Ugao između pravih linija na ravni. Ugao između linija u prostoru Pronađite akutni ugao između linija online kalkulator

Ovaj materijal posvećen je konceptu kao što je kut između dvije linije koje se sijeku. U prvom paragrafu ćemo objasniti šta je to i pokazati na ilustracijama. Zatim ćemo pogledati kako možete pronaći sinus, kosinus ovog kuta i sam kut (zasebno ćemo razmotriti slučajeve s ravninom i trodimenzionalnim prostorom), dat ćemo potrebne formule i pokazati primjerima koliko su točno koristi u praksi.

Da bismo razumjeli koliki je ugao koji nastaje kada se dvije prave ukrštaju, moramo se sjetiti same definicije ugla, okomice i točke sjecišta.

Definicija 1

Dve prave nazivamo seku ako imaju jednu zajedničku tačku. Ova tačka se naziva tačka preseka dve prave.

Svaka prava linija je podijeljena presječnom točkom na zrake. Obje prave prave 4 ugla, od kojih su dva okomita, a dva susjedna. Ako znamo mjeru jednog od njih, onda možemo odrediti preostale.

Recimo da znamo da je jedan od uglova jednak α. U ovom slučaju, ugao koji je okomit u odnosu na njega također će biti jednak α. Da bismo pronašli preostale uglove, moramo izračunati razliku 180° - α. Ako je α jednako 90 stepeni, tada će svi uglovi biti pravi uglovi. Prave koje se sijeku pod pravim uglom nazivaju se okomiti (poseban članak posvećen je konceptu okomitosti).

Pogledajte sliku:

Pređimo na formulisanje glavne definicije.

Definicija 2

Ugao koji formiraju dvije linije koje se seku je mjera manjeg od 4 ugla koji formiraju ove dvije prave.

Iz definicije se mora izvući važan zaključak: veličina ugla u ovom slučaju će biti izražena bilo kojim realnim brojem u intervalu (0, 90). Ako su prave okomite, tada će ugao između njih u svakom slučaju biti jednak 90 stepeni.

Sposobnost pronalaženja mjere ugla između dvije linije koje se seku je korisna za rješavanje mnogih praktičnih problema. Metoda rješenja može se odabrati između nekoliko opcija.

Za početak možemo uzeti geometrijske metode. Ako znamo nešto o dodatnim uglovima, onda ih možemo povezati sa uglom koji nam je potreban koristeći svojstva jednakih ili sličnih figura. Na primjer, ako znamo stranice trokuta i trebamo izračunati ugao između linija na kojima se te stranice nalaze, tada je kosinusni teorem pogodan za rješavanje. Ako imamo pravokutni trokut u našem stanju, tada ćemo za proračune morati znati i sinus, kosinus i tangent ugla.

Koordinatna metoda je također vrlo pogodna za rješavanje problema ovog tipa. Hajde da objasnimo kako ga pravilno koristiti.

Imamo pravougaoni (kartezijanski) koordinatni sistem O x y, u kojem su date dvije prave. Označimo ih slovima a i b. Prave se mogu opisati pomoću nekih jednačina. Originalne linije imaju presek M. Kako odrediti traženi ugao (označimo ga α) između ovih pravih?

Počnimo sa formulisanjem osnovnog principa nalaženja ugla pod datim uslovima.

Znamo da je koncept prave linije usko povezan sa konceptima kao što su vektor pravca i vektor normale. Ako imamo jednadžbu određene linije, možemo uzeti koordinate ovih vektora iz nje. To možemo učiniti za dvije linije koje se seku odjednom.

Ugao sastavljen od dvije linije koje se ukrštaju može se pronaći pomoću:

ugao između vektora smjera;
ugao između normalnih vektora;
ugao između vektora normale jedne linije i vektora smjera druge.

Sada pogledajmo svaku metodu posebno.

1. Pretpostavimo da imamo pravu a sa vektorom smjera a → = (a x, a y) i pravu b sa vektorom smjera b → (b x, b y). Sada nacrtajmo dva vektora a → i b → iz tačke preseka. Nakon ovoga ćemo vidjeti da će svaki biti smješten na svojoj pravoj liniji. Tada imamo četiri opcije za njihov relativni raspored. Pogledajte ilustraciju:

Ako ugao između dva vektora nije tup, onda će to biti ugao koji nam treba između pravih a i b koji se sijeku. Ako je tup, onda će željeni ugao biti jednak uglu pored ugla a →, b → ^. Dakle, α = a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 °, i α = 180 ° - a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .

Na osnovu činjenice da su kosinusi jednakih uglova jednaki, dobijene jednakosti možemo prepisati na sledeći način: cos α = cos a →, b → ^, ako je a →, b → ^ ≤ 90°; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ako je a →, b → ^ > 90 °.

U drugom slučaju korištene su formule redukcije. dakle,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Napišimo posljednju formulu riječima:

Definicija 3

Kosinus ugla kojeg formiraju dvije prave linije koje se seku bit će jednak modulu kosinusa ugla između njegovih vektora smjera.

Opšti oblik formule za kosinus ugla između dva vektora a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) izgleda ovako:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Iz njega možemo izvesti formulu za kosinus ugla između dvije date prave:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tada se sam ugao može pronaći pomoću sljedeće formule:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ovdje su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera datih linija.

Dajemo primjer rješavanja problema.

Primjer 1

U pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni date su dve prave a i b koje se seku. Mogu se opisati parametarskim jednačinama x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3. Izračunajte ugao između ovih linija.

Rješenje

U našem stanju imamo parametarsku jednačinu, što znači da za ovu liniju možemo odmah zapisati koordinate njenog vektora smjera. Da bismo to učinili, moramo uzeti vrijednosti koeficijenata za parametar, tj. prava linija x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R će imati vektor pravca a → = (4, 1).

Drugi red je opisan pomoću kanonske jednadžbe x 5 = y - 6 - 3. Ovdje možemo uzeti koordinate iz nazivnika. Dakle, ova prava ima vektor smjera b → = (5, - 3) .

Zatim prelazimo direktno na pronalaženje ugla. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite postojeće koordinate dva vektora u gornju formulu α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Dobijamo sljedeće:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Odgovori: Ove ravne linije formiraju ugao od 45 stepeni.

Sličan problem možemo riješiti pronalaženjem ugla između normalnih vektora. Ako imamo pravu a sa vektorom normale n a → = (n a x , n a y) i pravu b sa vektorom normale n b → = (n b x , n b y), tada će ugao između njih biti jednak uglu između n a → i n b → ili ugao koji će biti susedan sa n a →, n b → ^. Ova metoda je prikazana na slici:

Formule za izračunavanje kosinusa ugla između linija koje se sijeku i samog ugla pomoću koordinata normalnih vektora izgledaju ovako:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n x n b y 2 + n b x n 2

Ovdje n a → i n b → označavaju vektore normale dvije date prave.

Primjer 2

U pravougaonom koordinatnom sistemu, dve prave su određene pomoću jednačina 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0. Pronađite sinus i kosinus ugla između njih i veličinu samog ugla.

Rješenje

Originalne linije su specificirane pomoću normalnih jednadžbi linija oblika A x + B y + C = 0. Vektor normale označavamo sa n → = (A, B). Nađimo koordinate prvog vektora normale za jednu liniju i zapišemo ih: n a → = (3, 5) . Za drugu liniju x + 4 y - 17 = 0, vektor normale će imati koordinate n b → = (1, 4). Sada dodajmo dobijene vrijednosti formuli i izračunajmo ukupno:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ako znamo kosinus ugla, onda možemo izračunati njegov sinus koristeći osnovni trigonometrijski identitet. Pošto ugao α koji formiraju prave linije nije tup, onda je sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

U ovom slučaju, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Odgovor: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizirajmo posljednji slučaj - pronalaženje ugla između pravih ako znamo koordinate vektora smjera jedne prave i vektora normale druge.

Pretpostavimo da prava a ima vektor pravca a → = (a x , a y) , a prava b ima vektor normale n b → = (n b x , n b y) . Ove vektore treba da stavimo po strani od tačke preseka i razmotrimo sve opcije za njihove relativne pozicije. Pogledajte na slici:

Ako ugao između datih vektora nije veći od 90 stepeni, ispada da će dopuniti ugao između a i b u pravi ugao.

a → , n b → ^ = 90 ° - α ako je a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ako je manji od 90 stepeni, dobijamo sledeće:

a → , n b → ^ > 90 ° , zatim a → , n b → ^ = 90 ° + α

Koristeći pravilo jednakosti kosinusa jednakih uglova, pišemo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α za a → , n b → ^ > 90 ° .

dakle,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Hajde da formulišemo zaključak.

Definicija 4

Da biste pronašli sinus ugla između dvije prave koje se sijeku na ravni, morate izračunati modul kosinusa ugla između vektora smjera prve linije i vektora normale druge.

Zapišimo potrebne formule. Pronalaženje sinusa ugla:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Pronalaženje samog ugla:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ovdje je a → vektor smjera prve linije, a n b → je vektor normale druge.

Primjer 3

Dvije prave koje se seku date su jednadžbama x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0. Pronađite ugao preseka.

