Lause on todistuslauseen käänteinen. Chevan ja Menelaoksen lause. Miksi kaikkea tätä tarvitaan?

Luokka: 9

Oppitunnin tavoitteet:

1. yleistää, laajentaa ja systematisoida opiskelijoiden tietoja ja taitoja; opettaa käyttämään tietoa monimutkaisten ongelmien ratkaisemisessa;
2. edistää taitojen kehittymistä itsenäiseen tiedon soveltamiseen ongelmien ratkaisussa;
3. kehittää opiskelijoiden loogista ajattelua ja matemaattista puhetta, kykyä analysoida, vertailla ja yleistää;
4. juurruttaa opiskelijoihin itseluottamusta ja kovaa työtä; kykyä työskennellä ryhmässä.

Oppitunnin tavoitteet:

• Koulutuksellinen: toista Menelaoksen ja Chevan lauseet; soveltaa niitä ongelmien ratkaisemiseen.
• Kehittävä: oppia esittämään hypoteesi ja puolustamaan taitavasti mielipiteesi todisteilla; testaa kykyäsi yleistää ja systematisoida tietosi.
• Koulutuksellinen: lisätä kiinnostusta aiheeseen ja valmistautua monimutkaisempien ongelmien ratkaisemiseen.

Oppitunnin tyyppi: tiedon yleistämisen ja systematisoinnin oppitunti.

Laitteet: kortit kollektiiviseen työhön tämän aiheen oppitunnilla, yksittäiset kortit itsenäiseen työhön, tietokone, multimediaprojektori, näyttö.

Tuntien aikana

Vaihe I. Organisaatiohetki (1 min)

Opettaja ilmoittaa oppitunnin aiheen ja tarkoituksen.

Vaihe II. Perustietojen ja taitojen päivittäminen (10 min.)

Opettaja: Oppitunnin aikana muistamme Menelauksen ja Chevan lauseet, jotta voimme siirtyä menestyksekkäästi ongelmien ratkaisemiseen. Katsotaanpa näyttöä, jossa se esitetään. Mille lauseelle tämä luku on annettu? (Menelauksen lause). Yritä muotoilla lause selkeästi.

Kuva 1

Olkoon piste A 1 kolmion ABC sivulla BC, piste C 1 puolella AB, piste B 1 sivun AC jatkossa pisteen C takana. Pisteet A 1 , B 1 ja C 1 ovat samalla suoralla jos ja vain jos tasa-arvo pätee

Opettaja: Katsotaanpa seuraavaa kuvaa yhdessä. Esitä lause tälle piirrokselle.

Kuva 2

Suora AD leikkaa IUD-kolmion kaksi sivua ja kolmannen sivun jatkeen.

Menelaoksen lauseen mukaan

Suora MB leikkaa kolmion ADC kaksi sivua ja kolmannen sivun jatkeen.

Menelaoksen lauseen mukaan

Opettaja: Mitä lausetta kuva vastaa? (Cevan lause). Esitä lause.

Kuva 3

Olkoon kolmion ABC piste A 1 sivulla BC, piste B 1 sivulla AC, piste C 1 sivulla AB. Jaksot AA 1, BB 1 ja CC 1 leikkaavat yhdessä pisteessä, jos ja vain jos yhtäläisyys pätee

Vaihe III. Ongelmanratkaisu. (22 min.)

Luokka on jaettu 3 joukkueeseen, joista jokainen saa kortin kahdella eri tehtävällä. Annetaan aikaa päättää, minkä jälkeen näytölle ilmestyy seuraava:<Рисунки 4-9>. Tehtävien valmiiden piirustusten perusteella tiimin edustajat kertovat vuorotellen ratkaisujaan. Jokaista selitystä seuraa keskustelu, kysymyksiin vastaaminen ja ratkaisun oikeellisuuden tarkistaminen näytöltä. Kaikki tiimin jäsenet osallistuvat keskusteluun. Mitä aktiivisempi joukkue, sitä korkeammalle tasolle tulos lasketaan.

Kortti 1.

1. Kolmiossa ABC otetaan piste N sivulta BC siten, että NC = 3BN; sivun AC jatkossa piste M otetaan pisteeksi A siten, että MA = AC. Suora MN leikkaa sivun AB pisteessä F. Etsi suhde

2. Osoita, että kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä.

Ratkaisu 1

Kuva 4

Tehtävän ehtojen mukaan MA = AC, NC = 3BN. Olkoon MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Suora MN leikkaa kolmion ABC kaksi sivua ja kolmannen jatkon.

Menelaoksen lauseen mukaan

Vastaus:

Todisteet 2

Kuva 5

Olkoon AM 1, BM 2, CM 3 kolmion ABC mediaanit. Sen osoittamiseksi, että nämä segmentit leikkaavat yhdessä pisteessä, riittää

Sitten Cevan (käänteisen) lauseen mukaan segmentit AM 1, BM 2 ja CM 3 leikkaavat yhdessä pisteessä.

Meillä on:

Joten on todistettu, että kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä.

Kortti 2.

1. Piste N otetaan kolmion PQR PQ-puolelta ja piste L otetaan PR-puolelta, ja NQ = LR. Janan QL ja NR leikkauspiste jakaa QL:n suhteessa m:n pisteestä Q laskettuna.

2. Osoita, että kolmion puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä.

Ratkaisu 1

Kuva 6

Ehdolla NQ = LR, Olkoon NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Suora NR leikkaa kolmion PQL kaksi sivua ja kolmannen jatkeen.

Menelaoksen lauseen mukaan

Vastaus:

Todisteet 2

Kuva 7

Näytä se

Sitten Cevan (käänteisen) lauseen mukaan AL 1, BL 2, CL 3 leikkaavat yhdessä pisteessä. Kolmion puolittajien ominaisuuden mukaan

Kerrotaan saadut yhtäläisyydet termillä, saadaan

Kolmion puolittajille Chevan yhtäläisyys täyttyy, joten ne leikkaavat yhdessä pisteessä.

Kortti 3.

1. Kolmiossa ABC AD on mediaani, piste O on mediaanin keskikohta. Suora BO leikkaa sivun AC pisteessä K. Missä suhteessa piste K jakaa AC:n pisteestä A laskettuna?

2. Osoita, että jos kolmioon on piirretty ympyrä, niin kolmion kärjet vastakkaisten sivujen kosketuspisteisiin yhdistävät janat leikkaavat yhdessä pisteessä.

Ratkaisu 1

Kuva 8

Olkoon BD = DC = a, AO = OD = m. Suora BK leikkaa kolmion ADC kaksi sivua ja kolmannen sivun jatkeen.

