Tehtävä nro 1
Logiikka on yksinkertainen: teemme kuten ennenkin, riippumatta siitä, että nyt trigonometrisilla funktioilla on monimutkaisempi argumentti!
Jos ratkaisisimme muodon yhtälön:
Sitten kirjoitamme seuraavan vastauksen:
Tai (koska)
Mutta nyt meidän rooliamme esittää tämä ilmaus:
Sitten voimme kirjoittaa:
Tavoitteemme kanssasi on varmistaa, että vasen puoli seisoo yksinkertaisesti, ilman "epäpuhtauksia"!
Päästään niistä vähitellen eroon!
Ensin poistetaan nimittäjä: tehdäksesi tämän kertomalla yhtäläisyytemme:
Nyt päästään eroon jakamalla molemmat osat:
Nyt päästään eroon kahdeksasta:
Tuloksena oleva lauseke voidaan kirjoittaa 2 sarjana ratkaisuja (analogisesti toisen asteen yhtälön kanssa, jossa joko lisäämme tai vähennämme erottimen)
Meidän on löydettävä suurin negatiivinen juuri! On selvää, että meidän on selvitettävä.
Katsotaanpa ensin ensimmäinen jakso:
On selvää, että jos otamme, niin tuloksena saamme positiivisia lukuja, mutta ne eivät kiinnosta meitä.
Joten sinun on otettava se negatiivinen. Anna olla.
Kun juuri on kapeampi:
Ja meidän on löydettävä suurin negatiivinen! Tämä tarkoittaa, että negatiiviseen suuntaan meneminen ei ole enää järkevää tässä. Ja tämän sarjan suurin negatiivinen juuri on yhtä suuri kuin.
Katsotaanpa nyt toista sarjaa:
Ja taas korvaamme: , sitten:
Ei kiinnosta!
Silloin ei ole mitään järkeä lisätä! Vähennetään sitä! Antaa sitten:
Sopii!
Anna olla. Sitten
Sitten - suurin negatiivinen juuri!
Vastaus:
Tehtävä nro 2
Ratkaisemme uudelleen, riippumatta kompleksisesta kosini-argumentista:
Nyt ilmaisemme jälleen vasemmalla:
Kerro molemmat puolet
Jaa molemmat puolet
Jäljelle jää vain siirtää se oikealle ja muuttaa sen merkki miinuksesta plussaksi.
Saamme jälleen 2 sarjaa juuria, toinen kanssa ja toinen kanssa.
Meidän on löydettävä suurin negatiivinen juuri. Katsotaanpa ensimmäistä jaksoa:
On selvää, että saamme ensimmäisen negatiivisen juuren osoitteessa, se on yhtä suuri kuin ja on suurin negatiivinen juuri 1 sarjassa.
Toiselle sarjalle
Ensimmäinen negatiivinen juuri saadaan myös kohdassa ja on yhtä suuri kuin. Siitä lähtien on yhtälön suurin negatiivinen juuri.
Vastaus: .
Tehtävä nro 3
Ratkaisemme kompleksista tangenttiargumentista riippumatta.
Nyt se ei näytä monimutkaiselta, eihän?
Kuten aiemmin, ilmaisemme vasemmalla puolella:
No, se on hienoa, täällä on vain yksi sarja juuria! Etsitään taas suurin negatiivinen.
On selvää, että se käy ilmi, jos laitat sen alas. Ja tämä juuri on yhtä suuri.
Vastaus:
Yritä nyt ratkaista seuraavat ongelmat itse.
Kotitehtävä tai 3 tehtävää itsenäisesti ratkaistavaksi.
- Ratkaise yhtälö.
- Ratkaise yhtälö.
Vastauksessa pi-shi-th-pienin-mahdollinen juuri. - Ratkaise yhtälö.
Vastauksessa pi-shi-th-pienin-mahdollinen juuri.
Valmis? Tarkistetaan. En kuvaile koko ratkaisualgoritmia yksityiskohtaisesti, minusta näyttää siltä, että se on saanut jo tarpeeksi huomiota edellä.
No onko kaikki oikein? Voi niitä ilkeitä poskionteloita, niissä on aina jonkinlainen ongelma!
No, nyt voit ratkaista yksinkertaisia trigonometrisiä yhtälöitä!
