Առաջադրանք թիվ 1
Տրամաբանությունը պարզ է՝ մենք կանենք այնպես, ինչպես նախկինում, անկախ այն հանգամանքից, որ այժմ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն ավելի բարդ փաստարկ ունեն։
Եթե մենք լուծեինք ձևի հավասարումը.
Այնուհետև մենք կգրեինք հետևյալ պատասխանը.
Կամ (քանի որ)
Բայց հիմա մեր դերը խաղում է այս արտահայտությունը.
Այնուհետև կարող ենք գրել.
Մեր նպատակն է ձեզ հետ համոզվել, որ ձախ կողմը կանգնած է պարզ, առանց որևէ «կեղտերի»:
Եկեք կամաց-կամաց ազատվենք դրանցից։
Նախ, եկեք հանենք հայտարարը հետևյալի համար. դա անելու համար մեր հավասարությունը բազմապատկենք հետևյալով.
Հիմա եկեք ազատվենք դրանից՝ բաժանելով երկու մասերը.
Հիմա եկեք ազատվենք ութից.
Ստացված արտահայտությունը կարող է գրվել որպես լուծումների 2 շարք (անալոգիայով քառակուսի հավասարման հետ, որտեղ մենք կա՛մ ավելացնում ենք, կա՛մ հանում դիսկրիմինանտը)
Մենք պետք է գտնենք ամենամեծ բացասական արմատը: Հասկանալի է, որ պետք է դասավորել:
Նախ նայենք առաջին դրվագին.
Հասկանալի է, որ եթե վերցնենք, ապա արդյունքում կստանանք դրական թվեր, բայց դրանք մեզ չեն հետաքրքրում։
Այսպիսով, դուք պետք է բացասական ընդունեք: Թող լինի:
Երբ արմատն ավելի նեղ կլինի.
Եվ մենք պետք է գտնենք ամենամեծ բացասականը!! Սա նշանակում է, որ բացասական ուղղությամբ գնալն այստեղ արդեն իմաստ չունի։ Եվ այս շարքի ամենամեծ բացասական արմատը հավասար կլինի.
Հիմա եկեք նայենք երկրորդ շարքին.
Եվ կրկին փոխարինում ենք՝ , ապա՝
Չի հետաքրքրում!
Այնուհետև ավելանալն անիմաստ է: Եկեք նվազեցնենք այն: Թող ուրեմն.
Տեղավորվում է
Թող լինի: Հետո
Հետո - ամենամեծ բացասական արմատը:
Պատասխան.
Առաջադրանք թիվ 2
Մենք նորից լուծում ենք՝ անկախ բարդ կոսինուսի փաստարկից.
Այժմ մենք կրկին արտահայտում ենք ձախ կողմում.
Բազմապատկեք երկու կողմերը
Երկու կողմերից էլ բաժանեք
Մնում է այն տեղափոխել աջ՝ փոխելով նրա նշանը մինուսից դեպի գումարած։
Կրկին ստանում ենք 2 սերիա արմատ, մեկը՝ մյուսը։
Մենք պետք է գտնենք ամենամեծ բացասական արմատը: Դիտարկենք առաջին դրվագը.
Հասկանալի է, որ մենք կստանանք առաջին բացասական արմատը ժամը, այն կհավասարվի և կլինի ամենամեծ բացասական արմատը 1 շարքում։
Երկրորդ սերիայի համար
Առաջին բացասական արմատը նույնպես կստացվի և կհավասարվի: Քանի որ, ուրեմն հավասարման ամենամեծ բացասական արմատն է:
Պատասխան. .
Առաջադրանք թիվ 3
Մենք լուծում ենք՝ անկախ բարդ շոշափող փաստարկից։
Հիմա, դա բարդ չի թվում, չէ՞:
Ինչպես նախկինում, մենք ձախ կողմում արտահայտում ենք.
Դե, դա հիանալի է, այստեղ արմատների միայն մեկ շարք կա: Եկեք նորից գտնենք ամենամեծ բացասականը:
Պարզ է, որ ցած դնես, ստացվում է։ Եվ այս արմատը հավասար է:
Պատասխան.
Այժմ փորձեք ինքներդ լուծել հետևյալ խնդիրները.
Տնային առաջադրանք կամ ինքնուրույն լուծելու 3 առաջադրանք.
- Լուծիր հավասարումը.
- Լուծիր հավասարումը.
Պի-շի-թ-ամենափոքր-հնարավոր արմատի պատասխանում: - Լուծիր հավասարումը.
Պի-շի-թ-ամենափոքր-հնարավոր արմատի պատասխանում:
Պատրա՞ստ եք: Եկեք ստուգենք. Ես մանրամասնորեն չեմ նկարագրի լուծման ամբողջ ալգորիթմը, ինձ թվում է, որ այն արդեն բավականաչափ ուշադրության է արժանացել վերևում:
Դե, ամեն ինչ ճի՞շտ է: Օ՜, այդ տհաճ սինուսները, նրանց հետ միշտ ինչ-որ անախորժություն կա:
Դե, հիմա դուք կարող եք լուծել պարզ եռանկյունաչափական հավասարումներ:
Ստուգեք լուծումներն ու պատասխանները.
Առաջադրանք թիվ 1
Արտահայտենք
Ամենափոքր դրական արմատը ստացվում է, եթե դնենք, քանի որ այն ժամանակ
Պատասխան.