Menelaoksen lauseen mukaan

Vastaus:

Todisteet 2

Kuva 9

Olkoot A 1, B 1 ja C 1 kolmion ABC piirretyn ympyrän tangenttipisteet. Sen osoittamiseksi, että janat AA 1, BB 1 ja CC 1 leikkaavat yhdessä pisteessä, riittää, kun osoitetaan, että Chevan yhtäläisyys pätee:

Ympyrän yhdestä pisteestä piirrettyjen tangenttien ominaisuutta käyttämällä otetaan käyttöön seuraava merkintä: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Chevan yhtälö täyttyy, mikä tarkoittaa, että kolmion puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä.

Vaihe IV. Ongelmanratkaisu (itsenäinen työ) (8 min.)

Opettaja: Joukkueiden työ on valmis ja nyt aloitamme itsenäisen työskentelyn yksittäisten korttien kanssa 2 vaihtoehdolle.

Oppimateriaalia opiskelijoiden itsenäiseen työskentelyyn

Vaihtoehto 1. Kolmiossa ABC, jonka pinta-ala on 6, puolella AB on piste K, joka jakaa tämän puolen suhteessa AK:BK = 2:3, ja sivulla AC on piste L, joka jakaa AC:n. suhteessa AL:LC = 5:3. Suorien СК ja BL leikkauspiste Q poistetaan suorasta AB etäisyyden päässä. Etsi sivun AB pituus. (Vastaus: 4.)

Vaihtoehto 2. Kolmion ABC sivulta AC otetaan piste K. AK = 1, KS = 3. Sivulta AB otetaan piste L. AL:LB = 2:3, Q on suorien BK ja CL leikkauspiste. Laske kärjestä B pudonneen kolmion ABC korkeuden pituus. (Vastaus: 1.5.)

Työ toimitetaan opettajalle tarkistettavaksi.

V vaihe. Oppitunnin yhteenveto (2 min)

Tehdyt virheet analysoidaan, alkuperäiset vastaukset ja kommentit kirjataan. Kunkin tiimin työn tulokset lasketaan yhteen ja annetaan arvosanat.

Vaihe VI. Kotitehtävät (1 min)

Kotitehtävät koostuvat tehtävistä nro 11, 12 s. 289-290, nro 10 s. 301.

Loppusanat opettajalta (1 min).

Tänään kuulitte toistenne matemaattisen puheen ulkopuolelta ja arvioitte kykyjänne. Tulevaisuudessa käytämme tällaisia ​​keskusteluja aiheen ymmärtämiseksi paremmin. Argumentit oppitunnilla olivat tosiasioiden ystäviä ja teoria käytännön kanssa. Kiitos kaikille.

Kirjallisuus:

1. Tkachuk V.V. Matematiikka hakijoille. – M.: MTsNMO, 2005.

A.V. Shevkin

FMS nro 2007

Chevan ja Menelaoksen lauseet yhtenäisestä valtionkokeesta

Yksityiskohtainen artikkeli "Cevan ja Menelaoksen lauseista" julkaistiin verkkosivuillamme ARTIKKELI-osiossa. Se on suunnattu matematiikan opettajille ja lukiolaisille, jotka ovat motivoituneita matematiikan taitamiseen. Voit palata siihen, jos haluat ymmärtää ongelmaa tarkemmin. Tässä muistiinpanossa annamme lyhyet tiedot mainitusta artikkelista ja analysoimme ratkaisuja ongelmiin Unified State Exam 2016 -kokeeseen valmistautumiskokoelmasta.

Cevan lause

Olkoon kolmio annettu ABC ja sen sivuilla AB, B.C. Ja A.C. pisteet merkitty C 1 , A 1 Ja B 1 vastaavasti (kuva 1).

a) Jos segmentit AA 1 , BB 1 ja CC 1 leikkaa sitten yhdessä pisteessä

b) Jos yhtälö (1) on tosi, niin segmentit AA 1 , BB 1 ja CC 1 leikkaa yhdessä pisteessä.

Kuvassa 1 on esitetty tapaus, jossa segmentit AA 1 , BB 1 ja CC 1 leikkaa yhdessä pisteessä kolmion sisällä. Tämä on niin kutsuttu sisäpistetapaus. Cevan lause pätee myös ulkoisen pisteen tapauksessa, kun yksi pisteistä A 1 , B 1 tai KANSSA 1 kuuluu kolmion sivuun ja kaksi muuta kuuluvat kolmion sivujen jatkeisiin. Tässä tapauksessa segmenttien leikkauspiste AA 1 , BB 1 ja CC 1 on kolmion ulkopuolella (kuva 2).

Kuinka muistaa Chevan tasa-arvo?

Kiinnittäkäämme huomiota tasa-arvon muistamisen tekniikkaan (1). Kolmion kärjet kussakin suhteessa ja itse relaatiot kirjoitetaan kolmion kärkien poikkisuuntaan ABC, alkaen pisteestä A. Kohdasta A mennään asiaan B, kohtaamme asian KANSSA 1, kirjoita murtoluku
. Kauempana pisteestä SISÄÄN mennään asiaan KANSSA, kohtaamme asian A 1, kirjoita murtoluku
. Lopuksi pisteestä KANSSA mennään asiaan A, kohtaamme asian SISÄÄN 1, kirjoita murtoluku
. Ulkoisen pisteen tapauksessa murtolukujen kirjoitusjärjestys säilyy, vaikka janan kaksi "jakopistettä" ovat segmenttiensä ulkopuolella. Tällaisissa tapauksissa he sanovat, että piste jakaa segmentin ulkoisesti.

Huomaa, että mikä tahansa jana, joka yhdistää kolmion kärjen mihin tahansa pisteeseen suoralla, joka sisältää kolmion vastakkaisen puolen, kutsutaan ceviana.

Tarkastellaan useita tapoja todistaa Cevan lauseen lause a) sisäpisteen tapauksessa. Todistaaksesi Cevan lauseen, sinun on todistettava väite a) millä tahansa alla ehdotetuista menetelmistä ja myös väite b). Väittämän b) todistus annetaan ensimmäisen väitteen a) todistamistavan jälkeen. Cevan lauseen todistus ulkoisen pisteen tapauksessa suoritetaan samalla tavalla.

Cevan lauseen väitteen a) todistus suhteessa segmenttilauseeseen

Kolme ceviania AA 1 , BB 1 ja CC 1 leikkaa pisteessä Z kolmion sisällä ABC.

Todistuksen ideana on korvata tasa-arvon (1) segmenttien suhteet samalla linjalla olevien segmenttien suhteilla.

Pisteen läpi SISÄÄN Piirretään suora viiva, joka on yhdensuuntainen cevianin kanssa SS 1 . Suoraan AA 1 leikkaa rakennetun suoran pisteessä M, ja pisteen läpi kulkeva suora viiva C ja rinnakkain AA 1 , - kohdassa T. Pisteiden läpi A Ja KANSSA piirretään suorat viivat yhdensuuntaisesti cevianin kanssa BB 1 . He ylittävät rajan VM kohdissa N Ja R vastaavasti (kuva 3).

