Tämä materiaali on omistettu sellaiselle käsitteelle kuin kahden leikkaavan viivan välinen kulma. Ensimmäisessä kappaleessa selitämme, mikä se on, ja näytämme sen kuvissa. Sitten tarkastellaan tapoja, joilla voit löytää tämän kulman sinin, kosinin ja itse kulman (tarkastelemme erikseen tapauksia, joissa on taso ja kolmiulotteinen avaruus), annamme tarvittavat kaavat ja näytämme esimerkein tarkasti miten niitä käytetään käytännössä.
Ymmärtääksemme, mikä on kahden suoran leikkaamisen yhteydessä muodostuva kulma, meidän on muistettava kulman, kohtisuoran ja leikkauspisteen määritelmä.
Määritelmä 1
Kutsumme kahta suoraa leikkaaviksi, jos niillä on yksi yhteinen piste. Tätä pistettä kutsutaan kahden suoran leikkauspisteeksi.
Jokainen suora on jaettu leikkauspisteellä säteiksi. Molemmat suorat muodostavat 4 kulmaa, joista kaksi on pystysuoraa ja kaksi vierekkäin. Jos tiedämme yhden niistä, voimme määrittää loput.
Oletetaan, että tiedämme, että yksi kulmista on yhtä suuri kuin α. Tässä tapauksessa sen suhteen pystysuora kulma on myös yhtä suuri kuin α. Jäljellä olevien kulmien löytämiseksi meidän on laskettava ero 180 ° - α. Jos α on 90 astetta, kaikki kulmat ovat suoria kulmia. Suorassa kulmassa leikkaavia linjoja kutsutaan kohtisuoraksi (pystysuoran käsitteelle on omistettu erillinen artikkeli).
Katsokaa kuvaa:
Siirrytään päämääritelmän muotoiluun.
Määritelmä 2
Kahden leikkaavan suoran muodostama kulma on pienemmän neljästä kulmasta, jotka muodostavat nämä kaksi viivaa.
Määritelmästä on tehtävä tärkeä johtopäätös: kulman koko ilmaistaan tässä tapauksessa millä tahansa reaaliluvulla välissä (0, 90]. Jos suorat ovat kohtisuorassa, niiden välinen kulma on joka tapauksessa yhtä suuri kuin 90 astetta.
Kyky löytää kahden leikkaavan suoran välisen kulman mitta on hyödyllinen monien käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Ratkaisutapa voidaan valita useista vaihtoehdoista.
Aluksi voimme ottaa geometriset menetelmät. Jos tiedämme jotain täydentävistä kulmista, voimme suhteuttaa ne tarvitsemamme kulmaan käyttämällä yhtäläisten tai samankaltaisten lukujen ominaisuuksia. Jos esimerkiksi tunnemme kolmion sivut ja meidän on laskettava kulma niiden viivojen välillä, joilla nämä sivut sijaitsevat, niin kosinilause sopii ratkaisuumme. Jos tilassamme on suorakulmainen kolmio, niin laskelmia varten meidän on tiedettävä myös kulman sini, kosini ja tangentti.
Koordinaattimenetelmä on myös erittäin kätevä tämän tyyppisten ongelmien ratkaisemiseen. Selitämme, kuinka sitä käytetään oikein.
Meillä on suorakulmainen (Carteesinen) koordinaattijärjestelmä O x y, jossa on annettu kaksi suoraa. Merkitään ne kirjaimilla a ja b. Suorat viivat voidaan kuvata käyttämällä joitain yhtälöitä. Alkuperäisillä viivoilla on leikkauspiste M. Kuinka määrittää vaadittu kulma (merkittään α) näiden suorien välillä?
Aloitetaan muotoilemalla perusperiaate kulman löytämisestä tietyissä olosuhteissa.
Tiedämme, että suoran käsite liittyy läheisesti sellaisiin käsitteisiin kuin suuntavektori ja normaalivektori. Jos meillä on tietyn suoran yhtälö, voimme ottaa siitä näiden vektorien koordinaatit. Voimme tehdä tämän kahdelle leikkaavalle suoralle kerralla.
Kahden leikkaavan viivan hillitsemä kulma voidaan löytää käyttämällä:
- suuntavektorien välinen kulma;
- normaalivektorien välinen kulma;
- yhden suoran normaalivektorin ja toisen suuntavektorin välinen kulma.
Tarkastellaan nyt jokaista menetelmää erikseen.
1. Oletetaan, että meillä on suora a, jonka suuntavektori on a → = (a x, a y) ja suora b, jonka suuntavektori on b → (b x, b y). Piirretään nyt kaksi vektoria a → ja b → leikkauspisteestä. Tämän jälkeen näemme, että ne sijaitsevat kukin omalla suorallaan. Sitten meillä on neljä vaihtoehtoa niiden suhteelliselle järjestelylle. Katso kuva:
Jos kahden vektorin välinen kulma ei ole tylppä, niin se on kulma, jonka tarvitsemme leikkaavien viivojen a ja b välillä. Jos se on tylppä, haluttu kulma on yhtä suuri kuin kulman a →, b → ^ vieressä oleva kulma. Siten α = a → , b → ^ jos a → , b → ^ ≤ 90° ja α = 180° - a → , b → ^ jos a → , b → ^ > 90° .
Perustuen siihen tosiasiaan, että yhtäläisten kulmien kosinit ovat yhtä suuret, voidaan tuloksena olevat yhtäläisyydet kirjoittaa uudelleen seuraavasti: cos α = cos a →, b → ^, jos a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, jos a →, b → ^ > 90 °.
Toisessa tapauksessa käytettiin pelkistyskaavoja. Täten,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Kirjoitetaan viimeinen kaava sanoilla:
Määritelmä 3
Kahden leikkaavan suoran muodostaman kulman kosini on yhtä suuri kuin sen suuntavektorien välisen kulman kosinin moduuli.
Kahden vektorin a → = (a x, a y) ja b → = (b x , b y) välisen kulman kosinin kaavan yleinen muoto näyttää tältä:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Siitä voimme johtaa kaavan kahden annetun suoran välisen kulman kosinille:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Sitten itse kulma voidaan löytää seuraavalla kaavalla:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tässä a → = (a x , a y) ja b → = (b x , b y) ovat annettujen viivojen suuntavektorit.
Otetaan esimerkki ongelman ratkaisemisesta.
Esimerkki 1
Tason suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on annettu kaksi leikkaavaa suoraa a ja b. Ne voidaan kuvata parametrisillä yhtälöillä x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ja x 5 = y - 6 - 3. Laske näiden viivojen välinen kulma.
Ratkaisu
Ehdossamme on parametrinen yhtälö, mikä tarkoittaa, että tälle suoralle voimme heti kirjoittaa muistiin sen suuntavektorin koordinaatit. Tätä varten meidän on otettava parametrin kertoimien arvot, ts. suoralla x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R on suuntavektori a → = (4, 1).
Toinen rivi on kuvattu käyttämällä kanonista yhtälöä x 5 = y - 6 - 3. Tässä voimme ottaa koordinaatit nimittäjistä. Siten tällä suoralla on suuntavektori b → = (5 , - 3) .
Seuraavaksi siirrymme suoraan kulman löytämiseen. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti korvaamalla kahden vektorin olemassa olevat koordinaatit yllä olevaan kaavaan α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Saamme seuraavat:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Vastaus: Nämä suorat viivat muodostavat 45 asteen kulman.
Voimme ratkaista samanlaisen ongelman etsimällä normaalivektorien välisen kulman. Jos meillä on suora a, jolla on normaalivektori n a → = (n a x , n a y) ja suora b, jolla on normaalivektori n b → = (n b x , n b y), niin niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin kulma n a → ja n b → tai kulma, joka on n a →, n b → ^ vieressä. Tämä menetelmä näkyy kuvassa:
Kaavat leikkausviivojen ja tämän kulman välisen kulman kosinin laskemiseksi normaalivektorien koordinaatteja käyttämällä näyttävät tältä:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n n x b 2 n x b v 2
Tässä n a → ja n b → tarkoittavat kahden annetun suoran normaalivektoreita.
Esimerkki 2
Suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa on kaksi suoraa yhtälöillä 3 x + 5 y - 30 = 0 ja x + 4 y - 17 = 0. Etsi niiden välisen kulman sini ja kosini ja itse tämän kulman suuruus.
Ratkaisu
Alkuperäiset rivit määritetään normaaleilla suorayhtälöillä muotoa A x + B y + C = 0. Merkitään normaalivektoria n → = (A, B). Etsitään yhden rivin ensimmäisen normaalivektorin koordinaatit ja kirjoitetaan ne: n a → = (3, 5) . Toiselle riville x + 4 y - 17 = 0 normaalivektorilla on koordinaatit n b → = (1, 4). Lisätään nyt saadut arvot kaavaan ja lasketaan kokonaissumma:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Jos tiedämme kulman kosinin, voimme laskea sen sinin trigonometrisen perusidentiteetin avulla. Koska suorien viivojen muodostama kulma α ei ole tylpä, niin sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
Tässä tapauksessa α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Vastaus: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Analysoidaan viimeinen tapaus - suorien välisen kulman löytäminen, jos tiedämme yhden suoran suuntavektorin ja toisen normaalivektorin koordinaatit.
Oletetaan, että suoralla a on suuntavektori a → = (a x , a y) ja suoralla b normaalivektori n b → = (n b x , n b y) . Meidän on asetettava nämä vektorit sivuun leikkauspisteestä ja harkittava kaikkia vaihtoehtoja niiden suhteelliselle sijainnille. Katso kuvasta:
Jos annettujen vektorien välinen kulma on enintään 90 astetta, käy ilmi, että se täydentää a:n ja b:n välistä kulmaa oikeaan kulmaan.
a → , n b → ^ = 90 ° - α , jos a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Jos se on alle 90 astetta, saamme seuraavan:
a → , n b → ^ > 90 ° , sitten a → , n b → ^ = 90 ° + α
Käytämme yhtäläisten kulmien kosinien yhtäläisyyden sääntöä:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α kun a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α kun a → , n b → ^ > 90 ° .
Täten,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Tehdään johtopäätös.
Määritelmä 4
Löytääksesi kahden tasossa leikkaavan suoran välisen kulman sinin, sinun on laskettava ensimmäisen suoran suuntavektorin ja toisen normaalivektorin välisen kulman kosinin moduuli.
Kirjoitetaan tarvittavat kaavat. Kulman sinin löytäminen:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Itse kulman löytäminen:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Tässä a → on ensimmäisen rivin suuntavektori ja n b → on toisen rivin normaalivektori.
Esimerkki 3
Kaksi leikkaavaa suoraa saadaan yhtälöistä x - 5 = y - 6 3 ja x + 4 y - 17 = 0. Etsi leikkauskulma.
Ratkaisu
Otetaan ohjeen ja normaalivektorin koordinaatit annetuista yhtälöistä. Osoittautuu, että a → = (- 5, 3) ja n → b = (1, 4). Otetaan kaava α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ja lasketaan:
α = arc sin = -5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = arc sin 7 2 34
Huomaa, että otimme yhtälöt edellisestä tehtävästä ja saimme täsmälleen saman tuloksen, mutta eri tavalla.
Vastaus:α = a r c sin 7 2 34
Esitetään toinen tapa löytää haluttu kulma käyttämällä annettujen suorien kulmakertoimia.
Meillä on suora a, joka määritellään suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä yhtälöllä y = k 1 x + b 1, ja suora b, joka määritellään y = k 2 x + b 2. Nämä ovat yhtälöitä rinteistä. Leikkauskulman löytämiseksi käytämme kaavaa:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, missä k 1 ja k 2 ovat annettujen suorien kulmakertoimet. Tämän tietueen saamiseksi käytettiin kaavoja kulman määrittämiseksi normaalivektorien koordinaattien kautta.
Esimerkki 4
Tasossa leikkaa kaksi suoraa, jotka saadaan yhtälöistä y = - 3 5 x + 6 ja y = - 1 4 x + 17 4. Laske leikkauskulman arvo.
Ratkaisu
Linjojemme kulmakertoimet ovat k 1 = - 3 5 ja k 2 = - 1 4. Lisätään ne kaavaan α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ja lasketaan:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Vastaus:α = a r c cos 23 2 34
Tämän kappaleen päätelmissä on huomattava, että tässä annettuja kulman löytämiskaavoja ei tarvitse opetella ulkoa. Tätä varten riittää, että tietää annettujen suorien ohjainten ja/tai normaalivektorien koordinaatit ja osaa määrittää ne erityyppisten yhtälöiden avulla. Mutta on parempi muistaa tai kirjoittaa ylös kaavat kulman kosinin laskemiseksi.