Rješenje

Koordinate vodilice i vektora normale uzimamo iz datih jednadžbi. Ispada a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4). Uzimamo formulu α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i izračunavamo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Napominjemo da smo uzeli jednadžbe iz prethodnog problema i dobili potpuno isti rezultat, ali na drugačiji način.

odgovor:α = a r c sin 7 2 34

Predstavimo još jedan način za pronalaženje željenog ugla koristeći ugaone koeficijente datih pravih linija.

Imamo pravu a, koja je definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu pomoću jednačine y = k 1 x + b 1, i pravu b, definisanu kao y = k 2 x + b 2. Ovo su jednadžbe linija sa nagibima. Da bismo pronašli ugao presjeka, koristimo formulu:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, gdje su k 1 i k 2 nagibi datih pravih. Za dobijanje ovog zapisa korištene su formule za određivanje ugla kroz koordinate vektora normale.

Primjer 4

Postoje dvije prave koje se seku u ravni, date jednadžbama y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4. Izračunajte vrijednost ugla presjeka.

Rješenje

Ugaoni koeficijenti naših linija jednaki su k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4. Dodajmo ih formuli α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 i izračunajmo:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

odgovor:α = a r c cos 23 2 34

U zaključcima ovog paragrafa treba napomenuti da se formule za pronalaženje ugla koje su ovdje date ne moraju učiti napamet. Da biste to učinili, dovoljno je znati koordinate vodilica i/ili vektora normale datih linija i biti u stanju da ih odredite koristeći različite tipove jednadžbi. Ali bolje je zapamtiti ili zapisati formule za izračunavanje kosinusa kuta.

Kako izračunati ugao između linija koje se seku u prostoru

Proračun takvog ugla može se svesti na izračunavanje koordinata vektora pravca i određivanje veličine ugla koji ovi vektori formiraju. Za takve primjere koristi se isto rezonovanje koje smo dali prije.

Pretpostavimo da imamo pravougaoni koordinatni sistem koji se nalazi u trodimenzionalnom prostoru. Sadrži dvije prave a i b sa presječnom tačkom M. Da bismo izračunali koordinate vektora smjera, moramo znati jednačine ovih linija. Označimo vektore smjera a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Za izračunavanje kosinusa ugla između njih koristimo formulu:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Da bismo pronašli sam ugao, potrebna nam je ova formula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Primjer 5

Imamo liniju definisanu u trodimenzionalnom prostoru pomoću jednačine x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Poznato je da se seče sa O z osom. Izračunajte ugao presjeka i kosinus tog ugla.

Rješenje

Označimo ugao koji treba izračunati slovom α. Zapišimo koordinate vektora pravca za prvu pravu – a → = (1, - 3, - 2) . Za aplikantnu osu možemo uzeti koordinatni vektor k → = (0, 0, 1) kao vodič. Dobili smo potrebne podatke i možemo ih dodati u željenu formulu:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Kao rezultat toga, otkrili smo da će ugao koji nam treba biti jednak a r c cos 1 2 = 45 °.

odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ugao φ opšte jednačine A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, izračunato po formuli:

Ugao φ između dva data reda kanonske jednačine(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 i (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, izračunato po formuli:

Udaljenost od tačke do linije

Svaka ravan u prostoru može se predstaviti kao linearna jednačina tzv opšta jednačina avion

Posebni slučajevi.

o Ako je u jednačini (8) tada ravan prolazi kroz početak.

o Kada je (,) ravan paralelna sa osom (osom, osom), respektivno.

o Kada je (,) ravan paralelna sa ravninom (ravan, ravan).

Rješenje: koristite (7)

Odgovor: opšta ravninska jednačina.

Primjer.

Ravan u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz data je opštom jednačinom ravni . Zapišite koordinate svih vektora normale ove ravni.

Znamo da su koeficijenti varijabli x, y i z u opštoj jednačini ravni odgovarajuće koordinate vektora normale ove ravni. Dakle, vektor normale date ravni ima koordinate. Skup svih normalnih vektora može se definirati kao:

Napišite jednačinu ravni ako u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz u prostoru prolazi kroz tačku , A je normalni vektor ove ravni.

Predstavljamo dva rješenja za ovaj problem.

Od uslova koji imamo. Zamjenjujemo ove podatke u opću jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačku:

Napišite opštu jednačinu ravni paralelne sa koordinatnom ravninom Oyz i koja prolazi kroz tačku .

Ravan koja je paralelna koordinatnoj ravni Oyz može se dati opštom nepotpunom jednadžbom ravnine oblika . Od tačke pripada ravni po uslovu, tada koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačinu ravni, odnosno jednakost mora biti tačna. Odavde nalazimo. Dakle, tražena jednačina ima oblik.