P suhteellisten segmenttien lauseesta meillä on:

,
Ja
.

Silloin tasa-arvo on totta

.

Suunkkakuvissa ZСTM Ja ZCRB segmenttejä TM, СZ Ja BR yhtä suuri kuin suunnikkaan vastakkaiset sivut. Siten,
ja tasa-arvo on totta

.

Todistaaksemme väitteen b) käytämme seuraavaa väitettä. Riisi. 3

Lemma 1. Jos pisteitä KANSSA 1 ja KANSSA 2 jaa segmentti AB sisäisesti (tai ulkoisesti) samassa suhteessa, samasta pisteestä laskettuna, silloin nämä pisteet ovat samat.

Todistakaamme lemma siinä tapauksessa, että pisteet KANSSA 1 ja KANSSA 2 jaa segmentti AB sisäisesti samassa suhteessa:
.

Todiste. Tasa-arvosta
tasa-arvo seuraa
Ja
. Viimeinen niistä täyttyy vain sillä ehdolla KANSSA 1 B Ja KANSSA 2 B ovat yhtä suuret, eli edellyttäen, että pisteet KANSSA 1 ja KANSSA 2 ottelua.

Todistus lemmasta tapauksessa, jossa pisteet KANSSA 1 ja KANSSA 2 jaa segmentti AB Ulkoisesti se suoritetaan samalla tavalla.

Cevan lauseen väitteen b) todistus

Olkoon nyt yhtäläisyys (1) totta. Todistakaamme, että segmentit AA 1 , BB 1 ja CC 1 leikkaa yhdessä pisteessä.

Olkoon Chevians AA 1 ja BB 1 leikkaa pisteessä Z, piirrä segmentti tämän pisteen läpi CC 2 (KANSSA 2 sijaitsee segmentillä AB). Sitten lauseen a) perusteella saadaan oikea yhtäläisyys

. (2)

JA Yhtälöiden (1) ja (2) vertailusta päätämme, että
eli pisteitä KANSSA 1 ja KANSSA 2 jaa segmentti AB samassa suhteessa, samasta pisteestä laskettuna. Lemmasta 1 seuraa, että kohdat KANSSA 1 ja KANSSA 2 ottelua. Tämä tarkoittaa, että segmentit AA 1 , BB 1 ja CC 1 leikkaa yhdessä pisteessä, mikä on todistettava.

Voidaan todistaa, että yhtälön (1) kirjoitusmenettely ei riipu siitä, mistä pisteestä ja mihin suuntaan kolmion kärjet kulkevat.

Harjoitus 1. Etsi segmentin pituus AN kuvassa 4, joka näyttää muiden segmenttien pituudet.

Vastaus. 8.

Tehtävä 2. Chevians OLEN., BN, CK leikkaavat yhdessä pisteessä kolmion sisällä ABC. Etsi asenne
, Jos
,
. Riisi. 4

Vastaus.
.

P Esitämme artikkelista Cevan lauseen todisteen. Todistuksen ideana on korvata yhtäläisestä (1) segmenttien suhteet rinnakkaisilla viivoilla sijaitsevien segmenttien suhteilla.

Anna suoraan AA 1 , BB 1 , CC 1 leikkaa pisteessä O kolmion sisällä ABC(Kuva 5). Yläosan läpi KANSSA kolmio ABC piirretään yhdensuuntainen suora AB, ja sen leikkauspisteet viivojen kanssa AA 1 , BB 1 merkitsemme vastaavasti A 2 , B 2 .

Kahden kolmioparin samankaltaisuudesta C.B. 2 B 1 Ja ABB 1 , BAA 1 Ja C.A. 2 A 1, kuvio 5

meillä on tasa-arvo

,
. (3)

Kolmioiden samankaltaisuudesta eKr 1 O Ja B 2 CO, AKANSSA 1 O Ja A 2 CO meillä on tasa-arvo
, josta se seuraa

. (4)

P Kerrotaan yhtälöt (3) ja (4), saadaan yhtäläisyys (1).

Cevan lauseen lause a) on todistettu.

Tarkastellaan Cevan lauseen väitteen a) todistusta käyttämällä sisäpisteen alueita. Se esitetään kirjassa A.G. Myakishev ja luottaa lausuntoihin, jotka muotoilemme tehtävien muodossa 3 Ja 4 .

Tehtävä 3. Kahden kolmion, joilla on yhteinen kärki ja samalla viivalla oleva kanta, pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin näiden kantojen pituuksien suhde. Todista tämä väite.

Tehtävä 4. Todista jos
, Tuo
Ja
. Riisi. 6

Anna segmentit AA 1 , BB 1 ja CC 1 leikkaa pisteessä Z(Kuva 6), sitten

,
. (5)

JA yhtälöistä (5) ja tehtävän toisesta lauseesta 4 seuraa sitä
tai
. Samalla tavalla saamme sen
Ja
. Kerrotaan kolme viimeistä yhtälöä, saadaan:

,

eli yhtäläisyys (1) on totta, mikä on todistettava.

Cevan lauseen lause a) on todistettu.

Tehtävä 15. Olkoon cevians leikkaava yhdessä pisteessä kolmion sisällä ja jakaa se 6 kolmioon, joiden pinta-alat ovat yhtä suuret S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (kuvio 7). Todista se . Riisi. 7

Tehtävä 6. Etsi alue S kolmio CNZ(muiden kolmioiden pinta-alat on esitetty kuvassa 8).

Vastaus. 15.

Tehtävä 7. Etsi alue S kolmio CNO, jos kolmion pinta-ala AEI on 10 ja
,
(Kuva 9).

Vastaus. 30.

Tehtävä 8. Etsi alue S kolmio CNO, jos kolmion pinta-ala AB.C. yhtä suuri kuin 88 ja ,
(Kuva 9).

R päätös. Koska , merkitsemme
,
. Koska , niin merkitsemme
,
. Cevan lauseesta seuraa, että
, ja sitten
. Jos
, Tuo
(Kuva 10). Meillä on kolme tuntematonta määrää ( x, y Ja S), niin löytää S Tehdään kolme yhtälöä.

Koska
, Tuo
= 88. Alkaen
, Tuo
, missä
. Koska
, Tuo
.

Niin,
, missä
. Riisi. 10

Tehtävä 9. Kolmiossa ABC pisteitä K Ja L kuuluvat vastaavasti osapuolille AB Ja BC.
,
. P AL Ja CK. Kolmion pinta-ala PBC on yhtä suuri kuin 1. Etsi kolmion pinta-ala ABC.

