Թեորեմին հակառակ թեորեմն ավելի քիչ ապացույց է: Սևայի և Մենելաուսի թեորեմ. Ինչու է այս ամենը անհրաժեշտ

Դասարան: 9

Դասի նպատակները.

1. ընդհանրացնել, ընդլայնել և համակարգել ուսանողների գիտելիքներն ու հմտությունները. սովորեցնել, թե ինչպես օգտագործել գիտելիքները բարդ խնդիրների լուծման համար.
2. խթանել գիտելիքների ինքնուրույն կիրառման հմտությունների զարգացումը խնդիրների լուծման գործում.
3. զարգացնել ուսանողների տրամաբանական մտածողությունը և մաթեմատիկական խոսքը, վերլուծելու, համեմատելու և ընդհանրացնելու ունակությունը.
4. ուսանողներին կրթել ինքնավստահություն, աշխատասիրություն; թիմում աշխատելու ունակություն.

Դասի նպատակները.

• Ուսումնական:կրկնել Մենելաուսի և Սևայի թեորեմները. կիրառել դրանք խնդիրների լուծման համար:
• Զարգացող:սովորեցնել վարկած առաջ քաշել և հմտորեն պաշտպանել սեփական կարծիքը ապացույցներով. ստուգել իրենց գիտելիքները ընդհանրացնելու և համակարգելու ունակությունը:
• Ուսումնական:բարձրացնել հետաքրքրությունը առարկայի նկատմամբ և պատրաստվել ավելի բարդ խնդիրների լուծմանը:

Դասի տեսակը.գիտելիքների ընդհանրացման և համակարգման դաս.

Սարքավորումներ:քարտեր կոլեկտիվ աշխատանքի համար տվյալ թեմայով դասին, անհատական ​​աշխատանքի համար նախատեսված բացիկներ, համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, էկրան.

Դասերի ժամանակ

բեմադրում եմ. Կազմակերպչական պահ (1 րոպե)

Ուսուցիչը բացատրում է դասի թեման և նպատակը:

II փուլ. Հիմնական գիտելիքների և հմտությունների ակտուալացում (10 րոպե)

Ուսուցիչ:Դասի ընթացքում մենք հիշում ենք Մենելաուսի և Սևայի թեորեմները, որպեսզի հաջողությամբ անցնենք խնդիրների լուծմանը: Եկեք ձեզ հետ նայենք էկրանին: Ինչ թեորեմի համար է այս նկարը: (Մենելավոսի թեորեմա). Փորձեք հստակ ձևակերպել թեորեմը:

Նկար 1

Թող A 1 կետը ընկած լինի ABC եռանկյան BC կողմի վրա, C 1 կետը ընկած լինի AB կողմի վրա, B 1 կետը ընկած լինի AC կողմի երկարացման վրա C կետից այն կողմ: A 1 , B 1 և C 1 կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, եթե և միայն հավասարության դեպքում

Ուսուցիչ:Եկեք միասին նայենք հաջորդ նկարին։ Ձևակերպե՛ք թեորեմ այս գործչի համար:

Նկար 2

AD ուղիղը հատում է BMC եռանկյան երկու կողմերը և երրորդ կողմի երկարացումը:

Ըստ Մենելաոսի թեորեմի

ՄԲ ուղիղը հատում է ADC եռանկյան երկու կողմերը և երրորդ կողմի երկարացումը:

Ըստ Մենելաոսի թեորեմի

Ուսուցիչ:Ո՞ր թեորեմին է համապատասխանում նկարը։ (Ceva-ի թեորեմ). Ձևակերպեք թեորեմ.

Նկար 3

Թող ABC եռանկյան մեջ A 1 կետը ընկած է BC կողմի վրա, B 1 կետը գտնվում է AC կողմի վրա, C 1 կետը գտնվում է AB կողմի վրա: AA 1, BB 1 և CC 1 հատվածները հատվում են մեկ կետում, եթե և միայն եթե հավասարությունը

III փուլ. Խնդրի լուծում. (22 րոպե)

Դասարանը բաժանված է 3 թիմի, որոնցից յուրաքանչյուրը ստանում է երկու տարբեր առաջադրանքներով քարտ: Ժամանակ է տրվում լուծելու համար, այնուհետև էկրանը ցուցադրվում է<Рисунки 4-9>. Առաջադրանքների համար պատրաստի գծագրերի համաձայն՝ թիմերի ներկայացուցիչները հերթով բացատրում են դրանց լուծումը։ Յուրաքանչյուր բացատրությանը հաջորդում է քննարկում, հարցերի պատասխաններ և էկրանի վրա լուծման ճիշտության ստուգում: Քննարկմանը մասնակցում են թիմի բոլոր անդամները: Որքան ակտիվ է թիմը, այնքան բարձր է գնահատվում այն ​​ամփոփելիս։

Քարտ 1.

1. BC կողմի ABC եռանկյունում N կետը վերցված է այնպես, որ NC = 3BN; AC կողմի երկարացման վրա M կետը վերցվում է որպես A կետ, որպեսզի MA = AC: MN ուղիղը հատում է AB կողմը F կետում: Գտե՛ք հարաբերակցությունը

2. Ապացուցեք, որ եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում:

Լուծում 1

Նկար 4

Խնդրի պայմանով MA = AC, NC = 3BN: Թող MA = AC =b, BN = k, NC = 3k: MN ուղիղը հատում է ABC եռանկյան երկու կողմերը և երրորդի երկարացումը:

Ըստ Մենելաոսի թեորեմի

Պատասխան.

Ապացույց 2

Նկար 5

Թող AM 1 , BM 2 , CM 3 լինեն ABC եռանկյան միջինները: Ապացուցելու համար, որ այս հատվածները հատվում են մի կետում, բավական է ցույց տալ դա

Այնուհետև (հակադարձ) Ceva թեորեմով AM 1, BM 2 և CM 3 հատվածները հատվում են մեկ կետում։

Մենք ունենք:

Այսպիսով, ապացուցված է, որ եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում:

Քարտ 2.

1. N կետը վերցված է PQR եռանկյան PQ կողմում, իսկ L կետը վերցված է PR կողմի վրա, իսկ NQ = LR: QL և NR հատվածների հատման կետը QL-ն բաժանում է m:n հարաբերությամբ՝ հաշվելով Q կետից: Գտեք

2. Ապացուցեք, որ եռանկյան կիսադիրները հատվում են մի կետում:

Լուծում 1

Նկար 6

Ենթադրությամբ NQ = LR, թող NA = LR =a, QF = կմ, LF = kn: NR ուղիղը հատում է PQL եռանկյան երկու կողմերը և երրորդի երկարացումը:

Ըստ Մենելաոսի թեորեմի

Պատասխան.

Ապացույց 2

Նկար 7

Եկեք դա ցույց տանք

Այնուհետև (հակադարձ) Ceva թեորեմով AL 1 , BL 2 , CL 3 հատվում են մեկ կետում: Ըստ եռանկյան կիսատների հատկության

Ստացված հավասարությունները տերմինով բազմապատկելով՝ ստանում ենք

Եռանկյան կիսադիրների համար Սևայի հավասարությունը բավարարված է, հետևաբար դրանք հատվում են մի կետում։

Քարտ 3.

1. ABC եռանկյան մեջ AD միջինն է, O կետը՝ միջնակետը: BO ուղիղը հատում է AC կողմը K կետում: Ի՞նչ հարաբերությամբ է K կետը բաժանում AC-ը՝ հաշվելով A կետից:

2. Ապացուցեք, որ եթե շրջանագիծը ներգծված է եռանկյան մեջ, ապա եռանկյան գագաթները հակադիր կողմերի շփման կետերի հետ կապող հատվածները հատվում են մի կետում։

Լուծում 1

Նկար 8

Թող BD = DC = a, AO = OD = m: VC գիծը հատում է ADC եռանկյան երկու կողմերը և երրորդ կողմի երկարացումը:

Ըստ Մենելաոսի թեորեմի

Պատասխան.

Ապացույց 2

Նկար 9

Թող A 1 , B 1 և C 1 լինեն ABC եռանկյան ներգծված շրջանագծի շոշափող կետերը: Ապացուցելու համար, որ AA 1, BB 1 և CC 1 հատվածները հատվում են մեկ կետում, բավական է ցույց տալ, որ Ceva-ի հավասարությունը գործում է.