Rješenje. Unakrsni proizvod, po definiciji 10.26, ortogonan je na vektore p i q. Prema tome, on je ortogonan na željenu ravan i vektor se može uzeti kao njegov normalni vektor. Nađimo koordinate vektora n:

to jest . Koristeći formulu (11.1), dobijamo

Otvaranjem zagrada u ovoj jednačini dolazimo do konačnog odgovora.

odgovor: .

Prepišimo normalni vektor u formu i pronađemo njegovu dužinu:

prema gore navedenom:

Odgovori:

Paralelne ravni imaju isti vektor normale. 1) Iz jednačine nalazimo vektor normale ravni:.

2) Sastavimo jednadžbu ravnine koristeći vektor tačke i normale:

Odgovori:

Vektorska jednadžba ravnine u prostoru

Parametrijska jednadžba ravni u prostoru

Jednadžba ravni koja prolazi kroz datu tačku okomita na dati vektor

Neka je pravougaoni Dekartov koordinatni sistem zadan u trodimenzionalnom prostoru. Hajde da formulišemo sledeći problem:

Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz datu tačku M(x 0, y 0, z 0) okomito na dati vektor n = ( A, B, C} .

Rješenje. Neka P(x, y, z) je proizvoljna tačka u prostoru. Dot P pripada ravni ako i samo ako je vektor MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ortogonalno na vektor n = {A, B, C) (Sl. 1).

Nakon što smo napisali uslov za ortogonalnost ovih vektora (n, MP) = 0 u koordinatnom obliku, dobijamo:

A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Jednadžba ravnine koja koristi tri tačke

U vektorskom obliku

U koordinatama

Međusobni raspored aviona u prostoru

– opšte jednačine dve ravni. onda:

1) ako , tada se ravni poklapaju;

2) ako , tada su ravni paralelne;

3) ako ili , tada se ravnine seku i sistem jednačina

(6)

su jednadžbe prave linije presjeka ovih ravni.

Rješenje: Sastavljamo kanonske jednadžbe linije koristeći formulu:

Odgovori:

Uzimamo rezultirajuće jednačine i mentalno „odštipamo“, na primjer, lijevi komad: . Sada izjednačimo ovaj komad na bilo koji broj

(zapamtite da je već postojala nula), na primjer, na jedan: .

Rješenje Budući da , onda bi druga dva “komada” također trebala biti jednaka jednom. U suštini, morate riješiti sistem:

Sastavite parametarske jednačine od sljedećih pravih linija: : Prave su date kanonskim jednadžbama i u prvoj fazi treba pronaći neku tačku koja pripada pravoj i njen vektor smjera.

a) Iz jednačina

ukloniti tačku i vektor smjera: . Možete odabrati drugu tačku (kako to učiniti opisano je gore), ali je bolje uzeti najočitiju. Usput, da biste izbjegli greške, uvijek zamijenite njegove koordinate u jednačine.

Kreirajmo parametarske jednadžbe za ovu liniju: Pogodnost parametarskih jednačina je u tome što one olakšavaju pronalaženje drugih tačaka na pravoj. Na primjer, pronađimo tačku čije koordinate, recimo, odgovaraju vrijednosti parametra:

Dakle: b) Razmotrite kanonske jednačine

. Odabir tačke ovdje nije težak, ali podmukao: (pazite da ne pobrkate koordinate!!!). Kako ukloniti vodeći vektor? Možete spekulisati o tome čemu je ova linija paralelna, ili možete koristiti jednostavnu formalnu tehniku: proporcija sadrži “Y” i “Z”, tako da zapišemo vektor smjera , i stavimo nulu u preostali prostor: . Sastavimo parametarske jednačine prave: c) Hajde da prepišemo jednačine u obliku , odnosno "zet" može biti bilo šta. A ako bilo koji, onda neka, na primjer, . Dakle, tačka pripada ovoj pravoj. Za pronalaženje vektora smjera koristimo sljedeću formalnu tehniku: u originalnim jednadžbama postoje “x” i “y”, au vektor smjera na tim mjestima pišemo nule: . U preostali prostor stavljamo

jedinica

: . Umjesto jedan, može se koristiti bilo koji broj osim nule.

Zapišimo parametarske jednačine prave:

Oh-oh-oh-oh-oh... pa, teško je, kao da je čitao rečenicu u sebi =) Međutim, opuštanje će pomoći kasnije, pogotovo što sam danas kupio odgovarajući pribor. Stoga, pređimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje. Relativni položaj dvije prave linije:

To je slučaj kada publika pjeva u horu.