Vastaus. 1,75.

T Menelaoksen lause

Olkoon kolmio annettu ABC ja sen sivuilla A.C. Ja CB pisteet merkitty B 1 ja A 1 vastaavasti ja jatkopuolella AB piste merkitty C 1 (kuvio 11).

a) Jos pisteet A 1 , B 1 ja KANSSA 1 makaa sitten samalla suoralla linjalla

. (6)

b) Jos yhtälö (7) on tosi, niin pisteet A 1 , B 1 ja KANSSA 1 makaa samalla suoralla linjalla. Riisi. yksitoista

Kuinka muistaa Menelaoksen tasa-arvo?

Tasa-arvon (6) muistamisen tekniikka on sama kuin tasa-arvon (1). Kolmion kärjet kussakin suhteessa ja itse relaatiot kirjoitetaan kolmion kärkien poikkisuuntaan ABC- kärjestä kärkeen, kulkee jakopisteiden kautta (sisäinen tai ulkoinen).

Tehtävä 10. Todista, että yhtälön (6) kirjoittaminen mistä tahansa kolmion kärjestä mihin tahansa suuntaan tuottaa saman tuloksen.

Menelaoksen lauseen todistamiseksi sinun on todistettava väite a) millä tahansa alla ehdotetuista menetelmistä ja myös väite b). Väittämän b) todistus annetaan ensimmäisen väitteen a) todistamistavan jälkeen.

Väitteen a) todistus käyttämällä suhteellista segmenttilausetta

minätapa. a) Todistuksen ideana on korvata osien pituuksien suhteet yhtälössä (6) samalla linjalla olevien osien pituuksien suhteilla.

Anna pisteet A 1 , B 1 ja KANSSA 1 makaa samalla suoralla linjalla. Pisteen läpi C tehdään suora l, yhdensuuntainen linjan kanssa A 1 B 1, se leikkaa linjan AB pisteessä M(Kuva 12).

R
On. 12

Suhteellisten segmenttien lauseen perusteella meillä on:
Ja
.

Silloin tasa-arvo on totta
.

Menelaoksen lauseen väitteen b) todistus

Olkoon nyt yhtäläisyys (6) totta, todistakaamme, että pisteet A 1 , B 1 ja KANSSA 1 makaa samalla suoralla linjalla. Anna suoraan AB Ja A 1 B 1 leikkaa pisteessä KANSSA 2 (kuvio 13).

Pisteiden jälkeen A 1 B 1 ja KANSSA 2 ovat samalla suoralla, sitten Menelaoksen lauseen a) mukaisesti

. (7)

Yhtälöiden (6) ja (7) vertailusta saamme
, josta seuraa, että yhtäläisyydet ovat totta

,
,
.

Viimeinen yhtäläisyys on totta vain jos
, eli jos pisteet KANSSA 1 ja KANSSA 2 ottelua.

Menelaoksen lauseen lause b) on todistettu. Riisi. 13

Väite a) todistaa kolmioiden samankaltaisuuden avulla

Todistuksen ideana on korvata yhtälön (6) janojen pituuksien suhteet rinnakkaisilla viivoilla sijaitsevien osien pituuksien suhteilla.

Anna pisteet A 1 , B 1 ja KANSSA 1 makaa samalla suoralla linjalla. Pisteistä A, B Ja C piirretään kohtisuorat AA 0 , BB 0 ja SS 0 tälle suoralle (kuva 14).

R
On. 14

Kolmen kolmioparin samankaltaisuudesta A.A. 0 B 1 Ja CC 0 B 1 , CC 0 A 1 Ja BB 0 A 1 , C 1 B 0 B Ja C 1 A 0 A(kahdessa kulmassa) meillä on oikeat yhtälöt

,
,
,

kertomalla ne, saamme:

.

Menelaoksen lauseen lause a) on todistettu.

Todiste väitteestä a) käyttämällä alueita

Todistuksen ideana on korvata yhtälön (7) janojen pituuksien suhde kolmioiden pinta-alojen suhteilla.

Anna pisteet A 1 , B 1 ja KANSSA 1 makaa samalla suoralla linjalla. Yhdistetään pisteet C Ja C 1 . Merkitään kolmioiden pinta-alat S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (kuvio 15).

Silloin tasa-arvo on totta

,
,
. (8)

Kerrotaan yhtälöt (8), saadaan:

Menelaoksen lauseen lause a) on todistettu.

R
On. 15

Aivan kuten Cevan lause pysyy voimassa, jos Ceviansin leikkauspiste on kolmion ulkopuolella, Menelaoksen lause pysyy voimassa, jos sekantti leikkaa vain kolmion sivujen jatkeet. Tässä tapauksessa voimme puhua kolmion sivujen leikkauspisteestä ulkoisissa pisteissä.

Todiste lausumasta a) ulkoisten kohtien tapauksessa

P sekantti leikkaa kolmion sivut ABC ulkopisteissä, eli leikkaa sivujen jatkeet AB,B.C. Ja A.C. kohdissa C 1 , A 1 ja B 1, ja nämä pisteet sijaitsevat samalla suoralla (kuva 16).

Suhteellisten segmenttien lauseen perusteella meillä on:

Ja .

Silloin tasa-arvo on totta

Menelaoksen lauseen lause a) on todistettu. Riisi. 16

Huomaa, että yllä oleva todistus osuu yhteen Menelaoksen lauseen todistuksen kanssa siinä tapauksessa, että sekantti leikkaa kolmion kaksi sivua sisäpisteissä ja yksi ulkopuolelta.

Menelaoksen lauseen lauseen b) todistus ulkoisten pisteiden tapauksessa on samanlainen kuin yllä annettu todistus.

Z toimeksianto11. Kolmiossa ABC pisteitä A 1 , SISÄÄN 1 makaa vastaavasti sivuilla Aurinko Ja AKANSSA. P- segmenttien leikkauspiste AA 1 Ja BB 1 .
,
. Etsi asenne
.

Ratkaisu. Merkitään
,
,
,
(Kuva 17). Menelaoksen kolmion lauseen mukaan B.C.SISÄÄN 1 ja sekantti PA 1 kirjoitamme oikean yhtälön:

,

mistä se seuraa

. Riisi. 17

Vastaus. .

Z toimeksianto12 (MSU, kirjeenvaihtoa valmistelevat kurssit). Kolmiossa ABC, jonka pinta-ala on 6, sivulla AB piste otettu TO, jakaa tämän puolen suhteessa
, ja sivulla AC-piste L, jakamalla AC suhteessa
. Piste P linjan risteyksiä SK Ja SISÄÄNL pois suoralta AB 1,5 etäisyydellä. Etsi sivun pituus AB.

Ratkaisu. Pisteistä R Ja KANSSA pudotetaan kohtisuorat PR Ja CM suoraan AB. Merkitään
,
,
,
(Kuva 18). Menelaoksen kolmion lauseen mukaan A.K.C. ja sekantti P.L. Kirjoitetaan oikea yhtälö:
, mistä sen saamme
,
. Riisi. 18

Kolmioiden samankaltaisuudesta TOM.C. Ja TOR.P.(kahdessa kulmassa) saamme sen
, josta se seuraa
.

Nyt kun tiedetään sivulle vedetyn korkeuden pituus AB kolmio ABC, ja tämän kolmion pinta-ala, laskemme sivun pituuden:
.

Vastaus. 4.

Z toimeksianto13. Kolme ympyrää keskipisteillä A,SISÄÄN,KANSSA, joiden säteet liittyvät kuin
, kosketa toisiaan ulkoisesti kohdista X, Y, Z kuten kuvassa 19. Segmentit KIRVES Ja BY leikkaavat pisteessä O. Missä suhteessa pisteestä laskettuna B, Jana CZ jakaa segmentin BY?

Ratkaisu. Merkitään
,
,
(Kuva 19). Koska
, sitten Cevan lauseen lauseen b) mukaan segmentit AX, BY Ja KANSSAZ leikkaa yhdessä pisteessä - piste O. Sitten segmentti CZ jakaa segmentin BY suhteessa
. Etsitään tämä suhde. Riisi. 19

Menelaoksen kolmion lauseen mukaan B.C.Y. ja sekantti HÄRKÄ meillä on:
, josta se seuraa
.

Vastaus. .

Tehtävä 14 (Unified State Exam 2016).

Pisteet SISÄÄN 1 ja KANSSA AC Ja AB kolmio ABC, ja AB 1:B 1 KANSSA =
= AC 1:KANSSA 1 B. Suoraan BB 1 Ja SS 1 leikkaavat pisteessä NOIN.

A ) Todista, että viiva JSC jakaa sivun kahtia Aurinko.

AB 1 O.C. 1 kolmion alueelle ABC, jos se tiedetään AB 1:B 1 KANSSA = 1:4.

Ratkaisu. a) Olkoon se suora A.O. ylittää sivun B.C. pisteessä A 1 (kuvio 20). Cevan lauseen mukaan meillä on:

. (9)

Koska AB 1:B 1 KANSSA = AC 1:KANSSA 1 B, niin tasa-arvosta (9) seuraa, että
, tuo on C.A. 1 = A 1 B, mikä oli todistettava. Riisi. 20

b) Olkoon kolmion pinta-ala AB 1 O yhtä kuin S. Koska AB 1:B 1 KANSSA C.B. 1 O on yhtä kuin 4 S, ja kolmion pinta-ala AOC vastaa 5 S. Sitten kolmion pinta-ala AOB on myös yhtä suuri kuin 5 S, koska kolmiot AOB Ja AOC on yhteinen sävel A.O., ja niiden kärjet B Ja C yhtä kaukana linjasta A.O.. Lisäksi kolmion pinta-ala AOC 1 on yhtä suuri S, koska AC 1:KANSSA 1 B = 1:4. Sitten kolmion pinta-ala ABB 1 on yhtä kuin 6 S. Koska AB 1:B 1 KANSSA= 1:4, sitten kolmion pinta-ala C.B. 1 O yhtä suuri kuin 24 S, ja kolmion pinta-ala ABC yhtä suuri kuin 30 S. Etsitään nyt nelikulmion pinta-alan suhde AB 1 O.C. 1 (2S) kolmion alueelle ABC (30S), se on yhtä suuri kuin 1:15.

Vastaus. 1:15.

Tehtävä 15 (Unified State Exam 2016).

Pisteet SISÄÄN 1 ja KANSSA 1 makaa sivuilla vastaavasti AC Ja AB kolmio ABC, ja AB 1:B 1 KANSSA =
= AC 1:KANSSA 1 B. Suoraan BB 1 Ja SS 1 leikkaavat pisteessä NOIN.

a) Todista, että suora JSC jakaa sivun kahtia Aurinko.

b) Laske nelikulmion pinta-alan suhde AB 1 O.C. 1 kolmion alueelle ABC, jos se tiedetään AB 1:B 1 KANSSA = 1:3.

Vastaus. 1:10.

Z tehtävä 16 (USE-2016). Segmentillä BD piste otettu KANSSA. Bisector B.L. ABC pohjan kanssa Aurinko BLD pohjan kanssa BD.

a) Todista, että kolmio DCL tasakylkinen.

b) Tiedetään, että cos
ABC DL eli kolmio BD piste otettu KANSSA. Bisector B.L. tasakylkinen kolmio ABC pohjan kanssa Aurinko on tasakylkisen kolmion sivusivu BLD pohjan kanssa BD.

a) Todista, että kolmio DCL tasakylkinen.

b) Tiedetään, että cos ABC= . Missä suhteessa suora on D.L. jakaa puolen AB?

Vastaus. 4:21.

Kirjallisuus

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Kolmion upeita pisteitä ja viivoja. M.: Matematiikka, 2006, nro 17.

2. Myakishev A.G. Kolmion geometrian elementit. (Sarja "Kirjasto "Matemaattinen koulutus"). M.: MTsNMO, 2002. - 32 s.

3. Geometria. Lisäluvut 8. luokan oppikirjaan: Oppikirja syvällisesti opiskeleville koulujen ja luokkien opiskelijoille / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ym. - M.: Vita-Press, 2005. - 208 s.

4. Erdniev P., Mantsaev N. Chevan ja Menelaoksen lauseet. M.: Kvant, 1990, nro 3, s. 56–59.

5. Sharygin I.F. Chevan ja Menelaoksen lauseet. M.: Kvant, 1976, nro 11, s. 22–30.

6. Vavilov V.V. Kolmion mediaanit ja keskiviivat. M.: Matematiikka, 2006, nro 1.

7. Efremov Dm. Uusi kolmion geometria. Odessa, 1902. - 334 s.

8. Matematiikka. 50 muunnelmaa tyypillisistä testitehtävistä / I.V. Jaštšenko, M.A. Volkevich, I.R. Vysotsky ja muut; muokannut I.V. Jaštšenko. - M.: Kustantaja "Exam", 2016. - 247 s.

CHEVAN JA MENELAUSEN LAUSEET

Cevan lause

Suurin osa merkittävistä kolmiopisteistä voidaan saada seuraavalla menetelmällä. Olkoon jokin sääntö, jonka mukaan voimme valita tietyn pisteen A 1 , kolmion ABC sivulla BC (tai sen jatkeella) (valitse esimerkiksi tämän sivun keskipiste). Sitten rakennamme samanlaiset pisteet B 1, C 1 kolmion kahdella muulla sivulla (esimerkissämme on vielä kaksi sivujen keskipistettä). Jos valintasääntö onnistuu, niin suora AA 1, BB 1, CC 1 leikkaa jossain pisteessä Z (sivujen keskipisteiden valinta tässä mielessä on tietysti onnistunut, koska kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä).

Haluaisin jonkin yleisen menetelmän, jonka avulla voidaan määrittää kolmion sivuilla olevien pisteiden sijainnista, leikkaako vastaava kolmio yhdessä pisteessä vai ei.

Italialainen insinööri löysi vuonna 1678 universaalin tilanteen, joka "sulki" tämän ongelmanGiovanni Cheva .

Määritelmä. Segmenttejä, jotka yhdistävät kolmion kärjet vastakkaisilla puolilla oleviin pisteisiin (tai niiden jatkeisiin), kutsutaan cevianeiksi, jos ne leikkaavat yhdessä pisteessä.

Ceviansille on kaksi mahdollista sijaintia. Yhdessä versiossa pointti

leikkauspisteet ovat sisäisiä, ja cevianin päät sijaitsevat kolmion sivuilla. Toisessa vaihtoehdossa leikkauspiste on ulkoinen, yhden cevianin pää on sivulla ja kahden muun cevianin päät ovat sivujen jatkeilla (katso piirustukset).

Lause 3. (Cevan suora lause) Mielivaltaisessa kolmiossa ABC otetaan pisteet A sivuilta BC, CA, AB tai niiden jatkeilta. 1 , SISÄÄN 1 , KANSSA 1 , niin että suora AA 1 , BB 1 , SS 1 leikkaavat sitten jossain yhteisessä pisteessä

.

Todiste: Vaikka Cevan lauseelle tunnetaan useita alkuperäisiä todisteita, harkitsemme todistusta, joka perustuu Menelaoksen lauseen kaksoissovellukseen. Kirjoitetaan ensimmäistä kertaa ylös Menelaoksen lauseen relaatio kolmiolleABB 1 ja sekantti CC 1 (merkitsimme cevianin leikkauspistettäZ):

,

ja toisen kerran kolmiolleB 1 B.C. ja sekantti A.A. 1 :

.

Kerromalla nämä kaksi suhdetta ja tekemällä tarvittavat vähennykset, saadaan lauseen lauseessa oleva suhde.

Lause 4. (Cevan käänteislause) . Jos niille, jotka on valittu kolmion sivuilta ABC tai niiden pisteiden laajennukset A 1 , SISÄÄN 1 Ja C 1 Chevan kunto on täytetty:

,

sitten suoraan A.A. 1 , BB 1 Ja CC 1 leikkaavat yhdessä pisteessä .

Tämän lauseen todistus suoritetaan ristiriidalla, aivan kuten Menelaoksen lauseen todistus.

Tarkastellaan esimerkkejä Cevan suorien ja käänteisten lauseiden soveltamisesta.

Esimerkki 3. Todista, että kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä.

Ratkaisu. Harkitse suhdetta

kolmion huipuille ja sen sivujen keskipisteille. On selvää, että jokaisessa murtoluvussa osoittajalla ja nimittäjällä on samat segmentit, joten kaikki nämä murtoluvut ovat yhtä suuria kuin yksi. Näin ollen Chevan relaatio täyttyy, joten käänteisen lauseen mukaan mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä.

Lause (Cevan lause) . Anna pisteet makaa sivuilla ja kolmio vastaavasti. Anna segmentit Ja leikkaavat yhdessä pisteessä. Sitten

(kierrämme kolmion ympäri myötäpäivään).

Todiste. Merkitään segmenttien leikkauspiste Ja . Jätetään kohdat pois Ja kohtisuorat suoraa vastaanennen kuin leikkaat sen pisteissä Ja vastaavasti (katso kuva).

Koska kolmiot Ja on yhteinen puoli, silloin niiden pinta-alat liittyvät tälle puolelle piirrettyihin korkeuksiin, ts. Ja:

Viimeinen yhtälö on totta, koska suorakulmaiset kolmiot Ja samanlainen terävässä kulmassa.

Samoin saamme

Ja

Kerrotaan nämä kolme yhtälöä:

Q.E.D.

Tietoja mediaaneista:

1. Aseta yksikkömassat kolmion ABC kärkeen.
2. Pisteiden A ja B massakeskipiste on AB:n keskellä. Koko järjestelmän massakeskuksen tulee olla sivun AB mediaanilla, koska kolmion ABC massakeskipiste on pisteiden A ja B sekä pisteen C massakeskipisteen massakeskus.
(se meni hämmentäväksi)
3. Samoin - CM:n on sijaittava mediaanilla sivuilla AC ja BC
4. Koska CM on yksi piste, kaikkien näiden kolmen mediaanin on leikattava siinä.

Muuten, siitä seuraa välittömästi, että risteyksessä ne jaetaan suhteessa 2:1. Koska pisteiden A ja B massakeskipisteen massa on 2 ja pisteen C massa on 1, yhteinen massakeskus jakaa suhdelauseen mukaan mediaanin suhteessa 2/1 .

Kiitos paljon, se on esitetty helposti saavutetulla tavalla, mielestäni ei olisi väärin esittää todistusta massageometrian menetelmillä, esim.
Suorat AA1 ja CC1 leikkaavat pisteessä O; AC1: C1B = p ja BA1: A1C = q. Meidän on todistettava, että viiva BB1 kulkee pisteen O läpi, jos ja vain jos CB1: B1A = 1: pq.
Sijoitetaan massat 1, p ja pq pisteisiin A, B ja C. Tällöin piste C1 on pisteiden A ja B massakeskus ja piste A1 on pisteiden B ja C massakeskus. Siksi pisteiden A, B ja C massakeskipiste näiden massojen kanssa on pisteen O leikkauspiste O. linjat CC1 ja AA1. Toisaalta piste O sijaitsee segmentillä, joka yhdistää pisteen B pisteiden A ja C massakeskuksiin. Jos B1 on pisteiden A ja C massakeskipiste, joiden massat ovat 1 ja pq, niin AB1: B1C = pq: 1. On vielä huomattava, että segmentillä AC on yksi piste, joka jakaa sen annetussa suhteessa AB1:B1C.

2. Cevan lause

Janaa, joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen, kutsutaanceviana . Jos siis kolmiossaABC X , Y ja Z - sivuilla makaavat pisteetB.C. , C.A. , AB vastaavasti sitten segmentitKIRVES , BY , CZ ovat Chevianeja. Termi tulee italialaiselta matemaatikolta Giovanni Cevalta, joka julkaisi vuonna 1678 seuraavan erittäin hyödyllisen lauseen:

Lause 1.21. Jos kolme kolmion ABC ceviaania AX, BY, CZ (yksi kustakin kärjestä) ovat kilpailevia, niin

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Riisi. 3.

Kun sanomme, että kolme riviä (tai segmenttiä)kilpailukykyinen , tarkoitamme, että ne kaikki kulkevat yhden pisteen läpi, jota merkitsemmeP . Todistaaksesi Cevan lauseen, muista, että samankorkuisten kolmioiden pinta-alat ovat verrannollisia kolmioiden kantaan. Viitaten kuvaan 3, meillä on:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.

Samoin

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Nyt jos kerromme ne, saamme

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Tämän lauseen käänteinen on myös totta:

Lause 1.22. Jos kolme ceviania AX, BY, CZ tyydyttää suhteen

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

silloin ne ovat kilpailukykyisiä .

Tämän osoittamiseksi oletetaan, että kaksi ensimmäistä ceviaaa leikkaavat pisteenP , kuten ennen, ja kolmas cevian, joka kulkee pisteen läpiP , tuleeCZ′ . Sitten Lauseen 1.21 mukaan

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z′B|=1 .

Mutta olettaen

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Siten,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z′B| ,

pisteZ′ osuu yhteen asian kanssaZ , ja todistimme, että segmentitKIRVES , BY JaCZ kilpailukykyinen (, s. 54 ja , s. 48, 317).

Matematiikka - 10. luokka Mendel Viktor Vasilievich, Kaukoidän osavaltion yliopiston luonnontieteiden, matematiikan ja tietotekniikan tiedekunnan dekaani CHEVAN LAUSE JA MENELAYN LAUSE Erikoissijainti planimetriassa on kahdella merkittävällä lauseella: Cevan lause ja Menelauksen lause. Nämä lauseet eivät sisälly lukion geometrian perusopetussuunnitelmaan, mutta niiden opiskelua (ja soveltamista) suositellaan kaikille, jotka ovat kiinnostuneita matematiikasta hieman enemmän kuin koulun opetussuunnitelman puitteissa on mahdollista. Miksi nämä lauseet ovat mielenkiintoisia? Ensinnäkin huomaamme, että geometrisia tehtäviä ratkaistaessa yhdistetään tuottavasti kaksi lähestymistapaa: - toinen perustuu perusrakenteen määritelmään (esimerkiksi: kolmio - ympyrä; kolmio - sekanttiviiva; kolmio - kolme suoraa kulkee sen kärkien läpi ja leikkaa yhdessä pisteessä; nelikulmio, jossa on kaksi yhdensuuntaista sivua jne.) - ja toinen on tukiongelmien menetelmä (yksinkertaiset geometriset ongelmat, joihin monimutkaisen ongelman ratkaisuprosessi rajoittuu). Menelaoksen ja Chevan lauseet ovat siis yleisimmin kohdattuja rakenteita: ensimmäinen käsittelee kolmiota, jonka sivut tai sivujen jatkeet leikkaa jokin suora (sekantti), toinen käsittelee kolmiota ja kolmea kulkevaa suoraa. kärkien läpi leikkaaen yhdessä pisteessä. Menelaoksen teoreema Tämä lause esittää segmenttien havaittavat (yhdessä käänteissuhteet), kuvion, joka yhdistää kolmion kärjet ja sekantin leikkauspisteet kolmion sivujen (sivujen jatkeiden) kanssa. Piirustuksissa näkyy kaksi mahdollista kolmion ja sekantin sijainnin tapausta. Ensimmäisessä tapauksessa sekantti leikkaa kolmion kaksi sivua ja kolmannen jatkeen, toisessa - kolmion kaikkien kolmen sivun jatko. Lause 1. (Menelaus) Leikkaa ABC:n suora, joka ei ole yhdensuuntainen sivun AB kanssa ja leikkaa sen kaksi sivua AC ja BC pisteissä B1 ja A1 sekä suoran AB pisteessä C1, sitten AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Lause 2. (käänteinen Menelaoksen lauseeseen) Olkoon kolmion ABC pisteet A1, B1, C1 suorille BC, AC, AB, vastaavasti, niin jos AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A, sitten pisteet A1, B1, C1 ovat yhdellä suoralla. Ensimmäisen lauseen todistus voidaan suorittaa seuraavasti: kohtisuorat kolmion kaikista pisteistä lasketaan sekanttiviivalle. Tuloksena on kolme paria samanlaisia ​​suorakulmioita. Lauseen muotoilussa esiintyvien segmenttien suhteet korvataan niitä samankaltaisesti vastaavien kohtisuorien suhteilla. Osoittautuu, että jokainen kohtisuora segmentti murtoluvuissa on läsnä kahdesti: kerran osoittajassa yhdessä murto-osassa, toisen kerran toisessa murto-osassa nimittäjässä. Siten kaikkien näiden suhteiden tulo on yhtä suuri kuin yksi. Käänteinen lause voidaan todistaa ristiriidalla. Oletetaan, että jos Lauseen 2 ehdot täyttyvät, pisteet A1, B1, C1 eivät ole samalla suoralla. Sitten suora A1B1 leikkaa sivun AB pisteessä C2, joka on eri kuin piste C1. Tässä tapauksessa Lauseen 1 mukaisesti pisteisiin A1, B1, C2 pätee sama suhde kuin pisteisiin A1, B1, C1. Tästä seuraa, että pisteet C1 ja C2 jakavat janan AB samoissa suhteissa. Sitten nämä kohdat osuvat yhteen - saamme ristiriidan. Katsotaanpa esimerkkejä Menelaoksen lauseen soveltamisesta. Esimerkki 1. Todista, että kolmion mediaanit leikkauspisteessä jaetaan suhteessa 2:1 kärjestä alkaen. Ratkaisu. Kirjataan ylös lauseessa saatu relaatio Menelaus kolmiolle ABMb ja suoralle McM(C): AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Ensimmäinen murtoluku tässä tulossa on ilmeisesti yhtä suuri 1:een ja kolmannen sekunnin suhde on yhtä suuri kuin 1. Siksi 2 2:1, mikä oli todistettava. Esimerkki 2. Sekantti leikkaa kolmion ABC sivun AC jatkeen pisteessä B1 siten, että piste C on janan AB1 keskipiste. Tämä sekantti jakaa puolen AB kahtia. Missä suhteessa se jakaa puolen BC? Ratkaisu. Kirjoitetaan kolmiolle ja sekantille kolmen suhteen tulo Menelaoksen lauseesta: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Tehtävän ehdoista seuraa, että ensimmäinen suhde on yhtä suuri kuin yksi, ja kolmas on 1, 2, joten toinen suhde on yhtä suuri kuin 2, eli sekantti jakaa puolen BC suhteessa 2:1. Näemme seuraavan esimerkin Menelaoksen lauseen soveltamisesta, kun tarkastelemme