Katso ratkaisut ja vastaukset:
Tehtävä nro 1
Ilmaistaan
Pienin positiivinen juuri saadaan, jos laitamme, koska, sitten
Vastaus:
Tehtävä nro 2
Pienin positiivinen juuri saadaan klo.
Se on tasa-arvoista.
Vastaus: .
Tehtävä nro 3
Kun saamme, kun saamme.
Vastaus: .
Tämä tieto auttaa sinua ratkaisemaan monia kokeessa kohtaamia ongelmia.
Jos haet arvosanaa "5", sinun on vain edettävä artikkelin lukemiseen keskitasoa joka on omistettu monimutkaisempien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen (tehtävä C1).
KESKITASO
Tässä artikkelissa kuvailen monimutkaisempien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen ja kuinka valita niiden juuret. Piirrän tässä seuraavia aiheita:
- Trigonometriset yhtälöt aloittelijatasolle (katso yllä).
Monimutkaisemmat trigonometriset yhtälöt ovat kehittyneiden ongelmien perusta. Ne edellyttävät sekä itse yhtälön ratkaisemista yleisessä muodossa että tämän yhtälön tiettyyn väliin kuuluvien juurien löytämistä.
Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen koostuu kahdesta osatehtävästä:
- Yhtälön ratkaiseminen
- Juuren valinta
On huomattava, että toista ei aina vaadita, mutta useimmissa esimerkeissä valinta vaaditaan silti. Mutta jos sitä ei vaadita, voimme olla myötätuntoisia sinua kohtaan - tämä tarkoittaa, että yhtälö on itsessään melko monimutkainen.
Kokemukseni C1-ongelmien analysoinnista osoittaa, että ne jaetaan yleensä seuraaviin luokkiin.
Neljä monimutkaisempia tehtäviä (entinen C1)
- Yhtälöt, jotka pelkistyvät tekijöihin.
- Yhtälöt pelkistetty muotoon.
- Yhtälöt ratkaistaan muuttamalla muuttujaa.
- Yhtälöt, jotka edellyttävät ylimääräistä juurien valintaa irrationaalisuuden tai nimittäjän vuoksi.
Yksinkertaisesti sanottuna: jos jäät kiinni yksi kolmen ensimmäisen tyypin yhtälöistä, pidä itseäsi onnekkaana. Heille pääsääntöisesti sinun on lisäksi valittava tiettyyn aikaväliin kuuluvat juuret.
Jos törmäät tyypin 4 yhtälöön, niin olet vähemmän onnekas: sinun täytyy puuhata sitä pidempään ja huolellisemmin, mutta melko usein se ei vaadi ylimääräistä juurien valintaa. Siitä huolimatta analysoin tämän tyyppisiä yhtälöitä seuraavassa artikkelissa, ja tämän käsittelen kolmen ensimmäisen tyypin yhtälöiden ratkaisemista.
Yhtälöt, jotka pelkistyvät tekijöihin
Tärkein asia, joka sinun on muistettava ratkaistaksesi tämän tyyppinen yhtälö, on
Kuten käytäntö osoittaa, tämä tieto on yleensä riittävä. Katsotaanpa joitain esimerkkejä:
Esimerkki 1. Yhtälö pelkistetty tekijöihin jakamiseen pelkistys- ja kaksoiskulmasinikaavojen avulla
- Ratkaise yhtälö
- Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka sijaitsevat leikkauksen yläpuolella
Tässä, kuten lupasin, vähennyskaavat toimivat:
Sitten yhtälöni näyttää tältä:
Sitten yhtälööni tulee seuraava muoto:
Lyhytnäköinen opiskelija saattaa sanoa: nyt vähennän molemmat puolet, hankin yksinkertaisimman yhtälön ja nautin elämästä! Ja hän tulee erehtymään katkerasti!
| MUISTA: ET VOI KOSKAAN VÄHENTÄÄ TRIGONOMETRISEN YHTÄLÖN molempia puolta funktiolla, joka sisältää TUNTEMATTOMAN! JOTKA MENETÄT JUURESI! |
Eli mikä neuvoksi? Kyllä, se on yksinkertaista, siirrä kaikki sivuun ja poista yhteinen tekijä:
No, laskemme sen tekijöiksi, hurraa! Päätetään nyt:
Ensimmäisellä yhtälöllä on juuret:
Ja toinen:
Tämä täydentää ongelman ensimmäisen osan. Nyt sinun on valittava juuret:
Väli on tällainen:
Tai se voidaan kirjoittaa myös näin:
No, otetaan juuret:
Työstetään ensin ensimmäisen jakson kanssa (ja se on lievästi sanottuna yksinkertaisempi!)
