Zadatak br. 1
Logika je jednostavna: učinit ćemo kao što smo radili prije, bez obzira što sada trigonometrijske funkcije imaju složeniji argument!
Ako bismo riješili jednačinu oblika:
Zatim bismo zapisali sljedeći odgovor:
ili (od)
Ali sada našu ulogu igra ovaj izraz:
Tada možemo napisati:
Naš cilj sa vama je da lijeva strana stoji jednostavno, bez ikakvih "nečistoća"!
Riješimo ih se postepeno!
Prvo, uklonimo nazivnik na: da bismo to učinili, pomnožimo našu jednakost sa:
Sada ga se riješimo tako što ćemo podijeliti oba dijela:
A sada da se riješimo osam:
Rezultirajući izraz se može napisati kao 2 serije rješenja (po analogiji s kvadratnom jednadžbom, gdje ili dodajemo ili oduzimamo diskriminanta)
Moramo pronaći najveći negativni korijen! Jasno je da se moramo srediti.
Pogledajmo prvo prvu epizodu:
Jasno je da ako uzmemo, onda ćemo kao rezultat dobiti pozitivne brojeve, ali oni nas ne zanimaju.
Dakle, morate to uzeti negativno. Neka bude.
Kada će korijen biti uži:
I moramo pronaći najveći negativ!! To znači da ići u negativnom smjeru ovdje više nema smisla. I najveći negativni korijen za ovu seriju bit će jednak.
Pogledajmo sada drugu seriju:
I opet zamjenjujemo: , zatim:
Nezainteresovan!
Onda nema smisla više povećavati! Hajde da ga smanjimo! Neka onda:
Odgovara!
Neka bude. Onda
Zatim - najveći negativni korijen!
odgovor:
Zadatak br. 2
Ponovo rješavamo, bez obzira na kompleksni kosinus argument:
Sada ponovo izražavamo sa leve strane:
Pomnožite obje strane sa
Podijelite obje strane
Ostaje samo da ga pomaknete udesno, mijenjajući njegov predznak iz minusa u plus.
Ponovo dobijamo 2 serije korena, jedan sa i drugi sa.
Moramo pronaći najveći negativni korijen. Pogledajmo prvu epizodu:
Jasno je da ćemo dobiti prvi negativni korijen u, on će biti jednak i bit će najveći negativni korijen u 1 seriji.
Za drugu seriju
Prvi negativni korijen će se također dobiti na i bit će jednak. Budući da je tada najveći negativni korijen jednadžbe.
odgovor: .
Zadatak br. 3
Rješavamo, bez obzira na složeni tangentni argument.
E sad, ne izgleda komplikovano, zar ne?
Kao i ranije, na lijevoj strani izražavamo:
Pa, to je sjajno, ovdje je samo jedan niz korijena! Nađimo opet najveći negativ.
Jasno je da ispada ako ga spustite. I ovaj korijen je jednak.
odgovor:
Sada pokušajte sami riješiti sljedeće probleme.
Domaći zadatak ili 3 zadatka za samostalno rješavanje.
- Riješite jednačinu.
- Riješite jednačinu.
U odgovoru na pi-ši-najmanji mogući korijen. - Riješite jednačinu.
U odgovoru na pi-ši-najmanji mogući korijen.
Spreman? Hajde da proverimo. Neću detaljno opisivati cijeli algoritam rješenja, čini mi se da mu je gore već pridato dovoljno pažnje.
Pa, je li sve u redu? Oh, ti gadni sinusi, s njima je uvijek neka nevolja!
Pa, sada možete riješiti jednostavne trigonometrijske jednačine!
Pogledajte rješenja i odgovore:
Zadatak br. 1
Hajde da se izrazimo
Najmanji pozitivni korijen se dobija ako stavimo, pošto, onda
odgovor:
Zadatak br. 2
Najmanji pozitivni korijen se dobiva na.
Biće jednako.
odgovor: .
Zadatak br. 3
Kad dobijemo, kad imamo.
odgovor: .
Ovo znanje će vam pomoći da riješite mnoge probleme sa kojima ćete se susresti na ispitu.
Ako se prijavljujete za ocjenu "5", onda samo trebate nastaviti čitati članak za srednji nivo koji će biti posvećen rješavanju složenijih trigonometrijskih jednačina (zadatak C1).