Առաջադրանք թիվ 2
Ամենափոքր դրական արմատը ստացվում է ժամը.
Դա հավասար կլինի։
Պատասխան. .
Առաջադրանք թիվ 3
Երբ մենք ստանում ենք, երբ ունենք:
Պատասխան. .
Այս գիտելիքները կօգնեն ձեզ լուծել բազմաթիվ խնդիրներ, որոնց կհանդիպեք քննության ժամանակ։
Եթե դուք դիմում եք «5» վարկանիշի համար, ապա պարզապես պետք է շարունակեք կարդալ հոդվածը միջին մակարդակիորը կնվիրվի ավելի բարդ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը (առաջադրանք Գ1):
ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ
Այս հոդվածում ես նկարագրելու եմ ավելի բարդ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումև ինչպես ընտրել դրանց արմատները: Այստեղ ես կանդրադառնամ հետևյալ թեմաներին.
- Եռանկյունաչափական հավասարումներ սկսնակների համար (տես վերևում):
Ավելի բարդ եռանկյունաչափական հավասարումները առաջադեմ խնդիրների հիմքն են: Նրանք պահանջում են և՛ լուծել ընդհանուր ձևով հավասարումը, և՛ գտնել այս հավասարման արմատները, որոնք պատկանում են որոշակի միջակայքին:
Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը հանգում է երկու ենթաառաջադրանքի.
- Հավասարման լուծում
- Արմատային ընտրություն
Պետք է նշել, որ երկրորդը միշտ չէ, որ պահանջվում է, բայց օրինակների մեծ մասում ընտրությունը դեռ պահանջվում է: Բայց եթե դա պարտադիր չէ, ապա մենք կարող ենք համակրել ձեզ, սա նշանակում է, որ հավասարումն ինքնին բավականին բարդ է:
C1 խնդիրների վերլուծության իմ փորձը ցույց է տալիս, որ դրանք սովորաբար բաժանվում են հետևյալ կատեգորիաների.
Բարձրացված բարդության առաջադրանքների չորս կատեգորիա (նախկինում C1)
- Հավասարումներ, որոնք վերածվում են ֆակտորիզացիայի:
- Հավասարումները վերածվել են ձևի:
- Հավասարումներ, որոնք լուծվում են փոփոխականի փոփոխությամբ:
- Հավասարումներ, որոնք պահանջում են արմատների լրացուցիչ ընտրություն իռացիոնալության կամ հայտարարի պատճառով:
Պարզ ասած՝ եթե ձեզ բռնեն առաջին երեք տեսակների հավասարումներից մեկը, ապա ձեզ հաջողակ համարեք։ Նրանց համար, որպես կանոն, դուք լրացուցիչ պետք է ընտրեք որոշակի ընդմիջումներին պատկանող արմատներ:
Եթե հանդիպեք 4-րդ տիպի հավասարման, ապա ձեր բախտը չի բերում. դուք պետք է ավելի երկար և զգույշ վարվեք դրա հետ, բայց հաճախ դա չի պահանջում արմատների լրացուցիչ ընտրություն: Այնուամենայնիվ, հաջորդ հոդվածում ես կվերլուծեմ այս տեսակի հավասարումները, իսկ այս մեկը կնվիրեմ առաջին երեք տեսակի հավասարումների լուծմանը:
Հավասարումներ, որոնք վերածվում են ֆակտորիզացիայի
Ամենակարևորը, որ դուք պետք է հիշեք այս տեսակի հավասարումը լուծելու համար
Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, որպես կանոն, այս գիտելիքները բավարար են: Դիտարկենք մի քանի օրինակ.
Օրինակ 1. Հավասարումը վերածվել է ֆակտորիզացիայի՝ օգտագործելով կրճատման և կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևերը
- Լուծիր հավասարումը
- Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, որոնք գտնվում են կտրվածքի վերևում
Այստեղ, ինչպես խոստացել էի, աշխատում են կրճատման բանաձևերը.
Այնուհետև իմ հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.
Այնուհետև իմ հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
Կարճատես ուսանողը կարող է ասել. Հիմա ես կփոքրացնեմ երկու կողմերն էլ, կհասցնեմ ամենապարզ հավասարումը և կվայելեմ կյանքը: Եվ նա դաժանորեն կսխալվի։
| ՀԻՇԵՔ. ԴՈՒ ԵՐԲԵՔ ՉԵՔ ԿԱՐՈՂ ԵՌԱԳՈՆՈՄԵՏՐԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՄԱՆԻ ԵՐԿՈՒ ԿՈՂՄԵՐԸ ՆՎԱԶԵՑՆԵԼ ԱՆՀԱՅՏՆ պարունակող ՖՈՒՆԿՑԻԱՅՈՎ: ԱՅՍՊԵՍ ԿՈՐՑՆԵՔ ՁԵՐ ԱՐՄԱՏՆԵՐԸ: |
Այսպիսով, ինչ անել: Այո, դա պարզ է, տեղափոխեք ամեն ինչ մի կողմ և հանեք ընդհանուր գործոնը.
Դե, մենք դա գործոնավորեցինք գործոնների մեջ, շտապե՛ք: Հիմա որոշենք.
Առաջին հավասարումը ունի արմատներ.
Եվ երկրորդը.