Dvije prave linije mogu

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ; : Zapamtite znak matematičke raskrsnice, on će se pojavljivati vrlo često. Oznaka znači da se prava siječe s pravom u tački .

Kako odrediti relativni položaj dvije linije?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije linije se poklapaju ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji broj “lambda” takav da su jednakosti zadovoljene

Razmotrimo prave linije i napravimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove linije poklapaju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite sa –1 (promijenite predznake) i smanjite sve koeficijente jednačine za 2, dobićete istu jednačinu: .

Drugi slučaj, kada su linije paralelne:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti varijabli proporcionalni: , Ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, to je sasvim očigledno.

I treći slučaj, kada se prave sijeku:

Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, odnosno NEMA takve vrijednosti “lambda” da su jednakosti zadovoljene

Dakle, za prave linije napravićemo sistem:

Iz prve jednačine slijedi da , a iz druge jednačine: , što znači sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti varijabli nisu proporcionalni.

Zaključak: prave se sijeku

U praktičnim problemima možete koristiti shemu rješenja o kojoj smo upravo razgovarali. Inače, jako podsjeća na algoritam za provjeru kolinearnosti vektora koji smo gledali na času Koncept linearne (ne)zavisnosti vektora. Osnova vektora. Ali postoji civilizovanije pakovanje:

Primjer 1

Saznajte relativne položaje linija:

Rješenje na osnovu proučavanja usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednačina nalazimo vektore pravca linija: .

, što znači da vektori nisu kolinearni i da se prave sijeku.

Za svaki slučaj staviću kamen sa tablama na raskrsnici:

Ostali preskaču kamen i prate dalje, pravo do Kaščeja besmrtnog =)

b) Pronađite vektore pravca pravih:

Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili podudarne. Ovdje nema potrebe računati determinantu.

Očigledno je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, i .

Hajde da saznamo da li je jednakost tačna:

dakle,

c) Pronađite vektore pravca pravih:

Izračunajmo determinantu koju čine koordinate ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili podudarne.

Koeficijent proporcionalnosti “lambda” je lako vidjeti direktno iz omjera vektora kolinearnog smjera. Međutim, može se naći i kroz koeficijente samih jednačina: .

Sada hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, pa:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu (bilo koji broj općenito je zadovoljava).

Dakle, linije se poklapaju.

Odgovori:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) riješiti problem o kojem se govori usmeno doslovno za nekoliko sekundi. U tom smislu, ne vidim smisla nuditi bilo šta za samostalno rješenje, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako konstruisati pravu paralelnu sa datom?

Za nepoznavanje ovog najjednostavnijeg zadatka Slavuj razbojnik strogo kažnjava.

Primjer 2

Prava linija je data jednadžbom. Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Označimo nepoznatu liniju slovom . Šta stanje govori o njoj? Prava linija prolazi kroz tačku. A ako su linije paralelne, onda je očito da je vektor smjera prave linije "tse" također pogodan za konstruiranje prave linije "de".

Vektor smjera uzimamo iz jednadžbe:

Odgovori:

Primjer geometrije izgleda jednostavno:

Analitičko testiranje se sastoji od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednadžba prave nije uprošćena kako treba, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

U većini slučajeva, analitičko testiranje se može lako izvesti usmeno. Pogledajte te dvije jednačine i mnogi od vas će brzo odrediti paralelizam pravih bez ikakvog crteža.

Primjeri za nezavisna rješenja danas će biti kreativni. Jer ćete se ipak morati takmičiti sa Baba Yagom, a ona je, znate, ljubitelj svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu s pravom if

Postoji racionalan i ne tako racionalan način da se to riješi. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili sa paralelnim linijama i vratit ćemo se na njih kasnije. Slučaj poklapanja linija je malo zanimljiv, pa hajde da razmotrimo problem koji vam je vrlo poznat iz školskog programa:

Kako pronaći tačku preseka dve prave?

Ako je ravno seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistemi linearnih jednačina

Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.

Izvolite geometrijsko značenje sistema od dve linearne jednačine sa dve nepoznate- to su dvije ukrštane (najčešće) prave na ravni.

Primjer 4

Pronađite tačku preseka pravih

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafička metoda je da jednostavno nacrtate date linije i saznate presječnu točku direktno iz crteža:

Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednačinu linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema. U suštini, pogledali smo grafičko rješenje sistemi linearnih jednačina sa dve jednačine, dve nepoznate.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali ima očiglednih nedostataka. Ne, nije poenta u tome da se učenici sedmog razreda odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi ispravan i TAČAN crtež. Osim toga, neke prave linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može se nalaziti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku presjeka analitičkom metodom. Rešimo sistem:

Za rješavanje sistema korištena je metoda sabiranja jednačina po članu. Da biste razvili relevantne vještine, uzmite lekciju Kako riješiti sistem jednačina?