Օգտագործելով մի կետից շրջանագծին գծված շոշափողների հատկությունը՝ ներկայացնում ենք նշումը՝ C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z:

Սևայի հավասարությունը պահպանվում է, ինչը նշանակում է, որ եռանկյան կիսադիրները հատվում են մի կետում:

IV փուլ. Խնդիրների լուծում (անկախ աշխատանք) (8 րոպե)

Ուսուցիչ- Թիմերի աշխատանքն ավարտված է և այժմ մենք կսկսենք ինքնուրույն աշխատանք անհատական ​​քարտերի վրա 2 տարբերակով։

Դասի նյութեր ուսանողների ինքնուրույն աշխատանքի համար

Տարբերակ 1. ABC եռանկյան մեջ, որի մակերեսը 6 է, AB կողմում վերցվում է K կետ՝ այս կողմը բաժանելով AK:BK = 2:3 հարաբերակցությամբ, իսկ AC կողմում՝ L կետ՝ AC-ը բաժանելով: հարաբերակցությունը AL:LC = 5:3: СК և BL ուղիղների հատման Q կետը հեռացվում է AB ուղիղից հեռավորության վրա: Գտե՛ք AB կողմի երկարությունը: (Պատասխան՝ 4.)

Տարբերակ 2. K կետը վերցված է AC կողմում ABC եռանկյան մեջ AK = 1, KS = 3. L կետը վերցված է AB կողմում AL:LВ = 2:3, Q-ը BK և CL ուղիղների հատման կետն է: Գտե՛ք B գագաթից իջեցված ABC եռանկյան բարձրության երկարությունը (Պատասխան՝ 1.5.)

Աշխատանքը ներկայացվում է ուսուցչին վերանայման:

V փուլ. Դասի ամփոփում (2ր.)

Վերլուծվում են սխալները, նշվում են բնօրինակ պատասխանները և մեկնաբանությունները։ Ամփոփվում են յուրաքանչյուր թիմի աշխատանքի արդյունքները և տրվում են գնահատականներ:

VI փուլ. Տնային աշխատանք (1 րոպե)

Տնային առաջադրանքները կազմված են թիվ 11, 12, էջ 289-290, թիվ 10, էջ 301 առաջադրանքներից:

Ուսուցչի վերջնական խոսքը (1 րոպե):

Այսօր դուք կողքից լսեցիք միմյանց մաթեմատիկական ելույթը և գնահատեցիք ձեր հնարավորությունները։ Հետագայում մենք կօգտագործենք նման քննարկումներ՝ թեման ավելի լավ հասկանալու համար։ Դասի վեճերը փաստերի հետ ընկերություն էին, իսկ տեսությունը պրակտիկայի հետ: Շնորհակալություն բոլորին.

Գրականություն:

1. Տկաչուկ Վ.Վ. Մաթեմատիկա դիմորդի համար. - M.: MTsNMO, 2005:

Ա.Վ. Շևկին

FMS № 2007 թ

Սևայի և Մենելաուսի թեորեմները միասնական պետական ​​քննության վերաբերյալ

«Ceva-ի և Menelaus-ի թեորեմների շուրջ» մանրամասն հոդվածը հրապարակված է մեր կայքում՝ ՀՈԴՎԱԾՆԵՐ բաժնում։ Այն հասցեագրված է մաթեմատիկայի ուսուցիչներին և ավագ դպրոցի աշակերտներին, ովքեր մոտիվացված են մաթեմատիկայից լավ իմացություն ունենալու համար։ Դուք կարող եք վերադառնալ դրան, եթե ցանկանում եք ավելի մանրամասն հասկանալ խնդիրը: Այս գրառման մեջ կներկայացնենք հակիրճ տեղեկատվություն նշված հոդվածից և կվերլուծենք խնդիրների լուծումները Միասնական պետական ​​քննություն-2016-ին նախապատրաստվելու հավաքածուից։

Սևայի թեորեմը

Թող տրվի եռանկյուն ABCև նրա կողմերում ԱԲ, մ.թ.աԵվ ACկետերը նշված են Գ 1 , Ա 1 Եվ Բ 1 համապատասխանաբար (նկ. 1):

ա) Եթե հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում է մի կետում, ապա

բ) Եթե (1) հավասարությունը ճիշտ է, ապա հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում է մեկ կետում:

Նկար 1-ը ցույց է տալիս այն դեպքը, երբ հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում են եռանկյան ներսում մի կետում: Սա այսպես կոչված ներքին կետի գործն է: Սևայի թեորեմը վավեր է նաև արտաքին կետի դեպքում, երբ կետերից մեկը Ա 1 , Բ 1 կամ ՀԵՏ 1-ը պատկանում է եռանկյան կողմին, իսկ մյուս երկուսը պատկանում են եռանկյան կողմերի երկարացումներին։ Այս դեպքում հատվածների հատման կետը ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1-ն ընկած է եռանկյունից դուրս (նկ. 2):

Ինչպե՞ս հիշել Չևայի հավասարումը:

Ուշադրություն դարձնենք հավասարությունը անգիր անելու մեթոդին (1): Եռանկյան գագաթները յուրաքանչյուր հարաբերությունում և հենց հարաբերությունները գրվում են եռանկյան գագաթները շրջանցելու ուղղությամբ. ABC, սկսած կետից Ա. կետից Ագնալ կետին Բ, հանդիպում ենք մի կետի ՀԵՏ 1, գրի՛ր կոտորակը
. Ավելի հեռու կետից INգնալ կետին ՀԵՏ, հանդիպում ենք մի կետի Ա 1, գրի՛ր կոտորակը
. Վերջապես, կետից ՀԵՏգնալ կետին Ա, հանդիպում ենք մի կետի IN 1, գրի՛ր կոտորակը
. Արտաքին կետի դեպքում կոտորակները գրելու կարգը պահպանվում է, չնայած հատվածի երկու «բաժանման կետերը» գտնվում են իրենց հատվածներից դուրս։ Նման դեպքերում մենք ասում ենք, որ կետը բաժանում է հատվածը արտաքինից։

Նկատի ունեցեք, որ եռանկյան գագաթը եռանկյան հակառակ կողմը պարունակող գծի ցանկացած կետի հետ կապող ցանկացած ուղիղ հատված կոչվում է. ceviana.

Դիտարկենք ներքին կետի դեպքի համար Սևայի թեորեմի ա) պնդումն ապացուցելու մի քանի եղանակ։ Սևայի թեորեմն ապացուցելու համար պետք է ապացուցել ա) պնդումը ստորև ներկայացված մեթոդներից որևէ մեկով, ինչպես նաև ապացուցել բ պնդումը։ Բ) պնդման ապացույցը տրվում է ա պնդումն ապացուցելու առաջին եղանակից հետո։ Նմանատիպ ձևով են իրականացվում նաև արտաքին կետի դեպքի համար Սևայի թեորեմի ապացույցները։

Սևայի թեորեմի ա) պնդման ապացույց՝ օգտագործելով համամասնական հատվածների թեորեմը

Թող երեք cevians ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ԳԳ 1 հատվում են մի կետում Զեռանկյունու ներսում ABC.

Ապացույցի գաղափարը հավասարությունից (1) հատվածների հարաբերությունները փոխարինելն է նույն ուղիղ գծի վրա ընկած հատվածների հարաբերակցությամբ:

Կետի միջով INգծեք ceviana-ին զուգահեռ գիծ ՍՍ 1 . Ուղիղ ԱԱ 1-ը հատում է կառուցված գիծը կետում Մ, և կետով անցնող գիծը Գև զուգահեռ ԱԱ 1, - կետում Տ. կետերի միջոցով ԱԵվ ՀԵՏգծեք ուղիղ գծեր, որոնք զուգահեռ են սևիաններին ԲԲ 1 . Նրանք կանցնեն սահմանը VMկետերում ՆԵվ Ռհամապատասխանաբար (նկ. 3):

Պ Համամասնական հատվածների թեորեմի մասին ունենք.

,
Եվ
.

Հետո հավասարությունները

.

Զուգահեռագրերով ԶՀՏՄԵվ ZCRBհատվածներ TM, СZԵվ BRհավասար են զուգահեռագծի հակառակ կողմերը: Հետևաբար,
և հավասարությունը ճշմարիտ է

.

