|
L'Hopitalovo pravilo |
|
L'Hopitalovo pravilo je metoda za izračunavanje granica koje imaju nesigurnost tipa ili . Neka a je neki konačni realni broj ili jednak beskonačnosti. L'Hopitalovo pravilo se također može primijeniti na neizvjesnosti kao što su
Prve dvije nesigurnosti mogu se svesti na tip ili algebarskim transformacijama. |
|
A nesigurnosti se svode na tip koristeći relaciju |
|
L'Hopitalovo pravilo vrijedi i za jednostrane granice. Primjer 1 Izračunajte granicu. |
|
Rješenje. |
|
L'Hopitalovo pravilo vrijedi i za jednostrane granice. Primjer 1 Razlikovanjem brojnika i nazivnika, nalazimo vrijednost granice: |
|
Primjer 2 |
|
Budući da direktna zamjena dovodi do nesigurnosti tipa , primjenjujemo L'Hopitalovo pravilo. Primjer 1 Primjer 3 |
|
Izračunajte limit |
|
Ovdje imamo posla sa nesigurnošću tipa. Primjer 1 Nakon jednostavnih transformacija, dobijamo
|
|
Primjer 4 |
|
Ovdje imamo posla sa nesigurnošću tipa. Primjer 1 Pronađite granicu. Koristeći L'Hopitalovo pravilo, možemo pisati |
|
Primjer 5 |
.
.
Ovdje nailazimo na nesigurnost tipa.
Označimo . Nakon uzimanja logaritama dobijamo(1667-1748) nakon što je uspješno diplomirao na Univerzitetu u Bazelu, putujući po Evropi, došao je u Pariz 1690. godine. U književnom salonu filozofa Nicolasa Malebranchea (1638-1715), Johann je upoznao francuskog matematičara markiza Guillaumea François Antoinea de L'Hôpitala (1661-1704). Tokom živog razgovora, L'Hopital je bio iznenađen kako je mladi Bernuli lako, „kao da se igra“, rešavao teške probleme u novoj računici. Stoga je L'Hopital tražio da mu održi nekoliko predavanja. L'Hopitalu su se svidjeli usmeni razgovori i počeo je primati pisani materijal za pristojnu naknadu. Napominjemo da mu je Johann prenio i sada dobro poznato “L'Hopitalovo pravilo” za otkrivanje nesigurnosti. Već 1696. godine pojavio se L'Hopitalov čuveni traktat „Uvod u analizu infinitezimalnih za razumijevanje zakrivljenih linija“. Drugi dio kursa, koji je predstavio Johann I Bernoulli, objavljen je tek 1742. godine i nazvan je „Matematička predavanja o metodi integrala i drugo; napisano za poznatog markiza od bolnice; godine 1691-1692.” Godine 1921. otkrivene su rukom pisane kopije predavanja rukopisom Johanna I Bernoullija, čiji su originali prebačeni u L'Hopital 1691-1692. Od toga, naučnici su neočekivano otkrili da Loptal u svojoj "Analizi" gotovo nije odstupio od predavanja svog mladog učitelja.
Teorema (Cauchy). Neka funkcije i biti kontinuiran na i diferencibilan na i . onda:
Dokaz. Razmotrite funkciju
Odaberimo tako da su svi uslovi Rolleove teoreme zadovoljeni, tj. .
Prema Rolleovoj teoremi, postoji:
L'Hopitalovo prvo pravilo
Definicija. Neka funkcije , kontinuirano na , biti diferencibilan na , i neka . Neka . Tada kažemo da relacija at predstavlja nesigurnost oblika .
Teorema.
Primijenimo Cauchyjevu teoremu na segment gdje je . Postoji:
i, prema tome,
To znači da 
.
U slučaju kada je beskonačan, nejednakost (1) se zamjenjuje sa
zavisno od znaka. Ostatak dokaza ostaje nepromijenjen.
L'Hopitalovo drugo pravilo
Definicija. Neka funkcije , biti kontinuirana i diferencibilna u , i . Neka . Tada kažemo da relacija at predstavlja nesigurnost oblika .