Սա ավարտում է խնդրի առաջին մասը: Այժմ դուք պետք է ընտրեք արմատները.
Բացը այսպիսին է.
Կամ կարելի է գրել նաև այսպես.
Դե, եկեք արմատները վերցնենք.
Նախ, եկեք աշխատենք առաջին դրվագի հետ (և դա, մեղմ ասած, ավելի պարզ է):
Քանի որ մեր ինտերվալն ամբողջությամբ բացասական է, կարիք չկա վերցնել ոչ բացասականները, նրանք դեռ ոչ բացասական արմատներ են տալու։
Վերցնենք, հետո - շատ է, չի խփում։
Թող այդպես լինի, ուրեմն - ես նորից չխփեցի:
Եվս մեկ փորձ, հետո, այո, ես հասկացա: Առաջին արմատը գտնվել է.
Կրկին կրակում եմ. հետո նորից խփեցի:
Դե, ևս մեկ անգամ: - սա արդեն թռիչք է:
Այսպիսով, առաջին շարքից ինտերվալին պատկանող 2 արմատ կա.
Մենք աշխատում ենք երկրորդ սերիայի հետ (կառուցում ենք իշխանությանը ըստ կանոնի):
Թափահարել
Կրկին կարոտում եմ:
Կրկին կարոտում եմ:
Հասկացա!
Թռիչք!
Այսպիսով, իմ միջակայքը ունի հետևյալ արմատները.
Սա այն ալգորիթմն է, որը մենք կօգտագործենք մյուս բոլոր օրինակները լուծելու համար: Եկեք միասին պարապենք ևս մեկ օրինակով։
Օրինակ 2. Հավասարումը վերածվել է ֆակտորիզացիայի՝ օգտագործելով կրճատման բանաձևերը
- Լուծե՛ք հավասարումը
Լուծում:
Կրկին տխրահռչակ կրճատման բանաձևերը.
Մի փորձեք նորից կրճատել:
Առաջին հավասարումը ունի արմատներ.
Եվ երկրորդը.
Հիմա նորից արմատների որոնում։
Ես կսկսեմ երկրորդ դրվագից, ես արդեն ամեն ինչ գիտեմ դրա մասին նախորդ օրինակից: Նայեք և համոզվեք, որ միջակայքին պատկանող արմատները հետևյալն են.
Այժմ առաջին դրվագը և ավելի պարզ է.
Եթե - հարմար
Եթե դա նույնպես լավ է
Եթե դա արդեն թռիչք է:
Այնուհետև արմատները կլինեն հետևյալը.
Անկախ աշխատանք. 3 հավասարումներ.
Դե, տեխնիկան ձեզ համար պարզ է: Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումն այլևս այդքան էլ դժվար չի՞ թվում: Այնուհետև ինքներդ արագ լուծեք հետևյալ խնդիրները, այնուհետև մենք կլուծենք այլ օրինակներ.
- Լուծե՛ք հավասարումը
Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, որոնք գտնվում են միջակայքից վեր: - Լուծիր հավասարումը
Նշեք հավասարման արմատները, որոնք գտնվում են կտրվածքի վերևում - Լուծիր հավասարումը
Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, որոնք ընկած են նրանց միջև:
Հավասարում 1.
Եվ կրկին կրճատման բանաձևը.
Արմատների առաջին շարքը.
Արմատների երկրորդ շարքը.
Մենք սկսում ենք բացը ընտրելը
Պատասխան՝ , .
Հավասարում 2. Անկախ աշխատանքի ստուգում:
Բավականին բարդ խմբավորում է գործոնների (ես կօգտագործեմ կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը).
ապա կամ
Սա ընդհանուր լուծում է։ Այժմ մենք պետք է ընտրենք արմատները: Խնդիրն այն է, որ մենք չենք կարող ճշգրիտ ասել այն անկյան արժեքը, որի կոսինուսը հավասար է մեկ քառորդի: Հետևաբար, ես չեմ կարող պարզապես ազատվել աղեղային կոսինուսից. ամոթ է:
Այն, ինչ ես կարող եմ անել, այն է, որ պարզեմ, որ այդպես է, ուրեմն, ուրեմն:
Եկեք ստեղծենք աղյուսակ՝ ընդմիջում.
Դե, ցավալի որոնումների միջոցով մենք եկանք հիասթափեցնող եզրակացության, որ մեր հավասարումն ունի մեկ արմատ նշված միջակայքում. \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Հավասարում 3. Անկախ աշխատանքի թեստ:
Սարսափելի տեսք ունեցող հավասարում. Այնուամենայնիվ, այն կարելի է լուծել բավականին պարզ՝ կիրառելով կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը.
Կրճատենք 2-ով.
Առաջին անդամը խմբավորենք երկրորդի հետ, իսկ երրորդը՝ չորրորդին և հանենք ընդհանուր գործոնները.
Հասկանալի է, որ առաջին հավասարումը արմատներ չունի, իսկ այժմ դիտարկենք երկրորդը.
Ընդհանրապես, ես պատրաստվում էի մի փոքր ավելի ուշ անդրադառնալ նման հավասարումների լուծմանը, բայց քանի որ պարզվեց, անելիք չկա, ես պետք է լուծեմ այն ...
Ձևի հավասարումներ.
Այս հավասարումը լուծվում է՝ երկու կողմերը բաժանելով հետևյալի.