Բ) պնդումն ապացուցելիս օգտագործում ենք հետևյալ պնդումը. Բրինձ. 3

Լեմմա 1.Եթե ​​միավորները ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ 2 բաժանել կտրվածքը ԱԲներքին (կամ արտաքին) պատկերը նույն առումով, հաշվելով նույն կետից, ապա այս կետերը համընկնում են:

Եկեք ապացուցենք լեմման այն դեպքի համար, երբ կետերը ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ 2 բաժանել կտրվածքը ԱԲներքին առումով նույն առումով.
.

Ապացույց.Հավասարությունից
հաջորդում են հավասարությունները
Եվ
. Դրանցից վերջինը կատարվում է միայն այն պայմանով, որ ՀԵՏ 1 ԲԵվ ՀԵՏ 2 Բհավասար են, այսինքն՝ պայմանով, որ միավորները ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ 2 համընկնում.

Լեմմայի ապացույց այն դեպքի համար, երբ միավորները ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ 2 բաժանել կտրվածքը ԱԲարտաքուստ իրականացվում է նույն կերպ.

Սևայի թեորեմի բ) պնդման ապացույցը

Հիմա թող հավասարությունը (1) լինի ճշմարիտ: Փաստենք, որ հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում է մեկ կետում:

Թող cevians ԱԱ 1 և ԲԲ 1 հատվում են մի կետում Զ, այս կետով մի հատված քաշեք ՍԴ 2 (ՀԵՏ 2 ընկած հատվածի վրա ԱԲ) Այնուհետև, հիմնվելով ա պնդման վրա, ստանում ենք ճիշտ հավասարություն

. (2)

ԵՎ Համեմատելով (1) և (2) հավասարությունները՝ եզրակացնում ենք, որ
, այսինքն՝ միավորներ ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ 2 բաժանել կտրվածքը ԱԲնույն հարաբերակցությամբ՝ հաշվելով նույն կետից։ Լեմմա 1-ը ենթադրում է, որ միավորները ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ 2 համընկնում. Սա նշանակում է, որ հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում են մի կետում, ինչը պետք է ապացուցվեր:

Կարելի է ապացուցել, որ (1) հավասարությունը գրելու կարգը կախված չէ նրանից, թե որ կետով և որ ուղղությամբ են շրջանցվում եռանկյան գագաթները։

Վարժություն 1.Գտեք հատվածի երկարությունը ԱՆնկար 4-ում, որը ցույց է տալիս մյուս հատվածների երկարությունները:

Պատասխանել. 8.

Առաջադրանք 2. cevians AM, BN, CKհատվում են եռանկյան ներսում մի կետում ABC. Գտեք վերաբերմունք
, Եթե
,
. Բրինձ. 4

Պատասխանել.
.

Պ ներկայացնում ենք հոդվածից Ցևայի թեորեմի ապացույցը. Ապացույցի գաղափարը հավասարությունից (1) հատվածների հարաբերությունները փոխարինել զուգահեռ գծերի վրա ընկած հատվածների հարաբերակցությամբ:

Թող ուղիղ ԱԱ 1 , ԲԲ 1 , ԳԳ 1 հատվում են մի կետում Օեռանկյունու ներսում ABC(նկ. 5): Վերևի միջով ՀԵՏեռանկյուն ABCզուգահեռ գիծ գծեք ԱԲ, և դրա հատման կետերը գծերի հետ ԱԱ 1 , ԲԲ 1 նշանակում է համապատասխանաբար Ա 2 , Բ 2 .

Երկու զույգ եռանկյունների նմանությունից ԿԲ 2 Բ 1 Եվ ABB 1 , ԲԱԱ 1 Եվ ԿԱ 2 Ա 1, Նկ. 5

մենք ունենք հավասարություններ

,
. (3)

Եռանկյունների նմանությունից մ.թ.ա 1 ՕԵվ Բ 2 CO, ԱՀԵՏ 1 ՕԵվ Ա 2 COմենք ունենք հավասարություններ
, որից բխում է, որ

. (4)

Պ բազմապատկելով (3) և (4) հավասարությունները՝ ստանում ենք հավասարություն (1):

Ապացուցված է Սևայի թեորեմի ա) պնդումը.

Դիտարկենք Սևայի թեորեմի ա) պնդման ապացույցները ներքին կետի մակերեսների օգնությամբ: Գրքում ասվում է Ա.Գ. Մյակիշևին և հիմնված է այն հայտարարությունների վրա, որոնք մենք կձևակերպենք հանձնարարությունների տեսքով 3 Եվ 4 .

Առաջադրանք 3.Ընդհանուր գագաթ ունեցող երկու եռանկյունների և նույն ուղիղ գծի վրա ընկած հիմքերի մակերեսների հարաբերությունը հավասար է այս հիմքերի երկարությունների հարաբերությանը։ Ապացուցեք այս հայտարարությունը.

Առաջադրանք 4.Ապացուցեք, որ եթե
, Դա
Եվ
. Բրինձ. 6

Թող հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում են մի կետում Զ(նկ. 6), ապա

,
. (5)

ԵՎ հավասարություններից (5) և առաջադրանքի երկրորդ դրույթը 4 հետևում է դրան
կամ
. Նմանապես, մենք ստանում ենք դա
Եվ
. Բազմապատկելով վերջին երեք հավասարումները՝ ստանում ենք.

,

այսինքն՝ հավասարությունը (1) ճիշտ է, որը պետք է ապացուցվեր։

Ապացուցված է Սևայի թեորեմի ա) պնդումը.

Առաջադրանք 15.Թող սևիները հատվեն եռանկյան մի կետում և այն բաժանենք 6 եռանկյունիների, որոնց մակերեսները հավասար են. Ս 1 , Ս 2 , Ս 3 , Ս 4 , Ս 5 , Ս 6 (նկ. 7): Ապացուցեք դա. Բրինձ. 7

Առաջադրանք 6.Գտեք տարածքը Սեռանկյուն CNZ(մյուս եռանկյունների տարածքները ներկայացված են Նկար 8-ում):

Պատասխանել. 15.

Առաջադրանք 7.Գտեք տարածքը Սեռանկյուն CNOեթե եռանկյան մակերեսը ԱՈՉ 10 է և
,
(նկ. 9):

Պատասխանել. 30.

Առաջադրանք 8.Գտեք տարածքը Սեռանկյուն CNOեթե եռանկյան մակերեսը Ամ.թ.ահավասար է 88-ի և,
(նկ. 9):

Ռ լուծում.Քանի որ մենք նշում ենք
,
. Որովհետեւ , ապա նշում ենք
,
. Սևայի թեորեմից հետևում է, որ
, եւ հետո
. Եթե
, Դա
(նկ. 10): Մենք ունենք երեք անհայտ ( x, y Եվ Ս), այսպես գտնելու համար ՍԿազմենք երեք հավասարումներ.

Որովհետեւ
, Դա
= 88. Քանի որ
, Դա
, որտեղ
. Որովհետեւ
, Դա
.

Այսպիսով,
, որտեղ
. Բրինձ. 10

Առաջադրանք 9. Եռանկյունու մեջ ABCմիավորներ ԿԵվ Լպատկանում են համապատասխանաբար կողմերին ԱԲ Եվ ԲԳ.
,
. Պ ԱԼԵվ CK. Եռանկյունի մակերեսը PBCհավասար է 1. Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը ABC.

Պատասխանել. 1,75.