PROSJEČAN NIVO
U ovom članku ću opisati rješavanje složenijih trigonometrijskih jednačina i kako odabrati njihove korijene. Ovdje ću se osvrnuti na sljedeće teme:
- Trigonometrijske jednadžbe za početni nivo (vidi gore).
Složenije trigonometrijske jednadžbe su osnova za napredne probleme. Oni zahtijevaju i rješavanje same jednadžbe u općem obliku i pronalaženje korijena ove jednadžbe koji pripadaju određenom datom intervalu.
Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi svodi se na dva podzadatka:
- Rješavanje jednačine
- Odabir korijena
Treba napomenuti da drugi nije uvijek potreban, ali u većini primjera odabir je i dalje potreban. Ali ako nije potrebno, onda možemo suosjećati s vama - to znači da je jednadžba sama po sebi prilično složena.
Moje iskustvo u analizi C1 problema pokazuje da se oni obično dijele u sljedeće kategorije.
Četiri kategorije zadataka povećane složenosti (ranije C1)
- Jednačine koje se svode na faktorizaciju.
- Jednačine svedene u formu.
- Jednačine se rješavaju promjenom varijable.
- Jednačine koje zahtijevaju dodatni odabir korijena zbog iracionalnosti ili nazivnika.
Jednostavno rečeno: ako vas uhvate jedna od jednadžbi prve tri vrste, onda smatrajte da ste srećni. Za njih, u pravilu, potrebno je dodatno odabrati korijene koji pripadaju određenom intervalu.
Ako naiđete na jednadžbu tipa 4, onda ste manje sretni: s njom se morate petljati duže i pažljivije, ali prilično često ne zahtijeva dodatni odabir korijena. Ipak, ovu vrstu jednadžbi ću analizirati u sljedećem članku, a ovaj ću posvetiti rješavanju jednačina prve tri vrste.
Jednačine koje se svode na faktorizaciju
Najvažnija stvar koju trebate zapamtiti da biste riješili ovu vrstu jednadžbe je
Kao što pokazuje praksa, ovo znanje je u pravilu dovoljno. Pogledajmo neke primjere:
Primjer 1. Jednačina svedena na faktorizaciju korištenjem formula redukcije i sinusa dvostrukog ugla
- Riješite jednačinu
- Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze iznad reza
Ovdje, kao što sam obećao, formule smanjenja rade:
Tada će moja jednadžba izgledati ovako:
Tada će moja jednadžba poprimiti sljedeći oblik:
Kratkovidi student bi mogao reći: sada ću smanjiti obje strane, dobiti najjednostavniju jednačinu i uživati u životu! I gorko će se prevariti!
| ZAPAMTITE: NIKAD NE MOŽETE REDUKITI OBJE STRANE TRIGONOMETRIJSKE JEDNAČINE FUNKCIJOM KOJA SADRŽI NEPOZNATO! TAKO DA IZGUBITE SVOJE KORIJENE! |
Pa šta da radimo? Da, jednostavno je, pomaknite sve na jednu stranu i izvadite zajednički faktor:
Pa, uračunali smo to u faktore, ura! A sad da odlucimo:
Prva jednadžba ima korijene:
i drugi:
Ovim je završen prvi dio problema. Sada morate odabrati korijene:
Razmak je ovakav:
Ili se može napisati i ovako:
Pa, hajde da uzmemo korene:
Prvo, poradimo na prvoj epizodi (a ona je u najmanju ruku jednostavnija!)
Pošto je naš interval potpuno negativan, nema potrebe uzimati nenegativne, oni će i dalje dati nenegativne korijene.
Uzmimo onda - previše je, ne pogađa.
Neka bude onda - nisam ponovo pogodio.
Još jedan pokušaj - onda - da, dobio sam! Prvi korijen je pronađen!
Opet pucam: pa opet pogodim!
Pa, još jednom: : - ovo je već let.
Dakle, iz prve serije postoje 2 korijena koji pripadaju intervalu: .
Radimo sa drugom serijom (gradimo na vlast prema pravilu):
Undershoot!
Opet nedostaje!
Opet nedostaje!
Imam ga!
Let!
Dakle, moj interval ima sljedeće korijene:
Ovo je algoritam koji ćemo koristiti za rješavanje svih ostalih primjera. Vježbajmo zajedno sa još jednim primjerom.