Այսպիսով, մեր հավասարումն ունի արմատների մեկ շարք.
Մենք պետք է գտնենք նրանց, որոնք պատկանում են միջակայքին.
Եկեք նորից սեղան կառուցենք, ինչպես ես արեցի ավելի վաղ.
Պատասխան.
Հավասարումները վերածվել են ձևի.
Դե, հիմա ժամանակն է անցնելու հավասարումների երկրորդ մասին, հատկապես որ ես արդեն պարզել եմ, թե ինչից է բաղկացած նոր տիպի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը: Բայց արժե կրկնել, որ հավասարումը ձևի է
Լուծվում է երկու կողմերը կոսինուսով բաժանելով.
- Լուծիր հավասարումը
Նշեք հավասարման արմատները, որոնք գտնվում են կտրվածքի վերևում: - Լուծիր հավասարումը
Նշեք հավասարման արմատները, որոնք ընկած են դրանց միջև:
Օրինակ 1.
Առաջինը բավականին պարզ է. Տեղափոխվեք աջ և կիրառեք կրկնակի անկյան կոսինուսի բանաձևը.
Այո! Ձևի հավասարումը. Երկու մասերն էլ բաժանում եմ
Կատարում ենք արմատային սքրինինգ՝
Բացը:
Պատասխան.
Օրինակ 2.
Ամեն ինչ նույնպես բավականին չնչին է. եկեք բացենք փակագծերը աջ կողմում.
Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը.
Կրկնակի անկյան սինուս.
Վերջապես մենք ստանում ենք.
Արմատային զննում` ընդմիջում:
Պատասխան.
Դե, ինչպես եք սիրում տեխնիկան, չէ՞ որ այն շատ բարդ է: Հուսով եմ՝ ոչ։ Մենք կարող ենք անմիջապես վերապահում անել. իրենց մաքուր ձևով հավասարումները, որոնք անմիջապես վերածվում են շոշափողի հավասարման, բավականին հազվադեպ են: Սովորաբար, այս անցումը (բաժանումը կոսինուսով) ավելի բարդ խնդրի միայն մի մասն է: Ահա մի օրինակ, որը դուք կարող եք կիրառել.
- Լուծիր հավասարումը
- Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, որոնք գտնվում են կտրվածքի վերևում:
Եկեք ստուգենք.
Հավասարումը կարող է անմիջապես լուծվել, բավական է երկու կողմերը բաժանել հետևյալի.
Արմատային զննում.
Պատասխան.
Այսպես թե այնպես, մենք դեռ պետք է հանդիպենք այն տիպի հավասարումների, որոնք հենց նոր քննեցինք: Այնուամենայնիվ, մեզ համար դեռ վաղ է այն օր անվանել. դեռևս կա ևս մեկ «շերտ» հավասարումների, որը մենք չենք կարգավորել: Այսպիսով.
Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում փոփոխականների փոփոխությամբ
Այստեղ ամեն ինչ թափանցիկ է. մենք ուշադիր նայում ենք հավասարմանը, հնարավորինս պարզեցնում ենք այն, կատարում ենք փոխարինում, լուծում, հակադարձ փոխարինում: Բառերով ամեն ինչ շատ հեշտ է։ Գործողության մեջ տեսնենք.
Օրինակ.
- Լուծե՛ք հավասարումը.
- Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, որոնք գտնվում են կտրվածքի վերևում:
Դե, այստեղ փոխարինումն ինքն իրեն առաջարկում է մեզ:
Այնուհետև մեր հավասարումը կվերածվի հետևյալի.
Առաջին հավասարումը ունի արմատներ.
Իսկ երկրորդն այսպիսին է.
Այժմ գտնենք միջակայքին պատկանող արմատները
Պատասխան.
Եկեք միասին դիտենք մի փոքր ավելի բարդ օրինակ.
- Լուծիր հավասարումը
- Նշի՛ր տրված հավասարման արմատները՝ դրանց միջև ընկած վերևում:
Այստեղ փոխարինումը անմիջապես չի երևում, ավելին, դա այնքան էլ ակնհայտ չէ։ Եկեք նախ մտածենք՝ ի՞նչ կարող ենք անել։
Կարող ենք, օրինակ, պատկերացնել
Եվ միևնույն ժամանակ
Այնուհետև իմ հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
Եվ հիմա ուշադրություն, կենտրոնացում.
Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանենք հետևյալի.
Հանկարծ ես և դու ունենք քառակուսի հավասարման հարաբերական: Կատարենք փոխարինում, այնուհետև մենք ստանում ենք.
Հավասարումն ունի հետևյալ արմատները.
Տհաճ երկրորդ շարք արմատներ, բայց ոչինչ անել հնարավոր չէ: Մենք ընտրում ենք արմատները միջակայքում:
Մենք դա նույնպես պետք է հաշվի առնենք
ի վեր և այնուհետև
Պատասխան.
Սա ամրապնդելու համար նախքան ինքներդ լուծել խնդիրները, ահա ևս մեկ վարժություն ձեզ համար.
- Լուծիր հավասարումը
- Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, որոնք ընկած են նրանց միջև:
Այստեղ դուք պետք է բաց մնաք ձեր աչքերը. մենք այժմ ունենք հայտարարներ, որոնք կարող են լինել զրո: Հետևաբար, դուք պետք է հատկապես ուշադիր լինեք արմատներին:
Նախ պետք է վերադասավորեմ հավասարումը, որպեսզի կարողանամ համապատասխան փոխարինում կատարել։ Ես հիմա չեմ կարող ավելի լավ բան մտածել, քան շոշափողը վերաշարադրել սինուսի և կոսինուսի առումով.
Այժմ ես կանցնեմ կոսինուսից սինուս՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը.
Եվ վերջապես, ես ամեն ինչ բերելու եմ ընդհանուր հայտարարի.
Այժմ կարող եմ անցնել հավասարմանը.
Բայց ժամը (այսինքն, ժամը):
Այժմ ամեն ինչ պատրաստ է փոխարինման համար.
Հետո կամ
Այնուամենայնիվ, նշեք, որ եթե, ապա միևնույն ժամանակ!
Ո՞վ է տուժում սրանից: Տանգենսի խնդիրն այն է, որ այն չի սահմանվում, երբ կոսինուսը հավասար է զրոյի (կատարվում է բաժանում զրոյի):
Այսպիսով, հավասարման արմատներն են.
Այժմ մենք արմատները մաղում ենք միջակայքում.
| - տեղավորվում է | |
| - գերակատարում |
Այսպիսով, մեր հավասարումը միջակայքում ունի մեկ արմատ, և այն հավասար է:
Տեսնում եք՝ հայտարարի տեսքը (ինչպես շոշափողը, հանգեցնում է արմատների հետ որոշակի դժվարությունների։ Այստեղ պետք է ավելի զգույշ լինել)։
Դե, ես և դու գրեթե ավարտել ենք եռանկյունաչափական հավասարումների վերլուծությունը, շատ քիչ բան է մնացել՝ ինքնուրույն լուծել երկու խնդիր: Այստեղ են.
- Լուծե՛ք հավասարումը
Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, որոնք գտնվում են կտրվածքի վերևում: - Լուծիր հավասարումը
Նշեք այս հավասարման արմատները, որոնք գտնվում են կտրվածքի վերևում:
Որոշե՞լ եք: Շատ դժվար չէ՞։ Եկեք ստուգենք.
- Մենք աշխատում ենք կրճատման բանաձևերի համաձայն.
Փոխարինեք հավասարման մեջ.
Եկեք ամեն ինչ վերաշարադրենք կոսինուսների միջոցով, որպեսզի ավելի հեշտ դարձնենք փոխարինումը.
Այժմ հեշտ է փոխարինել.
Պարզ է, որ դա կողմնակի արմատ է, քանի որ հավասարումը լուծումներ չունի։ Ապա.
Մենք ինտերվալում փնտրում ենք մեզ անհրաժեշտ արմատները
Պատասխան.
Այստեղ փոխարինումը անմիջապես տեսանելի է.Հետո կամ
- համապատասխանում է! - համապատասխանում է! - համապատասխանում է! - համապատասխանում է! - շատ! - նույնպես շատ! Պատասխան.
Դե, դա հիմա! Բայց եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումն այսքանով չի ավարտվում, մենք հետ ենք մնում ամենադժվար դեպքերում. երբ հավասարումները պարունակում են իռացիոնալություն կամ տարբեր տեսակի «բարդ հայտարարներ»։ Մենք կնայենք, թե ինչպես լուծել նման խնդիրները առաջադեմ մակարդակի համար հոդվածում:
Ընդլայնված ՄԱՐԴԱԿ
Նախորդ երկու հոդվածներում քննարկված եռանկյունաչափական հավասարումներից բացի, մենք կքննարկենք հավասարումների մեկ այլ դաս, որոնք էլ ավելի զգույշ վերլուծություն են պահանջում։ Այս եռանկյունաչափական օրինակները պարունակում են կա՛մ իռացիոնալություն, կա՛մ հայտարար, որն ավելի է դժվարացնում դրանց վերլուծությունը. Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք հանդիպել այս հավասարումների քննական թերթի Գ մասում: Այնուամենայնիվ, յուրաքանչյուր ամպ ունի արծաթե ծածկույթ. նման հավասարումների համար, որպես կանոն, այլևս չի բարձրացվում այն հարցը, թե դրա արմատներից որն է պատկանում տվյալ ինտերվալին: Եկեք չխփենք բուշի շուրջը, բայց եկեք անմիջապես անցնենք եռանկյունաչափական օրինակներին:
Օրինակ 1.
Լուծե՛ք հավասարումը և գտե՛ք հատվածին պատկանող արմատները։
Լուծում:
Մենք ունենք հայտարար, որը չպետք է հավասար լինի զրոյի: Հետո այս հավասարումը լուծելը նույնն է, ինչ լուծել համակարգը
Եկեք լուծենք հավասարումներից յուրաքանչյուրը.
Իսկ հիմա երկրորդը.
Հիմա նայենք շարքին.
Հասկանալի է, որ այս տարբերակը մեզ չի համապատասխանում, քանի որ այս դեպքում մեր հայտարարը վերակայվում է զրոյի (տե՛ս երկրորդ հավասարման արմատների բանաձևը)
Եթե, ուրեմն ամեն ինչ կարգին է, իսկ հայտարարը զրո չէ։ Այնուհետև հավասարման արմատները հետևյալն են՝ , .
Այժմ ընտրում ենք միջակայքին պատկանող արմատները։
| - հարմար չէ | - տեղավորվում է | |
| - տեղավորվում է | - տեղավորվում է | |
| գերակատարել | գերակատարել |
Այնուհետև արմատները հետևյալն են.
Տեսեք, նույնիսկ հայտարարի տեսքով փոքր անկարգության ի հայտ գալը էապես ազդեց հավասարման լուծման վրա. մենք դեն նետեցինք մի շարք արմատներ, որոնք զրոյացնում էին հայտարարը: Ամեն ինչ կարող է ավելի բարդանալ, եթե հանդիպեք եռանկյունաչափական օրինակների, որոնք իռացիոնալ են:
Օրինակ 2.
Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում:
Դե, գոնե պետք չէ արմատները խլել, և դա լավ է: Նախ լուծենք հավասարումը, անկախ իռացիոնալությունից.
Այսպիսով, մի՞թե այս ամենը: Ոչ, ավաղ, դա շատ հեշտ կլիներ: Պետք է հիշել, որ արմատի տակ կարող են հայտնվել միայն ոչ բացասական թվեր։ Ապա.
Այս անհավասարության լուծումը հետևյալն է.
Այժմ մնում է պարզել, թե արդյոք առաջին հավասարման արմատների մի մասը ակամա հայտնվել է այնտեղ, որտեղ անհավասարությունը չի պահպանվում:
Դա անելու համար կարող եք կրկին օգտագործել աղյուսակը.
| :, Բայց | Ո՛չ։ | |
| Այո՛ | ||
| Այո՛ |
Այսպիսով, իմ արմատներից մեկը «դուրս ընկավ»: Ստացվում է, եթե այն ցած դնես։ Այնուհետև պատասխանը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
Պատասխան.
Տեսեք, արմատը պահանջում է ավելի մեծ ուշադրություն: Եկեք ավելի բարդացնենք. թող հիմա արմատիս տակ եռանկյունաչափական ֆունկցիա ունենամ։
Օրինակ 3.
Ինչպես նախկինում. սկզբում յուրաքանչյուրը առանձին կլուծենք, հետո կմտածենք մեր արածի մասին։
Այժմ երկրորդ հավասարումը.
Այժմ ամենադժվարը պարզելն է, թե արդյոք բացասական արժեքներ են ստացվում թվաբանական արմատի տակ, եթե այնտեղ փոխարինենք առաջին հավասարման արմատները.
Թիվը պետք է հասկանալ որպես ռադիան: Քանի որ ռադիանը մոտավորապես աստիճան է, ուրեմն ռադիանները աստիճանների կարգի են: Սա երկրորդ եռամսյակի անկյունն է։ Ո՞րն է երկրորդ քառորդի կոսինուսի նշանը. Մինուս. Ինչ վերաբերում է սինուսին: Գումարած. Այսպիսով, ինչ կարող ենք ասել արտահայտության մասին.
Դա զրոյից քիչ է:
Սա նշանակում է, որ դա հավասարման արմատը չէ։
Հիմա ժամանակն է։
Այս թիվը համեմատենք զրոյի հետ։
Կոտանգենսը 1 քառորդում նվազող ֆունկցիա է (որքան փոքր է արգումենտը, այնքան մեծ է կոտանգենսը)։ ռադիանները մոտավորապես աստիճաններ են: Միևնույն ժամանակ
քանի որ, այն ժամանակ, և հետևաբար
,
Պատասխան.
Կարո՞ղ է դա ավելի բարդանալ: Խնդրում եմ։ Ավելի դժվար կլինի, եթե արմատը դեռևս եռանկյունաչափական ֆունկցիա է, իսկ հավասարման երկրորդ մասը կրկին եռանկյունաչափական ֆունկցիա է։
Որքան շատ եռանկյունաչափական օրինակներ, այնքան լավ, տես ստորև.
Օրինակ 4.
Արմատը հարմար չէ սահմանափակ կոսինուսի պատճառով
Հիմա երկրորդը.
Միևնույն ժամանակ, ըստ արմատի սահմանման.
Մենք պետք է հիշենք միավորի շրջանակը. այն քառորդները, որտեղ սինուսը զրոյից փոքր է: Որո՞նք են այս եռամսյակները: Երրորդ և չորրորդ. Այնուհետև մեզ կհետաքրքրեն առաջին հավասարման այն լուծումները, որոնք գտնվում են երրորդ կամ չորրորդ եռամսյակում:
Առաջին շարքը արմատներ է տալիս, որոնք ընկած են երրորդ և չորրորդ քառորդների խաչմերուկում: Երկրորդ շարքը, տրամագծորեն հակառակ դրան, առաջացնում է արմատներ, որոնք ընկած են առաջին և երկրորդ քառորդների սահմանին: Ուստի այս շարքը մեզ հարմար չէ։
Պատասխան՝
Եւ կրկին եռանկյունաչափական օրինակներ «դժվար իռացիոնալությամբ». Մենք ոչ միայն արմատի տակ նորից ունենք եռանկյունաչափական ֆունկցիա, այլև այժմ այն նաև հայտարարի մեջ է:
Օրինակ 5.
Դե, ոչինչ հնարավոր չէ անել, մենք անում ենք այնպես, ինչպես նախկինում:
Այժմ մենք աշխատում ենք հայտարարի հետ.
Ես չեմ ուզում լուծել եռանկյունաչափական անհավասարությունը, ուստի մի խորամանկ բան կանեմ. ես կվերցնեմ և կփոխարինեմ իմ արմատների շարքը անհավասարության մեջ.
Եթե --ը զույգ է, ապա մենք ունենք.
քանի որ տեսողության բոլոր անկյունները գտնվում են չորրորդ քառորդում: Եվ կրկին սուրբ հարցը՝ ո՞րն է սինուսի նշանը չորրորդ քառորդում։ Բացասական. Հետո անհավասարությունը
Եթե - կենտ, ապա.
Ո՞ր քառորդում է գտնվում անկյունը: Սա երկրորդ եռամսյակի անկյունն է։ Այնուհետեւ բոլոր անկյունները կրկին երկրորդ եռամսյակի անկյուններն են: Այնտեղ սինուսը դրական է: Պարզապես այն, ինչ ձեզ հարկավոր է: Այսպիսով, շարքը.
Տեղավորվում է
Մենք նույն կերպ վարվում ենք արմատների երկրորդ շարքի հետ.
Մենք մեր անհավասարության մեջ փոխարինում ենք.
Եթե - նույնիսկ, ապա
Առաջին քառորդ անկյունները. Այնտեղ սինուսը դրական է, ինչը նշանակում է, որ շարքը հարմար է: Այժմ, եթե - կենտ, ապա.
տեղավորվում է նաև!
Դե, հիմա մենք գրում ենք պատասխանը:
Պատասխան.
Դե, սա թերեւս ամենաաշխատատար դեպքն էր։ Հիմա ես ձեզ առաջարկում եմ խնդիրներ, որոնք կարող եք ինքնուրույն լուծել։
Ուսուցում
- Լուծե՛ք և գտե՛ք հավասարման բոլոր արմատները, որոնք պատկանում են հատվածին։
Լուծումներ:
Առաջին հավասարումը.
կամ
Արմատի ՕՁ.Երկրորդ հավասարումը.
Արմատների ընտրություն, որոնք պատկանում են միջակայքին
Պատասխան.
Կամ
կամ
Բայց
Դիտարկենք. Եթե - նույնիսկ, ապա
- չի տեղավորվում!
Եթե - կենտ, : - հարմար է:
Սա նշանակում է, որ մեր հավասարումն ունի հետևյալ արմատների շարքը.
կամ
Արմատների ընտրություն միջակայքում.
| - հարմար չէ | - տեղավորվում է | |
| - տեղավորվում է | - շատ | |
| - տեղավորվում է | շատ |
Պատասխան՝ , .
Կամ
Քանի որ, ուրեմն շոշափողը սահմանված չէ։ Մենք անմիջապես հրաժարվում ենք այս արմատների շարքից:
Երկրորդ մաս.
Միաժամանակ, ըստ DZ-ի, պահանջվում է, որ
Մենք ստուգում ենք առաջին հավասարման մեջ հայտնաբերված արմատները.
Եթե նշանը.
Առաջին քառորդ անկյունները, որտեղ շոշափողը դրական է: Չի տեղավորվում!
Եթե նշանը.
Չորրորդ քառորդ անկյուն. Այնտեղ շոշափողը բացասական է։ Տեղավորվում է. Պատասխանը գրում ենք.
Պատասխան՝ , .
Այս հոդվածում մենք միասին դիտարկել ենք բարդ եռանկյունաչափական օրինակներ, բայց դուք պետք է ինքներդ լուծեք հավասարումները:
ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎԵՐ
Եռանկյունաչափական հավասարումը այն հավասարումն է, որտեղ անհայտը խստորեն գտնվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ։
Եռանկյունաչափական հավասարումները լուծելու երկու եղանակ կա.
Առաջին ճանապարհը բանաձևերի օգտագործումն է:
Երկրորդ ճանապարհը եռանկյունաչափական շրջանով է:
Թույլ է տալիս չափել անկյունները, գտնել դրանց սինուսները, կոսինուսները և այլն:
Բավականին հաճախ հանդիպում ենք բարդության բարձրացման խնդիրներում մոդուլ պարունակող եռանկյունաչափական հավասարումներ. Դրանցից շատերը պահանջում են լուծումների էվրիստիկ մոտեցում, որը լիովին անծանոթ է դպրոցականների մեծ մասին:
Ստորև ներկայացված խնդիրները նպատակ ունեն ձեզ ծանոթացնել մոդուլ պարունակող եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման առավել բնորոշ մեթոդներին:
Խնդիր 1. Գտե՛ք 1 + 2sin x |cos x| հավասարման ամենափոքր դրական և ամենամեծ բացասական արմատների տարբերությունը (աստիճաններով): = 0.
Լուծում.
Եկեք ընդլայնենք մոդուլը.
1) Եթե cos x ≥ 0, ապա սկզբնական հավասարումը կունենա 1 + 2sin x · cos x = 0 ձև:
Օգտագործելով կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը, մենք ստանում ենք.
1 + մեղք 2x = 0; մեղք 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Քանի որ cos x ≥ 0, ապա x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Եթե cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – մեղք 2x = 0; մեղք 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Քանի որ cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Հավասարման ամենամեծ բացասական արմատը՝ -π/4; հավասարման ամենափոքր դրական արմատը՝ 5π/4:
Պահանջվող տարբերությունը՝ 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°:
Պատասխան՝ 270°։
Խնդիր 2. Գտե՛ք (աստիճաններով) հավասարման ամենափոքր դրական արմատը |tg x| + 1/cos x = tan x.
Լուծում.
Եկեք ընդլայնենք մոդուլը.
1) Եթե tan x ≥ 0, ապա
tan x + 1 / cos x = tan x;
Ստացված հավասարումը արմատներ չունի։
2) Եթե tg x< 0, тогда
Tg x + 1 / cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 և cos x ≠ 0:
Օգտագործելով Նկար 1-ը և tg x պայմանը< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Հավասարման ամենափոքր դրական արմատը 5π/6 է: Եկեք այս արժեքը փոխարկենք աստիճանների.
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°:
Պատասխան՝ 150°։
Խնդիր 3. Գտե՛ք sin հավասարման տարբեր արմատների թիվը |2x| = cos 2x [-π/2; π/2]:
Լուծում.
Հավասարումը գրենք sin|2x| ձևով – cos 2x = 0 եւ դիտարկենք y = sin |2x| ֆունկցիան - 2x. Քանի որ ֆունկցիան զույգ է, մենք կգտնենք նրա զրոները x ≥ 0-ի համար։
մեղք 2x – cos 2x = 0; Եկեք հավասարման երկու կողմերը բաժանենք cos 2x ≠ 0-ով, կստանանք.
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Զ.
Օգտագործելով ֆունկցիայի հավասարությունը՝ մենք գտնում ենք, որ սկզբնական հավասարման արմատները ձևի թվեր են
± (π/8 + πn/2), որտեղ n € Զ.
Ինտերվալ [-π/2; π/2] պատկանում են թվերին՝ -π/8; π/8.
Այսպիսով, հավասարման երկու արմատները պատկանում են տվյալ միջակայքին։
Պատասխան՝ 2.
Այս հավասարումը կարող է լուծվել նաև մոդուլը բացելով:
Խնդիր 4. Գտե՛ք sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) հավասարման արմատների թիվը [-π; 2π]:
Լուծում.
1) Դիտարկենք այն դեպքը, երբ 2cos x – 1 > 0, այսինքն. cos x > 1/2, ապա հավասարումը ստանում է ձևը.
sin x – մեղք 2 x = մեղք 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 կամ 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 կամ sin x = 1/2:
Օգտագործելով Նկար 2-ը և cos x > 1/2 պայմանը, մենք գտնում ենք հավասարման արմատները.
x = π/6 + 2πn կամ x = 2πn, n € Զ.
2) Դիտարկենք այն դեպքը, երբ 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
մեղք x + մեղք 2 x = մեղք 2 x;
x = 2πn, n € Զ.
Օգտագործելով Նկար 2-ը և cos x պայմանը< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Երկու դեպքերը համադրելով՝ ստանում ենք.
x = π/6 + 2πn կամ x = πn:
3) ինտերվալ [-π; 2π] պատկանում են արմատներին՝ π/6; -π; 0; π; 2պ.
Այսպիսով, տրված միջակայքը պարունակում է հավասարման հինգ արմատ:
Պատասխան՝ 5.
Խնդիր 5. Գտե՛ք հավասարման արմատների թիվը (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 միջակայքում [-π; 2π]:
Լուծում.
1) Եթե sin x ≥ 0, ապա սկզբնական հավասարումը ստանում է ձևը (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0։ Ընդհանուր sin x գործոնը փակագծերից հանելուց հետո ստանում ենք.
sin x((x – 0.7) 2 + 1) = 0; քանի որ (x – 0.7) 2 + 1 > 0 բոլոր իրական x-ի համար, ապա sinx = 0, այսինքն. x = πn, n € Զ.
2) Եթե մեղք x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 կամ (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Քանի որ sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0.7 = 1 կամ x – 0.7 = -1, ինչը նշանակում է x = 1.7 կամ x = -0.3:
Հաշվի առնելով sinx պայմանը< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, ինչը նշանակում է, որ միայն -0.3 թիվը սկզբնական հավասարման արմատն է:
3) ինտերվալ [-π; 2π] պատկանում են թվերին՝ -π; 0; π; 2π; -0.3.
Այսպիսով, հավասարումը ունի հինգ արմատ տվյալ միջակայքում:
Պատասխան՝ 5.
Դուք կարող եք պատրաստվել դասերին կամ քննություններին՝ օգտագործելով տարբեր կրթական ռեսուրսներ, որոնք հասանելի են համացանցում: Ներկայումս որևէ մեկը 
Մարդը պարզապես պետք է օգտագործի նոր տեղեկատվական տեխնոլոգիաները, քանի որ դրանց ճիշտ և ամենակարևորը տեղին կիրառումը կօգնի բարձրացնել մոտիվացիան առարկան ուսումնասիրելիս, մեծացնել հետաքրքրությունը և կօգնի ավելի լավ յուրացնել անհրաժեշտ նյութը: Բայց մի մոռացեք, որ համակարգիչը ձեզ չի սովորեցնում մտածել, ստացված տեղեկատվությունը պետք է մշակվի, հասկանալի և հիշվի: Հետևաբար, դուք կարող եք օգնության համար դիմել մեր առցանց դաստիարակներին, որոնք կօգնեն ձեզ պարզել, թե ինչպես լուծել ձեզ հետաքրքրող խնդիրները:
Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:
Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։
կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին: