasionalitas atau penyebutnya.

Sederhananya: jika Anda tertangkap salah satu persamaan dari tiga tipe pertama, maka anggaplah diri Anda beruntung. Bagi mereka, sebagai aturan, Anda juga perlu memilih akar yang termasuk dalam interval tertentu.

Jika Anda menemukan persamaan tipe 4, maka Anda kurang beruntung: Anda perlu mengotak-atiknya lebih lama dan lebih hati-hati, tetapi sering kali hal ini tidak memerlukan pemilihan akar tambahan. Namun demikian, saya akan menganalisis persamaan jenis ini di artikel berikutnya, dan artikel ini akan saya curahkan untuk menyelesaikan persamaan dari tiga jenis pertama.

Persamaan yang direduksi menjadi faktorisasi

Hal terpenting yang perlu Anda ingat untuk menyelesaikan persamaan jenis ini adalah

Seperti yang diperlihatkan oleh praktik, sebagai suatu peraturan, pengetahuan ini sudah cukup. Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh 1. Persamaan direduksi menjadi faktorisasi menggunakan rumus reduksi dan sinus sudut ganda

Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan yang terletak di atas potongan tersebut

Di sini, seperti yang saya janjikan, rumus reduksi berfungsi:

Maka persamaan saya akan terlihat seperti ini:

Maka persamaan saya akan berbentuk sebagai berikut:

Seorang siswa yang berpikiran sempit mungkin berkata: sekarang saya akan mengurangi kedua sisi, mendapatkan persamaan paling sederhana dan menikmati hidup! Dan dia akan salah besar!

INGAT: ANDA TIDAK PERNAH BISA MENGURANGI KEDUA SISI PERSAMAAN TRIGONOMETRI DENGAN FUNGSI YANG MENGANDUNG YANG TIDAK DIKETAHUI! JADI ANDA KEHILANGAN AKAR ANDA!

Jadi apa yang harus dilakukan? Ya, sederhana saja, pindahkan semuanya ke satu sisi dan hilangkan faktor persekutuannya:

Nah, sudah kita faktorkan menjadi beberapa faktor, hore! Sekarang mari kita putuskan:

Persamaan pertama memiliki akar:

Dan yang kedua:

Ini menyelesaikan bagian pertama dari masalah ini. Sekarang Anda perlu memilih akarnya:

Kesenjangannya seperti ini:

Atau bisa juga ditulis seperti ini:

Baiklah, mari kita ambil akarnya:

Pertama, mari kita bekerja dengan episode pertama (dan ini lebih sederhana!)

Karena interval kita seluruhnya negatif, tidak perlu mengambil bilangan non-negatif, karena interval tersebut akan tetap menghasilkan akar-akar non-negatif.

Kalau begitu, mari kita ambil - terlalu banyak, tidak kena.

Kalau begitu biarlah - saya tidak memukulnya lagi.

Sekali lagi coba - lalu - ya, saya mengerti! Akar pertama telah ditemukan!

Saya menembak lagi: lalu saya memukul lagi!

Nah, sekali lagi : : - ini sudah penerbangan.

Jadi dari deret pertama terdapat 2 akar yang termasuk dalam interval tersebut: .

Kami sedang mengerjakan seri kedua (kami sedang membangun kepada kekuasaan menurut aturan):

Melemahkan!

Melewatkannya lagi!

Mengerti!

Penerbangan!

Jadi, interval saya memiliki akar sebagai berikut:

Ini adalah algoritma yang akan kita gunakan untuk menyelesaikan semua contoh lainnya. Mari kita berlatih bersama dengan satu contoh lagi.

Contoh 2. Persamaan direduksi menjadi faktorisasi dengan menggunakan rumus reduksi

Selesaikan persamaannya

Larutan:

Sekali lagi rumus reduksi yang terkenal:

Jangan mencoba menguranginya lagi!

Persamaan pertama memiliki akar:

Dan yang kedua:

Sekarang lagi mencari akarnya.