Koska välimme on täysin negatiivinen, ei-negatiivisia ei tarvitse ottaa, ne antavat silti ei-negatiivisia juuria.
Otetaan se sitten - se on liikaa, se ei osu.
Anna sen olla sitten - en lyönyt sitä uudelleen.
Vielä yksi yritys - sitten - kyllä, sain sen! Ensimmäinen juuri on löytynyt!
Ammun uudelleen: sitten osuin uudestaan!
No, vielä kerran: : - tämä on jo lento.
Joten ensimmäisestä sarjasta on 2 väliin kuuluvaa juurta: .
Työskentelemme toisen sarjan kanssa (rakentamme säännön mukaiseen tehoon):
Alitus!
Taas ikävä!
Taas ikävä!
Sain sen!
Lento!
Joten intervallillani on seuraavat juuret:
Tämä on algoritmi, jota käytämme kaikkien muiden esimerkkien ratkaisemiseen. Harjoitellaan yhdessä vielä yhdellä esimerkillä.
Esimerkki 2. Yhtälö pelkistettiin tekijöihin jakamiseen pelkistyskaavoja käyttäen
- Ratkaise yhtälö
Ratkaisu:
Jälleen pahamaineiset pelkistyskaavat:
Älä yritä leikata uudelleen!
Ensimmäisellä yhtälöllä on juuret:
Ja toinen:
Nyt taas juurien etsintä.
Aloitan toisesta jaksosta, tiedän siitä jo kaiken edellisestä esimerkistä! Katso ja varmista, että väliin kuuluvat juuret ovat seuraavat:
Nyt ensimmäinen jakso ja se on yksinkertaisempaa:
Jos - sopii
Jos sekin kelpaa
Jos se on jo lento.
Sitten juuret ovat seuraavat:
Itsenäinen työ. 3 yhtälöä.
No, onko tekniikka sinulle selvä? Eikö trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen näytä enää niin vaikealta? Ratkaise sitten nopeasti seuraavat ongelmat itse, ja sitten ratkaisemme muita esimerkkejä:
- Ratkaise yhtälö
Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka ovat intervallin yläpuolella. - Ratkaise yhtälö
Ilmoita yhtälön juuret, jotka ovat leikkauksen yläpuolella - Ratkaise yhtälö
Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka ovat niiden välissä.
Yhtälö 1.
Ja taas pelkistyskaava:
Ensimmäinen juurisarja:
Toinen juurisarja:
Aloitamme valinnan aukkoon
Vastaus: ,.
Yhtälö 2. Itsenäisen työn tarkistaminen.
Melko hankala ryhmittely tekijöihin (käytän kaksoiskulmasinikaavaa):
sitten tai
Tämä on yleinen ratkaisu. Nyt meidän on valittava juuret. Ongelmana on, että emme voi sanoa tarkkaa arvoa kullelle, jonka kosini on yhtä kuin yksi neljäsosa. Siksi en voi vain päästä eroon kaarikosinuksesta - niin sääli!
Mitä voin tehdä, on selvittää, että niin, niin.
Luodaan taulukko: intervalli:
No, tuskallisten hakujen kautta päädyimme pettymykseen, että yhtälöllämme on yksi juuri ilmoitetulla välillä: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Yhtälö 3: Itsenäinen työkoe.
Pelottavan näköinen yhtälö. Se voidaan kuitenkin ratkaista yksinkertaisesti käyttämällä kaksoiskulmasinikaavaa:
Pienennetään sitä kahdella:
Ryhmitetään ensimmäinen termi toiseen ja kolmas neljänteen ja otetaan pois yleiset tekijät:
On selvää, että ensimmäisellä yhtälöllä ei ole juuria, ja nyt tarkastellaan toista:
Yleisesti ottaen aioin viipyä hieman myöhemmin tällaisten yhtälöiden ratkaisemisessa, mutta koska se paljastui, ei ole mitään tekemistä, minun on ratkaistava se...