Teorema. Ako, pod navedenim uslovima, postoji
Dokaz. Neka bude naravno. Izborom: nejednakost vrijedi u intervalu
Definirajmo funkciju iz uvjeta
u . Primijenimo Cauchyjevu teoremu na segment. Dobijamo da postoji:
Za one za koje
Pošto je proizvoljno mali, onda
U slučaju kada , nejednakost (2) se zamjenjuje sa
a nejednakost (4) – na nejednakost
odvija se u , dovoljno blizu a zbog (3).
Slučaj se tretira slično.
Rješenje ograničenja online funkcija. Pronađite graničnu vrijednost funkcije ili funkcionalnog niza u točki, izračunajte ultimate vrijednost funkcije u beskonačnosti. određivanje konvergencije niza brojeva i još mnogo toga se može učiniti zahvaljujući našoj online usluzi -. Omogućavamo vam da brzo i precizno pronađete ograničenja funkcija na mreži. Vi sami unosite varijablu funkcije i granicu kojoj ona teži, a naš servis za vas vrši sve proračune, dajući tačan i jednostavan odgovor. I za pronalaženje ograničenja na mreži možete unijeti i numeričke serije i analitičke funkcije koje sadrže konstante u doslovnom izrazu. U ovom slučaju, pronađeno ograničenje funkcije će sadržavati ove konstante kao konstantne argumente u izrazu. Naša usluga rješava sve složene probleme pronalaženja ograničenja na mreži, dovoljno je naznačiti funkciju i tačku u kojoj je potrebno izračunati granična vrijednost funkcije. Računanje online ograničenja, možete koristiti različite metode i pravila za njihovo rješavanje, dok provjeravate rezultat dobiven sa rješavanje ograničenja na mreži na www.site, što će dovesti do uspješnog završetka zadatka - izbjeći ćete vlastite greške i administrativne greške. Ili nam možete u potpunosti vjerovati i koristiti naš rezultat u svom radu, bez trošenja dodatnog truda i vremena na samostalno izračunavanje granice funkcije. Dozvoljavamo unos graničnih vrijednosti kao što je beskonačnost. Potrebno je unijeti zajednički član brojevnog niza i www.site izračunat će vrijednost limit online na plus ili minus beskonačnost.
Jedan od osnovnih koncepata matematičke analize je ograničenje funkcije I granica sekvence u tački i u beskonačnosti, važno je biti u stanju ispravno riješiti granice. Uz našu uslugu to neće biti teško. Odluka je doneta ograničenja na mreži u roku od nekoliko sekundi, odgovor je tačan i potpun. Proučavanje matematičke analize počinje sa prelazak do granice, granice se koriste u gotovo svim oblastima više matematike, pa je korisno imati server pri ruci online limitirana rješenja, što je matematikam.ru.
Uputstva
Direktno izračunavanje granica je povezano, prije svega, sa granicama racionalnog Qm(x)/Rn(x), gdje su Q i R polinomi. Ako se granica izračuna kao x →a (a je broj), tada može nastati nesigurnost, na primjer. Da biste ga eliminisali, podijelite brojilac i imenilac sa (x-a). Ponavljajte operaciju dok nesigurnost ne nestane. Dijeljenje polinoma vrši se gotovo na isti način kao i dijeljenje brojeva. Zasniva se na činjenici da su dijeljenje i množenje inverzne operacije. Primjer je prikazan na sl. 1.
Primjena prve izvanredne granice. Formula za prvu izuzetnu granicu prikazana je na Sl. 2a. Da biste ga koristili, pretvorite svoj primjer izraza u odgovarajući oblik. To se uvijek može učiniti čisto algebarski ili promjenom varijable. Glavna stvar je ne zaboraviti da ako je sinus kx, onda je i imenilac kx. Primjer je prikazan na sl. 2e. Osim toga, ako uzmemo u obzir da je tgx=sinx/cosx, cos0=1, onda se, kao posljedica, pojavljuje (vidi sliku 2b). arcsin(sinx)=x i arctg(tgx)=x. Dakle, postoje još dvije posljedice (sl. 2c. i 2d). Pojavio se prilično širok spektar metoda.