Տ Մենելաոսի թեորեմ

Թող տրվի եռանկյուն ABCև նրա կողմերում ACԵվ ԿԲկետերը նշված են Բ 1 և Ա 1 համապատասխանաբար եւ կողքի շարունակության վրա ԱԲնշված կետ Գ 1 (նկ. 11):

ա) Եթե միավորները Ա 1 , Բ 1 և ՀԵՏ 1 պառկեք նույն գծի վրա, ապա

. (6)

բ) Եթե (7) հավասարությունը ճիշտ է, ապա միավորները Ա 1 , Բ 1 և ՀԵՏ 1 պառկել նույն գծի վրա: Բրինձ. տասնմեկ

Ինչպե՞ս հիշել Մենելաոսի հավասարությունը:

Հավասարությունը (6) մտապահելու տեխնիկան նույնն է, ինչ հավասարությունը (1): Եռանկյան գագաթները յուրաքանչյուր հարաբերությունում և հենց հարաբերությունները գրվում են եռանկյան գագաթները շրջանցելու ուղղությամբ. ABC- գագաթից գագաթ, անցնելով բաժանման կետերով (ներքին կամ արտաքին):

Առաջադրանք 10.Ապացուցեք, որ ցանկացած ուղղությամբ եռանկյան ցանկացած գագաթից (6) հավասարություն գրելիս ստացվում է նույն արդյունքը։

Մենելաուսի թեորեմն ապացուցելու համար պետք է ապացուցել ա) պնդումը ստորև ներկայացված մեթոդներից որևէ մեկով, ինչպես նաև ապացուցել բ պնդումը։ Բ) պնդման ապացույցը տրվում է ա պնդումն ապացուցելու առաջին եղանակից հետո։

Պնդման ապացույց ա) համամասնական հատվածների վերաբերյալ թեորեմի կիրառմամբ

Իճանապարհ.ա) Ապացույցի գաղափարն է՝ փոխարինել հատվածների երկարությունների հարաբերությունները (6) հավասարության մեջ մեկ ուղիղ գծի վրա ընկած հատվածների երկարությունների հարաբերակցությամբ։

Թող միավորները Ա 1 , Բ 1 և ՀԵՏ 1 պառկել նույն գծի վրա: Կետի միջով Գեկեք ուղիղ գիծ քաշենք լ, գծին զուգահեռ Ա 1 Բ 1 , այն հատում է գիծը ԱԲկետում Մ(նկ. 12):

Ռ
է. 12

Համամասնական հատվածների թեորեմի համաձայն ունենք.
Եվ
.

Հետո հավասարությունները
.

Մենելաուսի թեորեմի բ) պնդման ապացույց

Հիմա թող հավասարությունը (6) ճիշտ լինի, մենք կապացուցենք, որ միավորները Ա 1 , Բ 1 և ՀԵՏ 1 պառկել նույն գծի վրա: Թող ուղիղ ԱԲԵվ Ա 1 Բ 1 հատվում են մի կետում ՀԵՏ 2 (նկ. 13):

Քանի որ կետերը Ա 1 Բ 1 և ՀԵՏ 2 ընկած է նույն գծի վրա, ապա Մենելաոսի թեորեմի ա) հայտարարությամբ

. (7)

(6) և (7) հավասարումների համեմատությունից ունենք
, որտեղից հետևում է, որ հավասարությունները

,
,
.

Վերջին հավասարությունը ճշմարիտ է միայն պայմանով
, այսինքն, եթե միավորները ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ 2 համընկնում.

Ապացուցված է Մենելաոսի թեորեմի բ) պնդումը. Բրինձ. 13

Պնդման ապացույց ա) օգտագործելով եռանկյունների նմանությունը

Ապացույցի գաղափարը հավասարությունից (6) հատվածների երկարությունների հարաբերությունները փոխարինելն է զուգահեռ գծերի վրա ընկած հատվածների երկարությունների հարաբերակցությամբ:

Թող միավորները Ա 1 , Բ 1 և ՀԵՏ 1 պառկել նույն գծի վրա: Միավորներից Ա, ԲԵվ Գուղղահայացներ նկարել ԱԱ 0 , ԲԲ 0 և ՍՍ 0 այս ուղիղ գծին (նկ. 14):

Ռ
է. 14

Երեք զույգ եռանկյունների նմանությունից ԱԱ 0 Բ 1 Եվ ՍԴ 0 Բ 1 , ՍԴ 0 Ա 1 Եվ ԲԲ 0 Ա 1 , Գ 1 Բ 0 ԲԵվ Գ 1 Ա 0 Ա(երկու անկյուններում) ունենք ճիշտ հավասարումներ

,
,
,

բազմապատկելով դրանք՝ ստանում ենք.

.

Ապացուցված է Մենելաոսի թեորեմի ա) պնդումը.

Պնդման ապացույց ա) տարածքների օգտագործումը

Ապացույցի գաղափարը հավասարությունից հատվածների երկարությունների հարաբերակցությունը (7) փոխարինելն է եռանկյունների մակերեսների հարաբերակցությամբ:

Թող միավորները Ա 1 , Բ 1 և ՀԵՏ 1 պառկել նույն գծի վրա: Միացրեք կետերը ԳԵվ Գ 1 . Նշեք եռանկյունների մակերեսները Ս 1 , Ս 2 , Ս 3 , Ս 4 , Ս 5 (նկ. 15):

Հետո հավասարությունները

,
,
. (8)

Բազմապատկելով հավասարությունները (8), մենք ստանում ենք.

Ապացուցված է Մենելաոսի թեորեմի ա) պնդումը.

Ռ
է. 15

Ինչպես Սևայի թեորեմը մնում է վավեր, եթե Կևիական հատման կետը գտնվում է եռանկյունուց դուրս, այնպես էլ Մենելաուսի թեորեմը մնում է վավեր, եթե սեկանտը հատում է միայն եռանկյան կողմերի երկարությունները։ Այս դեպքում կարելի է խոսել արտաքին կետերում եռանկյան կողմերի հատման մասին։

Պնդման ապացույց ա) արտաքին կետերի դեպքում

Պ հատվածի բերանը հատում է եռանկյան կողմերը ABCարտաքին կետերում, այսինքն հատում է կողմերի երկարացումները ԱԲ,մ.թ.աԵվ ACկետերում Գ 1 , Ա 1 և Բ 1, համապատասխանաբար, և այդ կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա (նկ. 16):

Համամասնական հատվածների թեորեմի համաձայն ունենք.

Եվ .

Հետո հավասարությունները

Ապացուցված է Մենելաոսի թեորեմի ա) պնդումը. Բրինձ. 16

Նկատի ունեցեք, որ վերը նշված ապացույցը համընկնում է Մենելաուսի թեորեմի ապացուցման հետ այն դեպքի համար, երբ հատվածը հատում է եռանկյան երկու կողմերը ներքին կետերում, իսկ մեկը՝ արտաքին:

Արտաքին կետերի դեպքի համար Մենելաոսի թեորեմի բ) պնդման ապացույցը նման է վերը բերված ապացույցին։

Զ դժոխք11. Եռանկյունու մեջ ABCմիավորներ Ա 1 , IN 1 պառկել համապատասխանաբար կողմերի վրա ԱրևԵվ ԱՀԵՏ. Պ- հատվածների հատման կետը ԱԱ 1 Եվ ԲԲ 1 .
,
. Գտեք վերաբերմունք
.

Լուծում.Նշանակել
,
,
,
(նկ. 17): Մենելաուսի թեորեմով եռանկյունու համար մ.թ.աIN 1 և հատված Պ.Ա 1 գրի՛ր ճիշտ հավասարությունը.

,

որտեղից հետևում է, որ

. Բրինձ. 17

Պատասխանել. .

Զ դժոխք12 (Մոսկվայի պետական ​​համալսարան, հեռակա նախապատրաստական ​​դասընթացներ): Եռանկյունու մեջ ABC, որի մակերեսը 6 է, կողք ԱԲվերցված կետ TO, այս կողմը բաժանելով առնչությամբ
, և կողքից AC- կետ Լ, բաժանելով ACհարաբերությունների մեջ
. Կետ Պ գծային խաչմերուկներ SCԵվ INԼ հանվել է գծից ԱԲ 1,5 հեռավորության վրա։ Գտեք կողմի երկարությունը ԱԲ.

Լուծում.Միավորներից ՌԵվ ՀԵՏգցենք ուղղահայացները PRԵվ ՍՄուղղակիորեն ԱԲ. Նշանակել
,
,
,
(նկ. 18): Մենելաուսի թեորեմով եռանկյունու համար AKCև սեկանտ PLգրի՛ր ճիշտ հավասարումը.
, որտեղից մենք ստանում ենք դա
,
. Բրինձ. 18

Եռանկյունների նմանությունից TOԲԿԵվ TORP(երկու անկյուններում) մենք ստանում ենք դա
, որտեղից հետևում է, որ
.

Այժմ, իմանալով կողքի գծված բարձրության երկարությունը ԱԲեռանկյուն ABSև այս եռանկյունու մակերեսը մենք հաշվարկում ենք կողմի երկարությունը.
.

Պատասխանել. 4.

Զ դժոխք13. Երեք շրջան՝ կենտրոններով Ա,IN,ՀԵՏ, որոնց շառավիղները կապված են որպես
, դիպչել միմյանց արտաքին կետերում X, Յ, Զինչպես ցույց է տրված նկար 19-ում. Հատվածներ ԿԱՑԻՆԵվ ԿՈՂՄԻՑհատվում են մի կետում Օ. Ինչ հարաբերակցությամբ՝ հաշվելով կետից Բ, գծի հատված czբաժանում է հատվածը ԿՈՂՄԻՑ?