Saya akan mulai dengan episode kedua, saya sudah tahu semuanya dari contoh sebelumnya! Perhatikan dan pastikan akar-akar yang termasuk dalam interval tersebut adalah sebagai berikut:

Sekarang episode pertama dan lebih sederhana:

Jika - cocok

Jika itu juga baik-baik saja

Jika sudah ada penerbangan.

Maka akarnya adalah sebagai berikut:

Pekerjaan mandiri. 3 persamaan.

Nah, apakah tekniknya sudah jelas bagi Anda? Apakah menyelesaikan persamaan trigonometri sepertinya tidak sulit lagi? Kemudian segera selesaikan sendiri soal-soal berikut, lalu kita akan selesaikan contoh lainnya:

Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan ini yang terletak di atas interval.
Selesaikan persamaannya
Tunjukkan akar persamaan yang terletak di atas potongan
Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan yang terletak di antara keduanya.

Persamaan 1.

Dan lagi rumus reduksinya:

Rangkaian akar pertama:

Rangkaian akar kedua:

Kami memulai seleksi untuk kesenjangan tersebut

Menjawab: , .

Persamaan 2. Memeriksa pekerjaan mandiri.

Pengelompokan yang cukup rumit menjadi beberapa faktor (saya akan menggunakan rumus sinus sudut ganda):

lalu atau

Ini adalah solusi umum. Sekarang kita perlu memilih akarnya. Masalahnya adalah kita tidak dapat menentukan nilai pasti suatu sudut yang kosinusnya sama dengan seperempat. Oleh karena itu, saya tidak bisa menghilangkan arc cosinus begitu saja - sayang sekali!

Apa yang bisa saya lakukan adalah memikirkan hal itu, jadi, kalau begitu.

Mari kita buat tabel: interval:

Nah, melalui penelusuran yang melelahkan, kami sampai pada kesimpulan yang mengecewakan bahwa persamaan kami memiliki satu akar pada interval yang ditunjukkan: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Persamaan 3: Tes kerja mandiri.

Persamaan yang tampak menakutkan. Namun, hal ini dapat diselesaikan cukup sederhana dengan menerapkan rumus sinus sudut ganda:

Mari kita kurangi sebanyak 2:

Mari kita kelompokkan suku pertama dengan suku kedua dan suku ketiga dengan suku keempat dan keluarkan faktor persekutuannya:

Jelas bahwa persamaan pertama tidak mempunyai akar, dan sekarang mari kita pertimbangkan persamaan kedua:

Secara umum, saya akan membahas penyelesaian persamaan seperti itu nanti, tetapi karena persamaan tersebut muncul, tidak ada yang bisa dilakukan, saya harus menyelesaikannya...

Persamaan bentuk:

Persamaan ini diselesaikan dengan membagi kedua ruas dengan:

Jadi, persamaan kita memiliki serangkaian akar:

Kita perlu menemukan yang termasuk dalam interval: .

Mari kita buat tabel lagi, seperti yang saya lakukan sebelumnya:

Menjawab: .

Persamaan direduksi menjadi bentuk:

Nah, sekarang saatnya beralih ke persamaan bagian kedua, terutama karena saya sudah menjelaskan apa saja isi solusi persamaan trigonometri tipe baru. Namun patut diulangi bahwa persamaannya ada dalam bentuk

Diselesaikan dengan membagi kedua ruas dengan cosinus:

Selesaikan persamaannya
Tunjukkan akar persamaan yang terletak di atas potongan.
Selesaikan persamaannya
Tunjukkan akar-akar persamaan yang terletak di antara keduanya.

Contoh 1.

Yang pertama cukup sederhana. Pindah ke kanan dan terapkan rumus cosinus sudut ganda:

Ya! Persamaan bentuk: . Saya membagi kedua bagiannya

Kami melakukan penyaringan root:

Celah:

Menjawab:

Contoh 2.

Semuanya juga cukup sepele: mari kita buka tanda kurung di sebelah kanan:

Identitas trigonometri dasar:

Sinus sudut ganda:

Akhirnya kita mendapatkan:

Penyaringan akar: interval.