Upotreba druge granice je izvanredna (vidi sliku 3a). Granice ovog tipa se koriste za eliminaciju nesigurnosti tog tipa. Da biste riješili odgovarajuće probleme, jednostavno transformirajte uvjet u strukturu koja odgovara tipu ograničenja. Zapamtite da kada se izraz koji je već u određenom stepenu podiže na stepen, njihovi eksponenti se množe. Odgovarajući primjer je prikazan na sl. 2e. Primijeniti supstituciju α=1/h i dobiti posljedicu druge izuzetne granice (slika 2b). Uzimajući logaritam obe strane ove posledice na osnovu a, doći ćete do druge posledice, uključujući i za a = e (vidi sliku 2c). Izvršite zamjenu a^x-1=y. Tada je x=log(a)(1+y). Kako x teži nuli, y takođe teži nuli. Stoga se javlja treća posljedica (vidi sliku 2d).
Primjena ekvivalentnih infinitezimalnih funkcija je ekvivalentna kao x →a ako je granica njihovog omjera α(x)/γ(x) jednaka jedan. Kada računate granice koristeći takve infinitezimale, jednostavno napišite γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) je infinitezimal višeg reda male veličine od α(x). Za to je lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Koristite iste divne granice da shvatite ekvivalentnost. Metoda nam omogućava da značajno pojednostavimo proces pronalaženja granica, čineći ga transparentnijim.
Zamislite jato vrabaca ispupčenih očiju. Ne, ovo nije grmljavina, nije uragan, pa čak ni mali dječak sa praćkom u rukama. Samo što ogromna, ogromna topovska kugla leti u samu gustinu pilića. Tako je L'Hopitalova pravila baviti se granicama u kojima je neizvjesnost ili .
L'Hôpitalova pravila su veoma moćna metoda koja vam omogućava da brzo i efikasno eliminišete ove nesigurnosti, nije slučajno da u zbirkama problema, testova i testova često nađete stabilan pečat: „izračunajte granicu,; bez upotrebe L'Hopitalovog pravila" Zahtjev označen podebljanim slovima može se mirne savjesti primijeniti na bilo koju granicu lekcije Ograničenja. Primjeri rješenja, Wonderful Limits. Metode rješavanja granica, Izvanredne ekvivalencije, gdje se javlja nesigurnost “nula do nule” ili “beskonačnost do beskonačnosti”. Čak i ako je zadatak kratko formuliran - "izračunajte granice", prešutno se podrazumijeva da ćete koristiti sve, ali ne i pravila L'Hopitala.
Postoje dva pravila ukupno, i veoma su slična jedno drugom, kako u suštini tako i po načinu primene. Osim direktnih primjera na temu, proučavat ćemo i dodatni materijal koji će nam biti od koristi u daljem proučavanju matematičke analize.
Odmah ću rezervirati da će pravila biti predstavljena u lakoničnom "praktičnom" obliku, a ako morate polagati teorijski test, preporučujem da se obratite udžbeniku za rigoroznije proračune.
L'Hopitalovo prvo pravilo
Razmotrimo funkcije koje infinitezimal u nekom trenutku. Ako postoji granica za njihov odnos, onda kako bismo eliminirali neizvjesnost možemo uzeti dva derivati- od brojnika i od nazivnika. u ovom slučaju: 
, odnosno .
Napomena : Ograničenje također mora postojati, inače pravilo ne vrijedi.
Šta slijedi iz navedenog?
Prvo, morate biti u mogućnosti pronaći derivati funkcija, i sto bolje to bolje =)
Drugo, derivati se uzimaju ODVOJENO od brojnika i ODVOJENO od nazivnika. Nemojte brkati s pravilom diferencijacije količnika 
!!!
I treće, "X" može težiti bilo gdje, uključujući i beskonačnost - sve dok postoji neizvjesnost.