Լուծում.Նշանակել
,
,
(նկ. 19): Որովհետեւ
, ապա Սևայի թեորեմի բ) պնդմամբ՝ հատվածները ԱX, ԿՈՂՄԻՑԵվ ՀԵՏԶհատվում են մի կետում Օ. Այնուհետև հատվածը czբաժանում է հատվածը ԿՈՂՄԻՑհարաբերությունների մեջ
. Եկեք գտնենք այս հարաբերությունները: Բրինձ. 19

Մենելաուսի թեորեմով եռանկյունու համար BCYև սեկանտ ԵԶմենք ունենք:
, որտեղից հետևում է, որ
.

Պատասխանել. .

Առաջադրանք 14 (USE-2016).

միավորներ IN 1 և ՀԵՏ ACԵվ ԱԲեռանկյուն ABC, ընդ որում ԱԲ 1:Բ 1 ՀԵՏ =
= AC 1:ՀԵՏ 1 Բ. Ուղղակի ԲԲ 1 Եվ ՍՍ 1 հատվում են մի կետում ՄԱՍԻՆ.

Ա ) Ապացուցեք, որ տողը ԲԲԸկտրեք կողմը Արև.

ԱԲ 1 OC 1 եռանկյան մակերեսին ABCեթե հայտնի է, որ ԱԲ 1:Բ 1 ՀԵՏ = 1:4.

Լուծում.ա) Թող գիծը ԱՕ խաչեր կողմը մ.թ.ա կետում Ա 1 (նկ. 20): Սևայի թեորեմով մենք ունենք.

. (9)

Որովհետեւ ԱԲ 1:Բ 1 ՀԵՏ = AC 1:ՀԵՏ 1 Բ, ապա հավասարությունից (9) հետևում է, որ
, այն է ԿԱ 1 = Ա 1 Բ, որը պետք է ապացուցվեր։ Բրինձ. 20

բ) Թողեք եռանկյան մակերեսը ԱԲ 1 Օ հավասար է Ս. Որովհետեւ ԱԲ 1:Բ 1 ՀԵՏ ԿԲ 1 Օ հավասար է 4 Սև եռանկյունու մակերեսը ՀՕԿ հավասար է 5 Ս. Այնուհետև եռանկյունու տարածքը ԱՕԲ նույնպես հավասար է 5-ի Ս, քանի որ եռանկյունները ԱՕԲ Եվ ՀՕԿունեն ընդհանուր լեզու ԱՕև դրանց գագաթները ԲԵվ Գգծից հավասար հեռավորության վրա ԱՕ. Եվ եռանկյունու մակերեսը ՀՕԿ 1 հավասար է Ս, որովհետեւ AC 1:ՀԵՏ 1 Բ = 1։4։ Այնուհետև եռանկյունու տարածքը ABB 1-ը հավասար է 6-ի Ս. Որովհետեւ ԱԲ 1:Բ 1 ՀԵՏ= 1:4, ապա եռանկյան մակերեսը ԿԲ 1 Օ հավասար է 24 Սև եռանկյունու մակերեսը ABC հավասար է 30 Ս. Հիմա եկեք գտնենք քառանկյունի մակերեսի հարաբերակցությունը ԱԲ 1 OC 1 (2Ս) եռանկյունու մակերեսին ABC (30Ս), հավասար է 1։15։

Պատասխանել. 1:15.

Առաջադրանք 15 (USE-2016).

միավորներ IN 1 և ՀԵՏ 1 պառկել համապատասխանաբար կողքերին ACԵվ ԱԲեռանկյուն ABC, ընդ որում ԱԲ 1:Բ 1 ՀԵՏ =
= AC 1:ՀԵՏ 1 Բ. Ուղղակի ԲԲ 1 Եվ ՍՍ 1 հատվում են մի կետում ՄԱՍԻՆ.

ա) Ապացուցեք, որ գիծը ԲԲԸկտրեք կողմը Արև.

բ) Գտեք քառանկյունի մակերեսի հարաբերակցությունը ԱԲ 1 OC 1 եռանկյան մակերեսին ABCեթե հայտնի է, որ ԱԲ 1:Բ 1 ՀԵՏ = 1:3.

Պատասխանել. 1:10.

Զ առաջադրանք 16 (ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄ-2016):Սեգմենտի վրա ԲԴվերցված կետ ՀԵՏ. Բիսեկտոր ԲԼ ABCհիմքով Արև BLDհիմքով ԲԴ.

ա) Ապացուցեք, որ եռանկյունը DCLհավասարաչափ.

բ) Հայտնի է, որ կոս
ABC DL, այսինքն եռանկյուն BDվերցված կետ ՀԵՏ. Բիսեկտոր ԲԼհավասարաչափ եռանկյուն ABCհիմքով Արևհավասարաչափ եռանկյան կողային կողմն է BLDհիմքով ԲԴ.

ա) Ապացուցեք, որ եռանկյունը DCLհավասարաչափ.

բ) Հայտնի է, որ կոս ABC= . Ինչ ձևով է ուղիղ DL բաժանում է կողմը ԱԲ?

Պատասխանել. 4:21.

գրականություն

1. Սմիրնովա Ի.Մ., Սմիրնով Վ.Ա. Հրաշալի եռանկյունի կետեր և գծեր: Մ.: Մաթեմատիկա, 2006, թիվ 17:

2. Մյակիշև Ա.Գ. Եռանկյունի երկրաչափության տարրեր. (Սերիա «Գրադարան «Մաթեմատիկական կրթություն»»): M.: MTsNMO, 2002. - 32 p.

3. Երկրաչափություն. Լրացուցիչ գլուխներ 8-րդ դասարանի դասագրքի համար. Դասագիրք դպրոցների և դասարանների աշակերտների համար խորացված ուսումնասիրությամբ / Լ.Ս. Աթանասյան, Վ.Ֆ. Բուտուզովը, Ս.Բ. Կադոմցև և ուրիշներ - Մ.: Vita-Press, 2005. - 208 p.

4. Էրդնիև Պ., Մանցաև Ն. Չևայի և Մենելաուսի թեորեմները: Մ.՝ Կվանտ, 1990, թիվ 3, էջ 56–59։

5. Շարիգին Ի.Ֆ. Սևայի և Մենելաուսի թեորեմները. Մոսկվա՝ Կվանտ, 1976, թիվ 11, էջ 22–30։

6. Վավիլով Վ.Վ. Եռանկյան միջին և միջնագիծ: Մ.: Մաթեմատիկա, 2006, թիվ 1:

7. Եֆրեմով Դմ. Նոր եռանկյունի երկրաչափություն. Օդեսա, 1902. - 334 էջ.

8. Մաթեմատիկա. Տիպիկ թեստային առաջադրանքների 50 տարբերակ / I.V. Յաշչենկոն, Մ.Ա. Վոլկևիչ, Ի.Ռ. Վիսոցկին և ուրիշներ; խմբ. Ի.Վ. Յաշչենկո. - Մ .: Հրատարակչություն «Քննություն», 2016. - 247 էջ.

ՉԵՎԱՅԻ ԵՎ ՄԵՆԵԼԱՎԻ ԹԵՈՐԵՄՆԵՐԸ

Սևայի թեորեմը

Եռանկյան ուշագրավ կետերի մեծ մասը կարելի է ձեռք բերել հետևյալ ընթացակարգով. Թող լինի ինչ-որ կանոն, ըստ որի մենք կարող ենք ընտրել որոշակի կետ Ա 1 , ABC եռանկյան BC կողմի (կամ դրա երկարացման) վրա (օրինակ՝ ընտրել այս կողմի միջնակետը)։ Այնուհետև մենք կառուցում ենք նմանատիպ B կետեր 1, C 1 եռանկյան մյուս երկու կողմերում (մեր օրինակում կա կողմերի ևս երկու միջնակետ): Եթե ​​ընտրության կանոնը հաջողված է, ապա ուղղեք AA-ն 1, BB 1, CC 1 հատվում են ինչ-որ Z կետում (կողմերի միջնակետերի ընտրությունն այս առումով, իհարկե, հաջողված է, քանի որ եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում):

Ես կցանկանայի ունենալ մի ընդհանուր մեթոդ, որը թույլ է տալիս մեզ եռանկյունու կողքերի կետերի դիրքից որոշել, թե արդյոք համապատասխան եռակի ուղիղները հատվում են մի կետում, թե ոչ:

Համընդհանուր պայմանը, որը «փակեց» այս խնդիրը, հայտնաբերվել է 1678 թվականին իտալացի ինժեների կողմիցՋովանի Սեվա .