Menjawab: .

Nah, bagaimana dengan tekniknya, rumit bukan? Saya harap tidak. Kita dapat segera membuat reservasi: dalam bentuknya yang murni, persamaan yang langsung direduksi menjadi persamaan garis singgung cukup jarang terjadi. Biasanya, transisi ini (pembagian dengan kosinus) hanyalah sebagian dari masalah yang lebih kompleks. Berikut ini contoh untuk Anda praktikkan:

Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan yang terletak di atas potongan tersebut.

Mari kita periksa:

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan segera, cukup dengan membagi kedua ruasnya dengan:

Penyaringan akar:

Menjawab: .

Dengan satu atau lain cara, kita belum menemukan persamaan seperti yang baru saja kita periksa. Namun, masih terlalu dini bagi kita untuk mengakhirinya: masih ada satu “lapisan” persamaan lagi yang belum kita analisis. Jadi:

Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan mengubah variabel

Semuanya transparan di sini: kita perhatikan persamaannya, sederhanakan sebanyak mungkin, lakukan substitusi, selesaikan, lakukan substitusi terbalik! Dengan kata lain semuanya sangat mudah. Mari kita lihat aksinya:

Contoh.

Selesaikan persamaan: .
Temukan semua akar persamaan yang terletak di atas potongan tersebut.

Nah, di sini penggantinya sendiri menunjukkan dirinya kepada kita!

Maka persamaan kita akan berubah menjadi ini:

Persamaan pertama memiliki akar:

Dan yang kedua seperti ini:

Sekarang mari kita cari akar-akar yang termasuk dalam interval tersebut

Menjawab: .

Mari kita lihat contoh yang sedikit lebih rumit bersama-sama:

Selesaikan persamaannya
Tunjukkan akar-akar persamaan yang terletak di atas dan di antara keduanya.

Di sini penggantinya tidak langsung terlihat, apalagi tidak terlalu kentara. Pertama-tama mari kita berpikir: apa yang bisa kita lakukan?

Kita bisa, misalnya, membayangkan

Dan pada saat yang sama

Maka persamaan saya akan berbentuk:

Dan sekarang perhatian, fokus:

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan:

Tiba-tiba Anda dan saya memiliki persamaan kuadrat relatif! Mari kita lakukan penggantian, maka kita mendapatkan:

Persamaan tersebut memiliki akar-akar berikut:

Seri akar kedua yang tidak menyenangkan, tetapi tidak ada yang bisa dilakukan! Kami memilih akar dalam interval.

Kita juga perlu mempertimbangkan hal itu

Sejak itu, lalu

Menjawab:

Untuk memperkuat hal ini sebelum Anda menyelesaikan masalahnya sendiri, berikut latihan lain untuk Anda:

Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan yang terletak di antara keduanya.

Di sini Anda harus tetap membuka mata: sekarang kita memiliki penyebut yang bisa nol! Oleh karena itu, Anda harus sangat memperhatikan akarnya!

Pertama-tama, saya perlu mengatur ulang persamaannya agar saya dapat membuat substitusi yang sesuai. Saya tidak dapat memikirkan hal yang lebih baik sekarang selain menulis ulang garis singgung dalam bentuk sinus dan kosinus:

Sekarang saya akan berpindah dari cosinus ke sinus menggunakan identitas trigonometri dasar:

Dan akhirnya, saya akan membawa semuanya ke kesamaan:

Sekarang saya bisa beralih ke persamaan:

Tapi di (yaitu, di).

Sekarang semuanya siap untuk diganti:

Lalu atau

Namun perlu diingat bahwa jika, maka pada saat yang sama!

Siapa yang menderita hal ini? Masalah dengan garis singgung adalah bahwa garis singgung tidak terdefinisi ketika kosinusnya sama dengan nol (terjadi pembagian dengan nol).