Odgovori:

Provjera je trivijalna - koordinate presečne tačke moraju zadovoljiti svaku jednačinu sistema.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Pogodno je podijeliti zadatak u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Zapišite jednačinu prave.
2) Zapišite jednačinu prave.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.

Razvoj akcionog algoritma tipičan je za mnoge geometrijske probleme, a ja ću se više puta fokusirati na to.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Čak ni par cipela nije bio iznošen prije nego što smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između pravih linija

Počnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu naučili smo kako da napravimo pravu liniju paralelnu ovoj, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stepeni:

Kako konstruisati pravu okomitu na datu?

Primjer 6

Prava linija je data jednadžbom. Napišite jednačinu okomitu na pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Po uslovu se zna da . Bilo bi lijepo pronaći usmjeravajući vektor linije. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.

Sastavimo jednadžbu prave linije koristeći vektor tačke i pravca:

Odgovori:

Proširimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narandžasto nebo, narandžasto more, narandžasta kamila.

Analitička verifikacija rješenja:

1) Vektore smjera izvlačimo iz jednačina i uz pomoć skalarni proizvod vektora dolazimo do zaključka da su prave zaista okomite: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu .

Test se, opet, lako izvodi oralno.

Primjer 7

Nađite točku presjeka okomitih linija ako je jednačina poznata i tačka.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. U problemu postoji nekoliko radnji, pa je zgodno formulirati rješenje tačku po tačku.

Naše uzbudljivo putovanje se nastavlja:

Udaljenost od tačke do linije

Pred nama je prava traka rijeke i naš zadatak je da do nje dođemo najkraćim putem. Prepreke nema, a najoptimalnija ruta je da se krećete okomito. Odnosno, udaljenost od tačke do prave je dužina okomitog segmenta.

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom “rho”, na primjer: – udaljenost od tačke “em” do prave linije “de”.

Udaljenost od tačke do linije izraženo formulom

Primjer 8

Pronađite udaljenost od tačke do prave

Rješenje: sve što trebate učiniti je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i izvršiti izračune:

Odgovori:

Napravimo crtež:

Pronađena udaljenost od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. = 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrimo još jedan zadatak na osnovu istog crteža:

Zadatak je pronaći koordinate tačke koja je simetrična tački u odnosu na pravu liniju . Predlažem da sami izvršite korake, ali ću izložiti algoritam rješenja sa srednjim rezultatima:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

Obje akcije su detaljno razmotrene u ovoj lekciji.

3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta nalazimo .

Bilo bi dobro provjeriti da je udaljenost također 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali mikrokalkulator je velika pomoć u tornju, koji vam omogućava da izračunate obične razlomke. Savjetovao sam vas mnogo puta i preporučit ću vas ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?

Primjer 9

Nađite razmak između dvije paralelne prave

Ovo je još jedan primjer da sami odlučite. Dat ću vam mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina da se ovo riješi. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje je da pokušate sami da pogodite, mislim da je vaša domišljatost bila dobro razvijena.

Ugao između dvije prave linije

Svaki ćošak je dovratak:

U geometriji se ugao između dvije prave uzima MANJI ugao, iz čega automatski slijedi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. I njegov “zeleni” komšija ili suprotno orijentisan"malina" kutak.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer u kojem se kut „pomiče“ je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani ugao piše se sa znakom minus, na primjer ako .

Zašto sam ti ovo rekao? Čini se da možemo proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da formule po kojima ćemo pronaći uglove lako mogu rezultirati negativnim rezultatom, a to vas ne treba iznenaditi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu, za negativan ugao, obavezno označite njegovu orijentaciju strelicom (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći ugao između dve prave? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite ugao između linija

Rješenje I Prvi metod

Razmotrimo dvije prave linije definirane jednadžbama u opštem obliku:

Ako je ravno nije okomito, To orijentisan Ugao između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratite pažnju na imenilac – to je upravo tako tačkasti proizvod usmjeravajući vektori pravih linija:

Ako je , tada nazivnik formule postaje nula, a vektori će biti ortogonalni, a linije okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neopravnost linija u formulaciji.

Na osnovu navedenog, zgodno je formalizirati rješenje u dva koraka:

1) Izračunajmo skalarni proizvod vektora smjera linija:
, što znači da linije nisu okomite.