Սահմանում. Եռանկյան գագաթները հակառակ կողմերի (կամ դրանց ընդարձակման) կետերի հետ կապող հատվածները կոչվում են ցևիյաններ, եթե հատվում են մի կետում։

Սևիանի գտնվելու վայրի երկու տարբերակ կա. Մի տարբերակում կետը

խաչմերուկները ներքին են, իսկ սևիների ծայրերը ընկած են եռանկյունու կողմերի վրա: Երկրորդ տարբերակում հատման կետը արտաքին է, մի սևիանի ծայրը գտնվում է կողքի վրա, իսկ մյուս երկու ցևիների ծայրերը՝ կողքերի երկարացման վրա (տես նկարները):

Թեորեմ 3. (Սևայի ուղղակի թեորեմ) BC, CA, AB կողմերի կամ դրանց ընդարձակման կամայական ABC եռանկյունում համապատասխանաբար վերցվում են A կետերը: 1 , IN 1 , ՀԵՏ 1 , այնպիսին, որ ուղղակի ԱԱ 1 , ԲԲ 1 , Ս.Ս 1 հատվում են ինչ-որ ընդհանուր կետում, ապա

.

Ապացույց: Քանի որ կան Սևայի թեորեմի մի քանի բնօրինակ ապացույցներ, մենք կդիտարկենք ապացույցը, որը հիմնված է Մենելաուսի թեորեմի կրկնակի կիրառման վրա: Գրենք Մենելաոսի թեորեմի առնչությունն առաջին անգամ եռանկյունու համարABB 1 և հատված ՍԴ 1 (նշում ենք cevian-ի հատման կետըԶ):

,

իսկ երկրորդ անգամ՝ եռանկյունու համարԲ 1 մ.թ.աև սեկանտ ԱԱ 1 :

.

Բազմապատկելով այս երկու հարաբերությունները, կատարելով անհրաժեշտ կրճատումներ՝ ստանում ենք թեորեմի հայտարարության մեջ պարունակվող հարաբերությունը։

Թեորեմ 4. (Հակադարձ Ceva թեորեմ) . Եթե ​​եռանկյունու կողմերում ընտրվածների համար ABC կամ դրանց կետերի ընդլայնումը Ա 1 , IN 1 Եվ Գ 1 Չևայի վիճակը բավարար է.

,

ապա ուղիղ ԱԱ 1 , ԲԲ 1 Եվ ՍԴ 1 հատվում են մի կետում .

Այս թեորեմի ապացուցումն իրականացվում է հակասությամբ, ինչպես Մենելաոսի թեորեմի ապացույցը։

Դիտարկենք Սևայի ուղիղ և հակադարձ թեորեմների կիրառման օրինակներ։

Օրինակ 3 Ապացուցեք, որ եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում:

Լուծում. Հաշվի առեք հարաբերությունը

եռանկյան գագաթների և նրա կողմերի միջնակետերի համար։ Ակնհայտ է, որ համարիչի և հայտարարի յուրաքանչյուր կոտորակի մեջ կան հավասար հատվածներ, հետևաբար այս բոլոր կոտորակները հավասար են մեկին: Հետևաբար, Ceva-ի կապը բավարարված է, հետևաբար, հակադարձ թեորեմով միջինները հատվում են մի կետում:

Թեորեմ (Ceva-ի թեորեմ) . Թող միավորները պառկել կողքերինև եռանկյուն համապատասխանաբար. Թող հատվածներըԵվ հատվում են մի կետում. Հետո

(շրջեք եռանկյունը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ):

Ապացույց.Նշել ըստ հատվածների հատման կետըԵվ . Անցնել կետերիցԵվ ուղղահայացներմինչև կետերում դրա հետ հատվելըԵվ համապատասխանաբար (տես նկարը):

Քանի որ եռանկյուններըԵվ ունեն ընդհանուր կողմ, ապա նրանց տարածքները կապված են որպես այս կողմ գծված բարձունքները, այսինքն.Եվ.

Վերջին հավասարությունը ճիշտ է, քանի որ ուղղանկյուն եռանկյուններ ենԵվ նման է սուր անկյան տակ:

Նմանապես, մենք ստանում ենք

Եվ

Բազմապատկենք այս երեք հավասարությունները.

Ք.Ե.Դ.

Միջինների մասին.

1. Տեղադրե՛ք միավոր զանգվածները ABC եռանկյան գագաթներին:
2. A և B կետերի զանգվածի կենտրոնը գտնվում է AB-ի մեջտեղում: Ամբողջ համակարգի զանգվածի կենտրոնը պետք է լինի AB կողմի միջնամասում, քանի որ ABC եռանկյան զանգվածի կենտրոնը A և B կետերի զանգվածի կենտրոնի զանգվածի կենտրոնն է, իսկ C կետը:
(շփոթեցրեց)
3. Նմանապես - CM-ը պետք է ընկած լինի AC և BC կողմերի միջնամասի վրա
4. Քանի որ ԿՄ-ն միակ կետն է, ուրեմն, այս բոլոր երեք մեդիանները պետք է հատվեն դրա վրա:

Ի դեպ, անմիջապես հետևում է, որ դրանք բաժանվում են խաչմերուկով 2: 1 հարաբերակցությամբ: Քանի որ A և B կետերի զանգվածի կենտրոնի զանգվածը 2 է, իսկ C կետի զանգվածը 1 է, հետևաբար, զանգվածի ընդհանուր կենտրոնը, ըստ համամասնության թեորեմի, կբաժանի միջինը 2/1 հարաբերությամբ։

Շատ շնորհակալ եմ, մատչելի ձևով է ներկայացված, կարծում եմ ավելորդ չի լինի ապացուցել զանգվածային երկրաչափության մեթոդներով, օրինակ.
AA1 և CC1 ուղիղները հատվում են O կետում; AC1: C1B = p և BA1: A1C = q: Մենք պետք է ապացուցենք, որ BB1 տողը անցնում է O կետով, եթե և միայն այն դեպքում, եթե CB1: B1A = 1: pq:
1, p և pq զանգվածները տեղադրենք համապատասխանաբար A, B և C կետերում։ Այնուհետև C1 կետը A և B կետերի զանգվածի կենտրոնն է, իսկ A1 կետը B և C կետերի զանգվածի կենտրոնն է: Հետևաբար, տրված զանգվածներով A, B և C կետերի զանգվածի կենտրոնը O կետն է: CC1 և AA1 գծերի խաչմերուկ: Մյուս կողմից, O կետը գտնվում է B կետը A և C կետերի զանգվածի կենտրոնին միացնող հատվածի վրա: Եթե B1-ը A և C կետերի զանգվածի կենտրոնն է 1 և pq զանգվածներով, ապա AB1: B1C = pq: 1. Մնում է նշել, որ AC հատվածի վրա կա մեկ կետ, որը բաժանում է այն այս հարաբերությամբ AB1: B1C:

2. Սևայի թեորեմա

Եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի ինչ-որ կետի հետ կապող ուղիղ հատվածը կոչվում էceviana . Այսպիսով, եթե եռանկյունու մեջABC X , Յ և Զ - կետերը կողմերի վրամ.թ.ա , ԿԱ , ԱԲ համապատասխանաբար, ապա հատվածներըԿԱՑԻՆ , ԿՈՂՄԻՑ , cz Չևիացիներ են. Տերմինը գալիս է իտալացի մաթեմատիկոս Ջովանի Չևայից, ով 1678 թվականին հրապարակեց հետևյալ շատ օգտակար թեորեմը.

Թեորեմ 1.21. Եթե ​​ABC եռանկյան AX, BY, CZ երեք cevians (յուրաքանչյուր գագաթից մեկական) մրցունակ են, ապա.

|BX||XC|· |CY||ԵԱ|· |ԱԶ||ԶԲ|=1 .

Բրինձ. 3.