Cevan lauseen todistetta. Cevan lause Suurin osa kolmion merkittävistä pisteistä voidaan saada seuraavalla menetelmällä. Olkoon joku sääntö, jonka mukaan voidaan valita tietty piste A1 kolmion ABC sivulta BC (tai sen jatke) (valitse esimerkiksi tämän sivun keskipiste). Sitten rakennamme samanlaiset pisteet B1, C1 kolmion kahdelle muulle sivulle (esimerkissämme vielä kaksi sivujen keskipistettä). Jos valintasääntö onnistuu, suorat AA1, BB1, CC1 leikkaavat jossain pisteessä Z (sivujen keskipisteiden valinta tässä mielessä tietysti onnistuu, koska kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä ). Haluaisin jonkin yleisen menetelmän, jonka avulla voidaan määrittää kolmion sivuilla olevien pisteiden sijainnista, leikkaako vastaava kolmio yhdessä pisteessä vai ei. Italian insinööri Giovanni Ceva löysi vuonna 1678 tämän ongelman "sulkevan" yleistilan. Määritelmä. Segmenttejä, jotka yhdistävät kolmion kärjet vastakkaisilla puolilla oleviin pisteisiin (tai niiden jatkeisiin), kutsutaan cevianeiksi, jos ne leikkaavat yhdessä pisteessä. Ceviansille on kaksi mahdollista sijaintia. Yhdessä muunnelmassa leikkauspiste on sisäinen ja cevianin päät sijaitsevat kolmion sivuilla. Toisessa vaihtoehdossa leikkauspiste on ulkoinen, yhden cevianin pää on sivulla ja kahden muun cevianin päät ovat sivujen jatkeilla (katso piirustukset). Lause 3. (Chevan suora lause) Mielivaltaisessa kolmiossa ABC, sivuilla BC, CA, AB tai niiden jatkeilla otetaan pisteet A1, B1, C1 vastaavasti siten, että suorat AA1, BB1, CC1 leikkaavat jonkin yhteisen piste, sitten BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Todistus: Cevan lauseelle on olemassa useita alkuperäisiä todisteita, tarkastelemme todistusta, joka perustuu Menelaoksen lauseen kaksoissovellukseen. Kirjoitetaan Menelaoksen lauseen relaatio ensimmäistä kertaa kolmiolle ABB1 ja sekantille CC1 (merkitsimme Ceviansin leikkauspisteen Z:ksi): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA ja toisen kerran kolmio B1BC ja sekantti AA1: B1Z BA1 ​​​​CA    1. ZB A1C AB1 Kerromalla nämä kaksi suhdetta ja tekemällä tarvittavat vähennykset, saadaan lauseen lauseessa oleva suhde. Lause 4. (Cevan käänteislause). Jos kolmion ABC sivuilta tai niiden jatkeilta valituille pisteille A1, B1 ja C1 Chevan ehto täyttyy: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1, niin suorat AA1, BB1 ja CC1 leikkaavat yhdessä pisteessä. Tämän lauseen todistus suoritetaan ristiriidalla, aivan kuten Menelaoksen lauseen todistus. Tarkastellaan esimerkkejä Cevan suorien ja käänteisten lauseiden soveltamisesta. Esimerkki 3. Todista, että kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä. Ratkaisu. Tarkastellaan suhdetta AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A kolmion huipuille ja sen sivujen keskipisteille. On selvää, että jokaisessa murtoluvussa osoittajalla ja nimittäjällä on samat segmentit, joten kaikki nämä murtoluvut ovat yhtä suuria kuin yksi. Näin ollen Chevan relaatio täyttyy, joten käänteisen lauseen mukaan mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä. Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun Tässä ehdotetut tehtävät ovat koetyö nro 1 9. luokan oppilaille. Ratkaise nämä tehtävät, kirjoita ratkaisut erilliseen muistikirjaan (fysiikasta ja tietojenkäsittelytieteestä). Ilmoita seuraavat tiedot itsestäsi kannessa: 1. Sukunimi, etunimi, luokka, luokkaprofiili (esim. Vasily Pupkin, 9. luokka, matematiikka) 2. Postinumero, asuinosoite, sähköpostiosoite (jos on), puhelin ( kotiin tai matkapuhelimeen) 3. Tietoja koulusta (esim.: MBOU nro 1, Bikinin kylä) 4. Matematiikan opettajan sukunimi, koko nimi (esimerkiksi: matematiikan opettaja Petrova M.I.) On suositeltavaa ratkaista vähintään neljä tehtävää. M 9.1.1. Voiko Menelaoksen lauseen sekanttiviiva leikata kolmion sivut (tai niiden jatkeet) pituisiksi segmenteiksi: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Jos tällaiset vaihtoehdot ovat mahdollisia, anna esimerkkejä. Segmentit voivat mennä eri järjestyksessä. M 9.1.2. Voivatko kolmion sisäpuoliset ceviaanit jakaa sen sivut osiin: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Jos tällaiset vaihtoehdot ovat mahdollisia, anna esimerkkejä. Segmentit voivat mennä eri järjestyksessä. Vihje: kun keksit esimerkkejä, älä unohda tarkistaa, että kolmio ei ole identtinen. M 9.1.3. Todista Cevan käänteislauseen avulla, että: a) kolmion puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä; b) janat, jotka yhdistävät kolmion kärjet vastakkaisten sivujen pisteisiin, joissa nämä sivut koskettavat piirrettyä ympyrää, leikkaavat yhdessä pisteessä. Suunnat: a) muista missä suhteessa puolittaja jakaa vastakkaisen puolen; b) käytä ominaisuutta, että yhdestä pisteestä tiettyyn ympyrään vedetyn kahden tangentin segmentit ovat yhtä suuret. M 9.1.4. Täydennä artikkelin ensimmäisessä osassa aloitettu Menelaoksen lauseen todistus. M 9.1.5. Todista, että kolmion korkeudet leikkaavat yhdessä pisteessä käyttämällä Cevan käänteislausetta. M 9.1.6. Todista Simpsonin lause: kolmion ABC ympärille piirretyn ympyrän mielivaltaisesta pisteestä M pudotetaan kohtisuorat kolmion sivuille tai sivujen jatkeille, todista, että näiden kohtisuorien kantat ovat samalla suoralla. Vihje: Käytä Menelaoksen lauseen käänteistä. Yritä ilmaista suhteissa käytettyjen janojen pituudet niiden pisteestä M piirrettyjen kohtisuorien pituuksina. On myös hyödyllistä muistaa sisäänkirjoitetun nelikulmion kulmien ominaisuudet.