Kuinka laskea avaruuden leikkaavien viivojen välinen kulma
Tällaisen kulman laskeminen voidaan rajoittua suuntavektorien koordinaattien laskemiseen ja näiden vektoreiden muodostaman kulman suuruuden määrittämiseen. Tällaisissa esimerkeissä käytetään samaa päättelyä, jonka annoimme aiemmin.
Oletetaan, että meillä on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, joka sijaitsee kolmiulotteisessa avaruudessa. Se sisältää kaksi suoraa a ja b, joiden leikkauspiste on M. Suuntavektoreiden koordinaattien laskemiseksi meidän on tiedettävä näiden viivojen yhtälöt. Merkitään suuntavektorit a → = (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z) . Niiden välisen kulman kosinin laskemiseksi käytämme kaavaa:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Itse kulman löytämiseksi tarvitsemme tämän kaavan:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Esimerkki 5
Meillä on kolmiulotteisessa avaruudessa määritetty suora yhtälöllä x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Sen tiedetään leikkaavan O z -akselin kanssa. Laske leikkauskulma ja kulman kosini.
Ratkaisu
Merkitään kirjaimella α laskettava kulma. Kirjataan muistiin ensimmäisen suoran suuntavektorin koordinaatit – a → = (1, - 3, - 2) . Sovellusakselille voimme ottaa koordinaattivektorin k → = (0, 0, 1) ohjeeksi. Olemme saaneet tarvittavat tiedot ja voimme lisätä ne haluttuun kaavaan:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Tuloksena havaitsimme, että tarvitsemamme kulma on yhtä suuri kuin a r c cos 1 2 = 45 °.
Vastaus: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Kulma φ yleiset yhtälöt A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, laskettuna kaavalla:
Kulma φ kahden annetun rivin välissä kanoniset yhtälöt(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 ja (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, laskettuna kaavalla:
Etäisyys pisteestä linjaan
Jokainen avaruuden taso voidaan esittää lineaarisena yhtälönä, jota kutsutaan yleinen yhtälö kone
Erikoistapaukset.
o Jos yhtälössä (8) , niin taso kulkee origon läpi.
o Kun (,) taso on yhdensuuntainen akselin kanssa (akseli, akseli).
o Kun (,) taso on yhdensuuntainen tason kanssa (taso, taso).
Ratkaisu: käytä (7)
Vastaus: yleinen tasoyhtälö.
Esimerkki.
Taso suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz on annettu tason yleisellä yhtälöllä 
. Kirjoita muistiin tämän tason kaikkien normaalivektorien koordinaatit.
Tiedämme, että tason yleisen yhtälön muuttujien x, y ja z kertoimet ovat tämän tason normaalivektorin vastaavat koordinaatit. Siksi tietyn tason normaalivektori 
on koordinaatit. Kaikkien normaalivektorien joukko voidaan määritellä seuraavasti:
Kirjoita tason yhtälö, jos suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz avaruudessa se kulkee pisteen läpi 
, A 
on tämän tason normaalivektori.
Esitämme kaksi ratkaisua tähän ongelmaan.
Tilanteesta, joka meillä on. Korvaamme nämä tiedot pisteen läpi kulkevan tason yleiseen yhtälöön:
Kirjoita koordinaattitason Oyz suuntaisen ja pisteen läpi kulkevan tason yleinen yhtälö 
.
Taso, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason Oyz kanssa, voidaan antaa yleisellä epätäydellisellä tasoyhtälöllä muotoa . Kohdasta lähtien 
kuuluu ehdolla tasoon, silloin tämän pisteen koordinaattien on täytettävä tason yhtälö, eli yhtälön on oltava tosi. Täältä löydämme. Siten vaaditulla yhtälöllä on muoto.
Ratkaisu. Ristitulo määritelmän 10.26 mukaan on ortogonaalinen vektoreihin p ja q nähden. Näin ollen se on ortogonaalinen haluttuun tasoon nähden ja vektori voidaan ottaa sen normaalivektoriksi. Etsitään vektorin n koordinaatit:
tuo on 
. Kaavan (11.1) avulla saamme
Avaamalla tämän yhtälön sulut pääsemme lopulliseen vastaukseen.
Vastaus: 
.
Kirjoitetaan normaalivektori muotoon ja selvitetään sen pituus:
Yllä olevan mukaan:
Vastaus: 
Yhdensuuntaisilla tasoilla on sama normaalivektori. 1) Yhtälöstä löydämme tason normaalivektorin:.
2) Muodostetaan tason yhtälö pisteen ja normaalivektorin avulla: 
Vastaus:
Vektoriyhtälö avaruudessa
Avaruuden tason parametrinen yhtälö
Yhtälö tasosta, joka kulkee tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tiettyyn vektoriin nähden
Olkoon kolmiulotteisessa avaruudessa suorakulmainen karteesinen koordinaattijärjestelmä. Muotoillaan seuraava ongelma:
Kirjoita yhtälö tietyn pisteen läpi kulkevalle tasolle M(x 0, y 0, z 0) kohtisuorassa annettuun vektoriin nähden n = ( A, B, C} .
Ratkaisu. Antaa P(x, y, z) on mielivaltainen piste avaruudessa. Piste P kuuluu tasoon jos ja vain jos vektori MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) vektoriin nähden ortogonaalinen n = {A, B, C) (Kuva 1).
Kun olet kirjoittanut ehdon näiden vektorien ortogonaaliselle (n, MP) = 0 koordinaattimuodossa, saamme:
|
A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0 |
Tason yhtälö kolmella pisteellä
Vektorimuodossa
Koordinaateissa
Tasojen keskinäinen järjestely avaruudessa
– kahden tason yleiset yhtälöt. Sitten:
1) jos 
, silloin tasot osuvat yhteen;
2) jos 
, silloin tasot ovat yhdensuuntaiset;
3) jos tai , niin tasot leikkaavat ja yhtälöjärjestelmä
(6)
ovat näiden tasojen suoran leikkausviivan yhtälöt.
|
Ratkaisu: Muodostamme suoran kanoniset yhtälöt kaavalla: Vastaus: |
Otetaan tuloksena saadut yhtälöt ja "nipistetään" henkisesti esimerkiksi vasen pala: . Verrataan nyt tähän palaan mihin tahansa numeroon(muista, että siellä oli jo nolla), esimerkiksi yhdeksi: . Koska , kahden muun ”kappaleen” tulisi myös olla yhtä suuri kuin yksi. Pohjimmiltaan sinun on ratkaistava järjestelmä: |
Muodosta parametriyhtälöt seuraavista suorista: 
Ratkaisu: Suorat annetaan kanonisilla yhtälöillä ja ensimmäisessä vaiheessa pitäisi löytää jokin suoraan kuuluva piste ja sen suuntavektori.
a) Yhtälöistä 
poista piste ja suuntavektori: . Voit valita toisen pisteen (miten tämä tehdään edellä), mutta on parempi ottaa ilmeisin. Muuten, virheiden välttämiseksi korvaa aina sen koordinaatit yhtälöihin.