Jadi, akar-akar persamaannya adalah:

Sekarang kita menyaring akar-akarnya dalam interval:


	- cocok
	- berlebihan

Jadi, persamaan kita mempunyai akar tunggal pada intervalnya, dan persamaan tersebut sama.

Anda lihat: kemunculan penyebut (seperti garis singgung, menyebabkan kesulitan tertentu dengan akar! Di sini Anda harus lebih berhati-hati!).

Nah, Anda dan saya hampir selesai menganalisis persamaan trigonometri, hanya ada sedikit yang tersisa untuk menyelesaikan dua masalah sendiri. Di sini mereka.

Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan yang terletak di atas potongan tersebut.
Selesaikan persamaannya
Tunjukkan akar-akar persamaan ini, yang terletak di atas potongan.

Diputuskan? Bukankah ini sangat sulit? Mari kita periksa:

Kami bekerja sesuai dengan rumus reduksi:
Substitusikan ke dalam persamaan:
Mari kita tulis ulang semuanya melalui cosinus agar lebih mudah melakukan penggantian:
Sekarang mudah untuk melakukan penggantian:
Jelas bahwa persamaan tersebut merupakan akar asing, karena persamaan tersebut tidak memiliki solusi. Kemudian:
Kami mencari akar yang kami butuhkan di interval tersebut
Menjawab: .
Di sini penggantinya langsung terlihat:
Lalu atau

- cocok! - cocok!
- cocok! - cocok!
- banyak! - juga banyak!
Menjawab:

Nah, itu dia sekarang! Namun menyelesaikan persamaan trigonometri tidak berhenti sampai disitu saja; kita tertinggal dalam kasus-kasus yang paling sulit: ketika persamaan tersebut mengandung irasionalitas atau berbagai macam “penyebut kompleks”. Kami akan melihat cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dalam artikel untuk tingkat lanjutan.

TINGKAT LANJUT

Selain persamaan trigonometri yang dibahas pada dua artikel sebelumnya, kita akan membahas golongan persamaan lain yang memerlukan analisis lebih cermat. Contoh-contoh trigonometri ini mengandung irasionalitas atau penyebut, sehingga membuat analisisnya menjadi lebih sulit. Namun, Anda mungkin menemukan persamaan ini di Bagian C kertas ujian. Namun, setiap awan memiliki hikmahnya: untuk persamaan seperti itu, sebagai suatu peraturan, pertanyaan tentang akar mana yang termasuk dalam interval tertentu tidak lagi diajukan. Jangan bertele-tele, tapi langsung saja ke contoh trigonometri.

Contoh 1.

Selesaikan persamaan tersebut dan temukan akar-akar yang termasuk dalam ruas tersebut.

Larutan:

Kita mempunyai penyebut yang tidak boleh sama dengan nol! Maka menyelesaikan persamaan ini sama dengan menyelesaikan sistem

Mari kita selesaikan setiap persamaan:

Dan sekarang yang kedua:

Sekarang mari kita lihat serinya:

Jelas bahwa opsi ini tidak cocok untuk kita, karena dalam hal ini penyebut kita disetel ulang ke nol (lihat rumus akar persamaan kedua)

Jika, maka semuanya beres, dan penyebutnya bukan nol! Maka akar-akar persamaannya adalah sebagai berikut: , .

Sekarang kita pilih akar yang termasuk dalam interval.


	- tidak cocok	- cocok
	- cocok	- cocok
	berlebihan	berlebihan

Maka akarnya adalah sebagai berikut:

Anda lihat, bahkan munculnya gangguan kecil pada bentuk penyebut secara signifikan mempengaruhi penyelesaian persamaan: kita membuang serangkaian akar yang meniadakan penyebutnya. Segalanya menjadi lebih rumit jika Anda menemukan contoh trigonometri yang tidak rasional.

Contoh 2.

Selesaikan persamaan:

Larutan:

Setidaknya Anda tidak perlu mencabut akarnya, dan itu bagus! Mari kita selesaikan dulu persamaannya, terlepas dari irasionalitasnya:

Jadi, apakah itu saja? Tidak, sayangnya, itu terlalu mudah! Kita harus ingat bahwa hanya bilangan non-negatif yang dapat muncul di bawah akar. Kemudian:

Solusi untuk ketimpangan ini adalah:

Sekarang tinggal mencari tahu apakah bagian dari akar-akar persamaan pertama secara tidak sengaja berakhir di tempat yang tidak memenuhi pertidaksamaan.

Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan tabel lagi:


	: , Tetapi	TIDAK!
		Ya!
		Ya!

Jadi, salah satu akar saya “rontok”! Ternyata jika Anda meletakkannya. Maka jawabannya dapat dituliskan sebagai berikut:

Menjawab:

Soalnya, root membutuhkan lebih banyak perhatian! Mari kita membuatnya lebih rumit: sekarang saya memiliki fungsi trigonometri di bawah root saya.

Contoh 3.

Seperti sebelumnya: pertama-tama kita akan menyelesaikan masing-masing secara terpisah, dan kemudian kita akan memikirkan apa yang telah kita lakukan.

Sekarang persamaan kedua:

Sekarang hal yang paling sulit adalah mencari tahu apakah nilai negatif diperoleh di bawah akar aritmatika jika kita substitusikan akar-akar dari persamaan pertama di sana:

Angka tersebut harus dipahami sebagai radian. Karena satu radian kira-kira sama dengan derajat, maka radian berada pada urutan derajat. Ini adalah sudut kuarter kedua. Apa tanda kosinus suku kedua? dikurangi. Bagaimana dengan sinus? Plus. Jadi apa yang dapat kami katakan tentang ungkapan tersebut:

Ini kurang dari nol!

Artinya, ini bukan akar persamaan.

Sekarang saatnya.

Mari kita bandingkan angka ini dengan nol.

Kotangen adalah fungsi yang menurun dalam 1 kuarter (semakin kecil argumennya, semakin besar kotangennya). radian kira-kira derajat. Dalam waktu yang bersamaan

sejak, saat itu, dan karena itu
,

Menjawab: .

Bisakah ini menjadi lebih rumit? Silakan! Akan lebih sulit jika akarnya masih berupa fungsi trigonometri, dan bagian kedua persamaannya lagi-lagi merupakan fungsi trigonometri.

Semakin banyak contoh trigonometri semakin baik, lihat di bawah:

Contoh 4.

Akarnya tidak cocok karena kosinusnya terbatas

Sekarang yang kedua:

Pada saat yang sama, menurut definisi root:

Kita perlu mengingat lingkaran satuan: yaitu bagian yang sinusnya kurang dari nol. Apa sajakah tempat tinggal ini? Ketiga dan keempat. Kemudian kita akan tertarik pada solusi persamaan pertama yang ada pada kuartal ketiga atau keempat.

Deret pertama menghasilkan akar-akar yang terletak pada perpotongan kuarter ketiga dan keempat. Seri kedua - berlawanan secara diametral - memunculkan akar-akar yang terletak di perbatasan kuartal pertama dan kedua. Oleh karena itu, seri ini tidak cocok untuk kami.

Menjawab: ,

Dan lagi contoh trigonometri dengan "irasionalitas sulit". Kita tidak hanya mempunyai fungsi trigonometri di bawah akar lagi, tapi sekarang juga ada di penyebutnya!

Contoh 5.

Ya, tidak ada yang bisa dilakukan - kami melakukan seperti sebelumnya.

Sekarang kita bekerja dengan penyebutnya:

Saya tidak ingin menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri, jadi saya akan melakukan sesuatu yang licik: Saya akan mengambil dan mensubstitusikan rangkaian akar saya ke dalam pertidaksamaan tersebut:

Jika - genap, maka kita mempunyai:

karena semua sudut pandang terletak pada kuarter keempat. Dan lagi pertanyaan suci: apa tanda sinus pada kuarter keempat? Negatif. Kemudian ketimpangan

Jika -ganjil, maka:

Di bagian manakah sudutnya terletak? Ini adalah sudut kuarter kedua. Kemudian semua sudut kembali menjadi sudut kuarter kedua. Sinus di sana positif. Hanya apa yang Anda butuhkan! Jadi serinya:

Cocok!

Kami menangani rangkaian akar kedua dengan cara yang sama:

Kami mengganti ketidaksetaraan kami:

Jika - genap, maka

Tendangan penjuru kuarter pertama. Sinusnya positif, artinya deret tersebut cocok. Sekarang jika - ganjil, maka:

cocok juga!

Nah, sekarang kita tuliskan jawabannya!

Menjawab:

Ya, ini mungkin kasus yang paling memakan waktu. Sekarang saya menawarkan Anda masalah untuk diselesaikan sendiri.

Pelatihan

Selesaikan dan temukan semua akar persamaan yang dimiliki segmen tersebut.

Solusi:

Persamaan pertama:
atau
ODZ dari akar:
Persamaan kedua:
Pemilihan akar yang termasuk dalam interval
Menjawab:

Atau
atau
Tetapi

Mari kita pertimbangkan: . Jika - genap, maka
- tidak cocok!
Jika - ganjil, : - cocok!
Artinya persamaan kita mempunyai rangkaian akar sebagai berikut:
atau
Pemilihan akar pada interval:


	- tidak cocok	- cocok
	- cocok	- banyak
	- cocok	banyak

Menjawab: , .

Atau
Karena garis singgungnya tidak terdefinisi. Kami segera membuang rangkaian akar ini!

Bagian kedua:

Pada saat yang sama, menurut DZ, diperlukan hal itu

Kami memeriksa akar-akar yang ditemukan pada persamaan pertama:

Jika tandanya:

Sudut seperempat pertama yang garis singgungnya positif. Tidak cocok!
Jika tandanya:

Tendangan penjuru kuarter keempat. Di sana garis singgungnya negatif. Cocok. Kami menuliskan jawabannya:

Menjawab: , .

Kita telah melihat contoh trigonometri kompleks bersama-sama di artikel ini, tetapi Anda harus menyelesaikan sendiri persamaannya.

RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang persamaan yang tidak diketahui berada di bawah tanda fungsi trigonometri.

Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan trigonometri:

Cara pertama adalah dengan menggunakan rumus.

Cara kedua adalah melalui lingkaran trigonometri.

Memungkinkan Anda mengukur sudut, menemukan sinus, cosinus, dll.

Seringkali kita menghadapi masalah-masalah yang semakin kompleks persamaan trigonometri yang mengandung modulus. Kebanyakan dari mereka memerlukan pendekatan heuristik untuk menyelesaikannya, yang sama sekali asing bagi sebagian besar anak sekolah.

Soal-soal yang diajukan di bawah ini dimaksudkan untuk memperkenalkan Anda pada teknik paling umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang mengandung modulus.

Soal 1. Tentukan selisih (dalam derajat) akar-akar positif terkecil dan akar negatif terbesar dari persamaan 1 + 2sin x |cos x| = 0.

Larutan.

Mari perluas modulnya:

1) Jika cos x ≥ 0, maka persamaan aslinya berbentuk 1 + 2sin x · cos x = 0.

Dengan menggunakan rumus sinus sudut ganda, kita peroleh:

1 + dosa 2x = 0; dosa 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Karena cos x ≥ 0, maka x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Jika cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:

1 – dosa 2x = 0; dosa 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Karena cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Akar negatif terbesar dari persamaan: -π/4; akar positif terkecil dari persamaan: 5π/4.

Selisih yang diperlukan: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.

Jawaban: 270°.

Soal 2. Temukan (dalam derajat) akar positif terkecil dari persamaan |tg x| + 1/cos x = tan x.

Larutan.

Mari perluas modulnya:

1) Jika tan x ≥ 0, maka

tan x + 1/cos x = tan x;

Persamaan yang dihasilkan tidak memiliki akar.

2) Jika tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 dan cos x ≠ 0.

Menggunakan Gambar 1 dan kondisi tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Akar positif terkecil dari persamaan tersebut adalah 5π/6. Mari kita ubah nilai ini menjadi derajat:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.

Jawaban: 150°.

Soal 3. Tentukan banyaknya akar-akar persamaan sin |2x| = cos 2x pada interval [-π/2; π/2].

Larutan.

Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk sin|2x| – cos 2x = 0 dan perhatikan fungsi y = sin |2x| – karena 2x. Karena fungsinya genap, kita akan mencari nol untuk x ≥ 0.

dosa 2x – cos 2x = 0; Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan cos 2x ≠ 0, kita peroleh:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Z.

Dengan menggunakan paritas fungsi, kita menemukan bahwa akar-akar persamaan awal adalah bilangan-bilangan yang bentuknya

± (π/8 + πn/2), di mana n € Z.

Interval [-π/2; π/2] termasuk dalam bilangan: -π/8; π/8.

Jadi, dua akar persamaan termasuk dalam interval tertentu.

Jawaban: 2.

Persamaan ini juga bisa diselesaikan dengan membuka modul.

Soal 4. Tentukan banyaknya akar persamaan sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x pada interval [-π; 2π].

Larutan.

1) Perhatikan kasus ketika 2cos x – 1 > 0, yaitu. cos x > 1/2, maka persamaannya berbentuk:

dosa x – dosa 2 x = dosa 2 x;

dosa x – 2dosa 2 x = 0;

dosa x(1 – 2dosa x) = 0;

sin x = 0 atau 1 – 2sin x = 0;

sin x = 0 atau sin x = 1/2.

Menggunakan Gambar 2 dan kondisi cos x > 1/2, kita mencari akar-akar persamaan:

x = π/6 + 2πn atau x = 2πn, n € Z.

2) Perhatikan kasus ketika 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

dosa x + dosa 2 x = dosa 2 x;

x = 2πn, n€Z.

Menggunakan Gambar 2 dan kondisi cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Menggabungkan kedua kasus tersebut, kita mendapatkan:

x = π/6 + 2πn atau x = πn.

3) Selang waktu [-π; 2π] milik akar: π/6; -π; 0; π; 2π.

Jadi, interval yang diberikan mengandung lima akar persamaan.

Jawaban: 5.

Soal 5. Tentukan banyaknya akar persamaan (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 pada interval [-π; 2π].

Larutan.

1) Jika sin x ≥ 0, maka persamaan aslinya berbentuk (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Setelah faktor persekutuan sin x dikeluarkan dari tanda kurung, kita peroleh:

dosa x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; karena (x – 0.7) 2 + 1 > 0 untuk semua x real, maka sinx = 0, yaitu x = n, n € Z.

2) Jika dosa x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

dosa x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;

sinx = 0 atau (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Karena sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:

x – 0,7 = 1 atau x – 0,7 = -1, artinya x = 1,7 atau x = -0,3.

Dengan memperhatikan kondisi sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0 yang berarti hanya angka -0,3 yang merupakan akar persamaan aslinya.

3) Selang waktu [-π; 2π] termasuk dalam bilangan: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Jadi, persamaan tersebut memiliki lima akar pada interval tertentu.

Jawaban: 5.

Anda dapat mempersiapkan pelajaran atau ujian menggunakan berbagai sumber pendidikan yang tersedia di Internet. Saat ini siapa pun seseorang hanya perlu menggunakan teknologi informasi baru, karena penggunaannya yang benar, dan yang terpenting tepat, akan membantu meningkatkan motivasi dalam mempelajari mata pelajaran, meningkatkan minat, dan membantu mengasimilasi materi yang diperlukan dengan lebih baik. Namun jangan lupa bahwa komputer tidak mengajarkan Anda untuk berpikir, informasi yang diterima harus diproses, dipahami dan diingat. Oleh karena itu, Anda dapat meminta bantuan tutor online kami, yang akan membantu Anda mengetahui cara memecahkan masalah yang Anda minati.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.