Niiden kanssa ovat logaritmien sisällä.
Esimerkkejä:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
Kuinka ratkaista logaritminen epäyhtälö:
Meidän tulisi pyrkiä pienentämään mahdollinen logaritminen epäyhtälö muotoon \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (symboli \(˅\) tarkoittaa mitä tahansa seuraavista). Tämän tyypin avulla voit päästä eroon logaritmeista ja niiden kannoista siirtymällä logaritmien alla olevien lausekkeiden epäyhtälöön, eli muotoon \(f(x) ˅ g(x)\).
Mutta tätä siirtoa tehtäessä on yksi erittäin tärkeä hienovaraisuus:
\(-\) jos on luku ja se on suurempi kuin 1, epäyhtälömerkki pysyy samana siirtymän aikana,
\(-\) jos kanta on luku, joka on suurempi kuin 0, mutta pienempi kuin 1 (sijaitsee nollan ja yhden välillä), epäyhtälömerkin tulee muuttua päinvastaiseksi, ts.
|
\(\log_2((8-x))<1\) Ratkaisu: |
\(\log\)\(_(0,5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) \(((x+ 1))\) Ratkaisu: |
Hyvin tärkeä! Missä tahansa epäyhtälössä siirtyminen muodosta \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) logaritmien lausekkeiden vertailuun voidaan tehdä vain, jos:
Esimerkki . Ratkaise epäyhtälö: \(\log\)\(≤-1\)
Ratkaisu:
|
\(\Hirsi\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Kirjoitetaan ODZ. |
|
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Avaamme kiinnikkeet ja tuomme . |
|
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Kerrotaan epäyhtälö \(-1\) unohtamatta kääntää vertailumerkkiä. |
|
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Muodostetaan lukuviiva ja merkitään siihen pisteet \(\frac(7)(3)\) ja \(\frac(3)(2)\). Huomaa, että piste poistetaan nimittäjästä huolimatta siitä, että epäyhtälö ei ole tiukka. Tosiasia on, että tämä piste ei ole ratkaisu, koska kun se korvataan epätasa-arvolla, se johtaa meidät jakoon nollalla. |
|
|
Nyt piirrämme ODZ:n samalle numeeriselle akselille ja kirjoitamme vastauksena ODZ:hen osuvan intervallin. |
|
|
Kirjoitamme lopullisen vastauksen muistiin. |
Esimerkki . Ratkaise epäyhtälö: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Ratkaisu:
|
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Kirjoitetaan ODZ. |
|
ODZ: \(x>0\) |
Mennään ratkaisuun. |
|
Ratkaisu: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Tässä on tyypillinen neliölogaritminen epäyhtälö. Tehdään se. |
|
\(t=\log_3x\) |
Laajennamme epäyhtälön vasenta puolta osaksi . |
|
\(D=1+8=9\) |
|
|
Nyt meidän on palattava alkuperäiseen muuttujaan - x. Tätä varten siirrytään kohtaan , jolla on sama ratkaisu, ja tehdään käänteinen korvaus. |
|
|
\(\left[ \begin(kerätty) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2\\\log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Muunna \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
|
\(\left[ \begin(koottu) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Siirrytään argumenttien vertailuun. Logaritmien kantaluvut ovat suurempia kuin \(1\), joten epäyhtälöiden etumerkki ei muutu. |
|
\(\left[ \begin(koottu) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Yhdistetään epäyhtälön ratkaisu ja ODZ yhteen kuvioon. |
|
|
Kirjoitetaan vastaus ylös. |
Ratkaistaessamme logaritmisia epäyhtälöitä, käytämme logaritmisen funktion monotonisuusominaisuutta. Käytämme myös logaritmin määritelmää ja logaritmisen peruskaavoja.
Katsotaanpa, mitä logaritmit ovat:
Logaritmi positiivinen luku kantaan on indikaattori tehosta, johon se on nostettava saadakseen .