Երբ ասում ենք, որ երեք տող (կամ հատված)մրցունակ , ապա նկատի ունենք, որ նրանք բոլորն անցնում են մեկ կետով, որը մենք նշում ենքՊ . Սևայի թեորեմն ապացուցելու համար հիշենք, որ հավասար բարձրություններ ունեցող եռանկյունների մակերեսները համաչափ են եռանկյունների հիմքերին։ Անդրադառնալով Գծապատկեր 3-ին, մենք ունենք.

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX-SPBXSAXC-SPXC= SABPSCAP.

Նմանապես,

|CY||ԵԱ|= SBCPSABP, |ԱԶ||ԶԲ|= SCAPSBCP.

Հիմա եթե դրանք բազմապատկենք, կստանանք

|BX||XC|· |CY||ԵԱ|· |ԱԶ||ԶԲ|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Այս թեորեմի հակառակը նույնպես ճշմարիտ է.

Թեորեմ 1.22. Եթե ​​երեք cevians AX, BY, CZ բավարարում են հարաբերությունը

|BX||XC|· |CY||ԵԱ|· |ԱԶ||ԶԲ|=1 ,

ապա նրանք մրցունակ են .

Դա ցույց տալու համար ենթադրենք, որ առաջին երկու սևիանները հատվում են կետումՊ , ինչպես նախկինում, և երրորդ ceviana-ն անցնող կետովՊ , կամքCZ′ . Այնուհետև թեորեմ 1.21-ով.

|BX||XC|· |CY||ԵԱ|· |AZ′||Զ'Բ|=1 .

Բայց ենթադրությամբ

|BX||XC|· |CY||ԵԱ|· |ԱԶ||ԶԲ|=1 .

Հետևաբար,

|ԱԶ||ԶԲ|= |AZ′||Զ'Բ| ,

կետԶ' համընկնում է կետի հետԶ , և մենք ապացուցել ենք, որ հատվածներըԿԱՑԻՆ , ԿՈՂՄԻՑ Եվcz մրցակցային (, էջ 54 և , էջ 48, 317)։