Primjer 2. Jednačina svedena na faktorizaciju korištenjem redukcijskih formula
- Riješite jednačinu
Rješenje:
Opet zloglasne formule redukcije:
Ne pokušavajte ponovo smanjiti!
Prva jednadžba ima korijene:
i drugi:
Sada opet potraga za korijenima.
Počeću sa drugom epizodom, već znam sve o njoj iz prethodnog primera! Pogledajte i uvjerite se da su korijeni koji pripadaju intervalu sljedeći:
Sada prva epizoda i sve je jednostavnije:
Ako - prikladno
Ako je i to u redu
Ako je već let.
Tada će korijeni biti sljedeći:
Samostalan rad. 3 jednadžbe.
Pa, da li vam je tehnika jasna? Zar rješavanje trigonometrijskih jednačina više ne izgleda tako teško? Zatim brzo sami riješite sljedeće probleme, a onda ćemo riješiti druge primjere:
- Riješite jednačinu
Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze iznad intervala. - Riješite jednačinu
Označite korijene jednadžbe koji se nalaze iznad reza - Riješite jednačinu
Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze između njih.
Jednačina 1.
I opet formula redukcije:
Prva serija korijena:
Druga serija korijena:
Počinjemo selekciju za prazninu
Odgovor: , .
Jednačina 2. Provjera samostalnog rada.
Prilično zeznuto grupiranje u faktore (koristit ću formulu dvostrukog ugla sinusa):
onda ili
Ovo je opšte rešenje. Sada moramo odabrati korijene. Problem je u tome što ne možemo reći tačnu vrijednost ugla čiji je kosinus jednak jednoj četvrtini. Stoga, ne mogu se jednostavno riješiti arc kosinusa - takva šteta!
Ono što mogu da uradim je da shvatim da je tako, tako, onda.
Kreirajmo tabelu: interval:
Pa, kroz bolna pretraživanja došli smo do razočaravajućeg zaključka da naša jednadžba ima jedan korijen na naznačenom intervalu: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Jednačina 3: Nezavisni radni test.
Jednačina zastrašujućeg izgleda. Međutim, to se može riješiti vrlo jednostavno primjenom formule dvostrukog ugla sinusa:
Smanjimo ga za 2:
Grupirajmo prvi član sa drugim, a treći sa četvrtim i izvadimo zajedničke faktore:
Jasno je da prva jednadžba nema korijen, a sada razmotrimo drugu:
Uglavnom, htio sam se malo kasnije zadržati na rješavanju ovakvih jednačina, ali pošto se ispostavilo, nemam šta raditi, moram to riješiti...
Jednačine oblika:
Ova jednačina se rješava dijeljenjem obje strane sa:
Dakle, naša jednadžba ima jednu seriju korijena:
Moramo pronaći one koji pripadaju intervalu: .
Hajde da ponovo napravimo tabelu, kao što sam uradio ranije:
Odgovor: .
Jednačine svedene na oblik:
E pa, sada je vrijeme da prijeđemo na drugi dio jednadžbi, pogotovo jer sam već razjasnio od čega se sastoji rješenje trigonometrijskih jednačina novog tipa. Ali vrijedi ponoviti da je jednadžba u obliku
Rješava se dijeljenjem obje strane kosinusom:
- Riješite jednačinu
Označite korijene jednadžbe koji se nalaze iznad reza. - Riješite jednačinu
Navedite korijene jednadžbe koji se nalaze između njih.
Primjer 1.
Prvi je prilično jednostavan. Pomaknite se udesno i primijenite formulu kosinusa dvostrukog ugla:
Da! Jednadžba oblika: . Podijelim oba dijela
Vršimo root screening:
jaz:
odgovor:
Primjer 2.
Sve je također prilično trivijalno: otvorimo zagrade s desne strane:
Osnovni trigonometrijski identitet:
Sinus dvostrukog ugla:
Konačno dobijamo:
Skrining korijena: interval.
Odgovor: .
Pa, kako vam se sviđa tehnika, zar nije previše komplikovana? Nadam se da ne. Odmah možemo napraviti rezervu: u svom čistom obliku, jednadžbe koje se odmah svode na jednadžbu za tangentu su prilično rijetke. Tipično, ova tranzicija (podjela kosinusom) je samo dio složenijeg problema. Evo primjera za vježbanje:
- Riješite jednačinu
- Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze iznad reza.
provjerimo:
Jednačina se može odmah riješiti, dovoljno je obje strane podijeliti sa:
Root screening:
Odgovor: .
Na ovaj ili onaj način, tek treba da se susrećemo sa jednačinama tipa koji smo upravo ispitali. Međutim, prerano je da to nazivamo danom: postoji još jedan „sloj“ jednačina koji nismo analizirali. dakle:
Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi promjenom varijabli
Ovdje je sve transparentno: pažljivo promatramo jednačinu, pojednostavljujemo je što je više moguće, vršimo zamjenu, rješavamo je, vršimo obrnutu zamjenu! Rečima je sve veoma lako. Da vidimo na djelu:
Primjer.
- Riješite jednačinu: .
- Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze iznad reza.
E, tu nam se sama zamjena nagovještava!
Tada će se naša jednačina pretvoriti u ovo:
Prva jednadžba ima korijene:
A drugi je ovako:
Sada pronađimo korijene koji pripadaju intervalu
Odgovor: .
Pogledajmo zajedno malo složeniji primjer:
- Riješite jednačinu
- Označite korijene date jednadžbe, koji se nalaze iznad njih između njih.
Ovdje zamjena nije odmah vidljiva, štoviše, nije baš očigledna. Hajde da prvo razmislimo: šta možemo učiniti?
Možemo, na primjer, zamisliti
I u isto vreme
Tada će moja jednadžba poprimiti oblik:
A sada pažnja, fokus:
Podijelimo obje strane jednačine sa:
Odjednom ti i ja imamo relativnu kvadratnu jednačinu! Napravimo zamjenu, onda dobijamo:
Jednačina ima sljedeće korijene:
Neugodna druga serija korijena, ali ništa se ne može učiniti! Odabiremo korijene u intervalu.
To također moramo uzeti u obzir
Od i tada
odgovor:
Kako biste to pojačali prije nego što sami riješite probleme, evo još jedne vježbe za vas:
- Riješite jednačinu
- Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze između njih.
Ovdje morate držati oči otvorene: sada imamo nazivnike koji mogu biti nula! Stoga, morate biti posebno pažljivi na korijene!
Prije svega, moram preurediti jednačinu tako da mogu napraviti odgovarajuću zamjenu. Sada ne mogu smisliti ništa bolje nego da prepišem tangentu u smislu sinusa i kosinusa:
Sada ću se kretati s kosinusa na sinus koristeći osnovni trigonometrijski identitet:
I na kraju, sve ću dovesti do zajedničkog imenioca:
Sada mogu da pređem na jednačinu:
Ali at (to jest, at).
Sada je sve spremno za zamjenu:
Onda ili
Međutim, imajte na umu da ako, onda u isto vrijeme!
Ko pati od ovoga? Problem sa tangentom je što nije definisana kada je kosinus jednak nuli (događa se deljenje sa nulom).
Dakle, korijeni jednadžbe su:
Sada izvlačimo korijene u intervalu:
| - odgovara | |
| - preterivanje |
Dakle, naša jednadžba ima jedan korijen na intervalu, i on je jednak.
Vidite: pojava nazivnika (baš kao i tangenta, dovodi do određenih poteškoća s korijenima! Ovdje morate biti oprezniji!).
Pa, ti i ja smo skoro završili sa analizom trigonometrijskih jednačina, ostalo je vrlo malo - da sami riješite dva problema. Evo ih.
- Riješite jednačinu
Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze iznad reza. - Riješite jednačinu
Označite korijene ove jednadžbe, koji se nalaze iznad reza.
Odlučili? Zar nije jako teško? provjerimo:
- Radimo prema formulama redukcije:
Zamijenite u jednačinu:
Prepišimo sve kroz kosinuse da bismo lakše napravili zamjenu:
Sada je lako napraviti zamjenu:
Jasno je da je to strani korijen, budući da jednačina nema rješenja. onda:
Tražimo korijene koji su nam potrebni u intervalu
Odgovor: .
Ovdje je zamjena odmah vidljiva:Onda ili
- odgovara! - odgovara! - odgovara! - odgovara! - puno! - takođe mnogo! odgovor:
E, to je to sada! Ali rješavanje trigonometrijskih jednadžbi se tu ne završava; zaostali smo u najtežim slučajevima: kada jednačine sadrže iracionalnost ili razne vrste „složenih nazivnika“. Kako riješiti takve zadatke, pogledat ćemo u članku za napredni nivo.