Jossa
Logaritmisen perusidentiteetti:
Logaritmien peruskaavat:
(Tulostuksen logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien summa)
(Osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien erotus)
(asteen logaritmin kaava)
Kaava muuttaa uuteen tukikohtaan:
Algoritmi logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi
Voidaan sanoa, että logaritmiset epäyhtälöt ratkaistaan tietyllä algoritmilla. Meidän on kirjoitettava eriarvoisuuden hyväksyttävien arvojen (APV) alue. Pienennä epäyhtälö muotoon Merkki voi olla mikä tahansa: On tärkeää, että epäyhtälössä vasemmalla ja oikealla on logaritmit samaan kantaan.
Ja sen jälkeen "hylkäämme" logaritmit! Lisäksi, jos kanta on aste, epäyhtälömerkki pysyy samana. Jos kanta on sellainen, että eriarvoisuuden merkki muuttuu päinvastaiseksi.
Tietenkään emme vain "heitä pois" logaritmeja. Käytämme logaritmisen funktion monotonisuusominaisuutta. Jos logaritmin kanta on suurempi kuin yksi, logaritminen funktio kasvaa monotonisesti, ja sitten suurempi x:n arvo vastaa suurempaa lausekkeen arvoa.
Jos kanta on suurempi kuin nolla ja pienempi kuin yksi, logaritminen funktio pienenee monotonisesti. Argumentin x suurempi arvo vastaa pienempää arvoa
Tärkeä huomautus: ratkaisu on parasta kirjoittaa vastaavien siirtymien ketjun muodossa.
Jatketaan harjoittelua. Kuten aina, aloitetaan yksinkertaisimmista epätasa-arvoista.
1. Tarkastellaan epäyhtälöä log 3 x > log 3 5.
Koska logaritmit määritetään vain positiivisille luvuille, x:n on oltava positiivinen. Ehtoa x > 0 kutsutaan tämän epäyhtälön sallittujen arvojen alueeksi (APV). Vain sellaiselle x:lle epäyhtälö on järkevä.
No, tämä muotoilu kuulostaa hurjalta ja on helppo muistaa. Mutta miksi voimme silti tehdä tämän?
Olemme ihmisiä, meillä on älykkyyttä. Mielemme on suunniteltu siten, että kaikki mikä on loogista, ymmärrettävää ja jolla on sisäinen rakenne, muistetaan ja sovelletaan paljon paremmin kuin satunnaiset ja toisiinsa liittymättömät tosiasiat. Siksi on tärkeää, ettei sääntöjä mekaanisesti opetella ulkoa kuin koulutettu matemaattinen koira, vaan toimia tietoisesti.
Miksi siis edelleen "pudotamme logaritmeja"?
Vastaus on yksinkertainen: jos kanta on suurempi kuin yksi (kuten meidän tapauksessamme), logaritminen funktio kasvaa monotonisesti, mikä tarkoittaa, että suurempi x:n arvo vastaa suurempaa y:n arvoa ja epäyhtälöstä log 3 x 1 > log 3 x 2 seuraa, että x 1 > x 2. 
Huomaa, että olemme siirtyneet algebralliseen epäyhtälöön, ja epäyhtälömerkki pysyy samana.
Joten x > 5.
Myös seuraava logaritminen epäyhtälö on yksinkertainen.
2. tukki 5 (15 + 3x) > log 5 2x
Aloitetaan hyväksyttävien arvojen alueelta. Logaritmit määritellään vain positiivisille luvuille, joten
Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme: x > 0.
Siirrytään nyt logaritmisesta epäyhtälöstä algebralliseen - "hylkää" logaritmit. Koska logaritmin kanta on suurempi kuin yksi, epäyhtälömerkki pysyy samana.
15 + 3x > 2x.
Saamme: x > −15.
Vastaus: x > 0.
Mutta mitä tapahtuu, jos logaritmin kanta on pienempi kuin yksi? On helppo arvata, että tässä tapauksessa algebralliseen epäyhtälöön siirryttäessä epäyhtälön etumerkki muuttuu.
Otetaan esimerkki.
Kirjoita ODZ muistiin. Lausekkeiden, joista logaritmit otetaan, on oltava positiivisia, eli
Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme: x > 4.5.
Koska , logaritminen funktio, jolla on kanta, pienenee monotonisesti. Tämä tarkoittaa, että suurempi funktion arvo vastaa pienempää argumentin arvoa: 
Ja jos sitten
2x − 9 ≤ x.
Saamme, että x ≤ 9.
Ottaen huomioon, että x > 4,5, kirjoitamme vastauksen:
Seuraavassa tehtävässä eksponentiaalinen epäyhtälö pelkistetään neliöllisiksi epäyhtälöiksi. Joten suosittelemme toistamaan aiheen "neliöllinen epätasa-arvo".
Nyt monimutkaisempiin epätasa-arvoihin:
4. Ratkaise epäyhtälö
5. Ratkaise epäyhtälö
Jos sitten. Olimme onnekkaita! Tiedämme, että logaritmin kanta on suurempi kuin yksi kaikille ODZ:n sisältämille x:n arvoille.
Tehdään vaihto
Huomaa, että ratkaisemme ensin epäyhtälön kokonaan uuden muuttujan t suhteen. Ja vasta sen jälkeen palaamme muuttujaan x. Muista tämä ja älä tee virheitä kokeessa!
Muistakaamme sääntö: jos yhtälö tai epäyhtälö sisältää juuria, murtolukuja tai logaritmeja, ratkaisun on aloitettava hyväksyttävien arvojen alueelta. Koska logaritmin kantapään on oltava positiivinen eikä yhtä suuri kuin yksi, saamme ehtojärjestelmän:
Yksinkertaistetaan tätä järjestelmää:
Tämä on eriarvoisuuden hyväksyttävien arvojen alue.
Näemme, että muuttuja sisältyy logaritmin kantaan. Jatketaan pysyvään tukikohtaan. Muistutetaan tästä
Tässä tapauksessa on kätevää mennä tukikohtaan 4.
Tehdään vaihto
Yksinkertaistetaan epäyhtälö ja ratkaistaan se intervallimenetelmällä:
Palataan muuttujaan x:
Olemme lisänneet ehdon x> 0 (ODZ:sta).
7. Myös seuraava ongelma voidaan ratkaista intervallimenetelmällä
Kuten aina, aloitamme logaritmisen epäyhtälön ratkaisemisen hyväksyttävien arvojen alueelta. Tässä tapauksessa
Tämä ehto on täytettävä, ja palaamme siihen. Katsotaan nyt itse epätasa-arvoa. Kirjoitetaan vasen puoli logaritmina kantaan 3:
Oikea puoli voidaan myös kirjoittaa logaritmina kantaan 3 ja siirtyä sitten algebralliseen epäyhtälöön:
Näemme, että ehto (eli ODZ) täyttyy nyt automaattisesti. No, tämä helpottaa eriarvoisuuden ratkaisemista.
Ratkaisemme epäyhtälön intervallimenetelmällä:
Vastaus:
Tapahtui? No, nostetaan vaikeustasoa:
8. Ratkaise epäyhtälö:
Epätasa-arvo vastaa järjestelmää:
9. Ratkaise epäyhtälö:
Lauseke 5 - x 2 toistetaan pakollisesti ongelmalauseessa. Tämä tarkoittaa, että voit tehdä korvaavan:
Koska eksponentiaalinen funktio saa vain positiivisia arvoja, t> 0. Sitten
Epätasa-arvo tulee muotoon:
Jo paremmin. Etsitään eriarvoisuuden hyväksyttävien arvojen alue. Olemme jo sanoneet sen t> 0. Lisäksi ( t− 3) (5 9 · t − 1) > 0
Jos tämä ehto täyttyy, osamäärä on positiivinen.
Ja epäyhtälön oikealla puolella olevan logaritmin alla olevan lausekkeen on oltava positiivinen, eli (625 t − 2) 2 .
Tämä tarkoittaa, että 625 t− 2 ≠ 0, eli
Kirjoita ODZ huolellisesti muistiin
ja ratkaise tuloksena oleva järjestelmä intervallimenetelmällä.
Niin,
No, puoli taistelusta on tehty - selvitimme ODZ:n. Ratkaisemme itse eriarvoisuuden. Esitetään vasemmalla puolella olevien logaritmien summa tulon logaritmina.
eriarvoisuuden ratkaisu tilassa verkossa ratkaisu melkein mikä tahansa epätasa-arvo verkossa. Matemaattinen eriarvoisuutta verkossa matematiikan ratkaisemiseen. Etsi nopeasti eriarvoisuuden ratkaisu tilassa verkossa. Sivusto www.site antaa sinun löytää ratkaisu melkein mikä tahansa annettu algebrallinen, trigonometrinen tai transsendenttinen eriarvoisuus verkossa. Kun opiskelet melkein mitä tahansa matematiikan alaa eri vaiheissa, sinun on päätettävä eriarvoisuutta verkossa. Saadaksesi vastauksen välittömästi ja mikä tärkeintä tarkan vastauksen, tarvitset resurssin, jonka avulla voit tehdä tämän. Kiitos sivustolle www.site ratkaise eriarvoisuutta verkossa kestää muutaman minuutin. Suurin etu www.site ratkottaessa matemaattisia eriarvoisuutta verkossa- tämä on annetun vastauksen nopeus ja tarkkuus. Sivusto pystyy ratkaisemaan minkä tahansa algebralliset epäyhtälöt verkossa, trigonometriset epäyhtälöt verkossa, transsendenttinen eriarvoisuus verkossa, ja epätasa-arvoa tuntemattomilla parametreilla tilassa verkossa. Epätasa-arvo toimivat tehokkaana matemaattisena laitteistona ratkaisuja käytännön ongelmia. Avulla matemaattiset epäyhtälöt on mahdollista ilmaista tosiasioita ja suhteita, jotka saattavat ensi silmäyksellä tuntua hämmentävältä ja monimutkaiselta. Tuntemattomat määrät epätasa-arvoa löytyy muotoilemalla ongelma matemaattinen kieli muodossa epätasa-arvoa Ja päättää vastaanotettu tehtävä tilassa verkossa verkkosivuilla www.site. Minkä tahansa algebrallinen epäyhtälö, trigonometrinen epäyhtälö tai epätasa-arvoa sisältävät transsendenttinen ominaisuuksia, joita voit helposti käyttää päättää verkossa ja saat tarkan vastauksen. Luonnontieteitä opiskellessa kohtaat väistämättä tarpeen ratkaisuja eriarvoisuuteen. Tässä tapauksessa vastauksen on oltava tarkka ja se tulee saada välittömästi tilassa verkossa. Siksi varten ratkaista matemaattisia epäyhtälöitä verkossa suosittelemme sivustoa www.site, josta tulee korvaamaton laskin algebrallisten epäyhtälöiden ratkaiseminen verkossa, trigonometriset epäyhtälöt verkossa, ja transsendenttinen eriarvoisuus verkossa tai epätasa-arvoa tuntemattomilla parametreilla. Käytännön ongelmiin löytää online-ratkaisuja erilaisiin matemaattiset epäyhtälöt resurssi www.. Ratkaisu eriarvoisuutta verkossa itse, on hyödyllistä tarkistaa vastaanotettu vastaus käyttämällä online-ratkaisu epätasa-arvoon verkkosivuilla www.site. Sinun täytyy kirjoittaa epäyhtälö oikein ja saada se välittömästi online-ratkaisu, jonka jälkeen ei jää muuta kuin verrata vastausta ratkaisuasi eriarvoisuuteen. Vastauksen tarkistaminen kestää enintään minuutin, se riittää ratkaise eriarvoisuutta verkossa ja vertailla vastauksia. Tämä auttaa sinua välttämään virheitä päätös ja korjaa vastaus ajoissa eriarvoisuuksien ratkaiseminen verkossa jompikumpi algebrallinen, trigonometrinen, transsendenttinen tai eriarvoisuutta tuntemattomilla parametreilla.
Logaritmista funktiota tutkiessamme huomioimme pääasiassa muodon epäyhtälöitä
kirjaa x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Ratkaise epäyhtälölogi (x + 1) ≤ 2 (1).
Ratkaisu.
1) Tarkasteltavana olevan epäyhtälön oikea puoli on järkevä kaikille x:n arvoille ja vasen puoli on järkevä x + 1 > 0, ts. x > -1.
2) Väliä x > -1 kutsutaan epäyhtälön (1) määritelmäalueeksi. Logaritminen funktio, jonka kanta on 10, kasvaa, joten jos x + 1 > 0, epäyhtälö (1) täyttyy, jos x + 1 ≤ 100 (koska 2 = log 100). Siten epätasa-arvo (1) ja eriarvoisuusjärjestelmä
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
ovat ekvivalentteja, toisin sanoen eriarvoisuuden (1) ratkaisujoukko ja eriarvoisuusjärjestelmä (2) ovat samat.
3) Ratkaisujärjestelmä (2), löydämme -1< х ≤ 99.
Vastaus. -1< х ≤ 99.
Ratkaise epäyhtälö log 2 (x – 3) + log 2 (x – 2) ≤ 1 (3).
Ratkaisu.
1) Tarkasteltavana olevan logaritmisen funktion määritelmäalue on argumentin positiivisten arvojen joukko, joten epäyhtälön vasen puoli on järkevä arvoille x – 3 > 0 ja x – 2 > 0.
Näin ollen tämän epäyhtälön määritelmäalue on väli x > 3.
2) Logaritmin ominaisuuksien mukaan epäyhtälö (3) x > 3:lle vastaa epäyhtälöä log 2 (x – 3)(x – 2) ≤ log 2 (4).
3) Logaritminen funktio kantaluvulla 2 kasvaa. Siksi, kun x > 3, epäyhtälö (4) täyttyy, jos (x – 3)(x – 2) ≤ 2.
4) Alkuperäinen epäyhtälö (3) on siis yhtä suuri kuin epäyhtälöjärjestelmä
((x – 3)(x – 2) ≤ 2,
(x > 3.
Ratkaisemalla tämän järjestelmän ensimmäinen epäyhtälö, saadaan x 2 – 5x + 4 ≤ 0, josta 1 ≤ x ≤ 4. Yhdistämällä tämä segmentti väliin x > 3, saadaan 3< х ≤ 4.
Vastaus. 3< х ≤ 4.
Ratkaise epäyhtälö log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ -4. (5)
Ratkaisu.
1) Epäyhtälön määritelmäalue löytyy ehdosta x 2 + 2x – 8 > 0.
2) Epäyhtälö (5) voidaan kirjoittaa seuraavasti: 
log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ log 1/2 16.
3) Koska logaritminen funktio, jonka kanta on ½, on pienenevä, saadaan kaikelle x:lle koko epäyhtälön määritelmäalueesta:
x 2 + 2x – 8 ≤ 16.
Siten alkuperäinen yhtäläisyys (5) vastaa epäyhtälöjärjestelmää
(x 2 + 2x – 8 > 0 tai (x 2 + 2x – 8 > 0,
(x 2 + 2x – 8 ≤ 16, (x 2 + 2x – 24 ≤ 0.