Մաթեմատիկա - 10-րդ դասարան Մենդել Վիկտոր Վասիլևիչ, Բնական գիտությունների, մաթեմատիկայի և տեղեկատվական տեխնոլոգիաների ֆակուլտետի դեկան, ՖԵՍԳՈՒ ՉԵՎԱ ԵՎ ՄԵՆԵԼԱՅԻ ԹԵՈՐԵՄՆԵՐ Պլանաչափության մեջ առանձնահատուկ տեղ է հատկացվում երկու ուշագրավ թեորեմներին՝ Սևայի թեորեմին և Մենելաուսի թեորեմին: Այս թեորեմները ներառված չեն ավագ դպրոցի երկրաչափության դասընթացի հիմնական ուսումնական ծրագրում, սակայն դրանց ուսումնասիրությունը (և կիրառումը) խորհուրդ է տրվում բոլոր նրանց, ովքեր հետաքրքրված են մաթեմատիկայով մի փոքր ավելի, քան հնարավոր է դպրոցական ուսումնական ծրագրի շրջանակներում: Ինչու են այս թեորեմները հետաքրքիր: Նախ, մենք նշում ենք, որ երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս արդյունավետորեն համակցվում են երկու մոտեցում. իր գագաթներով և հատվում է մի կետում՝ քառանկյուն երկու զուգահեռ կողմերով և այլն), իսկ երկրորդը հղումային խնդիրների մեթոդն է (պարզ երկրաչափական խնդիրներ, որոնց կրճատվում է բարդ խնդրի լուծման գործընթացը): Այսպիսով, Մենելաուսի և Սևայի թեորեմները ամենատարածված կառույցներից են. առաջինը վերաբերում է եռանկյունին, որի կողմերը կամ ընդլայնումները հատվում են ինչ-որ գծով (հատված), երկրորդը եռանկյունի և միջով անցնող երեք գծերի մասին է։ նրա գագաթները՝ հատվելով մի կետում: Մենելաոսի թեորեմ Դիտարկված (հակադարձների հետ միասին) հարաբերությունների այս թեորեմը ցույց է տալիս հատվածներ, օրինաչափություն, որոնք կապում են որոշակի եռանկյան գագաթները և հատվածի հատման կետերը եռանկյան կողմերի (կողմերի ընդարձակման) հետ։ Գծագրերը ցույց են տալիս եռանկյան և սեկանտի գտնվելու երկու հնարավոր դեպք։ Առաջին դեպքում հատվածը հատում է եռանկյան երկու կողմերը և երրորդի շարունակությունը, երկրորդում՝ եռանկյան բոլոր երեք կողմերի շարունակությունը։ Թեորեմ 1. (Մենելաուս) Թող ABC հատվի AB կողմին ոչ զուգահեռ ուղիղով և հատում է դրա երկու կողմերը համապատասխանաբար AC և BC B1 և A1 կետերում, իսկ AB ուղիղ C1 կետում, ապա AB1 CA1 BC1   : 1. B1C A1B C1 A թեորեմ 2. (Հակադարձ Մենելաուսի թեորեմի) ABC եռանկյան A1, B1, C1 կետերը համապատասխանաբար պատկանում են BC, AC, AB ուղիղներին, ապա եթե AB1 CA1 BC1   1 B1C. A1B C1 A , ապա A1, B1, C1 կետերը ընկած են մեկ ուղիղ գծի վրա: Առաջին թեորեմի ապացուցումը կարող է իրականացվել հետևյալ կերպ. եռանկյան բոլոր գագաթներից ուղղահայացները իջեցվում են կտրվածքի գծի վրա: Արդյունքը երեք զույգ նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյուններ է: Թեորեմի ձևակերպման մեջ հայտնված հատվածների հարաբերությունները փոխարինվում են դրանց նմանությամբ համապատասխանող ուղղահայացների հարաբերություններով։ Ստացվում է, որ յուրաքանչյուր հատված՝ կոտորակներով ուղղահայաց, կլինի երկու անգամ՝ մեկ կոտորակի մեջ համարիչում, երկրորդ անգամ, մեկ այլ կոտորակի մեջ՝ հայտարարի մեջ: Այսպիսով, այս բոլոր հարաբերակցությունների արտադրյալը հավասար կլինի մեկի։ Հակադարձ թեորեմն ապացուցվում է «հակասությամբ» մեթոդով։ Ենթադրվում է, որ 2-րդ թեորեմի պայմաններում A1, B1, C1 կետերը չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա։ Այնուհետև A1B1 ուղիղը C2 կետում կհատի AB կողմը, որը տարբերվում է C1 կետից: Այս դեպքում, թեորեմ 1-ի ուժով, A1, B1, C2 կետերի համար կգործի նույն հարաբերությունը, ինչ A1, B1, C1 կետերի համար: Սրանից հետևում է, որ C1 և C2 կետերը հավասար համամասնությամբ կբաժանեն AB հատվածը։ Հետո այս կետերը համընկնում են՝ հակասություն ստացանք։ Դիտարկենք Մենելաուսի թեորեմի կիրառման օրինակներ։ Օրինակ 1. Ապացուցեք, որ հատման կետում եռանկյան միջնամասերը բաժանվում են 2:1 հարաբերության վրա՝ հաշվելով գագաթից: Լուծում. Գրենք ABMb եռանկյան և McM(C) եռանկյան համար Մենելաուսի թեորեմում ստացված հարաբերակցությունը. AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Այս արտադրյալի առաջին կոտորակն ակնհայտորեն հավասար է. 1, իսկ երրորդ երկրորդ հարաբերակցությունը հավասար է 1-ի: Հետեւաբար, 2 2:1, որը պետք է ապացուցվեր. Օրինակ 2. Հատվածը հատում է ABC եռանկյան AC կողմի երկարացումը B1 կետում այնպես, որ C կետը լինի AB1 հատվածի միջնակետը: AB կողմը կիսվում է այս հատվածով: Գտե՛ք այն հարաբերակցությունը, որով այն բաժանում է BC կողմը: Լուծում. Եռանկյան և սեկանտի համար գրենք Մենելաոսի թեորեմից երեք հարաբերակցության արտադրյալը՝ AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Խնդրի պայմաններից հետևում է, որ առաջին հարաբերակցությունը հավասար է մեկին, և երրորդը 1, 2, այսպիսով, երկրորդ հարաբերակցությունը հավասար է 2-ի, այսինքն՝ սեկանտը բաժանում է BC կողմը 2։1 հարաբերությամբ։ Մենք կհանդիպենք Մենելաուսի թեորեմի կիրառման հետևյալ օրինակին, երբ դիտարկենք Սևայի թեորեմի ապացույցը. Սևայի թեորեմ Եռանկյան ուշագրավ կետերի մեծ մասը կարելի է ստանալ հետևյալ ընթացակարգով. Թող լինի ինչ-որ կանոն, ըստ որի մենք կարող ենք ընտրել A1 որոշակի կետ՝ ABC եռանկյան BC կողմում (կամ դրա երկարացումը) (օրինակ՝ ընտրում ենք այս կողմի միջնակետը): Այնուհետև եռանկյան մյուս երկու կողմերի վրա կառուցում ենք B1, C1 նմանատիպ կետեր (մեր օրինակում կա կողմերի ևս երկու միջնակետ): Եթե ​​ընտրության կանոնը հաջողված է, ապա AA1, BB1, CC1 ուղիղները հատվում են ինչ-որ Z կետում (կողմերի միջնակետերի ընտրությունը, իհարկե, հաջողված է այս առումով, քանի որ եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում) . Ես կցանկանայի ունենալ մի ընդհանուր մեթոդ, որը թույլ է տալիս մեզ եռանկյունու կողքերի կետերի դիրքից որոշել, թե արդյոք համապատասխան եռակի ուղիղները հատվում են մի կետում, թե ոչ: Համընդհանուր պայմանը, որը «փակեց» այս խնդիրը, գտնվել է 1678 թվականին իտալացի ինժեներ Ջովանի Չևայի կողմից: Սահմանում. Եռանկյան գագաթները հակառակ կողմերի (կամ դրանց ընդարձակման) կետերի հետ կապող հատվածները կոչվում են ցևիյաններ, եթե հատվում են մի կետում։ Սևիանի գտնվելու վայրի երկու տարբերակ կա. Մեկ մարմնավորման դեպքում հատման կետը ներքին է, և սևիների ծայրերը ընկած են եռանկյունու կողմերի վրա: Երկրորդ տարբերակում հատման կետը արտաքին է, մի սևիանի ծայրը գտնվում է կողքի վրա, իսկ մյուս երկու ցևիների ծայրերը՝ կողքերի երկարացման վրա (տես նկարները): Թեորեմ 3. (Ceva-ի ուղիղ թեորեմ) BC, CA, AB կողմերի կամ դրանց ընդարձակման կամայական ABC եռանկյունում համապատասխանաբար վերցված են A1, B1, C1 կետերը, որպեսզի AA1, BB1, CC1 ուղիղները հատվեն ինչ-որ ընդհանուր կետում։ , ապա BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Ապացույց. Հայտնի են Սևայի թեորեմի մի քանի բնօրինակ ապացույցներ, մենք կդիտարկենք ապացույցը, որը հիմնված է Մենելաուսի թեորեմի կրկնակի կիրառման վրա: Առաջին անգամ գրենք Մենելաոսի թեորեմի հարաբերությունը ABB1 եռանկյան և CC1 սեկանտի համար (ցևիական հատման կետը նշանակում ենք Z-ով). AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA և երկրորդ անգամ՝ եռանկյունու համար։ B1BC և AA1 հատվածը՝ B1Z BA1 ​​CA    1. ZB A1C AB1 Այս երկու հարաբերությունները բազմապատկելով և անհրաժեշտ կրճատումներ կատարելով՝ ստանում ենք թեորեմի դրույթում պարունակվող հարաբերությունը։ Թեորեմ 4. (Հակադարձ Ceva թեորեմ): Եթե ​​ABC եռանկյան կողմերում ընտրված A1, B1 և C1 կետերի կամ դրանց ընդարձակման համար բավարարված է Ceva պայմանը՝ BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 , ապա AA1, BB1 և CC1 ուղիղները հատվում են մեկ կետում . Այս թեորեմի ապացուցումն իրականացվում է հակասությամբ, ինչպես Մենելաոսի թեորեմի ապացույցը։ Դիտարկենք Սևայի ուղիղ և հակադարձ թեորեմների կիրառման օրինակներ։ Օրինակ 3. Ապացուցեք, որ եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում: Լուծում. Դիտարկենք AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A կապը եռանկյան գագաթների և նրա կողմերի միջնակետերի համար։ Ակնհայտ է, որ համարիչի և հայտարարի յուրաքանչյուր կոտորակի մեջ կան հավասար հատվածներ, հետևաբար այս բոլոր կոտորակները հավասար են մեկին: Հետևաբար, Ceva-ի կապը բավարարված է, հետևաբար, հակադարձ թեորեմով միջինները հատվում են մի կետում: Անկախ լուծման առաջադրանքներ Այստեղ առաջարկվող առաջադրանքները 9-րդ դասարանի սովորողների թիվ 1 հսկողական աշխատանքն է։ Լուծե՛ք այս խնդիրները, լուծումները գրե՛ք առանձին (ֆիզիկայի և համակարգչային գիտության) տետրում։ Շապիկի վրա նշեք ձեր մասին հետևյալ տեղեկությունները. 1. Ազգանուն, անուն, դաս, դասարանի բնութագիր (օրինակ՝ Վասիլի Պապկին, 9-րդ դասարան, մաթեմատիկա) 2. Փոստային ինդեքս, բնակության հասցեն, էլ. փոստ (եթե այդպիսիք կան), հեռախոսահամար (տուն կամ բջջային) 3. Տվյալներ դպրոցի մասին (օրինակ՝ MBOU No. 1 p. Bikin) 4. Մաթեմատիկայի ուսուցչի ազգանունը, անունը (օրինակ՝ մաթեմատիկայի ուսուցչուհի Պետրովա Մ.Ի.) Խորհուրդ է տրվում լուծել առնվազն չորս խնդիր։ Մ 9.1.1. Կարո՞ղ է Մենելաուսի թեորեմի սեկանտ տողը կտրել եռանկյան կողմերը (կամ դրանց ընդարձակումները) երկարության հատվածների. ա) 3, 3, 5, 7,10, 14; գ) 3, 5, 6, 7, 7, 10 Եթե նման տարբերակներ հնարավոր են, բերեք օրինակներ: Հատվածները կարող են ընթանալ այլ հերթականությամբ: Մ 9.1.2. Կարո՞ղ են եռանկյան ներքին սևիանները բաժանել նրա կողմերը հատվածների. ա) 3, 3, 5, 7,10, 14; գ) 3, 5, 6, 7, 7, 10 Եթե նման տարբերակներ հնարավոր են, բերեք օրինակներ: Հատվածները կարող են ընթանալ այլ հերթականությամբ: Հուշում. Օրինակներ մտածելիս մի մոռացեք ստուգել, ​​թե արդյոք եռանկյունը հավասար չէ: Մ 9.1.3. Օգտագործելով հակադարձ Ceva թեորեմը, ապացուցեք, որ. ա) եռանկյան կիսատները հատվում են մի կետում. բ) եռանկյան գագաթները միմյանց հակառակ կողմերի կետերով միացնող հատվածները, որոնցում այս կողմերը շոշափում են ներգծված շրջանագիծը, հատվում են մի կետում. Հրահանգներ. ա) հիշեք, թե ինչ առումով է կիսորդը բաժանում հակառակ կողմը. բ) օգտագործել այն հատկությունը, որ մի կետից ինչ-որ շրջան գծված երկու շոշափողների հատվածները հավասար են: Մ 9.1.4. Լրացրե՛ք հոդվածի առաջին մասում սկսված Մենելաոսի թեորեմի ապացուցումը։ Մ 9.1.5. Ապացուցեք, որ եռանկյան բարձրությունները հատվում են մի կետում՝ օգտագործելով Սևայի հակադարձ թեորեմը: Մ 9.1.6. Ապացուցեք Սիմփսոնի թեորեմը. ABC եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի վրա վերցված կամայական M կետից ուղղահայացները գցվում են եռանկյան կողմերի կողմերին կամ երկարացումներին, ապացուցեք, որ այս ուղղանկյունների հիմքերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա: Հուշում. օգտագործեք Մենելաոսի հակադարձ թեորեմը: Փորձեք կապի մեջ օգտագործվող հատվածների երկարություններն արտահայտել M կետից գծված ուղղահայաց երկարություններով: Օգտակար է նաև հիշել ներգծված քառանկյունի անկյունների հատկությունները: