Главная » Математика

Контрольная работа по информатике и икт "элементы алгебры логики". Самостоятельная работа по логике Вопросы и задания

| § 1.3. Элементы алгебры логики

Уроки 8 - 12
§ 1.3. Элементы алгебры логики

Ключевые слова:

  • алгебра логики
  • высказывание
  • логическая операция
  • конъюнкция
  • дизъюнкция
  • отрицание
  • логическое выражение
  • таблица истинности
  • законы логики

1.3.1. Высказывание

Алгебра в широком смысле этого слова - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами . Многие математические объекты (целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества) вы изучаете в школьном курсе алгебры, где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т. д.

Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики; объектами алгебры логики являются высказывания .

Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное .

Например , относительно предложений «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в 1711 году» и «Two plus six Is eight» можно однозначно сказать, что они истинны. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» ложно. Следовательно, эти предложения являются высказываниями.

В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.

Например , предложение «Это предложение является ложным» не является высказыванием, так как относительно него нельзя сказать, истинно оно или ложно, без того, чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит сказанному. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что оно истинно.

Относительно предложения «Компьютерная графика - самая интересная тема в курсе школьной информатики» также нельзя однозначно сказать, истинно оно или ложно. Подумайте сами почему.

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Например , не являются высказываниями такие предложения, как: «Запишите домашнее задание», «Как пройти в библиотеку?», «Кто к нам пришёл?».

Высказывания могут строиться с использованием знаков различных формальных языков - математики, физики, химии и т. п.

Примерами высказываний могут служить:

  1. «Na - металл» (истинное высказывание);
  2. «Второй закон Ньютона выражается формулой F=m а» (истинное высказывание);
  3. «Периметр прямоугольника с длинами сторон a и b равен а b» (ложное высказывание).

Не являются высказываниями числовые выражения, но из двух числовых выражений можно составить высказывание, соединив их знаками равенства или неравенства. Например:

  1. «3 + 5 = 2 4» (истинное высказывание);
  2. «II + VI > VIII» (ложное высказывание).

Не являются высказываниями и равенства или неравенства, содержащие переменные. Например, предложение «X < 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

Обоснование истинности или ложности высказываний решается теми науками, к сфере которых они относятся. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Её интересует только то, истинно или ложно данное высказывание. В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными. При этом если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если ложно - нулём (Б = 0). 0 и 1, обозначающие значения логических переменных, называются логическими значениями.

Алгебра логики определяет правила записи, вычисления значений, упрощения и преобразования высказываний.

Оперируя логическими переменными, которые могут быть равны только 0 или 1, алгебра логики позволяет свести обработку информации к операциям с двоичными данными. Именно аппарат алгебры логики положен в основу компьютерных устройств хранения и обработки информации. С применением элементов алгебры логики вы будете встречаться и во многих других разделах информатики.

1.3.2. Логические операции

Высказывания бывают простые и сложные . Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций.

Рассмотрим основные логические операции, определённые над высказываниями. Все они соответствуют связкам, употребляемым в естественном языке.


Конъюнкция

Рассмотрим два высказывания: А = «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль», В = «Исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике». Очевидно, новое высказывание «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль, и исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике» истинно только в том случае, когда одновременно истинны оба исходных высказывания.

Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Для записи конъюнкции используются следующие знаки: ∧, , И, &. Например: А ∧ В, А В, А И В, А & Б.

Конъюнкцию можно описать в виде таблицы, которую называют таблицей истинности:

В таблице истинности перечисляются все возможные значения исходных высказываний (столбцы А и В), причём соответствующие им двоичные числа, как правило, располагают в порядке возрастания: 00, 01, 10, 11. В последнем столбце записан результат выполнения логической операции для соответствующих операндов.

Иначе конъюнкцию называют логическим умножением. Подумайте почему.

Дизъюнкция

Рассмотрим два высказывания: А = «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу», В = «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики». Очевидно, новое высказывание «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики» ложно только в том случае, когда одновременно ложны оба исходных высказывания.

Самостоятельно установите истинность или ложность трёх рассмотренных высказываний.

Дизъюнкция - логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Для записи дизъюнкции используются следующие знаки: ∨, |, ИЛИ, +. Например: A∨B, А|В, А ИЛИ Б, А+Б.

Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:

Иначе дизъюнкцию называют логическим сложением. Подумайте почему.

Инверсия

Инверсия - логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ, ¬, ‾. Например: НЕ А, ¬А, .

Инверсия определяется следующей таблицей истинности:

Инверсию иначе называют логическим отрицанием.

Отрицанием высказывания «У меня дома есть компьютер» будет высказывание «Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое, «У меня дома нет компьютера». Отрицанием высказывания «Я не знаю китайский язык» будет высказывание «Неверно, что я не знаю китайский язык» или, что в русском языке одно и то же, «Я знаю китайский язык». Отрицанием высказывания «Все юноши 9-х классов - отличники» является высказывание «Неверно, что все юноши 9-х классов - отличники», другими словами, «Не все юноши 9-х классов - отличники».

Таким образом, при построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что...», либо отрицание строится к сказуемому, тогда к соответствующему глаголу добавляется частица «не».

Любое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения - выражения, содержащего логические переменные, знаки логических операций и скобки. Логические операции в логическом выражении выполняются в следующей очерёдности: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Изменить порядок выполнения операций можно с помощью расстановки скобок.

Логические операции имеют следующий приоритет: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Пример 1 . Пусть А = «На Web-странице встречается слово "крейсер"», В = «На Web-странице встречается слово "линкор"». Рассматривается некоторый сегмент сети Интернет, содержащий 5 000 000 Web-страниц. В нём высказывание А истинно для 4800 страниц, высказывание В - для 4500 страниц, а высказывание A v В - для 7000 страниц. Для какого количества Web-страниц в этом случае будут истинны следующие выражения и высказывание?

а) НЕ (А ИЛИ В);

в) На Web-странице встречается слово "крейсер" и не встречается слово " линкор".

Решение . Изобразим множество всех Web-страниц рассматриваемого сектора сети Интернет кругом, внутри которого разместим два круга: одному из них соответствует множество Web-страниц, где истинно высказывание А, второму - где истинно высказывание В (рис. 1.3).

Рис. 1.3.
Графическое изображение множеств Web-страниц

Изобразим графически множества Web-страниц, для которых истинны выражения и высказывание а) - в) (рис. 1.4)

Рис. 1.4.
Графическое изображение множеств Web-страниц, для которых истинны выражения и высказывание а) - в)

Построенные схемы помогут нам ответить на вопросы, содержащиеся в задании.

Выражение А ИЛИ В истинно для 7000 Web-страниц, а всего страниц 5 000 000. Следовательно, выражение А ИЛИ В ложно для 4 993 000 Web-страниц. Иначе говоря, для 4 993 000 Web-страниц истинно выражение НЕ (А ИЛИ В).

Выражение A ∨ B истинно для тех Web-страниц, где истинно А (4800), а также тех Web-страниц, где истинно В (4500). Если бы все Web-страницы были различны, то выражение A v В было бы истинно для 9300 (4800 + 4500) Web-страниц. Но, согласно условию, таких Web-страниц всего 7000. Это значит, что на 2300 (9300 - 7000) Web-страницах встречаются оба слова одновременно. Следовательно, выражение А & В истинно для 2300 Web-страниц.

Чтобы выяснить, для скольких Web-страниц истинно высказывание А и одновременно ложно высказывание В, следует из 4800 вычесть 2300. Таким образом, высказывание «На Web-странице встречается слово "крейсер" И не встречается слово "линкор" » истинно на 2500 Web-страницах.

Самостоятельно запишите логическое выражение, соответствующее рассмотренному высказыванию.

На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcoir.edu.ru/) размещён информационный модуль «Высказывание. Простые и сложные высказывания. Основные логические операции». Знакомство с этим ресурсом позволит вам расширить представления по изучаемой теме.

1.3.3. Построение таблиц истинности для логических выражений

Для логического выражения можно построить таблицу истинности, показывающую, какие значения принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных. Для построения таблицы истинности следует:

  1. подсчитать n - число переменных в выражении;
  2. подсчитать общее число логических операций в выражении;
  3. установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов;
  4. определить число столбцов в таблице: число переменных + число операций;
  5. заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции в соответствии с последовательностью, установленной в п. 3;
  6. определить число строк в таблице (не считая шапки таблицы) m = 2n;
  7. выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n - 1;
  8. провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

Построим таблицу истинности для логического выражения A ∨ А & В. В нём две переменные, две операции, причём сначала выполняется конъюнкция, а затем - дизъюнкция. Всего в таблице будет четыре столбца:

Наборы входных переменных - это целые числа от О до 3, представленные в двухразрядном двоичном коде: 00, 01, 10, 11. Заполненная таблица истинности имеет вид:

Обратите внимание, что последний столбец (результат) совпал со столбцом А. В таком случае говорят, что логическое выражение A ∨ А & Б равносильно логическому выражению А.

1.3.4. Свойства логических операций

Рассмотрим основные свойства (законы) алгебры логики.

  1. Переместительный (коммутативный) закон
  • для логического умножения:

    • А & В = В & А;

  • для логического сложения:

    • A ∨ B = В ∨ А.

  • Сочетательный (ассоциативный) закон
    • для логического умножения:

      • (А & В) & С = А & (B & С);

    • для логического сложения:

      • (A ∨ B) ∨ C = A ∨(B ∨ C).

    При одинаковых знаках операций скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

  • Распределительный (дистрибутивный) закон
    • для логического умножения:

      • А & (В ∨ С) = (А & В) ∨ (А & С);

    • для логического сложения:

      • A ∨ (B & С) = (A ∨ В) & (A ∨ С).

  • Закон двойного отрицания
  • Закон исключения третьего

    • Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе - ложно, третьего не дано.

  • Закон повторения
    • для логического умножения:
    • для логического сложения:
  • Законы операций с 0 и 1
    • для логического умножения:

      • А & 0 = 0; А & 1 = А;

    • для логического сложения:

      • A ∨ O = A; A ∨ l = l.

  • Законы общей инверсии

    • Законы алгебры логики могут быть доказаны с помощью таблиц истинности.

    Докажем распределительный закон для логическического сложения:

    A ∨ (В & С) = (А ∨ В) & (A ∨ С).

    Совпадение столбцов, соответствующих логическим выражениям в левой и правой частях равенства, доказывает справедливость распределительного закона для логического сложения.


    Пример 2 . Найдём значение логического выражения для числа Х = 0.

    Решение . При X = 0 получаем следующее логическое выражение: . Так как логические выражения 0 < 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

    1.3.5. Решение логических задач

    Рассмотрим несколько способов решения логических задач.

    Задача 1 . Коля, Вася и Серёжа гостили летом у бабушки. Однажды один из мальчиков нечаянно разбил любимую бабушкину вазу. На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы:

    Серёжа: 1) Я не разбивал. 2) Вася не разбивал.

    Вася: 3) Серёжа не разбивал. 4) Вазу разбил Коля.

    Коля: 5) Я не разбивал. 6) Вазу разбил Серёжа.

    Бабушка знала, что один из её внуков, назовём его правдивым, оба раза сказал правду; второй, назовём его шутником, оба раза сказал неправду; третий, назовём его хитрецом, один раз сказал правду, а другой раз - неправду. Назовите имена правдивого, шутника и хитреца. Кто из внуков разбил вазу?

    Решение. Пусть К = «Коля разбил вазу», В = «Вася разбил вазу», С = «Серёжа разбил вазу». Составим таблицу истинности, с которой представим высказывания каждого мальчика 1 .

    1 С учётом того, что ваза разбита одним внуком, можно было составлять не всю таблицу, а только её фрагмент, содержащий следуюнще наборы входных переменных: 001, 010, 100.