Muodon yhtälöt:
Tämä yhtälö ratkaistaan jakamalla molemmat puolet:
Siten yhtälöllämme on yksi sarja juuria:
Meidän on löydettävä ne, jotka kuuluvat väliin: .
Rakennetaan taas taulukko, kuten tein aiemmin:
Vastaus:.
Yhtälöt pelkistetty muotoon:
No, nyt on aika siirtyä yhtälöiden toiseen osaan, varsinkin kun olen jo kertonut, mistä uudentyyppisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisu koostuu. Mutta on syytä toistaa, että yhtälö on muotoa
Ratkaistu jakamalla molemmat puolet kosinilla:
- Ratkaise yhtälö
Ilmoita yhtälön juuret, jotka ovat leikkauksen yläpuolella. - Ratkaise yhtälö
Ilmoita yhtälön juuret, jotka ovat niiden välissä.
Esimerkki 1.
Ensimmäinen on melko yksinkertainen. Siirry oikealle ja käytä kaksoiskulmakosinikaavaa:
Joo! Muodon yhtälö: . jaan molemmat osat
Teemme juuriseulontaa:
Väli:
Vastaus:
Esimerkki 2.
Kaikki on myös melko triviaalia: avataanpa oikeanpuoleiset sulut:
Trigonometrinen perusidentiteetti:
Kaksoiskulman sini:
Lopulta saamme:
Juuriseulonta: intervalli.
Vastaus:.
No, mitä pidät tekniikasta, eikö se ole liian monimutkaista? Toivottavasti ei. Voimme tehdä varauksen välittömästi: puhtaassa muodossaan yhtälöt, jotka pelkistyvät välittömästi tangentin yhtälöksi, ovat melko harvinaisia. Tyypillisesti tämä siirtymä (jako kosinilla) on vain osa monimutkaisempaa ongelmaa. Tässä on esimerkki harjoitteluun:
- Ratkaise yhtälö
- Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka sijaitsevat leikkauksen yläpuolella.
Tarkistetaan:
Yhtälö voidaan ratkaista välittömästi, riittää, että jakaa molemmat puolet:
Juuriseulonta:
Vastaus:.
Tavalla tai toisella emme ole vielä kohdanneet sellaisia yhtälöitä, joita juuri tarkastelimme. On kuitenkin liian aikaista kutsua sitä päiväksi: jäljellä on vielä yksi yhtälöjen "kerros", jota emme ole selvittäneet. Niin:
Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen muuttujia vaihtamalla
Täällä kaikki on läpinäkyvää: tarkastelemme yhtälöä tarkasti, yksinkertaistamme sitä mahdollisimman paljon, teemme korvauksen, ratkaisemme sen, teemme käänteisen korvauksen! Sanalla kaikki on hyvin helppoa. Katsotaanpa toiminnassa:
Esimerkki.
- Ratkaise yhtälö: .
- Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka sijaitsevat leikkauksen yläpuolella.
No, tässä itse vaihto ehdottaa itseään meille!
Sitten yhtälömme muuttuu seuraavaksi:
Ensimmäisellä yhtälöllä on juuret:
Ja toinen on tällainen:
Etsitään nyt väliin kuuluvat juuret
Vastaus:.
Katsotaanpa hieman monimutkaisempaa esimerkkiä yhdessä:
- Ratkaise yhtälö
- Ilmoita annetun yhtälön juuret, jotka sijaitsevat niiden välissä.
Tässä korvaaminen ei ole heti näkyvissä, lisäksi se ei ole kovin ilmeinen. Mietitään ensin: mitä voimme tehdä?
Voimme esimerkiksi kuvitella
Ja samalla
Sitten yhtälööni tulee muoto:
Ja nyt huomio, keskity:
Jaetaan yhtälön molemmat puolet:
Yhtäkkiä sinulla ja minulla on toisen asteen yhtälö! Tehdään uusi, niin saamme:
Yhtälöllä on seuraavat juuret:
Epämiellyttävä toinen sarja juuria, mutta mitään ei voi tehdä! Valitsemme juuret väliltä.
Meidän on myös otettava se huomioon
Siitä lähtien ja siitä lähtien
Vastaus:
Vahvistaaksesi tätä ennen kuin ratkaiset ongelmat itse, tässä on toinen harjoitus sinulle:
- Ratkaise yhtälö
- Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka ovat niiden välissä.
Tässä sinun on pidettävä silmäsi auki: meillä on nyt nimittäjiä, jotka voivat olla nolla! Siksi sinun on oltava erityisen tarkkaavainen juurille!
Ensinnäkin minun on järjestettävä yhtälö uudelleen, jotta voin tehdä sopivan korvauksen. En voi nyt ajatella mitään parempaa kuin kirjoittaa tangentti uudelleen sinin ja kosinin suhteen:
Nyt siirryn kosinista siniin trigonometrisen perusidentiteetin avulla:
Ja lopuksi tuon kaiken yhteiselle nimittäjälle:
Nyt voin siirtyä yhtälöön:
Mutta klo (eli klo).
Nyt kaikki on valmis vaihdettavaksi:
Sitten tai
Huomaa kuitenkin, että jos, niin samaan aikaan!
Kuka tästä kärsii? Tangentin ongelmana on, että sitä ei määritellä, kun kosini on yhtä suuri kuin nolla (jako nollalla tapahtuu).
Näin ollen yhtälön juuret ovat:
Nyt seulomme juuret väliltä:
| - sopii | |
| - ylilyönti |
Siten yhtälöllämme on yksi juuri välissä, ja se on yhtä suuri.
Näet: nimittäjän esiintyminen (ihan tangentin tapaan johtaa tiettyihin vaikeuksiin juurien kanssa! Tässä sinun on oltava varovaisempi!).
No, sinä ja minä olemme melkein lopettaneet trigonometristen yhtälöiden analysoinnin; jäljellä on hyvin vähän - ratkaista kaksi ongelmaa itse. Täällä he ovat.
- Ratkaise yhtälö
Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka sijaitsevat leikkauksen yläpuolella. - Ratkaise yhtälö
Ilmoita tämän yhtälön juuret, jotka sijaitsevat leikkauksen yläpuolella.
Päätetty? Eikö se ole kovin vaikeaa? Tarkistetaan:
- Työskentelemme pelkistyskaavojen mukaisesti:
Korvaa yhtälö:
Kirjoitetaan kaikki uudelleen kosinusten kautta korvaamisen helpottamiseksi:
Nyt on helppo tehdä vaihto:
On selvää, että se on ulkopuolinen juuri, koska yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Sitten:
Etsimme tarvittavia juuria väliltä
Vastaus:.
Tässä vaihto näkyy heti:Sitten tai
- sopii! - sopii! - sopii! - sopii! - paljon! - myös paljon! Vastaus:
No siinä se nyt on! Mutta trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen ei lopu tähän, vaan jäämme jälkeen vaikeimmissa tapauksissa: kun yhtälöt sisältävät irrationaalisuutta tai erilaisia "monimutkaisia nimittäjiä". Tarkastelemme tällaisten tehtävien ratkaisemista edistyneen tason artikkelissa.
EDISTYNYT TASO
Kahdessa edellisessä artikkelissa käsiteltyjen trigonometristen yhtälöiden lisäksi tarkastelemme toista yhtälöluokkaa, joka vaatii vielä huolellisempaa analysointia. Nämä trigonometriset esimerkit sisältävät joko irrationaalisuutta tai nimittäjä, mikä vaikeuttaa niiden analysointia. Saatat kuitenkin kohdata nämä yhtälöt koepaperin osassa C. Jokaisella pilvellä on kuitenkin hopeinen vuoraus: tällaisille yhtälöille ei yleensä enää esiinny kysymystä siitä, mikä sen juurista kuuluu tiettyyn väliin. Älkäämme lyötäkö pensasta, vaan siirtykäämme suoraan trigonometrisiin esimerkkeihin.
Esimerkki 1.
Ratkaise yhtälö ja etsi segmenttiin kuuluvat juuret.
Ratkaisu:
Meillä on nimittäjä, jonka ei pitäisi olla nolla! Sitten tämän yhtälön ratkaiseminen on sama kuin järjestelmän ratkaiseminen
Ratkaistaan jokainen yhtälö:
Ja nyt toinen:
Katsotaanpa nyt sarjaa:
On selvää, että tämä vaihtoehto ei sovi meille, koska tässä tapauksessa nimittäjämme nollataan (katso toisen yhtälön juurten kaava)
Jos, niin kaikki on kunnossa, eikä nimittäjä ole nolla! Sitten yhtälön juuret ovat seuraavat: , .
Nyt valitsemme väliin kuuluvat juuret.
| - sopimaton | - sopii | |
| - sopii | - sopii | |
| ylilyönti | ylilyönti |
Sitten juuret ovat seuraavat:
Jopa pienen häiriön esiintyminen nimittäjän muodossa vaikutti merkittävästi yhtälön ratkaisuun: hylkäsimme sarjan juuria, jotka mitätöivät nimittäjän. Asiat voivat olla vielä monimutkaisempia, jos törmäät irrationaalisiin trigonometrisiin esimerkkeihin.
Esimerkki 2.
Ratkaise yhtälö:
Ratkaisu:
No, ainakaan juuria ei tarvitse viedä pois, ja se on hyvä! Ratkaistaan ensin yhtälö irrationaalisuudesta riippumatta:
Joten, onko siinä kaikki? Ei, valitettavasti se olisi liian helppoa! Meidän on muistettava, että juuren alla voi esiintyä vain ei-negatiivisia lukuja. Sitten:
Ratkaisu tähän epätasa-arvoon on:
Nyt on vielä selvitettävä, päätyikö osa ensimmäisen yhtälön juurista vahingossa sinne, missä epäyhtälö ei päde.
Voit tehdä tämän uudelleen käyttämällä taulukkoa:
| : , Mutta | Ei! | |
| Joo! | ||
| Joo! |
Niinpä yksi juuristani "putoi pois"! Se käy ilmi, jos laitat sen alas. Sitten vastaus voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Vastaus:
Katsos, juuri vaatii vielä enemmän huomiota! Tehdään siitä monimutkaisempi: nyt minulla on trigonometrinen funktio juureni alla.
Esimerkki 3.
Kuten ennenkin: ensin ratkaistaan jokainen erikseen ja sitten mietitään mitä olemme tehneet.
Nyt toinen yhtälö:
Nyt vaikein asia on saada selville, saadaanko aritmeettisen juuren alle negatiivisia arvoja, jos korvaamme siellä ensimmäisen yhtälön juuret:
Luku on ymmärrettävä radiaaneina. Koska radiaani on suunnilleen astetta, niin radiaanit ovat asteen luokkaa. Tämä on toisen neljänneksen kulma. Mikä on toisen neljänneksen kosinin merkki? Miinus. Entä sini? Plus. Joten mitä voimme sanoa ilmaisusta:
Se on alle nolla!
Tämä tarkoittaa, että se ei ole yhtälön juuri.
Nyt on aika.
Verrataan tätä lukua nollaan.
Kotangentti on funktio, joka pienenee yhdellä neljänneksellä (mitä pienempi argumentti, sitä suurempi kotangentti). radiaanit ovat suunnilleen asteita. Samaan aikaan
siitä lähtien ja siksi
,
Vastaus:.
Voiko siitä tulla monimutkaisempaa? Ole kiltti! Se on vaikeampaa, jos juuri on edelleen trigonometrinen funktio ja yhtälön toinen osa on jälleen trigonometrinen funktio.
Mitä enemmän trigonometrisiä esimerkkejä, sen parempi, katso alla:
Esimerkki 4.
Juuri ei sovellu rajoitetun kosinuksen vuoksi
Nyt toinen:
Samaan aikaan juuren määritelmän mukaan:
Meidän on muistettava yksikköympyrä: nimittäin ne neljännekset, joissa sini on pienempi kuin nolla. Mitä nämä neljännekset ovat? Kolmas ja neljäs. Sitten olemme kiinnostuneita niistä ensimmäisen yhtälön ratkaisuista, jotka ovat kolmannella tai neljännellä neljänneksellä.
Ensimmäinen sarja antaa juuret, jotka sijaitsevat kolmannen ja neljännen neljänneksen leikkauskohdassa. Toinen sarja - täysin vastapäätä sitä - synnyttää juuret, jotka sijaitsevat ensimmäisen ja toisen neljänneksen rajalla. Siksi tämä sarja ei sovi meille.
Vastaus: ,
Ja uudelleen trigonometriset esimerkit "vaikealla järjettömyydellä". Meillä ei ole vain trigonometrinen funktio jälleen juuren alla, vaan se on nyt myös nimittäjässä!
Esimerkki 5.
No, mitään ei voida tehdä - teemme kuten ennenkin.
Nyt työskentelemme nimittäjällä:
En halua ratkaista trigonometristä epäyhtälöä, joten teen jotain ovelaa: otan ja korvaan sarjani juuret epätasa-arvoon:
Jos - on parillinen, meillä on:
koska kaikki kuvakulmat ovat neljännellä neljänneksellä. Ja taas pyhä kysymys: mikä on sinin merkki neljännellä neljänneksellä? Negatiivinen. Sitten epätasa-arvo
Jos -pariton, niin:
Millä neljänneksellä kulma on? Tämä on toisen neljänneksen kulma. Sitten kaikki kulmat ovat jälleen toisen neljänneksen kulmia. Sini on positiivinen. Juuri mitä tarvitset! Eli sarja:
Sopii!
Käsittelemme toista juurisarjaa samalla tavalla:
Korvaamme epätasa-arvoomme:
Jos - jopa, niin
Ensimmäisen neljänneksen kulmat. Sini on positiivinen, mikä tarkoittaa, että sarja on sopiva. Jos nyt - outoa, niin:
sopii myös!
No, nyt kirjoitamme vastauksen ylös!
Vastaus:
No, tämä oli ehkä työvoimavaltaisin tapaus. Nyt tarjoan sinulle ongelmia ratkaistaksesi itse.
Koulutus
- Ratkaise ja etsi kaikki segmenttiin kuuluvat yhtälön juuret.
Ratkaisut:
Ensimmäinen yhtälö:
tai
Juuren ODZ:Toinen yhtälö:
Väliin kuuluvien juurien valinta
Vastaus:
Tai
tai
Mutta
Pohditaan: . Jos - jopa, niin
- ei sovi!
Jos - pariton, : - sopiva!
Tämä tarkoittaa, että yhtälöllämme on seuraavat juuret:
tai
Juurien valinta välissä:
| - sopimaton | - sopii | |
| - sopii | - paljon | |
| - sopii | paljon |
Vastaus: ,.
Tai
Siitä lähtien tangenttia ei ole määritelty. Hylkäämme välittömästi tämän sarjan juuria!
Toinen osa:
Samalla DZ:n mukaan vaaditaan sitä
Tarkistamme ensimmäisestä yhtälöstä löytyneet juuret:
Jos merkki:
Ensimmäisen neljänneksen kulmat, joissa tangentti on positiivinen. Ei sovi!
Jos merkki:
Neljännen neljänneksen kulma. Siellä tangentti on negatiivinen. Sopii. Kirjoitamme vastauksen muistiin:
Vastaus: ,.
Olemme tarkastelleet monimutkaisia trigonometrisiä esimerkkejä yhdessä tässä artikkelissa, mutta sinun tulee ratkaista yhtälöt itse.
YHTEENVETO JA PERUSKAAVAT
Trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on tiukasti trigonometrisen funktion merkin alla.
On kaksi tapaa ratkaista trigonometriset yhtälöt:
Ensimmäinen tapa on käyttää kaavoja.
Toinen tapa on trigonometrisen ympyrän läpi.
Voit mitata kulmia, löytää niiden sinit, kosinit jne.
Melko usein kohtaamme monimutkaisemmissa ongelmissa trigonometriset yhtälöt, jotka sisältävät moduulin. Useimmat niistä edellyttävät heuristista lähestymistapaa ratkaisuun, mikä on useimmille koululaisille täysin tuntematon.
Alla ehdotettujen tehtävien tarkoituksena on esitellä sinulle tyypillisimpiä tekniikoita moduulin sisältävien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.
Tehtävä 1. Etsi yhtälön 1 + 2sin x |cos x| pienimmän positiivisen ja suurimman negatiivisen juuren ero (asteina) = 0.
Ratkaisu.
Laajennamme moduulia:
1) Jos cos x ≥ 0, niin alkuperäinen yhtälö on muotoa 1 + 2sin x · cos x = 0.
Käyttämällä kaksoiskulmasinikaavaa saamme:
1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Koska cos x ≥ 0, niin x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Jos cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Koska cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Yhtälön suurin negatiivinen juuri: -π/4; yhtälön pienin positiivinen juuri: 5π/4.
Vaadittu ero: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Vastaus: 270°.
Tehtävä 2. Etsi (asteina) yhtälön |tg x| pienin positiivinen juuri + 1/cos x = tan x.
Ratkaisu.
Laajennamme moduulia:
1) Jos tan x ≥ 0, niin
tan x + 1/cos x = tan x;
Tuloksena olevalla yhtälöllä ei ole juuria.
2) Jos tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 ja cos x ≠ 0.
Käyttämällä kuvaa 1 ja ehtoa tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Yhtälön pienin positiivinen juuri on 5π/6. Muunnetaan tämä arvo asteina:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Vastaus: 150°.
Tehtävä 3. Etsi yhtälön sin |2x| eri juurien lukumäärä = cos 2x välillä [-π/2; π/2].
Ratkaisu.
Kirjoitetaan yhtälö muodossa sin|2x| – cos 2x = 0 ja harkitse funktiota y = sin |2x| -cos 2x. Koska funktio on parillinen, löydämme sen nollat arvolle x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; Jaetaan yhtälön molemmat puolet cos 2x ≠ 0:lla, saadaan:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Käyttämällä funktion pariteettia huomaamme, että alkuperäisen yhtälön juuret ovat muodon lukuja
± (π/8 + πn/2), missä n € Z.
Intervalli [-π/2; π/2] kuuluvat numeroihin: -π/8; π/8.
Joten yhtälön kaksi juuria kuuluu annettuun väliin.
Vastaus: 2.
Tämä yhtälö voidaan ratkaista myös avaamalla moduuli.
Tehtävä 4. Laske yhtälön sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) juurten lukumäärä välillä [-π; 2π].
Ratkaisu.
1) Tarkastellaan tilannetta, jossa 2cos x – 1 > 0, ts. cos x > 1/2, yhtälö saa muodon:
sin x – sin 2 x = sin 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 tai 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 tai sin x = 1/2.
Käyttämällä kuvaa 2 ja ehtoa cos x > 1/2 löydämme yhtälön juuret:
x = π/6 + 2πn tai x = 2πn, n € Z.
2) Tarkastellaan tilannetta, jossa 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin 2 x = sin 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Käyttämällä kuvaa 2 ja cos x -ehtoa< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Yhdistämällä nämä kaksi tapausta saadaan:
x = π/6 + 2πn tai x = πn.
3) Intervalli [-π; 2π] kuuluvat juuriin: π/6; -π; 0; π; 2π.
Siten annettu intervalli sisältää viisi yhtälön juuria.
Vastaus: 5.
Tehtävä 5. Laske yhtälön juurten lukumäärä (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 välillä [-π; 2π].
Ratkaisu.
1) Jos sin x ≥ 0, niin alkuperäinen yhtälö on muotoa (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0. Kun yhteinen tekijä sin x on poistettu suluista, saadaan:
sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; koska (x – 0,7) 2 + 1 > 0 kaikille todellisille x:ille, niin sinx = 0, ts. x = πn, n € Z.
2) Jos sin x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 tai (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Koska sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x - 0,7 = 1 tai x - 0,7 = -1, mikä tarkoittaa x = 1,7 tai x = -0,3.
Kun otetaan huomioon ehto sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, mikä tarkoittaa, että vain luku -0,3 on alkuperäisen yhtälön juuri.
3) Intervalli [-π; 2π] kuuluvat numeroihin: -π; 0; π; 2π; -0.3.
Yhtälöllä on siis viisi juuria tietyllä aikavälillä.
Vastaus: 5.
Voit valmistautua oppitunteihin tai kokeisiin käyttämällä erilaisia Internetissä saatavilla olevia koulutusresursseja. Tällä hetkellä kuka tahansa 
henkilön on yksinkertaisesti käytettävä uutta tietotekniikkaa, koska niiden oikea ja mikä tärkeintä asianmukainen käyttö lisää motivaatiota aiheen opiskeluun, lisää kiinnostusta ja auttaa paremmin omaksumaan tarvittavaa materiaalia. Mutta älä unohda, että tietokone ei opeta sinua ajattelemaan, vastaanotettu tieto on käsiteltävä, ymmärrettävä ja muistettava. Siksi voit kääntyä online-tutoriemme puoleen, joka auttaa sinua ratkaisemaan sinua kiinnostavat ongelmat.
Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!
verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.