NAPREDNI NIVO
Uz trigonometrijske jednadžbe o kojima se raspravljalo u prethodna dva članka, razmotrit ćemo još jednu klasu jednačina koje zahtijevaju još pažljiviju analizu. Ovi trigonometrijski primjeri sadrže ili iracionalnost ili nazivnik, što otežava njihovu analizu. Međutim, možda ćete se sresti sa ovim jednadžbama u dijelu C ispitnog rada. Međutim, svaki oblak ima srebrnu postavu: za takve jednačine se, po pravilu, više ne postavlja pitanje koji od njegovih korijena pripada datom intervalu. Hajde da ne lupamo okolo, nego idemo pravo na trigonometrijske primjere.
Primjer 1.
Riješite jednačinu i pronađite korijene koji pripadaju segmentu.
Rješenje:
Imamo imenilac koji ne bi trebao biti jednak nuli! Tada je rješavanje ove jednačine isto kao i rješavanje sistema
Rešimo svaku od jednačina:
A sada druga:
A sada pogledajmo seriju:
Jasno je da nam ova opcija ne odgovara, jer se u ovom slučaju naš imenilac vraća na nulu (vidi formulu za korijene druge jednadžbe)
Ako, onda je sve u redu, a imenilac nije nula! Tada su korijeni jednadžbe sljedeći: , .
Sada biramo korijene koji pripadaju intervalu.
| - nije prikladno | - odgovara | |
| - odgovara | - odgovara | |
| overkill | overkill |
Tada su korijeni sljedeći:
Vidite, čak je i pojava malog poremećaja u obliku nazivnika značajno uticala na rješenje jednačine: odbacili smo niz korijena koji su poništili imenilac. Stvari mogu postati još složenije ako naiđete na trigonometrijske primjere koji su iracionalni.
Primjer 2.
Riješite jednačinu:
Rješenje:
Pa, barem ne morate vaditi korijene, i to je dobro! Hajde da prvo riješimo jednačinu, bez obzira na iracionalnost:
Pa, je li to sve? Ne, avaj, bilo bi previše lako! Moramo zapamtiti da se ispod korijena mogu pojaviti samo nenegativni brojevi. onda:
Rješenje ove nejednakosti je:
Sada ostaje da se utvrdi da li je deo korena prve jednadžbe slučajno završio tamo gde nejednakost ne važi.
Da biste to učinili, ponovo možete koristiti tabelu:
| : , Ali | Ne! | |
| Da! | ||
| Da! |
Tako mi je “ispao” jedan od korijena! Ispada ako ga spustiš. Tada se odgovor može napisati na sljedeći način:
odgovor:
Vidite, korijen zahtijeva još više pažnje! Hajde da to zakomplikujemo: neka sada imam trigonometrijsku funkciju ispod svog korena.
Primjer 3.
Kao i do sada: prvo ćemo riješiti svako posebno, a onda ćemo razmisliti šta smo uradili.
Sada druga jednadžba:
Sada je najteže otkriti da li se negativne vrijednosti dobiva pod aritmetičkim korijenom ako tu zamijenimo korijene iz prve jednadžbe:
Broj se mora shvatiti kao radijani. Pošto je radijan približno stepeni, onda su radijani reda stepeni. Ovo je ugao druge četvrtine. Koji je znak kosinusa druge četvrtine? Oduzeti. Šta je sa sinusom? Plus. Dakle, šta možemo reći o izrazu:
Manje je od nule!
To znači da to nije korijen jednačine.
Sada je vrijeme.
Uporedimo ovaj broj sa nulom.
Kotangens je funkcija koja se smanjuje za 1 četvrtinu (što je manji argument, veći je kotangens). radijani su otprilike stepeni. U isto vrijeme
od tada i stoga
,
Odgovor: .
Može li biti još komplikovanije? Molim te! Biće teže ako je korijen i dalje trigonometrijska funkcija, a drugi dio jednadžbe opet trigonometrijska funkcija.
Što više trigonometrijskih primjera, to bolje, pogledajte u nastavku:
Primjer 4.