Ratkaisemalla ensimmäinen neliöllinen epäyhtälö saadaan x< -4, х >2. Ratkaisemalla toinen neliöllinen epäyhtälö saadaan -6 ≤ x ≤ 4. Näin ollen järjestelmän molemmat epäyhtälöt täyttyvät samanaikaisesti -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Vastaus. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.
Eriarvoisuuksien ratkaiseminen verkossa
Ennen epäyhtälöiden ratkaisemista sinulla on oltava hyvä käsitys siitä, kuinka yhtälöt ratkaistaan.
Ei ole väliä onko epäyhtälö tiukka () vai ei-tiukka (≤, ≥), ensimmäinen askel on ratkaista yhtälö korvaamalla epäyhtälömerkki yhtälöllä (=).
Selvitetään, mitä eriarvoisuuden ratkaiseminen tarkoittaa?
Yhtälöitä tutkittuaan opiskelija saa päähänsä seuraavan kuvan: hänen täytyy löytää muuttujan arvot siten, että yhtälön molemmat puolet saavat samat arvot. Toisin sanoen, etsi kaikki kohdat, joissa tasa-arvo pätee. Kaikki on oikein!
Kun puhumme epäyhtälöistä, tarkoitamme välien (segmenttien) löytämistä, joilla epäyhtälö pätee. Jos epäyhtälössä on kaksi muuttujaa, niin ratkaisu ei ole enää intervallit, vaan jotkin tason alueet. Arvaa itse, mikä on ratkaisu kolmen muuttujan epäyhtälölle?
Kuinka ratkaista epätasa-arvo?
Universaalina tapana ratkaista epäyhtälöjä pidetään intervallimenetelmää (tunnetaan myös intervallimenetelmänä), joka koostuu kaikkien intervallien määrittämisestä, joiden rajoissa tietty epäyhtälö toteutuu.
Menemättä eriarvoisuuden tyyppiin, tässä tapauksessa tämä ei ole asia, sinun on ratkaistava vastaava yhtälö ja määritettävä sen juuret, minkä jälkeen näiden ratkaisujen nimeäminen numeroakselilla.
Kuinka kirjoittaa epäyhtälön ratkaisu oikein?
Kun olet määrittänyt epäyhtälön ratkaisuvälit, sinun on kirjoitettava itse ratkaisu oikein. On tärkeä vivahde - sisällytetäänkö välien rajat ratkaisuun?
Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos yhtälön ratkaisu tyydyttää ODZ:n ja epäyhtälö ei ole tiukka, niin välin raja sisältyy epäyhtälön ratkaisuun. Muuten ei.
Kutakin väliä tarkasteltaessa epäyhtälön ratkaisu voi olla itse intervalli tai puoliväli (kun jokin sen rajoista täyttää epätasa-arvon) tai segmentti - väli rajojen kanssa.
Tärkeä pointti
Älä ajattele, että vain intervallit, puolivälit ja segmentit voivat ratkaista epätasa-arvon. Ei, ratkaisu voi sisältää myös yksittäisiä kohtia.
Esimerkiksi epäyhtälöllä |x|≤0 on vain yksi ratkaisu - tämä on piste 0.
Ja epäyhtälö |x|
Miksi tarvitset epätasa-arvolaskuria?
Epäyhtälölaskin antaa oikean lopullisen vastauksen. Useimmissa tapauksissa esitetään kuva numeroakselista tai tasosta. Näkyvissä on, sisällytetäänkö intervallien rajat ratkaisuun vai ei - pisteet näytetään varjostettuina tai pisteytettyinä.
Online-epäyhtälölaskurin ansiosta voit tarkistaa, oletko löytänyt oikein yhtälön juuret, merkitsitkö ne numeroakselille ja tarkistatko epäyhtälöehdon täyttymisen intervalleilla (ja rajoilla)?
Jos vastauksesi poikkeaa laskimen vastauksesta, sinun on ehdottomasti tarkistettava ratkaisusi ja tunnistettava virhe.