    Исходя из того, что знает о внуках бабушка, следует искать в таблице строки, содержащие в каком-либо порядке три комбинации значений: 00, 11, 01 (или 10). Таких строк в таблице оказалось две (они отмечены галочками). Согласно второй из них, вазу разбили Коля и Вася, что противоречит условию. Согласно первой из найденных строк, вазу разбил Серёжа, он же оказался хитрецом. Шутником оказался Вася. Имя правдивого внука - Коля.

    Задача 2 . В соревнованиях по гимнастике участвуют Алла, Валя, Сима и Даша. Болельщики высказали предположения о возможных победителях:

    1. Сима будет первой, Валя - второй;
    2. Сима будет второй, Даша - третьей;
    3. Алла будет второй, Даша - четвёртой.

    По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, другое ложно. Какое место на соревнованиях заняла каждая из девушек, если все они оказались на разных местах?

    Решение . Рассмотрим простые высказывания:

    C 1 = «Сима заняла первое место»;

    В 2 = «Валя заняла второе место»;

    С 2 = «Сима заняла второе место»;

    Д 3 = «Даша заняла третье место»;

    А 2 = «Алла заняла второе место»;

    Д 4 = «Даша заняла четвёртое место».

    Так как в каждом из трёх предположений одно из высказываний истинно, а другое ложно, то можно заключить следующее:

    1. C 1 + В 2 = 1, С 1 В 2 = 0;
    2. С 2 + Д 3 = 1, С 2 Д 3 = 0;
    3. А 2 + Д 4 = 1, А 2 Д 4 = 0.

    Логическое произведение истинных высказываний будет истинным:

    (С 1 + В 2) (С 2 + Д 3) (А 2 + Д 4) = 1.

    На основании распределительного закона преобразуем левую часть этого выражения:

    (С 1 С 2 + С 1 Д 3 + В 2 С 2 + В 2 Д 3) (А 2 + Д 4) = 1.

    Высказывание С 1 С 2 означает, что Сима заняла и первое, и второе места. Согласно условию задачи, это высказывание ложно. Ложным является и высказывание В 2 С 2 . Учитывая закон операций с константой 0, запишем:

    (С 1 Д 3 + В 2 Д 3) (А 2 +Д 4) = 1.

    Дальнейшее преобразование левой части этого равенства и исключение заведомо ложных высказываний дают:

    С 1 Д 3 А 2 + С 1 Д 3 Д 4 + В 2 Д 3 А 2 + В 2 Д 3 Д 4 = 1.

    C 1 Д 3 А 2 = 1.

    Из последнего равенства следует, что С 1 = 1, Д 3 = 1, А 2 = 1. Это означает, что Сима заняла первое место, Алла - второе, Даша - третье. Следовательно, Валя заняла четвёртое место.

    Познакомиться с другими способами решения логических задач, а также принять участие в Интернет-олимпиадах и конкурсах по их решению вы сможете на сайте «Математика для школьников» (http://www.kenqyry.com/) .

    На сайте http://www.kaser.com/ вы сможете скачать демонстрационную версию очень полезной, развивающей логику и умение рассуждать логической головоломки Шерлок.

    1.3.6. Логические элементы

    Алгебра логики - раздел математики, играющий важную роль в конструировании автоматических устройств, разработке аппаратных и программных средств информационных и коммуникационных технологий.

    Вы уже знаете, что любая информация может быть представлена в дискретной форме - в виде фиксированного набора отдельных значений. Устройства, которые обрабатывают такие значения (сигналы), называются дискретными. Дискретный преобразователь, который выдаёт после обработки двоичных сигналов значение одной из логических операций, называется логическим элементом.

    На рис. 1.5 приведены условные обозначения (схемы) логических элементов, реализующих логическое умножение, логическое сложение и инверсию.

    Рис 1.5.
    Логические элементы

    Логический элемент И (конъюнктор) реализует операцию логического умножения (рис. 1.5, а). Единица на выходе этого элемента появится только тогда, когда на всех входах будут единицы.

    Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор) реализует операцию логического сложения (рис. 1.5, б). Если хотя бы на одном входе будет единица, то на выходе элемента также будет единица.

    Логический элемент НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания (рис. 1.5, в). Если на входе элемента О, то на выходе 1 и наоборот.

    Компьютерные устройства, производящие операции над двоичными числами, и ячейки, хранящие данные, представляют собой электронные схемы, состоящие из отдельных логических элементов. Более подробно эти вопросы будут раскрыты в курсе информатики 10-11 классов.

    Пример 3 . Проанализируем электронную схему, т. е. выясним, какой сигнал должен быть на выходе при каждом возможном наборе сигналов на входах.

    Решение . Все возможные комбинации сигналов на входах А к В внесём в таблицу истинности. Проследим преобразование каждой пары сигналов при прохождении их через логические элементы и запишем полученный результат в таблицу. Заполненная таблица истинности полностью описывает рассматриваемую электронную схему.

    Таблицу истинности можно построить и по логическому выражению, соответствующему электронной схеме. Последний логический элемент в рассматриваемой схеме - конъюнктор. В него поступают сигналы от входа Л и от инвертора. В свою очередь, в инвертор поступает сигнал от входа В. Таким образом,

    Составить более полное представление о логических элементах и электронных схемах вам поможет работа с тренажёром «Логика» (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm).

    Самое главное

    Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.

    Основные логические операции, определённые над высказываниями: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция .

    Таблицы истинности для основных логических операций:

    При вычислении логических выражений сначала выполняются действия в скобках. Приоритет выполнения логических операций:

    Вопросы и задания

    1. Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями.
      1. Какого цвета этот дом?
      2. Число X не превосходит единицы.
      3. 4X + 3.
      4. Посмотрите в окно.
      5. Пейте томатный сок!
      6. Эта тема скучна.
      7. Рикки Мартин - самый популярный певец.
      8. Вы были в театре?
    2. Приведите по одному примеру истинных и ложных высказываний из биологии, географии, информатики, истории, математики, литературы.
    3. В следующих высказываниях выделите простые высказывания, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание.
      1. Число 376 чётное и трёхзначное.
      2. Зимой дети катаются на коньках или на лыжах.
      3. Новый год мы встретим на даче или на Красной площади.
      4. Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
      5. Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.
      6. На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.
    4. Постройте отрицания следующих высказываний.
      1. Сегодня в театре идёт опера «Евгений Онегин».
      2. Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.
      3. Число 1 есть простое число.
      4. Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, не являются простыми числами.
      5. Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.
      6. Коля решил все задания контрольной работы.
      7. Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом.
      8. Некоторые млекопитающие не живут на суше.
    5. Пусть А = «Ане нравятся уроки математики», а В = «Ане нравятся уроки химии». Выразите следующие формулы на обычном языке:

    6. Рассмотрите представленные на рисунке электрические схемы:

      7. На них изображены известные вам из курса физики параллельное и последовательное соединения переключателей. В первом случае, чтобы лампочка загорелась, должны быть включены оба переключателя. Во втором случае достаточно, чтобы был включён один из переключателей. Попытайтесь самостоятельно провести аналогию между элементами электрических схем и объектами и операциями алгебры логики:

    7. Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот её фрагмент:


      8. По запросу сомики & гуппи было найдено 0 сайтов, по запросу сомики & меченосцы - 20 сайтов, а по запросу меченосцы & гуппи - 10 сайтов.

      Сколько сайтов будет найдено по запросу сомики | меченосцы | гуппи?

      Для скольких сайтов рассматриваемого сегмента ложно высказывание «Сомики - ключевое слово сайта ИЛИ меченосцы - ключевое слово сайта ИЛИ гуппи - ключевое слово сайта»?

    8. Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:

    9. Проведите доказательство рассмотренных в параграфе логических законов с помощью таблиц истинности.
    10. Даны три числа в десятичной системе счисления: А = 23, B = 19, С = 26. Переведите А, B и С в двоичную систему счисления и выполните поразрядно логические операции (A ∨ B) & С. Ответ дайте в десятичной системе счисления.
    11. Найдите значения выражений:

    12. Найдите значение логического выражения для указанных значений числа X:

      13. 1) 1;
      2) 2;
      3) 3;
      4) 4

    13. Пусть А = «Первая буква имени - гласная», В = «Четвёртая буква имени согласная». Найдите значение логического выражения для следующих имён:

      14. 4) ФЁДОР

    14. Разбирается дело Джона, Брауна и Смита. Известно, что один из них нашёл и утаил клад. На следствии каждый из подозреваемых сделал два заявления:

      15. Смит: «Я не делал этого. Браун сделал это».

      Джон: «Браун не виновен. Смит сделал это».

      Браун: «Я не делал этого. Джон не делал этого».

      Суд установил, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий один раз солгал, один раз сказал правду. Кто из подозреваемых должен быть оправдан?

    15. Алёша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:

      1. Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в V веке».
      2. Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке».
      3. Гриша: «Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке».
        Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

    16. Выясните, какой сигнал должен быть на выходе электронной схемы при каждом возможном наборе сигналов на входах. Составьте таблицу работы схемы. Каким логическим выражением описывается схема?

    Цели урока:

    Образовательные

    • Получить представление об алгебре высказываний.
    • Введение понятия сложного высказывания.
    • Познакомить учащихся с основными логическими операциями.
    • Построение таблиц истинности сложных высказываний.

    Развивающие

    • Развитие познавательной деятельности.
    • Развитие умения анализировать, делать обобщающие выводы.

    Воспитательные

    • Понимание связей между другими учащимися, культурой поведения.

    ЦОР: Презентации “История логики” [приложение 1 ], “Формы мышления” [приложение 2 ] .

    План урока:

      1. Организационный момент.
      2. Что изучает логика? Какими основными понятиями оперирует логика?
      3. Откуда произошла алгебра высказываний? Сообщение учащегося.
      4. Как получаются сложные высказывания? Логические операции.
      5. Готовимся к ЕГЭ. Закрепление знаний.

    ХОД УРОКА

    I. Организационный момент.

    Постановка проблемы:

    1. Что общего у алгебры с алгеброй логики?
    2. Какие операции есть в алгебре логики и как они обозначаются?
    3. Что будет результатом операции?
    4. Какие логические операции мы используем при формулировке теорем?

    II. Актуализация.

    Фронтальный опрос “Что такое логика? Основные понятия логики”.

    Вопросы для повторения:

    Что изучает логика? Какими основными понятиями оперирует логика?

    Что такое “понятие” с точки зрения логики? Приведите примеры.

    Какие две стороны можно выделить в понятии?

    Что такое высказывание? Какие виды высказываний Вы знаете (Привести примеры общих, частных и единичных высказываний)

    Из данных предложений выберите те, которые являются высказываниями, и обоснуйте свой выбор.

    • Наполеон был французским императором.
    • Чему равно расстояние от Земли до Марса?
    • Внимание! Посмотрите направо.
    • Электрон – элементарная частица.
    • Не нарушайте правил дорожного движения!
    • Полярная звезда находится в созвездии малой медведицы.
    • Не все то золото, что блестит.

    Объясните, почему формулировка любой теоремы является высказыванием.

    Какие из приведенных примеров являются частными высказываниями, а какие общими?

    • Не все книги содержат полезную информацию.
    • Кошка является домашним животным.
    • Некоторые ученики двоечники.
    • Все ананасы приятны на вкус.
    • Многие растения обладают целебными свойствами.
    • Любой неразумный человек ходит на руках.
    • А – первая буква в алфавите.

    Посредством чего выводятся новые знания о предметах?

    Какого вида умозаключения вы знаете?

    Приведите примеры дедуктивных, индуктивных умозаключений и по аналогии.

    III. Формирование новых знаний.

    Небольшое сообщение учащегося о том, как и когда возникла алгебра высказываний.

    Можно использовать презентацию “История логики” [приложение 1].

    Учитель. Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний. С помощью высказываний мы устанавливаем свойства, взаимосвязи с объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно .

    Определение. Высказывание называется простым, если никакая его часть не является высказыванием.

    Употребляемые в обычной речи связки “и”, “или”, “не”, “если …, то…”, “тогда и только тогда, когда…” и т.п. позволяют из уже заданных высказываний строить новые сложные высказывания. Это и есть логические операции, подобно сложению, умножению в обычной алгебре.

    Истинность или ложность полученных т.о. высказываний зависит от истинности или ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как логических операций над высказываниями.

    Для обозначения истинности, как правило, используются знаки “И” и “1”, а для обозначения ложности – символы “Л” и “0”.

    Логическая операция может быть описана таблицей истинности, указывающей какие значения принимает сложное высказывание при всех возможных значениях простых высказываний.

    Рассмотрим логические операции.

    1. Конъюнкция.

    Определение. Высказывание, составленное из двух и более высказываний путем объединения их связкой “И”, называется конъюнкцией или логическим умножением.

    Здесь можно порассуждать с ребятами, взяв в качестве простых высказываний очевидные А={2*2=4} и В={2*2=5} и др. Делаем вывод:

    Высказывая конъюнкцию, мы утверждаем, что выполняются оба этих события, о которых идет речь.

    Например, сообщая {Петровы поехали на дачу и взяли с собой собаку} мы выражаем в одном высказывании свое убеждение, что произошли оба этих события.

    Формулируем правило.

    Правило. Составное высказывание, образованное с помощьюконъюнкции, истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

    Обозначение. АВ, А&В, А*В, А and В.

    Таблица истинности.

    Задание. Приведите примеры конъюнкции.

    Пример. Рассмотрим два высказывания А={Завтра будет мороз}, и В={Завтра будет идти снег}. Новое высказывание А&В истинно лишь в случае, когда будут истинны оба этих высказывания.

    В русском языке конъюнкции также соответствуют, кроме союза “и”, связки “а” и “но”.

    2. Дизъюнкция.

    Определение. Высказывание, составленное из двух и более высказываний путем объединения их связкой “ИЛИ”, называется дизъюнкцией или логическим сложением.

    Аналогично, рассуждаем на предмет истинности сложного высказывания, построенного с помощью “или” на примерах, очевидных для ребят.

    Формулируем вывод:

    В высказываниях, содержащих связку “ИЛИ”, указывается на существование двух или нескольких возможных событий, из которых хотя бы одно должно быть осуществлено.

    Например, сообщая {Толя пьет чай или читает книгу} мы выражаем в одном высказывании свое убеждение, что произошло хотя бы одно из этих событий.

    Формулируем правило.

    Правило. Составное высказывание, образованное с помощью дизъюнкции, истинно тогда, когда истинно хотя бы одно, входящих в него простых высказывания.

    Обозначение. АВ, А+В, А or В.

    Таблица истинности.

    Задание. Приведите примеры.

    Пример. Пусть А={Колумб был в Индии}, и В={Колумб был в Египте}.

    Высказывание АВ будет истинно как в случае, если Колумб был в Индии, но не был в Египте, так и в случае, если он был в Египте, но не был в Индии. Но это высказывание будет ложно, т.к. он не был ни в Индии, ни в Египте.

    3. Исключающее “ИЛИ”.

    Союз “или” может применяться в речи и в другом, исключающем смысле. Тогда он соответствует другому высказыванию – разделительной или строгой дизъюнкции.

    Определение. Высказывание, составленное из двух и более высказываний путем объединения их связкой “ЛИБО”, называется разделительной дизъюнкцией (строгой), исключающим “или”, сложением по модулю 2.

    В отличие от обычной дизъюнкции мы утверждаем, что произойдет одно событие из двух.

    Например, {Толя пьет чай или молоко}, {Коля сидит на трибуне А или на трибуне Б}.

    Формулируем правило.

    Правило. Строгая или разделительная дизъюнкция – логическая операция, которая ставит в соответствие двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда ровно одно из высказываний истинно.

    Обозначение. АВ.

    Таблица истинности.

    Задание. Приведите примеры.

    Пример. Пусть А={Кошка охотится за мышами}, В={Кошка спит на диване}. Новое высказывание АВ будет истинны в двух случаях, когда кошка охотится за мышами или когда кошка мирно спит. Это высказывание будет ложным, если кошка не делает ни того, ни другого, ровно как и в случае, когда предполагается, что оба события будут происходить одновременно.

    4. Инверсия.

    Определение. Отрицание (инверсия) – логическая операция, которая каждому элементарному высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

    В русском языке для построения отрицания используется связка “неверно, что”.

    Вопрос: Когда же новое высказывание, построенное таким образом, будет истинным?

    Инверсия обращает истинное высказывание в ложное, а ложное в истинное.

    Задание. Приведите примеры.

    Пример. Отрицанием высказывания {У меня дома есть компьютер} будет высказывание {Неверно, что у меня дома есть компьютер} или, что то же самое {У меня дома нет компьютера}.

    Обозначение. ¬А

    Таблица истинности.

    1. Отрицанием высказывания (Я не знаю татарского языка) будет высказывание (Неверно, что я не знаю татарского языка) или (Я знаю татарский язык).

    2. Отрицанием высказывания {Все юноши 11-х классов - отличники) является высказывание {Неверно, что все юноши 11-х классов - отличники) или {Не все юноши 11-х классов - отличники) или другими словами, {Некоторые юноши 11-х классов - не отличники).

    На первый взгляд кажется, что построить отрицание к заданному высказыванию достаточно просто. Однако это не так.

    Пример 1. Высказывание {Все юноши 11-х классов - не отличники) не является отрицанием высказывания (Все юноши 11-х классов - отличники). Объясняется это следующим образом. Высказывание {Все юноши 11-х классов - отличники) ложно. Отрицанием к ложному высказыванию должно быть высказывание, являющееся истинным. Но высказывание (Все юноши 11-х классов не отличники) не является истинным, так как среди одиннадцатиклассников есть как отличники, так и не отличники.