Korijen nije prikladan zbog ograničenog kosinusa
Sada drugi:
Istovremeno, po definiciji korijena:
Moramo zapamtiti jedinični krug: naime, one četvrtine gdje je sinus manji od nule. Šta su ove četvrti? Treći i četvrti. Tada će nas zanimati ona rješenja prve jednačine koja se nalaze u trećoj ili četvrtoj četvrtini.
Prva serija daje korijene na raskrsnici treće i četvrte četvrtine. Druga serija - dijametralno suprotna od njega - daje korijene koji leže na granici prve i druge četvrti. Stoga ova serija nije prikladna za nas.
Odgovor: ,
I opet trigonometrijski primjeri sa "teškom iracionalnošću". Ne samo da opet imamo trigonometrijsku funkciju pod korijenom, već je sada i u nazivniku!
Primjer 5.
Pa, ništa se ne može učiniti - radimo kao i prije.
Sada radimo sa imeniocem:
Ne želim rješavati trigonometrijsku nejednakost, pa ću učiniti nešto lukavo: uzet ću i zamijeniti svoj niz korijena u nejednakosti:
Ako je - paran broj, onda imamo:
pošto svi uglovi gledanja leže u četvrtoj četvrtini. I opet sveto pitanje: koji je znak sinusa u četvrtoj četvrtini? Negativno. Zatim nejednakost
Ako je -neparno, onda:
U kojoj četvrtini leži ugao? Ovo je ugao druge četvrtine. Tada su svi uglovi opet uglovi druge četvrtine. Sinus je tamo pozitivan. Baš ono što vam treba! Dakle serija:
Odgovara!
S drugom serijom korijena postupamo na isti način:
Zamjenjujemo u našu nejednakost:
Ako - čak, onda
Uglovi prve četvrtine. Tamo je sinus pozitivan, što znači da je serija prikladna. Sada ako je - neparno, onda:
odgovara takođe!
Pa, sada zapisujemo odgovor!
odgovor:
Pa, ovo je bio možda najzahtjevniji slučaj. Sada vam nudim probleme koje možete sami riješiti.
Trening
- Riješite i pronađite sve korijene jednadžbe koji pripadaju segmentu.
rješenja:
Prva jednadžba:
ili
ODZ korijena:Druga jednadžba:
Izbor korijena koji pripadaju intervalu
odgovor:
Or
ili
Ali
Razmotrimo: . Ako - čak, onda
- ne odgovara!
Ako je - neparno, : - pogodno!
To znači da naša jednadžba ima sljedeći niz korijena:
ili
Izbor korijena u intervalu:
| - nije prikladno | - odgovara | |
| - odgovara | - puno | |
| - odgovara | puno |
Odgovor: , .
Or
Budući da tada tangenta nije definirana. Odmah odbacujemo ovu seriju korijena!
drugi dio:
Istovremeno, prema DZ, to se traži
Provjeravamo korijene pronađene u prvoj jednadžbi:
ako je znak:
Uglovi prve četvrtine gdje je tangenta pozitivna. Ne odgovara!
ako je znak:
Četvrti korner. Tu je tangenta negativna. Odgovara. Zapisujemo odgovor:
Odgovor: , .
Zajedno smo u ovom članku pogledali složene trigonometrijske primjere, ali jednadžbe biste trebali riješiti sami.
SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE
Trigonometrijska jednadžba je jednačina u kojoj je nepoznata striktno pod znakom trigonometrijske funkcije.
Postoje dva načina za rješavanje trigonometrijskih jednačina:
Prvi način je korištenje formula.
Drugi način je kroz trigonometrijski krug.
Omogućava vam mjerenje uglova, pronalaženje njihovih sinusa, kosinusa itd.
Vrlo često se susrećemo u problemima povećane složenosti trigonometrijske jednadžbe koje sadrže modul. Većina njih zahtijeva heuristički pristup rješavanju, koji je većini školaraca potpuno nepoznat.
Problemi predloženi u nastavku imaju za cilj da vas upoznaju sa najtipičnijim tehnikama za rješavanje trigonometrijskih jednačina koje sadrže modul.
Zadatak 1. Pronađite razliku (u stepenima) najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog korijena jednačine 1 + 2sin x |cos x| = 0.
Rješenje.
Proširimo modul:
1) Ako je cos x ≥ 0, tada će originalna jednačina imati oblik 1 + 2sin x cos x = 0.
Koristeći sinusnu formulu dvostrukog ugla, dobijamo:
1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Pošto je cos x ≥ 0, onda je x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Ako je cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Pošto je cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Najveći negativni korijen jednačine: -π/4; najmanji pozitivni korijen jednačine: 5π/4.
Tražena razlika: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Odgovor: 270°.
Zadatak 2. Naći (u stepenima) najmanji pozitivni korijen jednačine |tg x| + 1/cos x = tan x.
Rješenje.
Proširimo modul:
1) Ako je tan x ≥ 0, onda
tan x + 1/cos x = tan x;
Rezultirajuća jednačina nema korijen.
2) Ako je tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 i cos x ≠ 0.
Koristeći sliku 1 i uvjet tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Najmanji pozitivni korijen jednačine je 5π/6. Pretvorimo ovu vrijednost u stupnjeve:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Odgovor: 150°.
Zadatak 3. Odrediti broj različitih korijena jednačine sin |2x| = cos 2x na intervalu [-π/2; π/2].
Rješenje.
Zapišimo jednačinu u obliku sin|2x| – cos 2x = 0 i razmotrimo funkciju y = sin |2x| – cos 2x. Pošto je funkcija parna, naći ćemo njene nule za x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; Podijelimo obje strane jednačine sa cos 2x ≠ 0, dobićemo:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Koristeći parnost funkcije, nalazimo da su korijeni originalne jednadžbe brojevi oblika
± (π/8 + πn/2), gdje je n € Z.
Interval [-π/2; π/2] pripadaju brojevima: -π/8; π/8.
Dakle, dva korijena jednačine pripadaju datom intervalu.
Odgovor: 2.
Ova jednačina se također može riješiti otvaranjem modula.
Zadatak 4. Odrediti broj korijena jednačine sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x na intervalu [-π; 2π].
Rješenje.
1) Razmotrimo slučaj kada je 2cos x – 1 > 0, tj. cos x > 1/2, tada jednačina ima oblik:
sin x – sin 2 x = sin 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 ili 1 – 2 sin x = 0;
sin x = 0 ili sin x = 1/2.
Koristeći sliku 2 i uvjet cos x > 1/2, nalazimo korijene jednadžbe:
x = π/6 + 2πn ili x = 2πn, n € Z.
2) Razmotrimo slučaj kada je 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin 2 x = sin 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Koristeći sliku 2 i uslov cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Kombinacijom ova dva slučaja dobijamo:
x = π/6 + 2πn ili x = πn.
3) Interval [-π; 2π] pripadaju korijenima: π/6; -π; 0; π; 2π.
Dakle, dati interval sadrži pet korijena jednačine.
Odgovor: 5.
Zadatak 5. Odrediti broj korijena jednačine (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 na intervalu [-π; 2π].
Rješenje.
1) Ako je sin x ≥ 0, onda originalna jednačina ima oblik (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Nakon što se zajednički faktor sin x izvadi iz zagrada, dobijamo:
sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; pošto je (x – 0,7) 2 + 1 > 0 za sve realne x, onda je sinx = 0, tj. x = πn, n € Z.
2) Ako je sin x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 ili (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Pošto je sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0,7 = 1 ili x – 0,7 = -1, što znači x = 1,7 ili x = -0,3.
Uzimajući u obzir uslov sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, što znači da je samo broj -0,3 korijen originalne jednadžbe.
3) Interval [-π; 2π] pripadaju brojevima: -π; 0; π; 2π; -0.3.
Dakle, jednadžba ima pet korijena na datom intervalu.
Odgovor: 5.
Možete se pripremiti za lekcije ili ispite koristeći različite obrazovne resurse koji su dostupni na Internetu. Trenutno bilo ko 
osoba jednostavno treba koristiti nove informacijske tehnologije, jer će njihova ispravna i što je najvažnije prikladna upotreba pomoći u povećanju motivacije za proučavanje predmeta, povećati interes i pomoći u boljem usvajanju potrebnog materijala. Ali nemojte zaboraviti da vas kompjuter ne uči razmišljanju; primljene informacije moraju se obraditi, razumjeti i zapamtiti. Stoga se za pomoć možete obratiti našim online tutorima koji će vam pomoći da shvatite kako riješiti probleme koji vas zanimaju.
Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.