Vratimo se na primjer 5 iz prvog članka o granicama, što je dalo sljedeći rezultat: 
Na neizvjesnost 0:0 primjenjujemo L'Hopitalovo prvo pravilo:
Kao što vidite, diferencijacija brojnika i nazivnika dovela nas je do odgovora u pola okreta: pronašli smo dva jednostavna izvoda, zamenili „dvojku“ u njima i ispostavilo se da je neizvesnost nestala bez traga!
Nije neuobičajeno da se L'Hopitalova pravila primjenjuju sukcesivno dva ili više puta (ovo vrijedi i za drugo pravilo). Hajde da ga odnesemo na retro večernju lekciju Primer 2 o divnim granicama:
Dva peciva se ponovo hlade na krevetu na sprat. Primijenimo L'Hopitalovo pravilo: 
Imajte na umu da se u prvom koraku uzima imenilac derivat kompleksne funkcije. Nakon toga, provodimo niz srednjih pojednostavljenja, posebno se oslobađamo kosinusa, što pokazuje da teži jedinstvu. Nesigurnost se ne eliminira, pa ponovno primjenjujemo L'Hopitalovo pravilo (drugi red).
Namjerno sam odabrao ne tako jednostavan primjer kako biste mogli napraviti mali samotest. Ako nije sasvim jasno kako su pronađeni derivati, trebali biste ojačati svoju tehniku diferencijacije, ako kosinusni trik nije jasan, vratite se na izuzetne granice. Ne vidim puno smisla u komentarima korak po korak, jer sam već dovoljno detaljno govorio o izvedenicama i ograničenjima. Novost članka je u samim pravilima i nekim tehničkim rješenjima.
Kao što je već napomenuto, u većini slučajeva L'Hopitalova pravila ne treba koristiti, ali ih je često preporučljivo koristiti za grubu provjeru rješenja. Često, ali ne uvijek. Tako je, na primjer, upravo razmatrani primjer mnogo isplativije provjeriti divne ekvivalentnosti.
L'Hopitalovo drugo pravilo
Brat-2 se bori sa dve usnule osmice. Isto tako:
Ako postoji granica odnosa beskonačno velika u funkcijskoj tački: , tada da bismo eliminirali nesigurnost možemo uzeti dva derivata– ODVOJNO od brojnika i ODVOJNO od imenioca. u ovom slučaju: 
, odnosno kada se diferenciraju brojnik i nazivnik, vrijednost granice se ne mijenja.
Napomena : mora postojati granica
Opet, na raznim praktičnim primjerima značenje može biti drugačije, uključujući beskonačno. Važno je da postoji neizvjesnost.
Provjerimo primjer br. 3 prve lekcije: 
. Koristimo L'Hopitalovo drugo pravilo:
Pošto govorimo o divovima, pogledajmo dvije kanonske granice:
Primjer 1
Izračunajte limit
Nije lako dobiti odgovor korištenjem "konvencionalnih" metoda, pa da bismo otkrili nesigurnost "beskonačno do beskonačnosti" koristimo L'Hopitalovo pravilo: 
dakle, linearna funkcija višeg reda rasta od logaritma s bazom većom od jedan(itd.). Naravno, "X" u višim snagama će također "povući" takve logaritme. Zaista, funkcija raste prilično sporo i njena raspored je ravnija u odnosu na isti „X“.
Primjer 2
Izračunajte limit
Još jedan poznati snimak. Da bismo eliminisali nesigurnost, koristimo L'Hopitalovo pravilo, osim toga, dva puta zaredom:
Eksponencijalna funkcija, s bazom većom od jedan(itd.) viši red rasta od funkcije stepena sa pozitivnim stepenom.
Slična ograničenja se susreću tokom studija pune funkcije, naime, prilikom pronalaženja asimptote grafova. Oni su također uočljivi u nekim zadacima teorija vjerovatnoće. Savjetujem vam da uzmete u obzir dva razmatrana primjera, ovo je jedan od rijetkih slučajeva kada ne postoji ništa bolje od razlikovanja brojnika i nazivnika.
Dalje u tekstu neću praviti razliku između prvog i drugog pravila L'Hôpitala, to je učinjeno samo u svrhu strukturiranja članka. Generalno, sa moje tačke gledišta, donekle je štetno preterano brojiti matematičke aksiome, teoreme, pravila, svojstva, jer su fraze poput „prema posledicama 3 teoreme 19...“ informativne samo u okviru određenog udžbenika. . U drugom izvoru informacija ista stvar će biti “Korolar 2 i teorema 3”. Takve izjave su formalne i pogodne samo za same autore. U idealnom slučaju, bolje je pozvati se na suštinu matematičke činjenice. Izuzetak su istorijski utvrđeni termini, npr. prva divna granica ili druga divna granica.
Nastavljamo da razvijamo temu koju nam je predložio član Pariške akademije nauka, markiz Guillaume Francois de L'Hopital. Članak poprima naglašeni praktični okus i u prilično uobičajenom zadatku potrebno je:
Da se zagrijemo, pozabavimo se nekoliko malih vrabaca:
Primjer 3
Ograničenje se prvo može pojednostaviti tako što ćemo se riješiti kosinusa, ali pokažimo poštovanje prema uvjetu i odmah napravimo razliku između brojnika i nazivnika: 
Nema ničeg nestandardnog u procesu pronalaženja derivata, na primjer, nazivnik koristi uobičajeno; pravilo diferencijacije radi 
.
Razmatrani primjer je riješen kroz divne granice, sličan slučaj je razmatran na kraju članka Složene granice.
Primjer 4
Izračunajte granicu koristeći L'Hopitalovo pravilo 
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Dobar vic =)
Tipična situacija je kada se nakon diferencijacije dobiju tro- ili četverokatni razlomci:
Primjer 5
Izračunajte granicu koristeći L'Hopitalovo pravilo
Moli da se koristi izuzetna ekvivalencija, ali je put striktno unaprijed određen uslovom:
Nakon diferencijacije, toplo preporučujem da se riješite višekatnog razlomka i izvršite maksimalno pojednostavljenje. Naravno, napredniji učenici mogu preskočiti posljednji korak i odmah napisati: 
, ali i odlični studenti će se zbuniti u određenim granicama.
Primjer 6
Izračunajte granicu koristeći L'Hopitalovo pravilo
Primjer 7
Izračunajte granicu koristeći L'Hopitalovo pravilo
Ovo su primjeri koje možete sami riješiti. U primjeru 7, ne morate ništa pojednostaviti, razlomak dobiven nakon diferencijacije je previše jednostavan. Ali u primjeru 8, nakon primjene L'Hopitalovog pravila, vrlo je poželjno da se riješimo trokatne strukture, jer proračuni neće biti najpogodniji. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Ako imate bilo kakvih poteškoća - trigonometrijska tabela pomoći.
A, pojednostavljenja su apsolutno neophodna kada je, nakon diferencijacije, neizvjesnost nije riješeno.
Primjer 8
Izračunajte granicu koristeći L'Hopitalovo pravilo
idemo: 
Zanimljivo je da se prvobitna neizvjesnost nakon prve diferencijacije pretvorila u neizvjesnost, a L'Hôpitalovo pravilo se mirno primjenjuje dalje. Također primijetite kako se nakon svakog „prilaska“ razlomak sa četiri sprata eliminiše, a konstante se pomeraju izvan predznaka granice. U jednostavnijim primjerima, zgodnije je ne uključivati konstante, ali kada je granica složena, pojednostavljujemo sve, sve, sve. Podmuklost riješenog primjera je i u tome što kada 
, i , stoga, tokom eliminacije sinusa, nije iznenađujuće da se zbunite u znakovima. U pretposljednjem redu sinusi nisu mogli biti ubijeni, ali primjer je prilično težak, oprostiv.
Neki dan sam naišao na zanimljiv zadatak:
Primjer 9
Iskreno da budem, malo sam sumnjao koliko bi ova granica bila jednaka. Kao što je gore pokazano, "x" je većeg reda veličine od logaritma, ali hoće li "preteži" kubni logaritam? Pokušajte sami otkriti ko će pobijediti.
Da, L'Hopitalova pravila ne odnose se samo na gađanje vrapaca iz topa, već i na mukotrpan rad...
Kako bi se L'Hopitalova pravila primijenila na đevreke ili umorne osmice, nejasnoće u obliku su smanjene.
Suočavanje s neizvjesnošću detaljno je razmotreno u primjerima br. 9-13 lekcije. Metode rješavanja granica. Uzmimo još jednu za zapisnik:
Primjer 10
Izračunajte granicu funkcije koristeći L'Hopitalovo pravilo 
U prvom koraku dovodimo izraz do zajedničkog nazivnika, pretvarajući tako neizvjesnost u neizvjesnost. I onda naplaćujemo L'Hopitalovo pravilo: 
Ovdje je, inače, slučaj kada je dodirivanje četverokatnog izraza besmisleno.
Neizvjesnost također ne odoleva da se pretvori u ili:
Primjer 11
Izračunajte granicu funkcije koristeći L'Hopitalovo pravilo
Ograničenje je ovdje jednostrano, a o takvim ograničenjima je već bilo riječi u priručniku Grafovi i svojstva funkcija. Kao što se sjećate, graf “klasičnog” logaritma ne postoji lijevo od ose, tako da možemo prići nuli samo s desne strane.
L'Hopitalova pravila za jednostrane granice funkcionišu, ali se prvo mora riješiti neizvjesnost. U prvom koraku pravimo troetažni razlomak, dobivajući nesigurnost, a zatim rješenje slijedi šablonsku shemu: 
Nakon razlikovanja brojnika i nazivnika, oslobađamo se razlomka sa četiri sprata da bismo izvršili pojednostavljenja. Kao rezultat toga, pojavila se neizvjesnost. Ponavljamo trik: ponovo pravimo razlomak trospratni i ponovo primjenjujemo L'Hopitalovo pravilo na rezultirajuću nesigurnost:
Spreman.
Moglo bi se pokušati svesti originalno ograničenje na dvije krofne: 
Ali, prvo, derivacija u nazivniku je teža, a drugo, od ovoga neće biti ništa dobro.
dakle, Prije rješavanja sličnih primjera potrebno je analizirati(usmeno ili na nacrt), KOJU je nesigurnost povoljnije svesti na - na "nula na nulu" ili na "beskonačnost do beskonačnosti".
Zauzvrat, pijanci i egzotičniji drugovi pridružuju se vatri. Metoda transformacije je jednostavna i standardna.
L'Hopitalovo pravilo
Definicija 1
L'Hopitalovo pravilo: pod određenim uslovima, granica omjera funkcija čija varijabla teži ka $a$ jednaka je granici omjera njihovih derivata, pri čemu $x$ također teži $a$ :
$\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"( x))(g"(x)) $
L'Hopitalovo pravilo otkrio je švedski matematičar Johann Bernoulli, koji je o tome pisao L'Hopitalu u pismu. L'Hopital je ovo pravilo objavio u prvom udžbeniku diferencijalnog računa 1696. sa svojim autorstvom.
L'Hopitalovo pravilo se primjenjuje na izraze koji se mogu svesti na nesigurnosti sljedećeg tipa:
$\frac(0)(0) \begin(array)(ccc) () & () & (\frac(\infty )(\infty ) ) \end(array)$
Umjesto nule u prvom izrazu može biti bilo koja infinitezimalna vrijednost.
Općenito, L'Hopitalovo pravilo se može koristiti ako su i brojnik i imenilac nula ili beskonačni.
Uslovi pod kojima se L'Hopitalovo pravilo može primijeniti:
- Ispunjen je uslov pod kojim su granice funkcija $f(x)$ i $g(x)$ kako $x$ teži $a$ jednake jedna drugoj i teže nuli ili beskonačnosti: $\mathop(\ lim )\limits_(x \to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=0$ ili $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\infty $;
- Moguće je dobiti derivate od $f(x)$ i $g(x)$ u okolini $a$;
- Derivat funkcije $g(x)$ nije nula $g"(x)\ne 0$ u okolini $a$;
- Granica omjera derivacija funkcija $f(x)$ i $g(x)$, zapisana kao $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x) )(g"( x)) $ postoji.
Dokaz L'Hopitalovog pravila:
- Neka su date funkcije $f(x)$ i $g(x)$, a jednakost granica se poštuje:
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) g(x)=0 $.
- Definirajmo funkcije u tački $a$. Za ovu tačku bit će istinit sljedeći uvjet:
- $\frac(f(x))(g(x)) =\frac(f(x)-f(a))(g(x)-g(a)) =\frac(f"(c)) (g"(c))$.
- Vrijednost $c$ zavisi od $x$, ali ako je $x\to a+0$, onda $c\to a$.
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim)\limits_(c\to a+0) \frac (f"(c))(g"(c)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f"(c))(g"(c)) $.
Algoritam za izračunavanje rješenja pomoću L'Hopitalovog pravila
- Provjera cijelog izraza na nesigurnost.
- Provjerite sve gore navedene uvjete prije daljnje upotrebe L'Hopitalovog pravila.
- Provjera da li derivacija funkcije teži $0$.
- Ponovno testiranje na nesigurnost.
Primjer #1:
Pronađite granicu:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) $
Rješenje:
- Granica funkcije $f(x)$ jednaka je granici $g(x)$ i obje su jednake nuli: $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x )=\mathop(\lim )\limits_ (x\to 0) (x^(2) +5x)=0$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (3x)=0$
- $g"(x)=3\ne 0$ u okolini $a$
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim)\limits_(x\to 0) \frac(2x +5)(3)$
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop( \lim )\limits_(x\to 0) \frac(\left(x^(2) +5x\right)")(\left(3x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x \to 0) \frac(2x+5)(3) =\frac(0+5)(3) =\frac(5)(3) $
Primjer #2:
Pronađite granicu:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) $
Rješenje:
Provjerimo uslove za primjenjivost L'Hopitalovog pravila:
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -3x^(2) +2x) =\infty$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -x)=\infty $
- $f(x)$ i $g(x)$ su diferencijabilni u okolini $a$
- $g"(x)=6\ne 0$ u okolini $a$
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) \frac( 3x^(2) -6x+2)(3x^(2) -1) $
Zapišimo izvod i pronađemo granicu funkcije:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) =\left\langle \frac( \infty )(\infty ) \right\ranngle =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(x^(3) -3x^(2) +2x\desno)" )(\left(x^(3) -x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(3x^(2) -6x+2)(3x^( 2) -1) =\left\langle \frac(\infty )(\infty) \right\ranngle $
Ponavljamo izračunavanje derivata dok se ne riješimo nesigurnosti:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(3x^(2) -6x+2\right)")(\left(3x^(2) -1\desno) ") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(6x-6)(6x) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop (\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(6x-6\right)")(\left(6x\right)") =\frac(6)(6) =1$
Primjer #3:
Pronađite granicu:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) $
Rješenje:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\ranngle =\mathop(\lim )\ limits_(x\do 0) \frac(\left(\sin 5x\right)")(\left(x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(5 \cos 5x)(1) =5\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \cos 5x=5$
Primjer #4:
Pronađite granicu:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) $
Rješenje:
Logaritujmo funkciju:
$\ln y=\frac(1)(x) \ln (1+x^(2))=\frac(\ln (1+x^(2)))(x) $
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\ln (1+x^(2)))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left[\ln (1+x^(2))\right]")(x") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) \frac(\frac(2x) (1+x^(2) ) )(1) =0$
Kako je funkcija $ln(y)$ kontinuirana, dobijamo:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (\ln y)=\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) y)$
dakle,
$\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) y)=0$
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y=1$
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) =1$