2) Pronađite ugao između pravih koristeći formulu:

Koristeći inverznu funkciju lako je pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost arktangensa (vidi. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovori:

U odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, minus, ništa strašno. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što se ugao pokazalo negativno orijentisan, jer je u iskazu problema prvi broj prava linija i upravo s njom je počelo „odvrtanje“ ugla.

Ako zaista želite da dobijete pozitivan ugao, trebate zamijeniti linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednačine , i uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s direktnim .

UGAO IZMEĐU RAVNI

Razmotrimo dvije ravni α 1 i α 2, definirane jednadžbama:

Ispod ugao između dvije ravni razumjet ćemo jedan od diedarskih uglova koje formiraju ove ravni. Očigledno je da je ugao između vektora normale i ravni α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susednih diedarskih uglova ili . Zato . Jer I , To

Primjer. Odredite ugao između ravnina x+2y-3z+4=0 i 2 x+3y+z+8=0.

Uslov za paralelnost dve ravni.

Dvije ravni α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori paralelni, te stoga .

Dakle, dvije ravni su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti odgovarajućih koordinata proporcionalni:

ili

Uslov okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravni okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, i stoga, ili .

Dakle, .

Primjeri.

PRAVO U PROSTOR.

VEKTORSKA JEDNAČINA ZA PRAVU.

PARAMETRIČKE DIREKTNE JEDNAČINE

Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke M 1 i vektor paralelan ovoj pravoj.

Poziva se vektor paralelan pravoj vodiči vektor ove linije.

Dakle, neka prava linija l prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1), koja leži na pravoj paralelnoj vektoru .

Razmotrite proizvoljnu tačku M(x,y,z) na pravoj liniji. Iz slike je jasno da .

Vektori i su kolinearni, tako da postoji takav broj t, šta , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o poziciji točke M na pravoj liniji. Faktor t naziva parametar. Nakon što smo odredili radijus vektore tačaka M 1 i M odnosno, kroz i , Dobijamo . Ova jednačina se zove vektor jednačina prave linije. To pokazuje da za svaku vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke tačke M, leži na pravoj liniji.

Zapišimo ovu jednačinu u koordinatnom obliku. Imajte na umu da, i odavde

Rezultirajuće jednačine se nazivaju parametarski jednačine prave linije.

Prilikom promjene parametra t promene koordinata x, y I z i tačka M kreće se pravolinijski.

KANONIČKE JEDNAČINE DIREKTNE

Neka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – tačka koja leži na pravoj liniji l, And je njegov vektor smjera. Uzmimo opet proizvoljnu tačku na pravoj M(x,y,z) i razmotrimo vektor .

Jasno je da su i vektori kolinearni, pa njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle,

– kanonski jednačine prave linije.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednačine prave mogu dobiti iz parametarskih eliminacijom parametra t. Zaista, iz parametarskih jednačina dobijamo ili .

Primjer. Zapišite jednačinu prave u parametarskom obliku.

Označimo , odavde x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je prava okomita na jednu od koordinatnih osa, na primjer na os Ox. Tada je vektor smjera prave okomit Ox, dakle, m=0. Shodno tome, parametarske jednačine prave će poprimiti oblik

Isključivanje parametra iz jednačina t, dobijamo jednačine prave u obliku

Međutim, i u ovom slučaju pristajemo da formalno zapišemo kanonske jednačine prave u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, to znači da je prava okomita na odgovarajuću koordinatnu osu.

Slično kanonskim jednačinama odgovara pravoj liniji okomitoj na osi Ox I Oy ili paralelno sa osom Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNAČINE PRAVE KAO PRAVE PRESEKA DVIJE RAVNE

Kroz svaku pravu liniju u svemiru postoji bezbroj ravni. Bilo koja dva od njih, ukrštajući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednačine bilo koje dvije takve ravni, razmatrane zajedno, predstavljaju jednačine ove prave.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravni definirane općim jednačinama

odrediti pravu liniju njihovog preseka. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine direktno.

Primjeri.

Konstruirajte pravu zadanu jednadžbama

Za konstruiranje prave linije dovoljno je pronaći bilo koje dvije njene tačke. Najlakši način je da odaberete tačke preseka prave linije sa koordinatnim ravnima. Na primjer, tačka preseka sa ravninom xOy dobijamo iz jednačina prave linije, pod pretpostavkom z= 0:

Nakon što smo riješili ovaj sistem, nalazimo poentu M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom y= 0, dobijamo tačku preseka prave sa ravninom xOz:

Od opštih jednačina prave linije može se preći na njene kanonske ili parametarske jednačine. Da biste to učinili, morate pronaći neku tačku M 1 na pravoj liniji i vektor smjera prave linije.