Luodaan parametriset yhtälöt tälle riville: 
Parametristen yhtälöiden mukavuus on, että niiden avulla on erittäin helppo löytää muita pisteitä suoralta. Etsitään esimerkiksi piste, jonka koordinaatit vastaavat esimerkiksi parametrin arvoa: 
Siten: b) Tarkastellaan kanonisia yhtälöitä 
. Pisteen valitseminen ei ole vaikeaa, mutta petollista: (varo sekoittamasta koordinaatteja!!!). Kuinka poistaa ohjausvektori? Voit spekuloida, minkä kanssa tämä suora on yhdensuuntainen, tai voit käyttää yksinkertaista muodollista tekniikkaa: suhde sisältää "Y" ja "Z", joten kirjoitamme muistiin suuntavektorin ja laitamme nollan jäljellä olevaan tilaan: .
Muodostetaan suoran parametriset yhtälöt: 
c) Kirjoitetaan yhtälöt uudelleen muotoon , eli "zet" voi olla mikä tahansa. Ja jos millä tahansa, niin olkoon esimerkiksi . Näin ollen piste kuuluu tälle riville. Suuntavektorin löytämiseksi käytämme seuraavaa muodollista tekniikkaa: alkuperäisissä yhtälöissä on "x" ja "y" ja suuntavektoriin näihin kohtiin kirjoitetaan nollia: . Jäljellä olevaan tilaan laitamme yksikkö: . Yhden sijaan mikä tahansa luku nollaa lukuun ottamatta käy.
Kirjataan muistiin suoran parametriset yhtälöt: 
Oi-oi-oi-oi... no se on rankkaa, ikään kuin hän lukisi itsekseen lauseen =) Rentoutuminen auttaa kuitenkin myöhemmin, varsinkin kun tänään ostin sopivat tarvikkeet. Siksi siirrytään ensimmäiseen osaan, toivon, että artikkelin loppuun mennessä säilytän iloisen tunnelman.
Kahden suoran suhteellinen sijainti
Näin on silloin, kun yleisö laulaa mukana kuorossa. Kaksi suoraa viivaa voi:
1) ottelu;
2) olla yhdensuuntainen: ;
3) tai leikkaa yhdessä pisteessä: .
Apua nukkeille : Muista matemaattinen risteysmerkki, se näkyy hyvin usein. Merkintä tarkoittaa, että suora leikkaa suoran pisteessä .
Kuinka määrittää kahden viivan suhteellinen sijainti?
Aloitetaan ensimmäisestä tapauksesta:
Kaksi suoraa osuvat yhteen silloin ja vain, jos niiden vastaavat kertoimet ovat verrannollisia, eli on olemassa luku "lambda", jolla yhtäläisyydet täyttyvät
Tarkastellaan suoria viivoja ja luodaan kolme yhtälöä vastaavista kertoimista: . Jokaisesta yhtälöstä seuraa, että nämä suorat ovat siis samat.
Todellakin, jos kaikki yhtälön kertoimet 
kerrotaan –1:llä (muuta merkkejä) ja vähennetään kaikki yhtälön kertoimet kahdella, saat saman yhtälön: .
Toinen tapaus, kun suorat ovat yhdensuuntaiset:
Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia silloin ja vain, jos niiden muuttujien kertoimet ovat verrannollisia: 
, Mutta.
Tarkastellaan esimerkiksi kahta suoraa. Tarkistamme muuttujien vastaavien kertoimien suhteellisuuden: 
Se on kuitenkin aivan ilmeistä.
Ja kolmas tapaus, kun viivat leikkaavat:
Kaksi suoraa leikkaavat silloin ja vain, jos niiden muuttujien kertoimet EIVÄT ole verrannollisia, eli "lambdalla" EI ole sellaista arvoa, että yhtäläisyydet täyttyisivät 
Joten suorille viivoille luomme järjestelmän: 
Ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että , ja toisesta yhtälöstä: , mikä tarkoittaa järjestelmä on epäjohdonmukainen(ei ratkaisuja). Näin ollen muuttujien kertoimet eivät ole verrannollisia.
Johtopäätös: viivat leikkaavat
Käytännön ongelmissa voit käyttää juuri keskusteltua ratkaisumallia. Muuten, se muistuttaa hyvin vektorien kollineaarisuuden tarkistamisalgoritmia, jota tarkastelimme luokassa Vektorien lineaarisen (epä)riippuvuuden käsite. Vektorien perusta. Mutta on olemassa sivistyneempi pakkaus:
Esimerkki 1
Selvitä viivojen suhteellinen sijainti: 
Ratkaisu perustuen suorien viivojen suuntavektorien tutkimukseen:
a) Yhtälöistä saadaan suorien suuntavektorit: 
.
, mikä tarkoittaa, että vektorit eivät ole kollineaarisia ja suorat leikkaavat.
Varmuuden vuoksi laitan risteykseen kiven kylteillä:
Loput hyppäävät kiven yli ja seuraavat edelleen, suoraan Kashchei the Immortaliin =)
b) Etsi viivojen suuntavektorit: 
Viivoilla on sama suuntavektori, mikä tarkoittaa, että ne ovat joko yhdensuuntaisia tai yhteensopivia. Determinanttia ei tarvitse tässä laskea.
On selvää, että tuntemattomien kertoimet ovat verrannollisia ja .
Selvitetään onko tasa-arvo totta: 
Täten,
c) Etsi viivojen suuntavektorit: 
Lasketaan näiden vektorien koordinaateista muodostuva determinantti: 
, siksi suuntavektorit ovat kollineaarisia. Viivat ovat joko yhdensuuntaisia tai yhteneviä.