    Пример 2. Для высказывания (На стоянке стоят красные “Жигули”} следующие предложения отрицаниями являться не будут:

    1) (На стоянке стоят не красные “Жигули”);

    2) (На стоянке стоит белый “Мерседес”);

    З) {Красные “Жигули” стоят не на стоянке).

    Разобраться в этом примере предлагается самостоятельно. Класс делится на группы, внутри группы обсуждается этот пример, затем спикеры высказывают свое мнение от имени группы.

    Проанализировав приведенные примеры, можно вывести полезное правило.

    Правило построения отрицания к простому высказыванию:

    При построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот “неверно, что”, либо отрицание строится к сказуемому, тогда к сказуемому добавляется частица “не”, при этом слово “все” заменяется на “некоторые” и наоборот.

    Задание. Постройте отрицание для высказываний:

    • Все ребята умеют плавать.
    • Невозможно создать вечный двигатель.
    • Каждый человек – художник.
    • Человек все может.
    • Сегодня в театре идет опера “Евгений Онегин”.

    5. Приоритет операций.

    Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую войдут символы, обозначающие высказывания и их отрицания, соединенные знаками логических операций.

    Старшинство операций:

    1. Инверсия
    2. Конъюнкция
    3. Дизъюнкция

    Задание. Расставить порядок действий логического выражения

    IV. Закрепление изученного.

    Следующие задания выполняются самостоятельно, затем идет обсуждение решения.

    Задания для учащихся:

    1. В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое их них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание.

    а) Число 376 четное и трехзначное.

    б) Зимой дети катаются на коньках или на лыжах.

    в) Новый год мы встретим на даче либо на Красной площади.

    г) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

    е) Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.

    ж) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.

    3. Являются ли отрицаниями друг друга следующие пары предложений? Обсуждение.

    а) Он - мой друг. Он - мой враг.

    б) Большой дом. Небольшой дом.

    в) Большой дом. Маленький дом.

    г) Х> 2. Х < 2.

    4. Пусть р = {Ане нравятся уроки математики}, а q = {Ане нравятся уроки химии}. Выразите следующие формулы на естественном языке. Комментирование.

    Карточки

    • а и (Марс – планета) – истинное высказывание;
    • b и (Марс – планета) – ложное высказывание;
    • c или (Солнце – спутник Земли) – истинное высказывание;
    • d или (Солнце – спутник Земли) – ложное высказывание.

    Определите значения логических переменных a, b, c, d, если:

    • а или (1 литр молока дороже 1 кг сливочного масла) – истинно;
    • b и (1 литр молока дороже 1 кг сливочного масла) – ложно;
    • c или (масло дороже творога) – истинно;
    • d и (масло дороже творога) – ложное высказывание.

    Пусть а= “эта ночь звездная”, а b = “эта ночь холодная”. Выразите следующие формулы на обычном языке:

    • а и b;
    • а и не b ;
    • не а и не b;

    Дополнительное задание – задания из ЕГЭ.

    Задания из ЕГЭ

    А10. При каких значениях переменных логическое вадание. Расставить порядок действий логического выражения.еского выражения), в которую войдут символы, обозначающие высказываныражение

    ¬(М = N) v ¬(М <Р) принимает значение “Ложь”?

    1. M=1; N=1; P=0
    2. M=-1; N=-1; P=0
    3. M=1; N=1; P=0
    4. M=0; N=0; P=-1

    А12. Из двух высказываний “дядя Федор и кот Матроскии не любят Молоко” и “Кот Матроскин не любит” Молоко одно ложно, а другое истинно. Кто из них не любит молоко?

    1) Оба не любят молоко.

    2) Оба любят Молоко.

    З) Кот Матроскин любит Молоко, а дядя Федор нет.

    4) дядя Федор любит молоко, а Кот Матроскин - нет.

    V. Домашнее задание.

    Учебник: Угринович, 10–11 кл., п.3.2 (с.125–129), упр. 3.1.

    Придумать примеры для каждой логической операции.

    VI. Итоги урока.

    Вопросы для подведения итога урока:

    • Что нового вы узнали сегодня на уроке?
    • Как мы можем получить сложные высказывания из нескольких простых?
    • Какие логические операции вы теперь знаете?
    • Отчего зависит истинность сложного высказывания?

    Литература

    1. Математические основы информатики. Элективный курс: учебное пособие / Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.
    2. Информатика. Задачник-практикум в 2 т. / под ред. Семакина И.Г., Хеннера Е.К. М.:Лаборатория базовых знаний, 2001.
    3. Готовимся к ЕГЭ по информатике. Элективный курс: учебное пособие / Н.Н.Самылкина, С.В. Русаков, А.П. Шестаков, С.В. Баданина. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.

    Построение таблиц истинности для логических выражений

    Проверка основных логических операций .

    53. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

    Запрос

    Найдено страниц (в тысячах)

    ШОКОЛАД | ЗЕФИР

    15 000

    ШОКОЛАД & ЗЕФИР

    8 000

    ЗЕФИР

    12 000

    Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по за­просу ШОКОЛАД? Решите задачу, используя круги Эйлера:

    54. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

    Запрос

    Найдено страниц (в тысячах)

    ЗУБР & ТУР

    5 000

    ЗУБР

    18 000

    ТУР

    12 000

    Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по за­просу ЗУБР | ТУР? Решите задачу, используя круги Эйлера:

    55. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

    Запрос

    Найдено страниц (в тысячах)

    ФУТБОЛ | ХОККЕЙ

    20 000

    ФУТБОЛ

    14 000

    ХОККЕЙ

    16 000


    Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по за­просу ФУТБОЛ & ХОККЕЙ? Решите задачу, используя круги Эйлера:

    Задания.

    1. Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями.

    1)Какого цвета этот дом?

    2)Число X не превосходит единицы.

    4)Посмотрите в окно.

    5)Пейте томатный сок!

    6)Эта тема скучна.

    7)Рикки Мартин - самый популярный певец.

    8)Вы были в театре?

    3. В следующих высказываниях выделите простые высказывания, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание.

    1)Число 376 чётное и трёхзначное.

    2)Зимой дети катаются на коньках или на лыжах.

    3)Новый год мы встретим на даче или на Красной площади.

    4)Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

    5)Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.

    6) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.

    4.Постройте отрицания следующих высказываний.

    1)Сегодня в театре идёт опера «Евгений Онегин».

    2)Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.

    3)Число 1 есть простое число.

    4)Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой О, не являются простыми числами.

    5)Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.

    6)Коля решил все задания контрольной работы.

    7)Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом.

    8)Некоторые млекопитающие не живут на суше.

    5.Пусть А = «Ане нравятся уроки математики », а В = «Ане нравятся уроки химии». Выразите следующие формулы на обычном языке:


    6. Рассмотрите представленные на рисунке электрические схемы:


    На них изображены известные вам из курса физики параллельное и последовательное соединения переключателей. В первом случае, чтобы лампочка загорелась, должны быть включены оба переключателя. Во втором случае достаточно, чтобы был включён один из переключателей. Попытайтесь самостоятельно провести аналогию между элементами электрических схем и объектами и операциями алгебры логики:

    Электрическая схема

    Алгебра логики

    Переключатель

    Переключатель включён

    Переключатель выключен

    Последовательное соединение переключателей

    Параллельное соединение переключателей

    7. Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. По­исковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот её фрагмент:

    Ключевое слово

    Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым

    сомики

    250

    меченосцы

    200

    гуппи

    500

    По запросу сомики & гуппи было найдено 0 сайтов, по запросу сомики & меченосцы - 20 сайтов, а по запросу меченосцы & гуппи - 10 сайтов. Сколько сайтов будет найдено по запросу сомики | меченосцы | гуппи ?
    Для скольких сайтов рассматриваемого сегмента ложно выска­зывание «Сомики - ключевое слово сайта ИЛИ меченосцы - ключевое слово сайта ИЛИ гуппи - ключевое слово сайта» ?
         8. Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:

    9.Проведите доказательство рассмотренных в параграфе логических законов с помощью таблиц истинности.

    Даны три числа в десятичной системе счисления: А = 23, В = 19, С = 26. Переведите А, B и С в двоичную систему счисления и выполните поразрядно логические операции (A v B) & С. Ответ дайте в десятичной системе счисления.
    11. Найдите значения выражений:
     1) (1 v 1) v (1 v 0);
    2) ((1 v 0) v 1) v 1);
    3) (0 & 1) & 1;
    4) 1 & (1 & 1) & 1;
    5) ((1 v 0) & (1 & 1)) & (0 v 1);
     6) ((1 & 1) v 0) & (0 v 1);
    7) ((0 & 0) v 0) & (1 v 1);
    8) (A v 1) v (B v 0);
    9) ((1 & A) v (B & 0)) v 1;
     10) 1 v А & 0.
    12. Найдите значение логического выражения

    для указанных значений числа X: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

    5.1. Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие - нет (объясните почему):

      • а) "Солнце есть спутник Земли ";
      • б) "2+3 =4 ";
      • в) "сегодня отличная погода ";
      • г) "в романе Л.Н. Толстого "Война и мир" 3 432 536 слов ";
      • д) "Санкт-Петербург расположен на Неве ";
      • е) "музыка Баха слишком сложна ";
      • ж) "первая космическая скорость равна 7.8 км/сек ";
      • з) "железо - металл ";
      • и) "если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным ";
      • к) "если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный ".

    [ Ответ ] 5.1. Являются высказываниями : а), г), д), ж), з), и), к);
    не являются высказываниями     : б); в); е).

    5.2. Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения истинны, какие - ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить.
    [     Ответ ] 5.2. Истинные: д), з), к);
    ложные:     а), и);
    истинность трудно установить     : г);
    можно рассматривать и как истинное, и как ложное     в зависимости от требуемой точности представления: ж).

    5.3. Приведите примеры истинных и ложных высказываний:

      • а) из арифметики; б) из физики;
      • в) из биологии; г) из информатики;
      • д) из геометрии; е) из жизни.

    [ Ответ ] 5.3. Образцы.
    Истинные высказывания: а)     "2+2=4 "; б) "сила притяжения тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними" в) "зайцы питаются растениями" ; г) "бит - фундаментальная единица информации, используемая в теории информации" ; д) "два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника" ; е) "понедельник - первый день недели" .
    Ложные высказывания : а) "4+3=5" ; б) "тело падает на Землю с ускорением, пропорциональным своей массе" ; в) "животные это неживая природа" г) "информатика - наука о термической обработке металлов" ; д) "квадрат это фигура у которой пять сторон" ; е) "лев - домашнее животное"

    5.4. Сформулируйте отрицания следующих высказываний или высказывательных форм:

      • а) "Эльбрус - высочайшая горная вершина Европы ";
      • б) "2>=5 ";
      • в) "10<7 ";
      • г) "все натуральные числа целые ";
      • д) "через любые три точки на плоскости можно провести окружность ";
      • е) "теннисист Кафельников не проиграл финальную игру ";
      • ж) "";
      • з) "это утро ясное и теплое ";
      • и) "число n делится на 2 или на 3 ";
      • к) "";
      • л) "на контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой ".

    [ Ответ ] 5.4. а) "Эльбрус - не высочайшая горная вершина Европы" ; б) "2<5" ; в) "10>=7" ; г) "не все натуральные числа целые" ; д) "не через любые три точки на плоскости можно провести окружность" ; е) "теннисист Кафельников проиграл финальную игру" ; ж) "мишень не поражена первым выстрелом" ; з) "это утро не ясное или оно не теплое" (Пояснение. Пусть А = "это утро ясное" , а B = "это утро теплое" . Тогда "это утро ясное и теплое" можно записать как А . В, отрицанием чего является , что соответствует высказывательной форме "это утро не ясное или оно не не теплое "; и) "число n не делится на 2 и оно делится на 3" ; к) "этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный" ; л) "не каждый ученик писал контрольную своей ручкой" (вариант: "кто-то писал контрольную не своей ручкой" ).

    5.5. Определите, какие из высказываний (высказывательных форм) в следующих парах являются отрицаниями друг друга, а какие нет:

      • а) "5<10 ", "5>10 ";
      • б) "10>9 ", "10<=9 ";
      • в) "мишень поражена первым выстрелом ", "мишень поражена вторым выстрелом ";
      • г) "машина останавливалась у каждого из двух светофоров ", "машина не останавливалась у каждого из двух светофоров ",
      • д) "человечеству известны все планеты Солнечной системы ", "в Солнечной системе есть планеты, неизвестные человечеству ";
      • е) "существуют белые слоны ", "все слоны серые ";
      • ж) "кит - млекопитающее ", "кит - рыба ";
      • з) "неверно, что точка А не лежит на прямой а ", "точка А лежит на прямой а ";
      • и) "прямая а параллельна прямой b ", "прямая a перпендикулярна прямой b ";
      • к) "этот треугольник равнобедренный и прямоугольный ", "этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный ".

    [ Ответ ] 5.5. Являются отрицаниями друг друга: б), г), д), к);
    не являются отрицаниями друг друга: а), в), е), ж), з), и).

    5.6. Определите значения истинности высказываний:

      • а) "наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт ";
      • б) "наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт ";
      • в) "если целое число делится на 6, то оно делится на 3 ";
      • г) "подобие треугольников является необходимым условием их равенства ";
      • д) "подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства ";
      • е) "треугольники подобны только в случае их равенства ";
      • ж) "треугольники равны только в случае их подобия ";
      • з) "равенство треугольников является достаточным условием их подобия ";
      • и) "для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были неподобны ";
      • к) "для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны ".

    [ Ответ ] 5.6. Истинны: б), в), г), з), к), и);
    ложны: а), д), е), ж).

    5.7. Подставьте в приведённые ниже высказывательные формы вместо логических переменных a, b, c, d такие высказывания, чтобы полученные таким образом составные высказывания имели смысл в повседневной жизни:

      • а) если (а или (b и с)), то d;
      • б) если (не а и не b), то (с или d);
      • в) (а или b) тогда и только тогда, когда (с и не d).

    5.8. Формализуйте следующий вывод: "Если a и b истинны, то c - истинно. Но c - ложно: значит, a или b ложны".
    [     Ответ ] 5.8. .

    В естественном языке

    конъюнкция

    дизъюнкция

    Неверно, что...

    отрицание

    конъюнкция

    В том и только в том случае...

    эквивалентность

    конъюнкция

    конъюнкция

    импликация

    Однако...

    конъюнкция

    Тогда и только тогда, когда...

    эквивалентность

    Либо...

    строгая дизъюнкция

    Необходимо и достаточно...

    эквивалентность

    следует...

    импликация

    Влечет...

    импликация

    Равносильно...

    эквивалентность

    Необходимо...

    импликация

    Достаточно...

    обратная импликация

    Задание 4 . Постройте отрицания следующих

    высказываний:

    а) Сегодня в театре идет опера "Евгений Онегин". б) Каждый охотник желает знать, где сидит фазан. в) Число 1 есть простое число.

    г) Число 1 - составное.

    д) Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой О, являются простыми числами.

    е) Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.

    ж) Коля решил все задания контрольной работы.

    з) Неверно, что любое число, оканчивающееся цифрой 4, делится на 4.

    и) Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом.

    к) Некоторые млекопитающие не живут на суше.

    Ответы.

    а) Сегодня в театре не идет опера «Евгений Онегин».

    б) Не каждый охотник желает знать, где сидит фазан (некоторые охотники не желают знать, где сидит фазан).

    в) Число 1 не есть простое число (не является простым числом).

    г) Число 1 - не составное.

    д) Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, не являются простыми числами.

    е) Число 3 не является делителем числа 198.

    ж) Неверно, что Коля решил все задания контрольной работы (Коля не решил некоторые задания контрольной работы).

    з) Любое число, оканчивающееся цифрой 4, делится на 4. и) В некоторых школах все ученики не интересуются спортом.

    к) Все млекопитающие живут на суше.

    Задание 5. Являются ли отрицаниями друг друга следующие предложения?

    a) Он - мой друг. Он - мой враг.

    b) Большой дом. Небольшой дом.

    c) Большой дом. Маленький дом.

    d) X > 2. X < 2.

    Ответы.

    С отрицанием мы имеем дело только во втором случае. Действительно, пусть А = {Он - мой друг}.

    Тогда Не А = {Неверно, что он - мой друг}.

    Но то, что человек не является вашим другом, еще не означает, что он является вашим врагом.

    Рассмотрим п. с).

    Пусть А = {Это большой дом}, тогда Не А = {Это небольшой дом}.

    Для п. d) отрицанием первого высказывания при любом х будет х < 2.

    Задание 6. Пусть р = Ане нравятся уроки математики, а q = Ане нравятся уроки химии.

    Выразите следующие формулы на обычном языке:

    Ответы.

    а) Ане нравятся уроки математики и химии.

    б) Ане не нравятся уроки математики, но нравятся уроки химии.

    в) Ане нравятся уроки математики, но не нравятся уроки химии.

    г) Ане нравятся уроки математики или химии.

    д) Ане нравятся уроки математики или не нравятся уроки химии.

    е) Ане не нравятся уроки математики или химии.

    ж) Неправда, что Ане нравятся уроки математики и химии. з) Неправда, что Ане нравятся уроки математики или химии.

    и) Неправда, что Ане нравятся уроки математики и не нравятся уроки химии.

    к) Если Ане нравятся уроки математики, то ей нравятся и уроки химии.

    л) Если Ане нравятся уроки математики, то ей не нравятся уроки химии.

    м) Неправда, что если Ане нравятся уроки математики, то ей нравятся и уроки химии.

    Задания для индивидуальной работы

    Вариант 1

    1. Даны два высказывания:

    А = {Число 5 - простое}, В = {Луна - спутник Венеры}.

    Очевидно, что А = 1, В = 0.