Koordinate tačaka M 1 dobijamo iz ovog sistema jednačina, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora I . Dakle, izvan vektora smjera prave linije l možete uzeti vektorski proizvod normalnih vektora:

Primjer. Dajte opće jednačine linije kanonskom obliku.

Nađimo tačku koja leži na pravoj. Da bismo to učinili, proizvoljno biramo jednu od koordinata, na primjer, y= 0 i riješi sistem jednačina:

Vektori normale ravni koje definiraju pravu imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. dakle, l: .

UGAO IZMEĐU RAVNIH

Ugao između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije linije:

Očigledno, ugao φ između pravih linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda koristeći formulu za kosinus kuta između vektora dobivamo

Biću kratak. Ugao između dve prave je jednak uglu između njihovih vektora pravca. Dakle, ako uspijete pronaći koordinate vektora smjera a = (x 1 ; y 1 ; z 1) i b = (x 2 ; y 2 ; z 2), možete pronaći kut. Preciznije, kosinus ugla prema formuli:

Pogledajmo kako ova formula funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. U kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 označene su tačke E i F - sredine ivica A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno. Pronađite ugao između pravih AE i BF.

Pošto ivica kocke nije specificirana, postavimo AB = 1. Uvodimo standardni koordinatni sistem: početak je u tački A, ose x, y, z su usmjerene duž AB, AD i AA 1, respektivno. Jedinični segment je jednak AB = 1. Sada ćemo pronaći koordinate vektora smjera za naše linije.

Nađimo koordinate vektora AE. Za to su nam potrebne tačke A = (0; 0; 0) i E = (0,5; 0; 1). Kako je tačka E sredina segmenta A 1 B 1, njene koordinate su jednake aritmetičkoj sredini koordinata krajeva. Imajte na umu da se početak vektora AE poklapa sa ishodištem koordinata, pa je AE = (0,5; 0; 1).

Pogledajmo sada BF vektor. Slično analiziramo tačke B = (1; 0; 0) i F = (1; 0,5; 1), jer F je sredina segmenta B 1 C 1. imamo:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Dakle, vektori smjera su spremni. Kosinus ugla između pravih je kosinus ugla između vektora pravca, pa imamo:

Zadatak. U pravilnoj trouglastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1, čije su sve ivice jednake 1, označene su tačke D i E - sredine ivica A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno. Pronađite ugao između pravih AD i BE.

Hajde da uvedemo standardni koordinatni sistem: početak je u tački A, x os je usmerena duž AB, z - duž AA 1. Usmjerimo y-os tako da se ravan OXY poklapa sa ravninom ABC. Jedinični segment je jednak AB = 1. Nađimo koordinate vektora smjera za tražene linije.

Prvo, pronađimo koordinate vektora AD. Razmotrimo tačke: A = (0; 0; 0) i D = (0,5; 0; 1), jer D - sredina segmenta A 1 B 1. Pošto se početak vektora AD poklapa sa ishodištem koordinata, dobijamo AD = (0,5; 0; 1).

Sada pronađimo koordinate vektora BE. Tačku B = (1; 0; 0) je lako izračunati. Sa tačkom E - sredinom segmenta C 1 B 1 - to je malo komplikovanije. imamo:

Ostaje pronaći kosinus ugla:

Zadatak. U pravilnoj heksagonalnoj prizmi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, čije su sve ivice jednake 1, označene su tačke K i L - sredine ivica A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno . Pronađite ugao između pravih AK i BL.

Hajde da uvedemo standardni koordinatni sistem za prizmu: početak koordinata postavljamo u centar donje baze, x os je usmerena duž FC, y osa je usmerena kroz sredine segmenata AB i DE, a z osa je usmjerena okomito prema gore. Jedinični segment je opet jednak AB = 1. Zapišimo koordinate tačaka koje nas zanimaju:

Tačke K i L su sredine segmenata A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno, pa se njihove koordinate nalaze preko aritmetičke sredine. Poznavajući tačke, nalazimo koordinate vektora pravca AK i BL:

Sada pronađimo kosinus ugla:

Zadatak. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi SABCD, čije su sve ivice jednake 1, označene su tačke E i F - sredine stranica SB i SC, respektivno. Pronađite ugao između pravih AE i BF.

Hajde da uvedemo standardni koordinatni sistem: početak je u tački A, x i y ose su usmerene duž AB i AD, respektivno, a z osa je usmerena vertikalno nagore. Jedinični segment je jednak AB = 1.

Tačke E i F su sredine segmenata SB i SC, respektivno, pa se njihove koordinate nalaze kao aritmetička sredina krajeva. Zapišimo koordinate tačaka koje nas zanimaju:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)