Suhteellisuuskerroin "lambda" on helppo nähdä suoraan kollineaaristen suuntavektorien suhteesta. Se voidaan kuitenkin löytää myös itse yhtälöiden kertoimien kautta: 
.
Otetaan nyt selvää, onko tasa-arvo totta. Molemmat ilmaiset ehdot ovat nolla, joten:
Tuloksena oleva arvo täyttää tämän yhtälön (mikä tahansa luku yleensä täyttää sen).
Siten linjat osuvat yhteen.
Vastaus:
Hyvin pian opit (tai olet jo oppinut) ratkaisemaan suullisesti käsitellyn ongelman kirjaimellisesti muutamassa sekunnissa. Tässä suhteessa en näe mitään järkeä tarjota mitään itsenäiselle ratkaisulle, vaan on parempi laittaa toinen tärkeä tiili geometriseen perustukseen:
Kuinka rakentaa yhdensuuntainen suora tietyn kanssa?
Tämän yksinkertaisin tehtävän tietämättömyydestä Satakieli Ryöstäjä rankaisee ankarasti.
Esimerkki 2
Suora saadaan yhtälöstä. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle yhdensuuntaiselle suoralle.
Ratkaisu: Merkitään tuntematon rivi kirjaimella . Mitä tila kertoo hänestä? Suora kulkee pisteen läpi. Ja jos suorat ovat yhdensuuntaisia, on selvää, että suoran "tse" suuntavektori sopii myös suoran "de" rakentamiseen.
Otamme suuntavektorin pois yhtälöstä:
Vastaus:
Esimerkkigeometria näyttää yksinkertaiselta: 
Analyyttinen testaus koostuu seuraavista vaiheista:
1) Tarkistamme, että viivoilla on sama suuntavektori (jos suoran yhtälöä ei yksinkertaisteta kunnolla, vektorit ovat kollineaarisia).
2) Tarkista, täyttääkö piste tuloksena olevan yhtälön.
Useimmissa tapauksissa analyyttinen testaus voidaan tehdä helposti suullisesti. Katsokaa kahta yhtälöä, ja monet teistä määrittävät nopeasti viivojen yhdensuuntaisuuden ilman piirustusta.
Esimerkit itsenäisistä ratkaisuista ovat nykyään luovia. Koska joudut silti kilpailemaan Baba Yagan kanssa, ja hän on kaikenlaisten arvoitusten rakastaja.
Esimerkki 3
Kirjoita yhtälö suoralle, joka kulkee suoran if kanssa yhdensuuntaisen pisteen kautta
On olemassa järkevä ja ei niin järkevä tapa ratkaista se. Lyhin reitti on oppitunnin lopussa.
Työskentelimme vähän rinnakkaisilla viivoilla ja palaamme niihin myöhemmin. Kohtavien linjojen tapaus ei kiinnosta juurikaan, joten tarkastellaan ongelmaa, joka on sinulle hyvin tuttu koulun opetussuunnitelmasta:
Kuinka löytää kahden suoran leikkauspiste?
Jos suoraan 
leikkaa pisteessä , niin sen koordinaatit ovat ratkaisu lineaariset yhtälöt 
Kuinka löytää viivojen leikkauspiste? Ratkaise järjestelmä.
Ole hyvä kahden tuntemattoman lineaarisen yhtälön järjestelmän geometrinen merkitys- nämä ovat kaksi leikkaavaa (useimmiten) suoraa tasossa.
Esimerkki 4
Etsi viivojen leikkauspiste
Ratkaisu: On kaksi tapaa ratkaista - graafinen ja analyyttinen.
Graafinen menetelmä on yksinkertaisesti piirtää annetut viivat ja selvittää leikkauspiste suoraan piirroksesta: 
Tässä on pointtimme: . Tarkistaaksesi, sinun tulee korvata sen koordinaatit jokaisessa suoran yhtälössä, niiden tulisi sopia sekä sinne että sinne. Toisin sanoen pisteen koordinaatit ovat ratkaisu järjestelmään. Pohjimmiltaan tarkastelimme graafista ratkaisua lineaariset yhtälöt kahdella yhtälöllä, kahdella tuntemattomalla.
Graafinen menetelmä ei tietenkään ole huono, mutta siinä on havaittavia haittoja. Ei, pointti ei ole siinä, että seitsemäsluokkalaiset päättävät näin, vaan se, että oikean ja TARKAN piirustuksen luominen vie aikaa. Lisäksi jotkin suorat eivät ole niin helppoja rakentaa, ja itse leikkauspiste voi sijaita jossain kolmantenakymmenennessä valtakunnassa muistikirjan arkin ulkopuolella.
Siksi leikkauspiste on tarkoituksenmukaisempaa etsiä analyyttisellä menetelmällä. Ratkaistaan systeemi: 
Järjestelmän ratkaisemiseen käytettiin yhtälöiden termikohtaista yhteenlaskumenetelmää. Ota oppitunti kehittääksesi tarvittavia taitoja Kuinka ratkaista yhtälöjärjestelmä?
Vastaus:
Tarkistus on triviaali - leikkauspisteen koordinaattien on täytettävä järjestelmän jokainen yhtälö.
Esimerkki 5
Etsi viivojen leikkauspiste, jos ne leikkaavat.
Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Tehtävä on kätevä jakaa useisiin vaiheisiin. Tilan analyysi viittaa siihen, että se on välttämätöntä:
1) Kirjoita muistiin suoran yhtälö.
2) Kirjoita muistiin suoran yhtälö.
3) Selvitä viivojen suhteellinen sijainti.
4) Jos suorat leikkaavat, etsi leikkauspiste.
Toiminta-algoritmin kehittäminen on tyypillistä monille geometrisille ongelmille, ja aion keskittyä tähän toistuvasti.
Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa:
Edes kengät eivät olleet kuluneet ennen kuin pääsimme oppitunnin toiseen osaan:
Kohtisuorat viivat. Etäisyys pisteestä viivaan.
Kulma suorien viivojen välillä
Aloitetaan tyypillisestä ja erittäin tärkeästä tehtävästä. Ensimmäisessä osassa opimme rakentamaan tämän kanssa yhdensuuntaisen suoran, ja nyt kananjalkojen kota kääntyy 90 astetta:
Kuinka rakentaa suora kohtisuoraan annettuun nähden?
Esimerkki 6
Suora saadaan yhtälöstä. Kirjoita yhtälö kohtisuoraan pisteen läpi kulkevalle suoralle.
Ratkaisu: Ehdolla tiedetään, että . Olisi kiva löytää viivan suuntausvektori. Koska viivat ovat kohtisuorassa, temppu on yksinkertainen:
Yhtälöstä "poistetaan" normaalivektori: , josta tulee suoran suuntausvektori.
Muodostetaan suoran yhtälö pisteen ja suuntavektorin avulla:
Vastaus: 
Laajennamme geometristä luonnosta:
Hmmm... Oranssi taivas, oranssi meri, oranssi kameli.
Liuoksen analyyttinen tarkastus:
1) Poistetaan yhtälöistä suuntavektorit 
ja avustuksella vektorien skalaaritulo tulemme siihen tulokseen, että suorat ovat todellakin kohtisuorassa: .
Muuten, voit käyttää normaaleja vektoreita, se on vielä helpompaa.
2) Tarkista, täyttääkö piste tuloksena olevan yhtälön 
.
Testi on jälleen helppo suorittaa suullisesti.
Esimerkki 7
Etsi kohtisuorien viivojen leikkauspiste, jos yhtälö tunnetaan 
ja kausi.
Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Tehtävässä on useita toimintoja, joten ratkaisu on kätevä muotoilla kohta kohdalta.
Jännittävä matkamme jatkuu:
Etäisyys pisteestä linjaan
Edessämme on suora jokikaistale ja tehtävämme on päästä sinne lyhintä tietä. Esteitä ei ole, ja optimaalinen reitti on liikkua kohtisuoraa pitkin. Eli etäisyys pisteestä suoraan on kohtisuoran segmentin pituus.
Geometrian etäisyys on perinteisesti merkitty kreikkalaisella kirjaimella "rho", esimerkiksi: – etäisyys pisteestä "em" suoraan "de".
Etäisyys pisteestä linjaan 
ilmaistaan kaavalla
Esimerkki 8
Etsi pisteen ja suoran välinen etäisyys 
Ratkaisu: sinun tarvitsee vain korvata luvut huolellisesti kaavaan ja suorittaa laskelmat:
Vastaus: 
Tehdään piirustus: 
Löytynyt etäisyys pisteestä viivaan on täsmälleen punaisen segmentin pituus. Jos piirrät piirustuksen ruudulliselle paperille 1 yksikön mittakaavassa. = 1 cm (2 solua), niin etäisyys voidaan mitata tavallisella viivaimella.
Tarkastellaan toista tehtävää, joka perustuu samaan piirustukseen:
Tehtävänä on löytää koordinaatit pisteelle, joka on symmetrinen pisteen suhteen suoran suhteen 
. Suosittelen suorittamaan vaiheet itse, mutta hahmotan ratkaisualgoritmin välituloksilla:
1) Etsi suora, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan.
2) Etsi viivojen leikkauspiste: 
.
Molempia toimintoja käsitellään yksityiskohtaisesti tässä oppitunnissa.
3) Piste on janan keskipiste. Tiedämme keskikohdan ja yhden pään koordinaatit. Tekijä: kaavat janan keskipisteen koordinaateille löydämme .
Olisi hyvä tarkistaa, että etäisyys on myös 2,2 yksikköä.
Laskelmissa voi tulla hankaluuksia, mutta tornissa on suuri apu mikrolaskin, jonka avulla voit laskea tavallisia murtolukuja. Olen neuvonut sinua monta kertaa ja suosittelen sinua uudelleen.
Kuinka löytää kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys?
Esimerkki 9
Etsi kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys
Tämä on toinen esimerkki, jonka voit päättää itse. Annan sinulle pienen vihjeen: tämän ratkaisemiseksi on äärettömän monia tapoja. Selvitys oppitunnin lopussa, mutta on parempi yrittää arvata itse, mielestäni kekseliäisyytesi oli hyvin kehittynyt.
Kahden suoran välinen kulma
Jokainen kulma on jambi: 
Geometriassa kahden suoran väliseksi kulmaksi otetaan PIENEMPI kulma, josta seuraa automaattisesti, että se ei voi olla tylppä. Kuvassa punaisen kaaren osoittamaa kulmaa ei pidetä leikkausviivojen välisenä kulmana. Ja hänen "vihreä" naapurinsa tai vastakkaiseen suuntaan"vadelma" kulma.
Jos suorat ovat kohtisuorassa, mikä tahansa neljästä kulmasta voidaan ottaa niiden väliseksi kulmaksi.
Miten kulmat eroavat toisistaan? Suuntautuminen. Ensinnäkin suunta, johon kulmaa "vieritetään", on olennaisen tärkeä. Toiseksi negatiivisesti suunnattu kulma kirjoitetaan miinusmerkillä, esimerkiksi jos .
Miksi kerroin tämän? Näyttää siltä, että pärjäämme tavallisella kulman käsitteellä. Tosiasia on, että kaavat, joilla löydämme kulmat, voivat helposti johtaa negatiiviseen tulokseen, eikä tämän pitäisi tulla yllätyksenä. Miinusmerkillä varustettu kulma ei ole huonompi, ja sillä on hyvin erityinen geometrinen merkitys. Piirustuksessa negatiivisen kulman kohdalla muista osoittaa sen suunta nuolella (myötäpäivään).
Kuinka löytää kahden suoran välinen kulma? Työkaavoja on kaksi:
Esimerkki 10
Etsi viivojen välinen kulma
Ratkaisu Ja Menetelmä yksi
Tarkastellaan kahta suoraa, jotka on määritelty yhtälöillä yleisessä muodossa: 
Jos suoraan ei kohtisuorassa, Tuo suuntautunut Niiden välinen kulma voidaan laskea kaavalla: 
Kiinnitäkäämme tarkkaa huomiota nimittäjään - juuri näin skalaarituote suorien viivojen suuntavektorit:
Jos , niin kaavan nimittäjästä tulee nolla, ja vektorit ovat ortogonaalisia ja linjat ovat kohtisuorassa. Tästä syystä suorien viivojen epäsuoraan muotoiluun tehtiin varaus.
Edellä olevan perusteella on kätevää virallistaa ratkaisu kahdessa vaiheessa:
1) Lasketaan viivojen suuntavektorien skalaaritulo:
, mikä tarkoittaa, että viivat eivät ole kohtisuorassa.
2) Etsi suorien viivojen välinen kulma kaavalla:
Käänteisfunktiolla on helppo löytää itse kulma. Tässä tapauksessa käytämme arktangentin parittomuutta (katso. Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet):
Vastaus: 
Ilmoitamme vastauksessasi tarkan arvon sekä likimääräisen arvon (mieluiten sekä asteina että radiaaneina), jotka on laskettu laskimella.
No, miinus, miinus, ei iso juttu. Tässä on geometrinen kuva: 
Ei ole yllättävää, että kulma osoittautui negatiiviseksi orientoituneeksi, koska tehtävän esityksessä ensimmäinen numero on suora ja kulman "irrotus" alkoi juuri siitä.
Jos todella haluat saada positiivisen kulman, sinun on vaihdettava rivit, eli otettava kertoimet toisesta yhtälöstä 
, ja ota kertoimet ensimmäisestä yhtälöstä. Lyhyesti sanottuna sinun on aloitettava suorasta 
.
TASOJEN VÄLINEN KULMA
Tarkastellaan kahta tasoa α 1 ja α 2, jotka määritetään vastaavasti yhtälöillä:
Alla kulma kahden tason välillä ymmärrämme yhden näiden tasojen muodostamista dihedraalisista kulmista. On selvää, että normaalivektorien ja tasojen α 1 ja α 2 välinen kulma on yhtä suuri kuin jokin osoitetuista vierekkäisistä dihedraalisista kulmista tai 
. Siksi 
. Koska 
Ja 
, Tuo
.
Esimerkki. Määritä tasojen välinen kulma x+2y-3z+4=0 ja 2 x+3y+z+8=0.
Kahden tason yhdensuuntaisuuden ehto.
Kaksi tasoa α 1 ja α 2 ovat yhdensuuntaisia silloin ja vain jos niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaisia, ja siksi 
.
Joten kaksi tasoa ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa, jos ja vain, jos vastaavien koordinaattien kertoimet ovat verrannollisia:
tai
Tasojen kohtisuoran ehto.
On selvää, että kaksi konetta ovat kohtisuorassa silloin ja vain, jos niiden normaalivektorit ovat kohtisuorassa, ja siksi tai .
Täten, .
Esimerkkejä.
SUORAAN AVARUUSSA.
VEKTORIN YHTÄLÖ JOHDOLLE.
PARAMETRISET SUORAT YHTÄLÖT
Viivan sijainti avaruudessa määritetään täysin määrittämällä mikä tahansa sen kiinteä piste M 1 ja tämän suoran suuntainen vektori.
Suoran suuntaista vektoria kutsutaan oppaita tämän viivan vektori.
Joten anna suoran linjan l kulkee pisteen läpi M 1 (x 1 , y 1 , z 1), makaa linjalla, joka on yhdensuuntainen vektorin kanssa.
Harkitse mielivaltaista kohtaa M(x,y,z) suoralla linjalla. Kuvasta käy selväksi, että 
.
Vektorit ja ovat kollineaarisia, joten on olemassa sellainen luku t, mitä , missä on kerroin t voi ottaa minkä tahansa numeerisen arvon pisteen sijainnista riippuen M suoralla linjalla. Tekijä t kutsutaan parametriksi. Määritettyään pisteiden sädevektorit M 1 ja M vastaavasti kautta ja , saamme . Tätä yhtälöä kutsutaan vektori suoran yhtälö. Se osoittaa, että jokaiselle parametriarvolle t vastaa jonkin pisteen sädevektoria M, makaa suoralla linjalla.
Kirjoitetaan tämä yhtälö koordinaattimuotoon. Huomaa, että , 
ja täältä
Tuloksena olevia yhtälöitä kutsutaan parametrinen suoran yhtälöt.
Kun muutat parametria t koordinaatit muuttuvat x, y Ja z ja kausi M liikkuu suorassa linjassa.
SUORAN KANONISET YHTÄLÖT
Antaa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – suoralla viivalla oleva piste l, Ja 
on sen suuntavektori. Otetaan jälleen mielivaltainen piste viivalla M(x,y,z) ja harkitse vektoria .
On selvää, että vektorit ovat myös kollineaarisia, joten niiden vastaavien koordinaattien on oltava verrannollisia, joten
– kanoninen suoran yhtälöt.
Huomautus 1. Huomaa, että suoran kanoniset yhtälöt voidaan saada parametrisista poistamalla parametri t. Todellakin, saamistamme parametriyhtälöistä 
tai .
Esimerkki. Kirjoita ylös suoran yhtälö 
parametrisessa muodossa.
Merkitään 
, täältä x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Muistio 2. Olkoon suora kohtisuorassa yhteen koordinaattiakseliin, esimerkiksi akseliin Härkä. Tällöin suoran suuntavektori on kohtisuorassa Härkä, siis, m=0. Näin ollen suoran parametriset yhtälöt saavat muodon
Parametrin poissulkeminen yhtälöistä t, saamme suoran yhtälöt muodossa
Kuitenkin myös tässä tapauksessa suostumme kirjoittamaan suoran kanoniset yhtälöt muotoon 
. Jos siis yhden murto-osan nimittäjä on nolla, tämä tarkoittaa, että suora on kohtisuorassa vastaavaa koordinaattiakselia vastaan.
Samanlainen kuin kanoniset yhtälöt 
vastaa suoraa, joka on kohtisuorassa akseleihin nähden Härkä Ja Oy tai yhdensuuntainen akselin kanssa Oz.
Esimerkkejä.
SUORAN YLEISYHTÄLÖT KAHDEN TASOJEN LEIKKAUSVIIRJOINA
Jokaisen avaruuden suoran läpi kulkee lukemattomia tasoja. Mitkä tahansa niistä leikkaavat, määrittelevät sen avaruudessa. Näin ollen minkä tahansa kahden tällaisen tason yhtälöt yhdessä tarkasteltuna edustavat tämän suoran yhtälöitä.
Yleisesti ottaen mitkä tahansa kaksi ei-rinnakkaista tasoa, jotka on annettu yleisten yhtälöiden avulla
määrittää niiden leikkauspisteen suoran. Näitä yhtälöitä kutsutaan yleiset yhtälöt suoraan.
Esimerkkejä.
Muodosta yhtälöiden antama suora 
Suoran muodostamiseksi riittää, että löytää kaksi sen pistettä. Helpoin tapa on valita suoran ja koordinaattitasojen leikkauspisteet. Esimerkiksi leikkauspiste tason kanssa xOy saamme suoran yhtälöistä olettaen z= 0:
Kun tämä järjestelmä on ratkaistu, löydämme asian M 1 (1;2;0).
Samoin olettaen y= 0, saadaan suoran ja tason leikkauspiste xOz:
Suoran yleisistä yhtälöistä voidaan siirtyä sen kanonisiin tai parametrisiin yhtälöihin. Tätä varten sinun on löydettävä jokin kohta M 1 suoralla ja suoran suuntavektori.
Pistekoordinaatit M 1 saamme tästä yhtälöjärjestelmästä antamalla yhdelle koordinaatista mielivaltaisen arvon. Suuntavektorin löytämiseksi huomaa, että tämän vektorin on oltava kohtisuorassa molempiin normaalivektoriin nähden 
Ja 
. Siksi suoran suuntavektorin ulkopuolella l voit ottaa normaalivektorien vektoritulon:
.
Esimerkki. Esitä suoran yleiset yhtälöt 
kanoniseen muotoon.
Etsitään viivalla oleva piste. Tätä varten valitsemme mielivaltaisesti yhden koordinaateista, esimerkiksi y= 0 ja ratkaise yhtälöjärjestelmä:
Suoran määrittävien tasojen normaalivektoreilla on koordinaatit 
Siksi suuntavektori on suora
. Siten, l: 
.
SUORIEN VÄLINEN KULMA
Kulma avaruuden suorien välissä kutsumme mitä tahansa vierekkäisiä kulmia, jotka muodostuvat kahdesta suorasta, jotka on vedetty tiedon kanssa yhdensuuntaisen mielivaltaisen pisteen läpi.
Annetaan kaksi riviä avaruudessa:
On selvää, että suorien viivojen välinen kulma φ voidaan ottaa niiden suuntavektorien ja :n väliseksi kulmaksi. Koska , Sitten käyttämällä kaavaa kosini välisen kulman vektoreita saamme
Puhun lyhyesti. Kahden suoran välinen kulma on yhtä suuri kuin niiden suuntavektorien välinen kulma. Siten, jos onnistut löytämään suuntavektorien a = (x 1 ; y 1 ; z 1) ja b = (x 2 ; y 2 ; z 2) koordinaatit, voit löytää kulman. Tarkemmin sanottuna kulman kosini kaavan mukaan:
Katsotaanpa, kuinka tämä kaava toimii tiettyjen esimerkkien avulla:
Tehtävä. Kuutioon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on merkitty pisteet E ja F - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. Etsi viivojen AE ja BF välinen kulma.
Koska kuution reunaa ei ole määritelty, asetetaan AB = 1. Otetaan käyttöön vakiokoordinaatisto: origo on pisteessä A, x-, y-, z-akselit on suunnattu pitkin AB, AD ja AA 1, vastaavasti. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1. Etsitään nyt suoritemme suuntavektorien koordinaatit.
Etsitään vektorin AE koordinaatit. Tätä varten tarvitsemme pisteet A = (0; 0; 0) ja E = (0,5; 0; 1). Koska piste E on janan A 1 B 1 keskipiste, sen koordinaatit ovat yhtä suuria kuin päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo. Huomaa, että vektorin AE origo on sama kuin koordinaattien origo, joten AE = (0,5; 0; 1).
Katsotaan nyt BF-vektoria. Samalla tavalla analysoimme pisteet B = (1; 0; 0) ja F = (1; 0,5; 1), koska F on segmentin B 1 C 1 keskikohta. Meillä on:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Suuntavektorit ovat siis valmiit. Suorien viivojen välisen kulman kosini on suuntavektorien välisen kulman kosini, joten meillä on:
Tehtävä. Säännölliseen kolmioprismaan ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet D ja E - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. Etsi suorien AD ja BE välinen kulma.
Otetaan käyttöön vakiokoordinaatisto: origo on pisteessä A, x-akseli on suunnattu AB:tä pitkin, z - AA 1:tä pitkin. Suunnataan y-akseli niin, että OXY-taso osuu ABC-tason kanssa. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1. Etsitään tarvittavien suorien suuntavektorien koordinaatit.
Etsitään ensin vektorin AD koordinaatit. Tarkastellaan pisteitä: A = (0; 0; 0) ja D = (0,5; 0; 1), koska D - segmentin A 1 B 1 keskikohta. Koska vektorin AD alku osuu yhteen koordinaattien origon kanssa, saadaan AD = (0.5; 0; 1).
Etsitään nyt vektorin BE koordinaatit. Piste B = (1; 0; 0) on helppo laskea. Pisteellä E - segmentin C 1 B 1 keskellä - se on hieman monimutkaisempi. Meillä on:
Vielä on löydettävä kulman kosini:
Tehtävä. Säännöisessä kuusikulmioprismassa ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet K ja L - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. . Etsi viivojen AK ja BL välinen kulma.
Otetaan käyttöön prisman standardikoordinaattijärjestelmä: sijoitamme koordinaattien origon alemman kannan keskelle, x-akseli on suunnattu FC:tä pitkin, y-akseli suunnataan janojen AB ja DE keskipisteiden läpi ja z akseli on suunnattu pystysuoraan ylöspäin. Yksikkösegmentti on jälleen yhtä suuri kuin AB = 1. Kirjataan muistiin meille kiinnostavien pisteiden koordinaatit:
Pisteet K ja L ovat janan A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteitä, joten niiden koordinaatit löydetään aritmeettisen keskiarvon kautta. Kun tiedämme pisteet, löydämme suuntavektorien AK ja BL koordinaatit:
Etsitään nyt kulman kosini:
Tehtävä. Säännölliseen nelikulmaiseen pyramidiin SABCD, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet E ja F - sivujen SB ja SC keskipisteet, vastaavasti. Etsi viivojen AE ja BF välinen kulma.
Otetaan käyttöön standardi koordinaattijärjestelmä: origo on pisteessä A, x- ja y-akselit suunnataan AB:tä ja AD:tä pitkin ja z-akseli on suunnattu pystysuoraan ylöspäin. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1.
Pisteet E ja F ovat janan SB ja SC keskipisteitä, joten niiden koordinaatit löytyvät päiden aritmeettisena keskiarvona. Kirjataan ylös meille kiinnostavien pisteiden koordinaatit:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Kun tiedämme pisteet, löydämme suuntavektorien AE ja BF koordinaatit:
Vektorin AE koordinaatit ovat samat kuin pisteen E koordinaatit, koska piste A on origo. Vielä on löydettävä kulman kosini:
