Линейной комбинацией системы векторов
называется вектор
где a 1 , a 2 , ..., a n - произвольные числа.
Если все a i = 0, то линейная комбинация называется тривиальной . В этом случае, очевидно,
Определение 5.
|
Если для системы векторов
существует нетривиальная линейная комбинация (хотя бы одно a i ¹ 0) равная нулевому вектору: то система векторов называется линейно зависимой . Если равенство (1) возможно только в случае, когда все a i =0, то система векторов называется линейно независимой . |
Теорема 2 (Условия линейной зависимости).
Определение 6.
Из теоремы 3 следует, что если в пространстве задан базис то добавив к нему произвольный вектор , получим линейно зависимую систему векторов. В соответствии с теоремой 2 (1) , один из них (можно показать, что вектор ) можно представить в виде линейной комбинации остальных:
.
Определение 7.
|
Числа называются координатами вектора в базисе (обозначается
|
Если векторы рассматриваются на плоскости, то базисом будет упорядоченная пара неколлинеарных векторов
и координатами вектора в этом базисе – пара чисел:
Замечание 3 . Можно показать, что при заданном базисе координаты вектора определяются однозначно . Из этого, в частности, следует, что если векторы равны, то равны их соответствующие координаты, и наоборот .
Таким образом, если в пространстве задан базис, то каждому вектору пространства соответствует упорядоченная тройка чисел (координаты вектора в этом базисе) и наоборот: каждой тройке чисел соответствует вектор.
На плоскости аналогичное соответствие устанавливается между векторами и парами чисел.
Теорема 4 (Линейные операции через координаты векторов).
|
Если в некотором базисе и a – произвольное число, то в этом базисе |
Иными словами:
при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число ;
при сложении векторов складываются их соответствующие координаты .
Пример 1 . В некотором базисе векторы имеют координаты
Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
Векторы образуют базис, если они некомпланарны, следовательно (в соответствии с теоремой 3(2) ) линейно независимы.
По определению 5 это означает, что равенство
возможно только в случае, когда x = y = z = 0.
Следующие дают несколько критериев линейной зависимости и соответственно линейной независимости систем векторов.
Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.)
Система векторов является зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие этой системы.
Доказательство. Необходимость. Пусть система линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:
где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть , .
Разделим обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на :
Обозначим: , где .
т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие этой системы, ч.т.д.
Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы:
Перенесем вектор в правую этого равенства:
Так как коэффициент при векторе равен , то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов , что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.
Теорема доказана.
Следствие.
1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.
2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть система линейно независимая. Допустим противное и существует вектор системы линейно выражающийся через другие вектора этой системы. Тогда по теореме система является линейно зависимой и мы приходим к противоречию.
Достаточность. Пусть ни один из векторов системы не выражается через другие. Допустим противное. Пусть система линейно зависимая, но тогда из теоремы следует, что существует вектор системы линейно выражающийся через другие векторы этой системы и мы опять приходим к противоречию.
2а) Пусть система содержит нулевой вектор. Допустим для определенности, что вектор :. Тогда очевидно равенство
т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы. Из теоремы следует, что такая система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.
Заметим, что этот факт можно доказать непосредственно из линейно зависимой системы векторов.
Так как , то следующее равенство очевидно
Это нетривиальное представление нулевого вектора, а значит система является линейно зависимой.
2б) Пусть система имеет два равных вектора. Пусть для . Тогда очевидно равенство
Т.е. первый вектор линейно выражается через остальные векторы этой же системы. Из теоремы следует, что данная система линейно зависимая, ч.т.д.
Аналогично предыдущему это утверждение можно доказать и непосредственно определения линейно зависимой системы.. Тогда эта система представляет нулевой вектор нетривиально
откуда следует линейная зависимость системы .
Теорема доказана.
Следствие. Система, состоящая из одного вектора является линейно независимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.
Пусть L – линейное пространство над полем Р . Пусть А1, а2, … , аn (*) конечная система векторов из L . Вектор В = a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn (16) называется Линейной комбинацией векторов ( *), или говорят, что вектор В линейно выражается через систему векторов (*).
Определение 14. Система векторов (*) называется Линейно зависимой , тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, что a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0. Если же a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) называется Линейно независимой.
Свойства линейной зависимости и независимости.
10. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Действительно, если в системе (*) вектор А1 = 0, То 1×0 + 0×А2 + … + 0 ×Аn = 0 .
20. Если система векторов содержит два пропорциональных вектора, то она линейно зависима.
Пусть А1 = L ×а2. Тогда 1×А1 –l×А2 + 0×А3 + … + 0×А N = 0.
30. Конечная система векторов (*) при n ³ 2 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.
Þ Пусть (*) линейно зависима. Тогда найдётся ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, при котором a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 . Не нарушая общности, можно считать, что a1 ¹ 0. Тогда существует и А1 = ×a2×А2 + … + ×an×А N. Итак, вектор А1 является линейной комбинацией остальных векторов.
Ü Пусть один из векторов (*) является линейной комбинацией остальных. Можно считать, что это первый вектор, т. е. А1 = B2А2 + … + bnА N, Отсюда (–1)×А1 + b2А2 + … + bnА N = 0 , т. е. (*) линейно зависима.
Замечание. Используя последнее свойство, можно дать определение линейной зависимости и независимости бесконечной системы векторов.
Определение 15. Система векторов А1, а2, … , аn , … (**) называется Линейно зависимой, Если хотя бы один её вектор является линейной комбинацией некоторого конечного числа остальных векторов. В противном случае система (**) называется Линейно независимой.
40. Конечная система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из её векторов нельзя линейно выразить через остальные её векторы.
50. Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема тоже линейно независима.
60. Если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и вся система тоже линейно зависима.
Пусть даны две системы векторов А1, а2, … , аn , … (16) и В1, в2, … , вs, … (17). Если каждый вектор системы (16) можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов системы (17), то говорят, что система (17) линейно выражается через систему (16).
Определение 16. Две системы векторов называются Эквивалентными , если каждая из них линейно выражается через другую.
Теорема 9 (основная теорема о линейной зависимости).
Пусть и – две конечные системы векторов из L . Если первая система линейно независима и линейно выражается через вторую, то N £ s.
Доказательство. Предположим, что N > S. По условию теоремы
|
|
Так как система линейно независима, то равенство (18) Û Х1=х2=…=х N= 0. Подставим сюда выражения векторов : …+=0 (19). Отсюда (20). Условия (18), (19) и (20), очевидно, эквивалентны. Но (18) выполняется только при Х1=х2=…=х N= 0. Найдём, когда верно равенство (20). Если все его коэффициенты равны нулю, то оно, очевидно, верно. Приравняв их нулю, получим систему (21). Так как эта система имеет нулевое , то она |
(21)совместна. Так как число уравнений больше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений. Следовательно, у неё есть ненулевое Х10, х20, …, х N0 . При этих значениях равенство (18) будет верно, что противоречит тому, что система векторов линейно независима. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, N £ s.
Следствие. Если две эквивалентные системы векторов конечны и линейно независимы, то они содержат одинаковое число векторов.
Определение 17. Система векторов называется Максимальной линейно независимой системой векторов Линейного пространства L , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого вектора из L , не входящего в эту систему, она становится уже линейно зависимой.
Теорема 10. Любые две конечные максимальные линейно независимые системы векторов из L Содержат одинаковое число векторов.
Доказательство следует из того, что любые две максимальные линейно независимые системы векторов эквивалентны.
Легко доказать, что любую линейно независимую систему векторов пространства L можно дополнить до максимальной линейно независимой системы векторов этого пространства.
Примеры:
1. Во множестве всех коллинеарных геометрических векторов любая система, состоящая их одного ненулевого вектора, является максимальной линейно независимой.
2. Во множестве всех компланарных геометрических векторов любые два неколлинеарных вектора составляют максимальную линейно независимую систему.
3. Во множестве всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства любая система трёх некомпланарных векторов является максимальной линейно независимой.
4. Во множестве всех многочленов степени не выше N С действительными (комплексными) коэффициентами система многочленов 1, х, х2, … , хn Является максимальной линейно независимой.
5. Во множестве всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами примерами максимальной линейно независимой системы являются
а) 1, х, х2, … , хn, … ;
б) 1, (1 – х ), (1 – х )2, … , (1 – х )N, …
6. Множество матриц размерности M ´ N является линейным пространством (проверьте это). Примером максимальной линейно независимой системы в этом пространстве является система матриц Е11 = , Е12 =, … , Е Mn = .
Пусть дана система векторов С1, с2, … , ср (*). Подсистема векторов из (*) называется Максимальной линейно независимой Подсистемой Системы ( *) , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого другого вектора этой система она становится линейно зависимой. Если система (*) конечна, то любая её максимальная линейно независимая подсистема содержит одно и то же число векторов. (Доказательство проведите самостоятельно). Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы (*) называется Рангом Этой системы. Очевидно, эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги.
Опр.Множество w называется линейным пространством, а его элем. -векторами, если:
*задан закон (+) по кот. любым двум элементам х,у из w сопоставляется элемент называем. их суммой [х + у]
*задан закон (* на число a), по кот.элементу х из w и а сопоставляется элемент из w, называемый произведением х на а [ ах];
* выполнены
следующие требования (или аксиомы):
След c1. нулевой вектор {ctv 0 1 и 0 2 . по a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 и 0 1 + 0 2 = 0 1 . по a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2 .}
c2. .{ctv, a4}
c3. 0 вект.{a7}
c4. a(число)*0=0.{a6,c3}
c5. х (*) -1 =0 вект, противоположному х, т.е. (-1)х = -х. {a5,a6}
c6. В w определено действие вычитание: вектор х называется разностью векторов b и а, если х + а = b, и обозначается x = b - a.
Число n называется размерностью лин. пр-а L , если в L существует система из n лин. незав. векторов, а любая система из n +1 вектора - лин. зависима. dimL = n . Пространство L называется n- мерным.
Упорядоченная совокупность n лин. незав. векторов n мерного независ. пространства – базис
Теорема. Каждый вектор X можно представить единственным образом в виде лин.Комбинации векторов базиса
Пусть (1) - базис n-мерного лин. пр-ва V , т.е. совокупность линейно независимых векторов. Совокупность векторов будет лин. зависимой, т.к. их n + 1.
Т.е. существуют числа , не все равные нулю одновременно, что причѐм (иначе (1) линейно зависимы).
Тогда где разложение вектора x по базису(1) .
Это выражение единственно, т.к. если существует другое выражение (**)
вычитая из (*) равенство (**),
получим
Т.к. линейно независимы, то . Чтд
Теорема. Если - лин. независимые векторы пространства V и каждый вектор x из V может быть представлен через , то эти векторы образуют базис V
Док-во: (1)-лин.независима =>остается док-ть, что для лин.зависимы. По усл. Каждый вектор а выражается через (1): , рассмотрим , rang≤n => среди столбцов не больше nлинейно независимы, но m > n=> m столбцов линейно зависимы=> s=1, n
Т.е.векторы лин.зависимы
Т.о пространство V n-мерно и (1) его базис
№4Опр. Подмножество L лин. пр-ва V называется лин. подпр. этого пространства если относительно заданных в V операциях (+) и (*а) подпространство L является линейным пространством
Теорема Множество l векторов пространства V является лин. Подпространством этого пространства выполняются
(дост) пусть (1) и (2) выполнены, для того что L подпрост.V остается доказать что выполнены все аксиомы лин. пр-ва.
(-x): -x+x=0 д . а(х + у)= ах + ау;
(а-б) и (д-з) вытекает из справедливости для V докажем (в)
(необходимость) Пусть L является лин. подпространством этого пространства, тогда (1) и (2) выполняются в силу определения лин. пр-ва
Опр. Совокупность всевозможных лин. комбинаций некоторых элементов (x j) лин. пр-ва называется линейной оболочкой
Теорема произвольное множество всех лин. комбинаций векторов V с действ. коэф является лин. подпр V (линейная оболочка данной системы векторов лин. пр. является лин.подпр этого пр. )
Опр .Непустое подмножество L векторов лин. пр-ва V называется лин. подпространством, если:
а)сумма любых векторов из L принадлежит L
б)произведение каждого вектора из L на любое число принадлежит L
Сумма двух подпространств L является снова подпространством L
1) Пусть y 1 +y 2 (L 1 +L 2) <=> y 1 =x 1 +x 2 , y 2 =x’ 1 +x’ 2 , где (x 1 ,x’ 1) L 1 , (x 2 ,x’ 2) L 2 . y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x’ 1 +x’ 2)=(x 1 +x’ 1)+(x 2 +x’ 2), где (x 1 +x’ 1) L 1 , (x 2 +x’ 2) L 2 => первое условие линейного подпространства выполняется.
ay 1 =ax 1 +ax 2 , где (aх 1) L 1 , (aх 2) L 2 => т.к. (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => условия выполняются => L 1 +L 2 – линейное подпространство.
Пересечение двух подпр. L 1 и L 2 лин. пр-ва L также является подпр. этого пространства.
Рассмотрим два произвольных вектора x ,y , принадлежащих пересечению подпространств, и два произвольных числа a ,b :.
По опр. пересечения множеств:
=> по определению подпространства линейного пространства:,.
Т. К. вектор ax + by принадлежит и множеству L 1 , и множеству L 2 , то он принадлежит, по определению, и пересечению этих множеств. Таким образом:
Опр .Говорят, что V является прямой суммой своих подпр. если и б) это разложение единственно
б") Покажем, что б) равносильно б’)
При б) верно б’)
Всякие (M , N ) из пересекаются лишь по нулевому вектору
Пусть ∃ z ∈
Справед. обрат. L =
противоречие
Теорема Чтобы (*) необходимо и достаточно чтобы объединения базисов ( составляло базис пространства
(Необ) пусть (*) и векторы - базисы подмножеств. и имеет место разложение по ; x раскладывается по базису L, чтобы утверждать, что( составляют базис, нужно доказать их линейную независимость все содержат 0 0=0+…+0. В силу единственности разложения 0 по : => из-за лин. независимости базиса => ( – базис
(Дост.) Пусть ( образует базис L единств. разложение (**) по крайней мере, одно разложение существует. В силу единственности (*) => единственность (**)
Замечание. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей подпространства
Любая невырожденная квадратичная матрица может служить матрицей перехода от одного базиса к другому
Пусть в n мерном линейной пространстве V имеется два базиса и
(1) =A , где здесь элементы * и ** не числа но мы распространим на такие строки определенные операции над числовой матрицей.
Т.к. иначе векторы ** были бы лин.зависимы
Обратно. Если то столбцы А линейно независимы =>образуют базис
Координаты и связанны соотношением , где элементы матрицы перехода
Пусть известно разложение элементов "нового" базиса по «старому»
Тогда справедливы равенства
Но если линейная комбинация линейно независимых элементов равна 0 то =>
Основная теорема о линейной зависимости
Если (*) линейно выражается через (**) то n <= m
Докажем индукцией по m
m=1: система (*) содержит 0 и лин. зав- невозможно
пусть верно для m=k-1
докажем для m=k
может
оказаться, что 1) ,
т.е. в-ры
(1) являются лин.комб. лин. в-ров (2)Система
(1) лин.незав., т.к. является частью
лин.незав. системы (*). Т.к. в системе (2)
только k-1,
векторов, то по предположению индукции
получаем k+1